MAT Cálculo Avançado - Notas de Aula

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1 MAT Cálulo Avnçdo - Nots de Aul 26 de mrço de INTEGRAL DE RIEMANN EM ESPAÇOS DE BANACH Definição 1.1 (Integrl de Riemnn). Sejm [, b] R e E um espço de Bn. A noção de Riemnn-integrbilidde de funções limitds [, b] E se define trvés de soms de Riemnn, d mneir usul: 1. Um prtição de [, b] é um onjunto finito P [, b] tl que, b P. Se P = {t 0,..., t n } om = t 0 < t 1 < < t n = b, o intervlo [t i 1, t i ], pr 1 i n, m-se i-ésimo intervlo. d prtição, e P = mx{ t i t i 1 : 1 i n} m-se norm d prtição. Um pontilmento d prtição P é um n-upl ξ = (ξ 1,..., ξ n ) tl que ξ i [t i 1, t i ] pr 1 i n; o pr (P, ξ) m-se prtição pontild. 2. Sej f : [, b] E limitd. A som de Riemnn de f om relção um prtição pontild (P, ξ) de [, b], onde P = { = t 0 < t 1 < < t n = b} e ξ = (ξ 1,..., ξ n ), é o elemento de E ddo por: S(f, P, ξ). = n f(ξ i )(t i t i 1 ) (1) i=1 3. Diz-se que um função limitd f : [, b] E é Riemnnintegrável e que su integrl de Riemnn é L E (notção: f = L) se, pr todo ɛ > 0, existir δ > 0 tl que, pr tod prtição pontild (P, ξ) de [, b] om P < δ, tem-se S(f, P, ξ) L < ɛ. Definição 1.2 (Conjuntos Dirigidos). Um onjunto dirigido é um pr (A, ), onde A é um onjunto não-vzio e é um relção de ordem pril em A (i.e. um relção binári reflexiv ( ), nti-simétri ( b e b implim = b) e trnsitiv ( b e b implim )) tl que,, b A, A tl que e b. Definição 1.3 (Nets). Se A for um onjunto dirigido e X um onjunto, um net em X, indexdo por A, é um plição s : A X. Mis gerlmente, um net multivlordo em X, indexdo por A, é um plição s : A 2 X que ssoi d α A um subonjunto não vzio s α X. Us-se notção (s α ) α A ou (s α ) α ou (s α ) pr denotr o net. Nests nots, por um net entend-se um net multivlordo. Um bo referêni sobre este ssunto, so queir entrr em mis detles, é o livro lássio de Topologi Gerl do Jon Kelley, [2] (vide pítulo 2, Moore-Smit Convergene). Exemplo O onjunto dos nturis N, munido d relção de ordem usul, é um onjunto dirigido. Assim, tod sequêni é um net (univlordo). 2. Num espço topológio (X, τ), tome p X e A o onjunto ds vizinnçs de p. Ddos U, V A, define-se U V por U V; então é um relção de ordem pril em A, munido d qul se torn um onjunto dirigido. A inlusão U A U 2 X é um net o net ds vizinnçs de p. 3. Sejm [, b] um intervlo e P o onjunto ds prtições de [, b]. Ddos P, Q P, define-se P Q se Q for mis fin que P, 1

2 i.e. se P Q. Isto define um relção de ordem pril em P, munido d qul se torn um onjunto dirigido. Ddos E espço de Bn e f : [, b] E limitd, o net ds soms de Riemnn de f, (S(f) P ) P P, é o net S(f) : P 2 E ddo por P {S(f, P, ξ) ξ pontilmento de P }, onde S(f, P, ξ) é ddo por (1). Definição 1.5 (Nets Convergentes). Sejm (X, τ) um espço topológio, (s α ) α A um net em X e x 0 X. Diz-se que (s α ) α onverge pr x 0 (notção: s α x 0 ) se, pr tod vizinnç U de x 0, existir α 0 A tl que, α α 0, s α U. Exemplo 1.6. Sejm [, b] R, E espço de Bn e f : [, b] E limitd. Então f é Riemnn-integrável