Apresentação. Um bom aprendizado! Prof, Anicio Bechara Arero.

Transcrição

1 presentção disciplin Álger Liner, que f prte d grde curriculr dos cursos de Ets, dá continuidde os estudos de cálculo dos referidos cursos Est disciplin ojetiv dr o estudnte um continuidde no prendido de mtemátic inicid com disciplin Cálculo Diferencil e Integrl Semos importânci d Mtemátic pr o estudnte de outrs ciêncis, como por eemplo: Computção, rquitetur, Físic etc Em função disso, esper-se que este trlho sej um instrumento mis pr os estudos que você está relindo n áre de Ets O conteúdo d disciplin Álger Liner é composto de Mtri, Determinnte, Sistem de Equções Lineres e sus devids plicções lém de presentr os primeiros pssos nos estudos de Espços Vetoriis e Trnsformções Lineres Finlmente pretendemos que este trlho venh contriuir pr seu crescimento intelectul, melhorndo o desenvolvimento de seu rciocínio lógico, com isso contriuindo pr su formção Um om prendido! Prof, nicio Bechr rero

2 MTRIZES Ojetivo de prendigem - Conceitur mtri - plicr s operções com mtries - Resolver prolems práticos - INTRODUÇÃO Imgine um empresário que tem um rede de cinco lojs de mteriis de construção que ele denominou de, B, C, D, e E, distriuíds nos irros d grnde Belém Em função d quntidde de loj, pr fcilitr o controle, ele not o fturmento mensl, em reis, de cd loj, rrumndo-os em tels Com otenção dos ddos de julho deemro de, o empresário, utilindo o Ecel, construiu um plnilh com seguinte disposição: Julho gosto Setemro outuro novemro deemro B C D E Oserve que est disposição dos ddos fcilit o controle qunto o fturmento de cd loj, pois, com um simples oservção, o empresário se qunto um loj rrecdou Por eemplo: loj B, em deemro, rrecdou (encontro d ª linh com ª colun) Tl vlor chm tenção do empresário, pois, ele oserv que houve um qued centud no fturmento em relção à médi (8) Em decorrênci desse vlor, o empresário vi à trás dos motivos que levrm ess diminuição - Definição de Mtri: denomin-se mtri do tipo m n (lê-se m por n ) tod tel de números, dispostos em m linhs e n coluns Ess tel pode ficr entre prênteses ( ), entre colchetes [ ] ou entre rrs dupls s dus primeirs representções são s mis utilids Por eemplo:

3 Mtri do tipo B Mtri do tipo B Mtri do tipo - Representção Genéric de um Mtri m n n m m m n n mn Mtri do tipo m n É relevnte oservr que os índices d letr representm quntidde de linhs (m) e quntidde de coluns (n) eistentes n mtri, por eemplo: é mtri constituíd por linhs e coluns Os índices d letr representm linh (i) e colun (j) em que se encontr o elemento, por eemplo: é o elemento ( ij ) que se encontr n ª linh (i = ) e n ª colun (j = ) Podemos revir representção genéric por = ( ij ) mn Eemplos: ) Em relção mtri io, determine: ) ) c) + d)

4 ) = (elemento que se encontr no crumento d linh com colun) ) = c) + = (-) + = - d) = (-) = - = - ) Representr eplicitmente mtri = ( ij ) tl que ij = i j represent ção genéric ( ij i j ) 7 7 represent ção ep licit - Tipos de Mtries ) Mtri qudrd: present o número de linhs igul o número de coluns Eemplo: elementos elementos d d digonl digonl prencipl :,, sec undári :,, ) Mtri identidde: present todos os elementos d digonl principl iguis e os demis elementos nulos

5 I o ) Mtri Nul: present todos os elementos nulos O o ) Mtries Trnsposts: s linhs d mtri é, ordendmente, igul s coluns d mtri trnspost t 7 t = 7 Proprieddes d Mtri Trnspost ) ( + B) T = T + B T ) (k) T = k T ) ( T ) T = ) (B) T = T B T o ) Mtri Digonl: é mtri que present todos elementos não pertencente digonl principl nulos Por eemplo: o ) Mtri Tringulr

6 ) Mtri Tringulr Superior: present os elementos io d digonl principl nulos Por eemplo: 7 ou 7 ) Mtri Tringulr Inferior: present os elementos cim d digonl principl nulos Por eemplo: 7 8 ou ) Mtri Ortogonl: Um mtri rel é ortogonl se, e somente se, o produto del pel su trnspost (vice-vers) resultr n mtri identidde: t = t = I 8 ) Mtri Norml Um mtri rel é norml se, e somente se, o produto del pel su trnspost present comuttividde, ou sej, t = t 9 ) Mtri Simétric: um mtri é simétric se, e somente se, for igul su trnspost t ( = t ) ) Mtri nti-simétric: Um mtri é nti-simétric, se somente se, su trnspost for igul su opost ( t = -) - Iguldde de Mtries: dus mtries e B são iguis se, e somente se, todo elemento de é igul o seu correspondente em B Oserve s mtries io B e Diemos que = B =, =, = e =

