Máximos e Mínimos Locais

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1 INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT B Limites e Derivds - Pro Grç Luzi Domiguez Sntos ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES Máimos e Mínimos Lois Deinição: Dd um unção, sej D i possui um máimo lol em se eiste um intervlo erto I ontendo, tl que pr todo em I D. ii possui um mínimo lol em se eiste um intervlo erto I ontendo, tl que pr todo em I D. iii Se possui um máimo ou mínimo lol em, dizemos que possui um etremo lol em. Us-se o termo lol porque imos noss tenção em um intervlo erto suiientemente pequeno ontendo tl que tome seu mior ou menor vlor em. For deste intervlo erto, pode ssunir vlores miores ou menores. Às vezes us-se o termo reltivo em vez de lol. Eemplos: Figur Grç Dominguez Sntos

2 Figur Condição neessári pr etremos lois Teorem de Fermt Sej um unção deinid em um intervlo ],[ e ],[. Se tem um etremo lol em e eiste então 0. D] Supondo que tem um máimo lol em, então eiste um intervlo erto I, I;, I ],[ 0, I ],[. Por hipótese, eiste, logo Dí, > > I < < II De I e II segue que 0 Se tem um mínimo lol em demonstrção é nálog. Grç Dominguez Sntos

3 Oservções: Se tem um etremo lol em e eiste um tngente horizontl em,. Se 0 então pode ter ou não um etremo lol em. então, pelo teorem de Fermt, o gráio de tem Considere, logo, 0 0. Ms, não tem um etremo lol em 0 ver igur. y Figur Se não eiste então pode ter ou não um etremo lol em. Eemplo:. Não eiste 0 e tem um mínimo em 0 ver igur 4, Eemplo :. Não eiste e não possui etremo em ver igur 4, > Figur 4 Figur Grç Dominguez Sntos

4 Deinição: Dd um unção deinid em um intervlo [,] e sej ],[, dizemos que é um número rítio ou ponto rítio pr qundo 0 ou ' não eiste. Os pontos rítios são ndidtos pontos nos quis tem etremo lol; entretnto, d ponto rítio deve ser testdo pr veriir se é ou não etremo lol de. Máimos e Mínimos Asolutos Deinição: Ddo D, dizemos que possui: i máimo soluto ou glol em se e somente se pr todo D, ii mínimo soluto ou glol em se e somente se pr todo D. Eemplo: Considere em R. i 0 pr todo em R, possui máimo soluto em 0. ii não possui mínimo soluto em R Figur 6 Eemplo Considere no intervlo [-,] i 0 pr todo em [-,], possui máimo soluto em 0. ii possui mínimo soluto em - e Figur 7 Grç Dominguez Sntos 4

5 O resultdo seguir grnte eistêni de etremos solutos pr unções ontínus deinids em um intervlo ehdo. Teorem de Weierstrss ou Teorem do Vlor Etremo Se é um unção ontínu em um intervlo [,], então ssume o seu vlor máimo e tmém o seu vlor mínimo em lgum ponto de [,]. Isto é, eistem números reis e em [,] tl que pr todo em [,] temos:. Pr determinr etremos solutos de um unção ontínu em intervlo ehdo [,], devemos seguir o seguinte roteiro: Ahe todos os pontos rítios pr unção no intervlo erto ],[. Clule pr d ponto rítio otido no item. Clule e 4 O mior dos vlores dos itens e é o vlor máimo soluto, e o menor dos vlores dos itens e é o vlor mínimo soluto. Eemplo : Dd unção, enontre os etremos solutos de em [-, ]. Solução: Seguindo roteiro ddo ' -, ' eiste pr todos os números reis, ssim os pontos rítios de serão os vlores de pr os quis ' 0. Devemos onsiderr os pontos rítios em ]-, [. Tomndo ' 0 temos: 0 0 ou - ]-, [. - e - - e O vlor máimo soluto de em [-, ] é, que oorre em, e o vlor mínimo soluto de em [-, ] é -, que oorre no etremo esquerdo. A igur 8 mostr um esoço do gráio dest unção. Grç Dominguez Sntos