e f = L E se, e somente se, o net (S(f) P ) P P ds soms de Riemnn de f, definido no exemplo 1.4, onverge pr L. Definição 1.7 (Ponto de Aderêni de um Net). Sejm (X, τ) um espço topológio, (s α ) α A um net em X e x 0 X. Diz-se que x 0 é um ponto de derêni de (s α ) α se, pr tod vizinnç U de x 0 e pr todo α 0 A, existir α α 0 tl que s α U (i.e. o onjunto dos índies α A tis que s α U é ofinl em A). Exeríio 1.8. Sejm X, Y espços topológios, f : X Y e x 0 X. Mostre que são equivlentes: 1. f é ontínu em x 0 (i.e. pré-imgem de tod vizinnç de f(x 0 ) é um vizinnç de x 0 ); 2. pr todo net (s α ) α A onvergente pr x 0, ( f(s α ) ) α A onverge pr f(x 0 ). Exeríio 1.9. Sej X um espço topológio Husdorff (i.e. no qul quisquer dois pontos distintos dmitem vizinnçs disjunts). Se (s α ) α A for um net onvergente em X, então o seu limite x 0 X é o únio ponto de derêni de (s α ) α ; em prtiulr, o limite é únio. Introduzir-se-á, seguir, noção de net de Cuy num espço métrio. A definição fz sentido, no entnto, num ontexto mis gerl: o de um espço topológio munido de um estrutur uniforme. Definição 1.10 (Nets de Cuy). Sejm (X, d) um espço métrio e (s α ) α A um net em X. Diz-se que (s α ) α é um net de Cuy se, pr todo ɛ > 0, existir α 0 A tl que, α, α A, α α 0 e α α 0, tem-se d(x, x ) < ɛ se x s α e x s α. Proposição Se (X, d) for um espço métrio ompleto, todo net de Cuy em X é onvergente. Demonstrção. Sej (s α ) α A net de Cuy em X. Pr d n N, esol α n A tl que α, α A, α α n e α α n, tem-se d(x, x ) < 1 n se x s α e x s α, e tl que α n α m se n m ( onstrução se fz indutivmente: um vez esolido α n, tom-se α A que stisfç ondição de Cuy pr ɛ = 1 n+1 e então tom-se α n+1 A tl que α n+1 α e α n+1 α n ). Agor tome, pr d n N, x n s αn. A sequêni (x n ) n N ssim definid é de Cuy, pois d(x n, x m ) < mx{ 1 n, 1 m }. Como (X, d) é ompleto, existe x 0 X tl que x n x 0. Afirmo que s α x 0. Com efeito, ddo ɛ > 0, existe n 0 N tl que 1 n 0 < ɛ/2. Tome m n 0 tl que d(x m, x 0 ) < ɛ/2. Então, pr todo α A om α α n0, se x s α : (1) omo α α n0 e α m α n0, tem-se d(x, x m ) < 1 n 0 < ɛ/2 e (2) d(x m, x 0 ) < ɛ/2, donde d(x, x 0 ) d(x, x m ) + d(x m, x 0 ) < ɛ. Teorem Sejm [, b] R, E espço de Bn e f : [, b] E ontínu. Então f é Riemnn-integrável. Demonstrção. Em vist d proposição 1.11, bst provr que o net ( S(f) P ds soms de Riemnn de f é um net de Cuy. )P P Sej ɛ > 0. Como [, b] é ompto, f é uniformemente ontínu; ssim, podemos tomr δ > 0 tl que, se x, x [, b] e x x < δ, tem-se f(x) f(x ) < ɛ 2(b ). Tome P 0 P om P 0 < δ. Dds P = {t 0 < < t n}, P P tis que P 0 P, P 0 P, firmo que, pr todo pontilmento ξ de P e pr todo pontilmento ξ 2