7 7 Eemplo: 8 - Determine P =, sendo Solução: 8 8 P P 8 ' " P 8 Eercícios ) Clcule e tis que: ) ) 7 7 ) mtri io represent o desempenho de um equipe de squeteol ns seis primeirs rodds do cmpeonto ncionl onde, cd elemento ij dess mtri é o número de pontos mrcdos pelo jogdor de número i no jogo j ) Quntos pontos mrcou o jogdor de número no jogo? ) Quntos pontos mrcou equipe no jogo? c) Quntos pontos mrcou o jogdor de número em todos os jogos? d) Quntos pontos contecerm no jogo?

8 8 ) Represente eplicitmente cd um ds mtries: ) tl que ij = i j ) tl que ij = (-) i j c) tl que ij = i j, i j se i j d) tl que ij = i i i j, j, j, se se se i j i j j ) Determine P = + sendo mtri io () simétric ) Clcule e, de modo que: ) Sej igul mtri nul de ordem ) Sej igul mtri identidde de ordem - dição de Mtries o somr s mtries ( ij ) mn e B( ij ) mn, encontrmos um mtri C(c ij ) mn tl que: c ij = ij + ij Oserve operção io

9 9 Eemplo: - Dds s mtries io, determine: 7 B e ) + B ) B Solução: ) + B = ) - B = + (-B) = 7 plicção: - Um empres, revendedor de computdores, é compost por dus lojs e B relido um estudo sore ceitção de dois novos modelos de computdores nos qutro primeiros dis de jneiro, encontrou-se os resultdos representdos pels mtries e B cim mtri represent o desempenho d loj, sendo ij o número de uniddes vendids do modelo i no di j e mtri B descreve o desempenho d loj B, sendo ij o número de uniddes vendids do modelo i no di j De posse desss informções, pergunt-se: Qul representção mtricil d quntidde vendid desses dois modelos, ns dus lojs, nos dis de jneiro? Solução: + B = Determine o desempenho d loj em relção à loj B do eemplo nterior Solução:

10 Neste fto, devemos sutrir de cd elemento d mtri o seu correspondente d mtri B, otendo o seguinte resultdo: - B = + (-B) = 7 O elemento = indic que loj vendeu um unidde mis do modelo, no di primeiro, do que loj B; o elemento = - nos indic que loj vendeu menos uniddes do modelo, no di primeiro, do que loj B 7- Proprieddes d Som de Mtries ) ssocitiv: (+B)+C = +(B+C) ) Comuttiv: + B = B + ) Elemento Neutro: + O = O + = (O mtri nul mesm ordem de ) ) Elemento Oposto: +`=`+=O (O mtri nul mesm ordem de e `=-) 8- Multiplicção de um Número por um Mtri o multiplicr um número por um mtri, deve-se multiplicr esse número por todos os elementos d mtri Eemplo: Dds mtri, determine: ) ) - Solução: ) = 8 9 ) - =

11 9- Multiplicção de Mtries O produto de dus mtries só pode ser relido se, e somente se, o número de coluns d primeir for igul o número de linhs d segund mtri Pr relir operção, devemos multiplicr cd linh d primeir mtri por tods s coluns d segund mtri O produto de linh por colun é relido d seguinte mneir: Eemplo: ; - Dd s mtries ; e ; B B, determine B prtir desse momento, podemos resolver produto entre dus mtries, onde, o número de coluns d primeir tem que ser igul o número de linhs d segund mtri - Dds s mtries Solução: ; e B, det er min e B ; = B

12 Proprieddes d Multiplicção de Mtries ) ssocitiv: ( B) C = (B C) ) Distriutiv à direit: ( + B) C = C + BC ) Distriutiv à esquerd: (B + C) = B + C ) Sendo mn, tem-se que: mn I n e I m mn ) Sendo e B dus mtries e k um constnte, tem-se: (k)b=(kb)=k(b) ) Sendo e B dus mtries, tem-se: (B) t = t B t EXERCÍCIOS - Represente eplicitmente cd mtri io: ) = ( ij ) tl que ij = i j ) B= ( ij ) tl que ij = (-) i + j c) C = (c ij ) tl que c ij = i j, se i i j, se i j j d) D = (d ij ) tl que d ij = - Determine sendo i j, se i j i j, se i j j i, se i j 7 - Dds s mtries = e B = ) + B ) B c) T + B d) -+ B T, determine; e) B f) I(iderntidde) g) B T h) ( B)B T