6 Figur 8 Sej deinid em [, ] e ],[, podemos oservr nos eemplos nteriores que se tem um etremo lol em então, em um vizinhnç de, ou é resente pr < e deresente pr > ou deresente pr < e resente pr >. Portnto, pr veriir se tem um etremo lol em devemos estudr o resimento e deresimento de em um vizinhnç de. Demonstrremos seguir dois teorems que servirão de se pr relionr o sinl d derivd om o resimento e deresimento de unções. Teorem Rolle Se é um unção ontínu em [,], derivável em ],[ e então eiste ],[ tl que 0. D] Se é unção onstnte em[,], então 0 em ],[; logo eiste ],[ tl que 0. Supondo que não é unção onstnte em [,]. Como é ontínu em [,], pelo Teorem do Vlor Etremo eistem e [,] tl que pr todo em [,]. Como não é onstnte em [,] temos que ; segue então que ou ],[ lemre-se que. Logo, pelo Teorem de Fermt temos que 0 ou 0. Portnto, eiste ],[ tl que 0. Os: Interpretção geométri Se é um unção ontínu em [,], derivável em ],[ e então, de ordo omo Teorem de Rolle, eiste ],[ tl que ret tngente o gráio de no ponto, é horizontl. ver igur 9 Grç Dominguez Sntos 6

7 , y Figur 9 Teorem do Vlor Médio - Teorem de Lgrnge Se é um unção ontínu em [,] e derivável em ],[ então eiste ],[ tl que. D] Considere os dois sos: 0 eiste ],[ tl que 0 Teorem de Rolle Logo, 0 Considere unção g. Oserve que unção g determin distâni vertil entre um ponto, do gráio e o ponto orresponde n ret que pss pelos pontos, e, A unção g stisz s hipóteses do Teorem de Rolle logo, eiste ],[ tl que g 0, ou sej, 0 g. Dí. Os: Interpretção geométri Grç Dominguez Sntos 7

8 Se é um unção ontínu em [,] e derivável em ],[ então, de ordo omo Teorem do Vlor Médio, eiste ],[ tl que ret tngente o gráio de no ponto, é prlel ret que pss pelos pontos, e,. ver igur0 Figur 0 Funções resentes e deresentes é resente no intervlo I se e somente se, I, < é deresente no intervlo I se e somente se, I, < y Figur OBS: Dizemos que é estritmente resente no intervlo I se e somente se,, < <. I Grç Dominguez Sntos 8

9 Dizemos que é estritmente deresente no intervlo I se e somente se,, <. I > A unção é dit monóton no intervlo I se or resente, estritmente resente, deresente ou estritmente deresente em I. Critério d derivd pr resimento e deresimento. Considere que unção ontínu [,] e derivável em ],[, temos que i Se ' 0 pr todo em ],[ então é resente em [,]. ii Se ' 0 pr todo em ],[ então é deresente em [,]. D] i ' 0 pr todo em ],[. Ddos e [,], om <, o teorem do vlor médio plido o intervlo [, ], nos grnte que eiste ], [ tl que,. E omo, ' 0 e <. Temos que, ou sej, é resente em[,]. A demonstrção do item ii é nálog. Eemplo : Estude, qunto o resimento e deresimento, unção, em d so - 4 ln Solução: ' - 4 ' > 0 em ]-, /[ e em ], [, logo é resente em -,/] e em [, [ ' < 0 em ]/,[, logo é deresente em [/,]. D R *, ' > 0 em ]-, 0[ e em ]/, [, logo, é resente em ]-, 0[ e em [/, [, Grç Dominguez Sntos 9