3 de P, tem-se S(f, P, ξ ) S(f, P, ξ ) < ɛ. Com efeito, sejm P P tl que P P e P P (por exemplo, tome P = P P ), e ξ um pontilmento qulquer de P. Todo subintervlo [t i 1, t i ] de P é união de um número finito de subintervlos de P, digmos, de [t j 1, t j ] pr r i j s i. Or, pr r i j s i, ξ i, ξ j [t i 1, t i ], logo ξ i ξ j < δ. Portnto, S(f, P, ξ ) S(f, P, ξ) = ( si si i=1 n i=1 j=r i [f(ξ i ) f(ξ j)](t j t j 1 ) ) n j=r i f(ξ i ) f(ξ j ) (t j t j 1 ) < n si ɛ i=1 j=r i 2(b ) (t j t j 1 ) = ɛ/2. Anlogmente, S(f, P, ξ ) S(f, P, ξ) < ɛ/2; donde, pel desiguldde tringulr, S(f, P, ξ ) S(f, P, ξ ) < ɛ, omo firmdo. Mis gerlmente, vle o seguinte teorem um ds implições ontids no enunido do lássio teorem de Lebesgue, que dá um ondição neessári e sufiiente pr Riemnn-integrbilidde de funções [, b] R (ou, mis gerlmente, [, b] R n ). Não vle reípro deste teorem, i.e. existem espços de Bn de dimensão infinit E e funções Riemnn-integráveis [, b] E ujo onjunto dos pontos de desontinuidde não tem medid de Lebesgue zero (vide exemplos em [1]). Teorem Sejm [, b] R, E espço de Bn e f : [, b] E limitd. Supon que o onjunto dos pontos de desontinuidde de f ten medid nul. Então f é Riemnn-integrável. Demonstrção. Mostremos que o net ds soms de Riemnn de f é de Cuy. Com efeito, sej ɛ > 0. Tome M > 0 tl que f M em [, b]. Podemos enontrr um fmíli finit de intervlos (I i ) 1 i n tl que: (1) pr 1 i n, I i é berto em [, b], i.e. d form ( i, b i ) ou [, b i ) ou ( i, b], onde i, b i [, b]; (2) n i=1 I i < ɛ/8m, onde I i denot o omprimento do intervlo I i ; (3) denotndo por D [, b] o onjunto dos pontos de desontinuidde de f, tem-se D 1 i n I i. Como 1 i n I i é berto em [, b], o seu omplementr F. = [, b] \ 1 i n I i é fedo em [, b], portnto ompto; sendo f ontínu no ompto F, é uniformemente ontínu, logo existe δ > 0 tl que f(x) f(y) < ɛ/4(b ) se x, y F e x y < δ. F é um união finit de subintervlos fedos de [, b]; em d um destes intervlos, esol um prtição om norm menor que δ, e sej P 0 prtição de [, b] formd pel união de tods ests prtições e dos extremos i, b i dos intervlos I i, 1 i n. Dds P, P P (P denot o onjunto dirigido ds prtições de [, b]) tis que P 0 P, P 0 P, firmo que, pr todo pontilmento ξ de P e pr todo pontilmento ξ de P, tem-se S(f, P, ξ ) S(f, P, ξ ) < ɛ. Com efeito, sej P P tl que P P e P P, e ξ um pontilmento qulquer de P. Digmos, P = {t 0 < < t q }. Como prtição P = {t 0 < < t m} refin P 0, todo subintervlo [t j 1, t j ] de P está ontido em lgum intervlo I i, 1 i n, ou no omplementr F d união dos I i em [, b]; usremos um subsrito 1 pr denotr os índies que se referem os intervlos do primeiro tipo e um subsrito 2 pr os do segundo. Assim, pomos J 1 = {j1 {1,..., m}. i, [t j,. 1 1 t j 1 ] I i } e J 2 = {j2 {1,..., m} [t j, 2 1 t j 2 ] F }, de modo que {1,..., m} sej união disjunt de J 1 e J 2, donde S(f, P, ξ ) = j 1 J 1 f(ξ j 1 )(t j 1 1 t j 1 )+ j 2 J 2 f(ξ j 2 )(t j 2 1 t j 2 ). Todo subintervlo [t j 1, t j ] de P é união de um número finito de subintervlos de P, digmos, de [t k 1, t k ] pr r j k s j. Or, pr j 2 J 2 e r j2 k s j2, ξ j 2, ξ k [t j, 2 1 t j 2 ], logo ξ j 2 ξ k < δ e ξ j 2, ξ k F, donde f(ξ j 2 ) f(ξ k ) < ɛ/4(b ). Por outro ldo, pr j 1 J 1 e r j1 k s j1, tem-se f(ξ j 1 ) f(ξ k ) < 2M. Assim, sendo som dos omprimentos dos intervlos [t j, 1 1 t j 1 ], j 1 J 1, menor que ɛ/8m, onlui-se que S(f, P, ξ ) S(f, P, ξ) = m ( sj j=1 k=r j [f(ξ j ) f(ξ k )](t k t k 1 ) ) = sj1 j 1 J 1 k=r j1 [f(ξ j 1 ) f(ξ k )](t k t k 1 ) + sj2 j 2 J 2 k=r j2 [f(ξ j 2 ) f(ξ k )](t k t k 1 ) 2M ɛ 8M + ɛ 4(b ) (b ) = ɛ/2. Anlogmente, S(f, P, ξ ) S(f, P, ξ) < ɛ/2; donde, pel desiguldde tringulr, S(f, P, ξ ) S(f, P, ξ ) < ɛ, omo firmdo. Serão provds, seguir, proprieddes usuis d integrl de Riemnn. 3