13 - Resolv SINTESE D UNIDDE finlidde dess unidde é permitir que o luno tenh o conhecimento ds proprieddes ds mtries e sus operções DETERMINNTES Ojetivo de prendigem - Conceitur determinnte - Clculr o vlor de um determinnte trvés de regrs prátics - plicr determinntes em prolems práticos - Conceito Determinnte de ordem - Oserve resolução do sistem io, ns incógnits e c d p q c c c c cp d q d c q cp q c cp d Se, o coeficiente de for diferente de ero (d c ), hverá pens um solução pr o sistem Então, epressão d c é cognomind de determinnte dos coeficientes do sistem sendo representd por: Mtri dos coeficient es c d

14 c d d c es coeficient dos nte Deter min Oservndo epressão d c, verific-se que el surge d diferenç do produto dos elementos d digonl principl e o produto dos elementos d digonl secundári, sendo um determinnte de segund ordem Not: Mtri é um rrumção de números (tel) e o determinnte um número ssocido ess tel Eemplo: ) Clcule o determinnte d mtri dos coeficientes de cd sistem io: ) ) 9 ) c Solução: ) ) 8 9 ) c Determinnte de terceir ordem: pr resolver determinnte de ª ordem, utiliremos um regr prátic conhecid como REGR DE SRRUS

15 Procedimento: Repetimos s dus primeirs coluns (ou s dus primeirs linhs) e, em seguid sutrímos som dos produtos dos elementos ds digonis principis pel som dos produtos dos elementos ds digonis secundáris D seguinte mneir: i d h f g e c h d c g f i e h g i h g e d f e d c D Eemplo: - Clcule o vlor do determinnte dos coeficientes do sistem Solução: ) - Teorem de Lplce - Esse Teorem orient resolução de determinntes de mtries qudrds de,,, enésim ordem O método consiste em clculr som dos produtos dos elementos de um fil (linh ou colun) qulquer pelos respectivos coftores Coftor Denominmos coftor do elemento ij o número ij (lê-se: coftor do elemento ij ), definido por ij = (-) i+j detb, em que B é mtri que se otém eliminndo-se linh i e colun j d mtri em estudo

16 B j i ij nn nj n n n n j n j n j n m det ) ( Eemplo: - Em relção mtri io, determine o coftor do elemento Solução: Oserve que lém de eliminrmos linh e colun d mtri, verificmos que o vlor de i é e o de j é Logo, pliquemos fórmul B j i ij det ) ( coftor gor que prendemos clculr coftor, vmos resolver trvés do Teorem de Lplce o determinnte d mtri io: Sempre que for possível escolhe-se um fil (linh ou colun) que tenh o mior número de eros Neste cso, escolhemos linh Pr resolver esse determinnte devemos somr o produto de cd elemento d linh escolhid, no nosso cso, segund, pelo respectivo coftor

17 Proprieddes dos Determinntes - O determinnte de um mtri tringulr (os elementos io ou cim d digonl principl são nulos) é igul o produto dos elementos d digonl principl ou - Multiplicndo um fil de um mtri qudrd B por um constnte rel K, otémse um nov mtri kb tl que detb = det kb Por eemplo: B ( ) Oserve que o det er min nte de é igul dus vees o det er min nte de B - Teorem de Binet Se e B são mtries qudrds de mesm ordem, então, o determinnte do produto ds mtries é igul o produto dos determinntes ds mtries det(b) = det detb E: Verifique se iguldde io é verddeir

18 8 det det det : det det det Solução - Teorem de Jcoi Em um mtri qudrd, dicionndo-se um fil qulquer um múltipl de um fil prlel, otém-se um mtri B tl que det = det B B Onde g k i h g d k f e d k c B B mtri se otém colun o dicionnd e k por colun ndo Multiplic i h g f e d c det det, 7- Mtries Inverss Definição: um mtri qudrd de ordem n é inversível se, e somente se, eistir um mtri B, de mesm ordem, tl que B = B = I n (I n é um mtri identidde de ordem n) Nots:

19 9 ) Um mtri qudrd de ordem n é inversível se, e somente se, det ) Um mtri qudrd é dit Singulr se o seu determinnte é nulo Cso contrário, diemos que é um mtri Não-Singulr ) O determinnte do inverso de um mtri é igul inverso do determinnte dess mtri det det Eemplo: - Dd mtri : ) Verifique se é invisível ) Cso firmtivo, determine su invers Solução: ) - Como o determinnte é diferente de ero, verificmos que mtri present invers ) : d c d c d c / / e c c c / / d e d d

