TÓPICOS. Matriz. Matriz nula. Matriz quadrada: Diagonais principal e secundária. Traço. Matriz diagonal. Matriz escalar. Matriz identidade.

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1 Note bem: leitur destes pontmentos não dispens de modo lgum leitur tent d bibliogrfi principl d cdeir TÓPICOS Mtriz. AULA Chm-se tenção pr importânci do trblho pessol relizr pelo luno resolvendo os problems presentdos n bibliogrfi, sem consult prévi ds soluções proposts, nálise comprtiv entre s sus respost e resposts proposts, e posterior exposição junto do docente de tods s dúvids ssocids. Elemento, linh e colun de um mtriz. Mtiz linh e mtriz colun. Mtriz fil. Mtriz nul. Mtriz rectngulr e mtriz qudrd. Mtriz qudrd: Digonis principl e secundári. Trço. Mtriz tringulr superior e inferior. Mtriz digonl. Mtriz esclr. Mtriz identidde.. Mtrizes. Conceitos elementres... Mtriz. Sendo m e n dois números nturis, um mtriz A rel (ou complex), m n ( m por n ), é um tbel de m vezes n números reis (ou complexos) dispostos em m linhs e n coluns 2 n n ; ij m m2 mn. Um mtriz, linhs por coluns, Um mtriz 2, 2 linhs por coluns, B = 2 7. Um mtriz 2, linhs por 2 coluns, C = R (ou ij C ) Prof. Isbel Mtos & José Amrl ALGA A

2 . Um mtriz, linh por coluns, D = Crição de um mtriz >> A=[ 2 ; 2 ; 5 ] [ 5 ].2. Elemento, linh e colun de um mtriz. Dizemos que ij é o elemento (ou entrd) d posição i, j d mtriz A. A i - ésim linh d mtriz A é A j - ésim colun d mtriz A é 5. Sejm s seguintes mtrizes: [ ] i i2 2 j j mj 2 2, = in B, = [ 5 ] D, São exemplo de lguns elementos ds mtrizes dds cim: =, b 7, d 5, e = = = Selecção de um elemento de um mtriz ( 2 ), A(lin,col), >> A(,2) ns = 5 Selecção de um linh de um mtriz (2 linh), A(lin,:), >> A(2,:) ns = 2 Selecção de um colun de um mtriz ( colun), A(:,col), >> A(:,) ns = 7 E = Prof. Isbel Mtos & José Amrl ALGA A

3 .. Mtriz linh e mtriz colun. Mtriz fil. Um mtriz que só possui um linh é chmd mtriz linh ( n ), ou vector linh, [ ] 2 n, e um mtriz que só possui um colun é chmd mtriz colun ( n ), ou vector colun, 2 n Ambs são designds por mtriz fil, usndo-se o termo fil d mtriz pr designr quer um linh quer um colun de um mtriz. 6. Sejm s seguintes mtrizes: D = [ 5 7 ], E = D é um mtriz linh ( ) e E é um mtriz colun ( ). Crição de um mtriz linh >> A=[ 2 ] 2 Crição de um mtriz colun >> A=[ 2 ] (ou >> A=[; 2; ] ) 2.. Mtriz nul. Um mtriz em que todos os elementos são iguis zero diz-se um mtriz nul, ou n, mn, 7. Um mtriz nul de 2 ij =, i, j Crição de um mtriz nul ( 2 ), zeros(nlin,ncol), >> A=zeros(2,) Prof. Isbel Mtos & José Amrl ALGA A

4 .5. Mtriz rectngulr e mtriz qudrd. Se m n dizemos que A é um mtriz rectngulr, e se m = n dizemos que A é um mtriz qudrd (de ordem n ). 8. Sejm s seguintes mtrizes: 2 7 = A 2 5, B =, C = , D = [ 5 ], E =, 5 F = A mtriz A é um mtriz qudrd (de ordem ), tl como F (de ordem 2 ). As restntes são mtrizes rectngulres. Crição de um mtriz qudrd >> A=[ 2 ; 6 5 ; 7 8 9] Digonis principl e secundári. Dd um mtriz qudrd, A, de ordem n, sequênci ordend (ou n-uplo) dos elementos ij, i = j, (, 22,, nn), diz-se digonl principl de A 2 n Os elementos ij, em que i+ j = n + constituem digonl secundári. Exemplo O terno ordendo (,,6 ) constitui digonl principl d mtriz 2 Selecção d digonl principl de um mtriz qudrd, dig(a), >> dig(a) ns = n n 2n nn Prof. Isbel Mtos & José Amrl ALGA A

5 .7. Trço. Dd um mtriz qudrd, A, de ordem n, designmos por trço de A som de todos os elementos d su digonl principl O trço d mtriz é tr( A ) = =. tr( A) = = 22 2 Cálculo do trço d mtriz, trce(a), >> sum(dig(a)) ns =, ou simplesmente >> trce(a) ns = nn n i= ii.8. Mtriz tringulr superior. Um mtriz qudrd, A, de ordem n, diz-se um mtriz tringulr superior se todos os elementos situdos bixo d digonl principl são iguis zero. A mtriz é um mtriz tringulr superior. ij =, i > j U = Selecção d mtriz tringulr superior, triu(a), de um mtriz já existente >> triu(a) ns = Prof. Isbel Mtos & José Amrl ALGA A

6 .9. Mtriz tringulr inferior. Um mtriz qudrd, A, de ordem n, diz-se um mtriz tringulr inferior se todos os elementos situdos cim d digonl principl são iguis zero. A mtriz é um mtriz tringulr inferior. ij =, i < j L = 2 Selecção d mtriz tringulr inferior, tril(a), de um mtriz já existente >> tril(a) ns = Mtriz digonl. Um mtriz qudrd, A, de ordem n, diz-se um mtriz digonl se todos os elementos que estão for d digonl principl são iguis zero. ij =, i j A mtriz é um mtriz digonl. Crição de um mtriz digonl >> D=dig([ 2 ]) D = 2 D = 6 Prof. Isbel Mtos & José Amrl ALGA A

7 .. Mtriz esclr. Um mtriz qudrd, A, de ordem n, diz-se um mtriz esclr se for digonl e todos os elementos d digonl principl forem iguis um constnte k, ( =, i j) ( = k, i j) ij ij = A mtriz é um mtriz esclr. K = Crição de um mtriz esclr,, >> K=*eye() K =.2. Mtriz identidde. Um mtriz qudrd, A, de ordem n, diz-se mtriz identidde de ordem n, se for um mtriz esclr com elemento digonl igul. A mtriz é mtriz identidde de ordem, I. ( =, i j) ( =, i j) ij ij = I = Crição d mtriz identidde,, eye(n), >> I=eye() I = Prof. Isbel Mtos & José Amrl ALGA A

8 Exercícios... Especifique pr mtriz Os elementos 22, 2 e : 22 = 2 = = 6 2. A segund linh d mtriz:. A terceir colun d mtriz:. A digonl (principl) d mtriz A : [ ] 2j = 5 7 i 6 = 7 2 dig( A ) = (,, 2) 5. O trço d mtriz A : tr( A ) = 6.2. Clssifique cd um ds seguintes mtrizes B = 2 C = = j 2 D E = [ 2 ] F = 2 G = 2 2 Mtriz A B C D E F G Linh x Colun x Fil x x Nul x Rectngulr x x x Qudrd x x x x Tri. Superior x x x Tri. Inferior x x x Digonl x x x Identidde x Esclr x x x Prof. Isbel Mtos & José Amrl ALGA A

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