4 Proposição Sejm [, b] R e E espço de Bn. Tem-se: 1. Ddos ], b[ e f : [, b] E limitd, então f é Riemnnintegrável se, e somente se, s restrições de f [, ] e [, b] o forem; em so firmtivo, f = f + f. 2. Se f : [, b] E for Riemnn-integrável e M 0 for tl que f M, então f M(b ). Se f : [, b] E tmbém for Riemnn-integrável, então f f. 3. Sej R([, b], E) =. {f : [, b] E f Riemnn-integrável}. Então R([, b], E) é um subespço fedo do espço de Bn B([, b], E) ds funções limitds [, b] E (vide nots sobre espços métrios, págin 6, exemplo 2.2.5). Ddos f, g R([, b], E) e α R, (f + g) = f + g e b αf = α f. Além disso, : R([, b], E) E é um operdor liner ontínuo. 4. Sejm F espço de Bn e T : E F operdor liner ontínuo. Então, se f R([, b], E), tem-se T f R([, b], F) e (T f) = T f. Demonstrção. 1. Sej P 0 = {,, b}. O net {S(f) P } P P0 é ( imgem pel plição ) ontínu + : E E E do net S(f [,] ) P, S(f [,b] ) P, onde S(f [,] ) P e S(f [,b] ) P denotm, respetivmente, os nets ds soms de Riemnn ds restrições de f [, ] e [, b]. Como um plição ontínu lev nets onvergentes em nets onvergentes, onlui-se que, se s restrições de f [, ] e [, b] forem Riemnn-integráveis, então f tmbém o é e f = f + f. Por outro ldo, Riemnnintegrbilidde de f impli Riemnn-integrbilidde d res- trição de f qulquer subintervlo [α, β] de [, b], o que será deixdo omo exeríio (use Riemnn-integrbilidde de f pr mostrr que o net ds soms de Riemnn d restrição de f [α, β] é de Cuy). 2. Pr tod prtição pontild (P, ξ) de [, b], tem-se S(f, P, ξ) M(b ). Como f é o limite do net {S(f) P } P P ds soms de Riemnn de f, segue-se que f M(b ) (pois, so ontrário, tomndo δ. = f M(b ) 2 > 0, U =. 1 ( f δ, + ) seri um vizinnç bert de f, pr qul existiri P 0 P tl que S(f) P U se P P 0 ; em prtiulr, pr todo pontilmento ξ de P 0, terímos S(f, P 0, ξ) > f δ > M(b ), egndo-se um ontrdição). Pr tod prtição pontild (P, ξ) de [, b], deorre d desiguldde tringulr que S(f, P, ξ) S( f, P, ξ), i.e. S(f, P, ξ) S( f, P, ξ) 0. Supondo que f e f sejm Riemnn-integráveis, tem-se: (i) S(f) P f, donde S(f) P f (pois : E R é ontínu, logo lev nets onvergentes em nets onvergentes) e (ii) S( f ) P f, o que rret S(f) P S( f ) P f f. Como todo termo do net P P S(f) P S( f ) P está ontido em (, 0], segue-se que f f 0, omo firmdo. 3. Ddos f, g R([, b], E) e α R, os nets ds soms de Riemnn de f +g e αf são, respetivmente, {S(f) P +S(g) P } P P e {αs(f) P } P P. Assim, omo + : E E E e α : E E são ontínus, levm nets onvergentes em nets onvergentes, donde se onlui que {S(f) P +S(g) P } P P e {αs(f) P } P P onvergem, respetivmente, pr f + g e α f. Isto mostr que R([, b], E) é um subespço de B([, b], E). Mostremos que tl subespço é fedo. Com efeito, supon que (f n ) n N sej um sequêni em R([, b], E) que onvirj uniformemente em [, b] pr f B([, b], E); devemos mostrr que f é Riemnnintegrável, i.e. que o net ds soms de Riemnn de f é de Cuy. Ddo ɛ > 0, tome p N tl que ( t [, b]) f n (t) f(t) < ɛ/3(b ) se n p, e P 0 P tl que ( P, P P 4