20 SINTESE D UNIDDE finlidde dess unidde é permitir que o luno tenh o conhecimento sore resoluções de determinntes utilindo lgums regrs prátics, em como ds proprieddes dos mesmos SISTEMS DE EQUÇÕES LINEES Ojetivo de prendigem - plicr os conceitos de determinntes n resolução de sistems - Discutir resolução de um sistem liner - plicr sistems lineres em prolems práticos - Equção Liner: é equção do º gru que pode ser presentd so form: n n = onde:,,,,,,,, n constnte n ingógnits constntes rel (termo reis denomnds independen te) de coeficient es Eemplos: N equção + =, temos:,, ingógnits,, coeficient es termo independen te Oserve que s equções + 7 =, + = 9 e - + = não são lineres

21 - Solução de um Equção Liner Denomin-se solução de um equção liner tod ênupl de números tl que sustituindo esses números n equção trnsformm mesm num identidde Eemplos ) Verifique se tern (ou tripl) (,, ) é solução d equção + = 9 + = 9 + -=9 9 = 9 (V) - Verifique se (-,,, ) é solução d equção + + w = + + w = (-) = = = (F) - Qunts soluções tem equção - + = Pr ser qunts soluções têm um equção liner, devemos dá vlores ritrários, nesse cso, dus vriáveis e encontrr o vlor d terceir (,, ) - + = = -9, logo, (,, -9) é solução (,, ) - + = =, logo, (,, ) é solução ssim por dinte Em função disso, concluímos que ess equção present váris soluções - equção + =, é possível ou impossível? equção é impossível, pois, pr qulquer vlor diciondo ou, não torn mesm num identidde - equção + = é possível ou impossível? equção é possível e determind, pois, pr qulquer vlor diciondo ou, torn mesm num identidde

22 - Equção Liner Homogêne É tod equção liner que present o termo independente nulo n n = Eemplos: ) = ) + = Not: tod equção liner homogêne present solução trivil (nul) - Sistem de Equções Lineres É um conjunto de equções lineres simultânes, ns mesms incógnits Por eemplo: - Solução de um sistem Liner É tod solução comum tods s equções do sistem Contudo, ess solução pode não eistir Eemplo: - verifique se s terns (, -, ) e (-,, ) são soluções do sistem - Inicilmente, sustituímos tern (, -, ) no sistem F F V

23 Oserv-se que não eiste identidde ns equções, logo, tern (, -, ) não é solução do sistem - gor, sustituímos tern (-,, ) no sistem V V V Oserv-se que eiste identidde ns equções, logo, tern (-,, ) é solução do sistem Not: Sistem liner homogêneo é todo sistem que present os termos independentes ds equções nulos Todo sistem liner homogêneo dmite solução nul (trivil) No eemplo cim, solução é tripl (,, ) - Clssificção de um sistem Liner - Sistem possível e determindo (SPD): present um únic solução Eemplo: present um únic solução (,) - Sistem impossível (SI): não present solução Eemplo: não present solução

24 Note que pr mesmos vlores de e, epressão não pode ssumir, o mesmo tempo, vlor e += (rets prlels) += - Sistem possível e indetermindo (SPI): present infinits soluções Eemplo: inf soluções inits present += (rets prlels coincidentes) += 7- Sistem Liner Esclondo ) ou ) Oserve os sistems io: ) )

25 No item, não foi possível o esclonmento, pois os coeficientes d últim equção são nulos, contudo, o tentr esclonr verificmos que o sistem é impossível No item, como os coeficientes ds incógnits d equção e o termo independente são nulos, ndonmos ess equção, resolvendo o sistem que é equivlente o originl 8- Resolução de um Sistem Liner Esclondo 8- Número de equções igul o número de incógnits 8 Solução: = 8 - = - + = - S = {(, -, )} SPD = - = - = - = - = 8- Número de equções menor que o número de incógnits * Todo sistem liner do tipo 8 present pelo menos um vriável livre (vriável que não prece no início de nenhum equção do sistem esclondo) No eemplo cim, por convenção temos como vriável livre, ou sej, pode ssumir qulquer vlor rel Resolução: = + = S = {(-, +, ), } = = + + = = Esse tipo de sistem present váris soluções, ou sej, é SPI

26 Not: denomin-se gru de indeterminção de um sistem liner do tipo 8 o número de vriáveis livres Nesse cso o gru de indeterminção é 9) Sistems Lineres Equivlentes ( B) Dois sistems lineres são equivlentes se, e somente se, presentrem o mesmo conjunto solução Eemplo: Ddos os sistems: 8 B e Oserve que solução do é (, ) e do B (,), logo, são equivlente ( B) - Resolução de um Sistem Liner por Esclonmento Eemplo: Resolv os sistems lineres por esclonmento e clssifique ) ) 8 7 ) c Solução: ) (, ) ( 7 ) ( ) ( ) L L L L e ) ( 7 L L

27 7 Então:,,,, O esclonmento foi feito d seguinte mneir: - Multiplicou-se equção por (-), dicionndo o resultdo segund Em seguid, multiplicou-se equção por (-), dicionndo o resultdo terceir - Pr fcilit, permutou-se com equção - multiplicou-se equção por (-), dicionndo o resultdo terceir SI e ) 8 7 ) e c,,,,, com R O esclonmento foi feito d seguinte mneir: -Multiplicou-se equção por (-), dicionndo o resultdo segund multiplicd por () Em seguid, multiplicou-se equção por (-), dicionndo o resultdo terceir multiplicd por ()

28 8 - multiplicou-se equção por (-), dicionndo o resultdo terceir - ndonou-se equção - Resolução de um Sistem Liner pel Regr de Crmer Regr de Crmer é um lei que ssoci resolução de sistems de equções lineres trvés dos determinntes O oservemos o eemplo io: - Resolv o sistem io utilindo Regr de Crmer: Solução: Determinmos s mtries dos coeficientes e ds vráveis d seguinte mneir: Mc (mtri dos coeficientes ds incógnits), M (sustitui colun dos coeficientes d incógnit pel colun dos termos independentes), M (sustitui colun dos coeficientes d incógnit pel colun dos termos independentes) e M (sustitui colun dos coeficientes d incógnit pel colun dos termos independentes) Clculse o determinnte de cd mtri Em seguid, plicm-se s seguintes fórmuls: Mc M e Mc M Mc M, Mc Mc - M M

29 9 Mc M -8 Mc M -,,, 8, V Mc M Mc M Mc M Eercício: - Resolv os sistems utilindo esclonmento e regr de Crmer: 8 ) 8 ) 7 ) c 7 ) SINTESE D UNIDDE finlidde dess unidde é permitir que o luno tenh o conhecimento dos sistems de equções lineres, si identificá-los, discuti-los e identificr s possíveis soluções

30 ESPÇOS VETORIIS UNIDDE IV Ojetivo de prendigem - Definir espços vetoriis - Identificr um espço vetoril plicndo os ioms - Definir suespço vetoril - Conceitur Cominção Liner - Introdução - Se-se que o conjunto R = {(, ) /, R} represent geometricmente o plno crtesino, onde o pr (, ) pode ser representção de um ponto e, nesse cso, e são coordends, ou pode ser representção de um vetor e, nesse cso, e são componentes (ou coordends) O conjunto R = {(,, ) /,, R} represent geometricmente o espço tridimensionl cim de perde-se visão geométric de espços, contudo, podemos trlhr com idéi de espços como R (qurt dimensão), R (quint dimensão),, R n (enésim dimensão) R n = {(,,,, n ) / i R} Pr trlhr no espço R n utili-se, como espelho, os espços R e R Oserve: u = (,,,, n ) e v = (,,,, n ) vetores em R n e k um esclr ) u = v se, e somente se, =, =, =,, n = n

31 ) u + v = ( +, +, +, n + n ) c) ku = (k, k, k,, k n ) d) u v = (,,,, n n ) e) u u u n Not: o vetor u = (,,,, n ) pode surgir com notção mtricil u n n ( mtri colun) - Definição: Todo conjunto V, cujos elementos são vetores, não-vio, sore o qul estão definids s operções dição e multiplicção por um esclr (u v V, u + v V e t R, u V, tu V) é denomindo espço vetoril rel qundo verificdos os seguintes ioms: ) Em relção à dição: ) (u+v)+w = u+(v+w), u,v,w V ) u+v = v+u, u,v V ) V, u V, u + = u ) u V, (-u) V, u + (-u) = B) Em relção à multiplicção por esclr: B ) (tp)u=(tp)(, )=((tp), (tp) )=(t(p ),t(pk )) (tp)u= t(p, p )=t(p(, )) (tp)u=t(pu) B ) (t+p)u=(t+p)(, )=((t+p), (t+p) )=(t +p,t +p ) (t+p)u=(t +t, p +p )=t( + ) + p( + ) (t+p)u = tu + pu B ) t(u+v) = t((, )+ (, )) = t( +, + ) =(t( + ), t( + )) t(u+v) = t(, ) + t(, ) t(u+v) = tu + tv B ) u = (, ) = (, ) = (, ) u = u