5 om P 0 P, P 0 P, ξ pontilmento de P, ξ pontilmento de P ) S(f p, P, ξ ) S(f p, P, ξ ) < ɛ/3. Então, plindo desiguldde tringulr, onlui-se que ( P, P P om P 0 P, P 0 P, ξ pontilmento de P, ξ pontilmento de P ) S(f, P, ξ ) S(f, P, ξ ) = S(f f p, P, ξ ) + S(f p, P, ξ ) S(f p, P, ξ ) S(f f p, P, ξ ) S(f f p, P, ξ ) + S(f p, P, ξ ) S(f p, P, ξ ) + S(f ɛ 3(b ) 3(b ) f p, P, ξ ) < (b ) + ɛ/3 + ɛ (b ) = ɛ, o que demonstr ser de Cuy o net ds soms de Riemnn de f, i.e. f é Riemnn-integrável. Além disso, f n f = (f n f) f n f ɛ(b ) 3 se n p, o que mostr que f n f, i.e. : R([, b], E) E é um operdor liner ontínuo, omo firmdo. 4. Com efeito, dd f R([, b], E), o net ds soms de Riemnn de T f é {T S(f) P } P P, i.e. imgem por T do net ds soms de Riemnn de f. Como T é ontínuo e S(f) P f, seguese que T S(f) P T f, i.e. T f é Riemmn integrável e b T f = T f, omo firmdo. Proposição Sejm [, b] R, E e F espços de Bn e = (f, g) : [, b] E F limitd. Então é Riemnn-integrável se, e somente se, f : [, b] E e g : [, b] F o forem; em so firmtivo, tem-se = ( f, g). Demonstrção. A proposição deorre imeditmente do fto de que o net ds soms de Riemnn de é tl que su imgem pel projeção no primeiro ftor é o net ds soms de Riemnn de f e que su imgem pel projeção no segundo ftor é o net ds soms de Riemnn de g. Teorem 1.16 (Teorem Fundmentl do Cálulo). Sejm [, b] R, E espço de Bn e f : [, b] E Riemnn-integrável. Temse: 1. Sej F : [, b] E dd por t t f. Se f for ontínu em [, b], então F é derivável em e F () = f(). 2. Supon que exist F : [, b] E ontínu em [, b] e derivável em ], b[, tl que F = f em ], b[. Então f = F (b) F (). Demonstrção. 1. Tem-se, R \ {0} tl que + F (+) F () [, b], f() = 1 + [f(t) f()] dt, donde F (+) F () f() 1 + f(t) f() dt sup{ f(t) f() t [, b] e t }, e tese segue, então, d ontinuidde de f em. 2. Pr todo funionl liner ontínuo α E, segue-se do último item d proposição 1.14 que α f é Riemnn-integrável e α f = α f. Além disso, α F : [, b] R é ontínu em [, b] e derivável em ], b[, e (pel regr d dei) (α F ) = α f em ], b[. Assim, pelo Teorem Fundmentl do Cálulo pr funções [, b] R, onlui-se que α F (b) α F () = α f = α f. Portnto, o vetor f F (b) F () de E está no núleo de todo funionl liner ontínuo em E; pelo teorem de Hn-Bn, tl vetor deve ser nulo, omo firmdo. Pr quem não onee o teorem de Hn-Bn, pode-se demonstrr o so prtiulr em que f é ontínu prtir do item nterior, plindo-se o teorem dos résimos finitos pr plição [, b] E dd por t F (t) t f. Referênis [1] R. Gordon, Riemnn Integrtion on Bn Spes, Roky Mountin Journl of Mtemtis, 21 (1991), pp [2] J. L. Kelley, Generl Topology, vol. 27 of Grdute Texts in Mtemtis, Springer,

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