32 Eemplos: - Verifique se V = {(, ) R / = //} é um espço vetoril Escolhemos dois vetores ritrários u = (, / /) e v = (, / /) e verificmos s operções de dição e multiplicção por um esclr ) u + v = (, / /) + (, / /) = ( +, / / + / /) *Oserve que,, e são reis, logo ( + ) ϵ R e (/ / + / /) ϵ R Então, por enqunto, V é um espço vetoril ) t(, / /) = (t, t/ /), * Sendo t um número rel, então, t e t/ / tmém são reis Portnto, o conjunto V = {(, ) R / = //} é um espço vetoril Utilindo o eemplo cim, verificremos os oito ioms de espço vetoril ) ssocitiv d dição (u+v)+w = [(, ) +(, )] + (, ) = [( +, + )] + (, ) = [( + ) +, ( + ) + ] = [ + ( + ), + ( + )] = (, ) + [(, ) + (, )] = u + (v+w) ) Comuttiv d dição u + v = (, ) + (, ) = ( +, + ) v + u = (, ) +(, ) ( +, + ) Como, + e + são reis, então, + e + tmém são reis, logo, u + v = v + u ) Elemento Neutro = (, ) R, u = (, ) R tl que: u + = (, ) + (, ) = ( +, + ) = (, ) = u ) Elemento Simétrico u = (, ) R, (-u) = (-, - ) R tl que, u + (-u) = u + (-u) = (, ) + (-, - ) = ( -, - ) = (, ) B ) ()u=()(, )=[(), () ] = [( ), ( )] = (, k )= [ (, )] = (u)

33 B )(+)u=(+)(, )=((+),(+) )=( +, + )=( +, + ) = = ( + ) + ( + ) = u + u B ) (u+v) = ((, )+ (, )) =( +, + ) =(( + ), ( + )) = (, ) + (, ) = u + v B ) u = (, ) = (, ) = (, ) u = u Logo, V = R é um espço vetoril - Verifique se o conjunto V ={(, ) R / } é um espço vetoril Sejm v (, ) e v (, ) dois elementos pertencentes o conjunto V ) v + v = (, ) + (, ) = ( +, + ) Oserve que e são reis positivos e não nulo, logo: ( + ) ϵ R+* e ( + ) ϵ R Por enqunto, V é um espço vetoril ) tu = t(, ) = t + t t R, logo, t R, portnto, t pode ssumir vlor negtivo Então, concluímos que V ={(, ) R / } não é um espço vetoril - Verifique se o conjunto dos números inteiros constitui um espço vetoril V = {(, ) R /, Z} ) u + v = (, ) + (, ) = ( +, + ) Note que som de dois inteiros ger um inteiro, portnto, por enqunto temos um espço vetoril ) tv = t(, ) = (t, t) * Sendo t um número rel, então, t e t tmém são reis Portnto, o conjunto V = Z não é um espço vetoril, pois t pode ssumir vlor deciml, como por eemplo, t =,7 - Suespços vetoriis Definição: - Entende-se por suespço vetoril S, o suconjunto S não-vio do espço vetoril V, onde S é um espço vetoril em relção à dição e à multiplicção por esclr definids em V

34 - É relevnte citr que todo espço V dmite pelo menos dois suespços vetoriis: o suespço nulo {} e o próprio espço vetoril V Esses dois suespços são chmdos suespços triviis Eemplos: - Ddos os conjuntos V = R e S = {(, ) R / = } Verifique se S é um suespço de V ) V(, ) =, = = * Oserve que S é não-vio, logo, (, ) pertence S Por enqunto é suespço vetoril ) u = (, ) e v = (, ) vetores ritrários pertencentes S ) u + v = (, ) + (, ) = ( +, + ) = ( +, ( + )) * Oserve que segund componente d som é igul o triplo d primeir, logo, ( +, ( + )) pertence S Por enqunto é um suespço vetoril ) tu = t(, ) = (t, t ) = (t, (t )) * Oserve que segund componente de tu é igul o triplo d primeir, logo, (t, (t )) pertence S Portnto, S = {(, ) R / = } é um suespço de R = Os pontos (, ) que pertencem à ret formm o suconjunto de V

35 - Verifique se S = {(, ) R / = //} é um suespço de V = R ) Inicilmente verificmos que (, ) S, pois se =, = // = ) u = (, / /) e v = (, / /) u + v = (, / /) + (, / /) = [( + ), (/ / + / /)] = [( + ) + (/ / + / /)] Oserve que ( + ) e (/ / + / /) R Por enqunto, S é um suespço vetoril de V c) tu = t(, / /) = u = (t, t/ /) Oserve que, tnto t, como t/ / pertencem os reis, logo, S não é um suconjunto de V, em virtude de t/ / ssumir vlor negtivo, cso t < - O conjunto S = {(,, ) /, R} é um suespço vetoril de R? ) O(,,) vetor nulo (,, ) = (,, ) S Por enqunto, S é um suespço vetoril de R ) u(,, ) e v(,, ) u + v = ( +, +, + ) Oserve que s componentes +, + e + são reis, logo, S continu sendo suespço de R c) tu = t(,, ) = (t, t, ) Note que t, t, são números reis, logo, firmmos que S = {(,, ) /, R} é um suespço vetoril de R - Verifique se V, e é um suespço vetoril de R ) O (, ) V R ) v e v Oserve que suespço vetoril de R e são números reis, logo, por enqunto temos um

36 t c) v t v t t Sendo t e t números reis, onde t pode ssumir vlor negtivo, firmmos que V, e não é um suespço de R - O conjunto S = {(,) R / = } é um suespço vetoril de R? ) O (, ) = e = = Oserve que S não present o conjunto vio, portnto, S = {(,) R / = } não é um suespço vetoril de R - Cominção Liner Ddos os vetores v, v, v,, v n pertencentes o espço vetoril V e os esclres p, p, p,, p n pertencentes os reis Diemos que v é um cominção liner dos vetores v, v, v,, v n se, e somente se, v = p v + p v + p v + + p n v n Eemplo: - Considere os vetores v = (, -) e v = (, -, ) pertencentes R Escrever o vetor v = (,, -) como cominção liner dos vetores v e v Solução: v = k v + k v (,, -) = k (, -) + k (, -, ) (,, -) = (k + k, k k, - k + k ) k + k k - k - k + k k 7 e k 7 Logo, v v v 7 7

37 7 - Ddos os vetores v = (, ) e w = (-, ) pertencentes R Escrev o vetor u = (, ) como cominção liner dos vetores v e w u = v + w (, ) = (, ) + (-, ) (, ) = (, ) + (-, ) ( ) 8 / Logo, u v w / - Considere os vetores v = (, -), v = (, -, ) e v = (, -, ) pertencentes R Escrever o vetor v = (,,, -) como cominção liner dos vetores v, v e v v = v + v + c v (,,, -) = (, -) + (, -, ) + c (, -, ) (,,, -) = (,, -) + (, -, ) + (c, -c, c) (,,, -) = ( + + c, -c, c) c - - c + + c - plicndo Regr de Crmer M ( 8 ) ( ) 9

38 8 M ( ) ( 7 ) 8 M ( 8 ) ( 8 ) 9 Mc ( ) ( ) M M, M, c Mc M M Então, v = v + v + v SINTESE D UNIDDE finlidde dess unidde é permitir que o luno identifique um espço vetoril utilindo os ioms, em como definir suespço vetoril Identificr qundo um vetor form um cominção liner com outros vetores

39 9 TRNSFORMÇÕES LINERES Ojetivo de prendigem - Definir Trnsformção Liner - Identificr se um plicção result em um trnsformção liner Introdução Durnte nossos estudos de mtemátic, verificmos vários tipos de funções reis gor estudremos um tipo especil de função, onde o domínio e o contrdomínio são espços vetoriis, rão pel qul esss funções são chmds vetoris O nosso estudo será dirigido, prticulrmente pr s funções lineres, que serão denominds de trnsformções lineres Represent-se um trnsformção liner T do espço vetoril V no espço vetoril W por T:V W, sendo T um função e cd vetor v V present pens um imgem w W indicd por w = T(v) Definição: - Sejm V e W espços vetoriis Denominmos de trnsformção liner de V em W função (plicção) T: V W se: ) T(u + v) = T(u) + T(v) ) T(nu) = nt(u) u, v V e n R Not: denominmos operdor liner sore V, trnsformção liner de V em V Nesse cso V = W Eemplos: - Sejm V = R e W = R espços vetoriis Verifique se trnsformção liner T: R R, T(, ) = (, -, -) ssoci vetores v = (, ) R com vetores w = (,, ) R Constru o digrm pr vetores pertencentes v e sus correspondentes imgens w

40 Solução: Pr verificr se plicção T(, ) = (, -, -) represent um trnsformção liner, devemos utilir dois vetores genéricos u = (, ) e v = (, ) R e um constnte n R, pr mostrr vercidde ds igulddes T(u + v) = T(u) + T(v) e T(nu) = nt(u) ) T(u+v) = T(u) + T(v)? T(u+v) = T( +, + ) (sustituindo em T(, ) = (, -, -)) T(u+v) = [( + ), -( + ), ( + )- ( + )] T(u+v) = ( +, - -, ) T(u+v) = (, -, ) + (, -, ) T(u+v) = T(u) + T(v) ) T(nu) = nt(u) =? (, ) R e n R T(nu) = T(n, n ) (sustituindo em T(, ) = (, -, -)) T(nu) = (n, -n, n n ) (colocndo em evidênci n) T(nu) = n(, -, ) T(nu) = nt(u) Como, T(u+v) = T(u) + T(v) e T(nu) = nt(u), concluímos que plicção T(, ) = (, -, -) represent um trnsformção liner Selecionmos os vetores (, ); (,,-) e (, ) pertencentes V, determinmos sus respectivs imgem T(, ) = (, -, -) T(, ) = (,-,-) = (, -, -) T(,-) = (,-(-),-(-)) = (,, ) T(, ) = (,,-) = (,, ) V = R W = R T (,) (,-,-) (,-) (,, ) (,) (,, )

41 - Verifique se função T: R R, T() = represent um trnsformção liner Vmos utilir dois vetores u = e v = (nesse cso, são números reis) quisquer pertencentes R pr provr s igulddes ) T(u+v) = T(u) + T(v)? T(u+v) = T( + ) (sustituindo em T: R R, T() = ) T(u+v) = ( + ) T(u+v) = + T(u+v) = T(u) + T(v) ) T(nu) = nt(u)? u = R e n R T(nu) = T(n ) T(nu) = n T(nu) = n( ) T(nu) = nt(u) Pel vercidde de T(u+v) = T(u) + T(v) e T(nu) = nt(u), concluímos que plicção T: R R, T() = represent um trnsformção liner Not: o gráfico d trnsformção liner T: R R, T() = represent um ret que pss n origem, logo, se um trnsformção representr um ret que não pss n origem, diemos que el é não liner - Verifique se função T: R R, T() = + represent um trnsformção liner Vmos utilir dois vetores u = e v = quisquer pertencentes R pr provr s igulddes ) T(u+v) = T(u) + T(v) =? T(u+v) = T( + ) (sustituindo em T: R R, T() = + ) T(u+v) = ( + ) + T(u+v) = + + T(u+v) = ( + ) + Oseve que T(u) = ( + ) e T(v) = ( + ), logo: T(u+v) T(u) + T(v)

42 Pelo resultdo, concluímos que plicção T: R R, T() = + não represent um trnsformção liner - plicção T: R R ; T(,) = (,, ( + )) represent um trnsformção liner? Vmos utilir dois vetores genéricos u = (, ) e v = (, ) R e um constnte n R, pr mostrr que s igulddes T(u + v) = T(u) + T(v) e T(nu) = nt(u) são verddeirs T(u+v) = T(u) + T(v) =? T(u+v) = T( +, + ) T(u+v) = ( +, +, ) T(u+v) = ( +, +, ( + )+ ( + )) T(u+v) = [,, ( + )] + [,, ( + )] T(u+v) = T(u) + t(v) (sustituindo em T(,) = (,, ( + )) T(nu) = nt(u)? (, ) R e n R T(nu) = T(n, n ) (sustituindo em T(, ) = (, -, +)) T(nu) = (n, -n, n n ) (colocndo em evidênci n) T(ku) = n(, -, ) T(ku) = nt(u) Pel vercidde de T(u+v) = T(u) + T(v) e T(nu) = nt(u), concluímos que plicção T: R R ; T(,) = (,, ( + )) represent um trnsformção liner - plicção T: R R ; T(,, ) = ( +, + ), represent um trnsformção liner? Solução: Vmos utilir dois vetores genéricos u = (,, ) e v = (,, ) R e um constnte n R, pr mostrr que s igulddes T(u + v) = T(u) + T(v) e T(nu) = nt(u) são verddeirs T(u+v) = T(u) + T(v) =? T(u+v) = T( +, +, + ) (sustituindo em T(,) = ( +, + )) T(u+v) = ( +, +, + + ) T(u+v) = (,, ) + (,, + )

43 T(u+v) T(u) + t(v), logo: plicção T: R R ; T(,, ) = ( +, + ), neste cso, não trnsform R em R Os: Num trnsformção liner, qundo o vetor nulo ger outro vetor nulo, contece trnsformção, cso s igulddes T(u+v) = T(u) + T(v) e T(nu) = nt(u), forem confirmds Contudo, se o vetor nulo não gerr outro vetor nulo, podemos firmr que não eiste trnsformção liner, sem precisr mostrr s igulddes SINTESE D UNIDDE finlidde dess unidde é permitir que o luno identifique eistênci de um trnsformção liner utilindo s igulddes T(u+v) = T(u) + T(v) e T(nu) = nt(u) Sudções Educcionis, nicio Bechr rero BIBLIOGRFI BÁSIC: CLLIOLI, Crlos Álger Liner e plicções São Pulo: tul, 978 IEZZI, Gelson; DOLCI, Olvldo; MURKMI, Crlos Fundmentos de Mtemátic Elementr 7 ed - São Pulo: tul, 98 NOBLE, Ben e Jmes, W Dniel Álger Liner plicd Rio de Jneiro: Prenti-Hll do Brsil Ltd, 98 STEINBRUCH, lfredo - Álger Liner ed s~pulo: McGrw-Hill, 987