10 ' < 0 em ]0, /[, logo é deresente em ]0, /]. * D R { }, ln ln Oserve que: i ln * > 0, R {}, ii ln 0 ln e e ln 0 ln 0 < e. ' > 0 em ]e, [ é resente em [e, [, ' < 0 em ]0,[ e ],e [ é deresente ]0,[ e em [,e]. Teste d derivd primeir pr etremos lois Sej ontínu em um intervlo [,], é derivável em ],[ eeto tlvez em ],[ e um ponto rítio de. Se ' 0 pr todo < e ' 0 pr todo > ],[ então é um ponto de máimo lol. Se ' 0 pr todo < e ' 0 pr todo > ],[ então é um ponto de mínimo lol. D] ' 0 pr todo < é resente em [,], [, ] I ' 0 pr todo > é deresente em [,], [, ] II De I e II temos que tem um máimo lol em. A demonstrção do item é nálog. OBS: Se não mud de sinl em um vizinhnç de um ponto rítio então não tem etremo lol em. Eemplo : Use o teste pr derivd primeir pr determinr os etremos lois ds unções Grç Dominguez Sntos 0

11 - 4, se d, se < ln Solução: Determinr os pontos rítios de. ' - 4, ' eiste pr todos os números reis, ssim os pontos rítios de serão os vlores de pr os quis ' 0. Tomndo ' 0 temos: ' 0 ou Anlisr o sinl d derivd em um vizinhnç de - / e Intervlos ]-,/[ ]/,[ ], [ Sinl de ' > 0 ' < 0 ' > 0 Conlusão: tem um máimo lol em /, e um mínimo lol em Determinr os pontos rítios de. 4 D R *, / 0 D. Anlisr o sinl d derivd em um vizinhnç de / Intervlos ]-,0[ ]0,/[ ]/, [ Sinl de ' > 0 ' < 0 ' > 0 Conlusão: tem um mínimo lol em /. Determinr os pontos rítios de, se >,?, se < 0 Grç Dominguez Sntos

12 - 0 Logo, /, e omo 0 0 Os pontos rítios de são e 0 - Anlisr o sinl d derivd em um vizinhnç de 0 e. Intervlos ]-,0[ ]0,[ ], [ Sinl de ' > 0 ' < 0 ' > 0 Conlusão: tem um máimo lol em 0, e um mínimo lol em. d Determinr os pontos rítios de. * D R {}, ln 0 e ln Anlisr o sinl d derivd em um vizinhnç de e. Intervlos ]0,[ ],e[ ]e, [ Sinl de ' < 0 ' < 0 ' > 0 Conlusão: tem um mínimo lol em e. Teste d derivd segund pr etremos lois Sej um unção derivável em ],[ e um ponto rítio de neste intervlo, isto é, ' 0. Se dmite derivd de ordem em ],[ temos que. Se '' > 0 então possui um mínimo lol em. Se '' < 0 então possui um máimo lol em. D]. '' > 0 por hipótese > 0 em um vizinhnç de. Dí, < 0 < 0 pr < > 0 > 0 pr > Pelo teste d derivd primeir onluímos que tem um mínimo lol em. Grç Dominguez Sntos

13 De mneir nálog demonstr-se o item. OBS: Se '' 0, nd podemos irmr, usndo este teste, sore nturez do ponto rítio. Em tis sos, devemos plir o teste d derivd primeir. Eemplo : Use, se possível, o teste pr derivd segund pr determinr os etremos lois ds unções: Determinr os pontos rítios de. ' 4, ' eiste pr todos os números reis, ssim os pontos rítios de são os vlores de pr os quis ' 0. Tomndo ' 0 temos 0 0 ou ou. Determinr o sinl d derivd segund pr os pontos rítios. '' 0 '' 0.- > 0 tem um mínimo lol em. '' -0.- < 0 tem um máimo lol em. '' 0 0, nd podemos irmr por este método. Vmos usr o teste d derivd primeir, nlisndo o sinl de. Intervlos ]-, [ ], 0 [ ]0, [ ], [ Sinl de ' > 0 ' < 0 ' < 0 ' > 0 Como não mud de sinl em um vizinhnç de 0 então não possui etremo lol em 0.ver igur 4 Determinr os pontos rítios de. ' 4, ' eiste pr todos os números reis, ssim os pontos rítios de são os vlores de pr os quis ' 0. Tomndo ' 0 temos 0 Determinr o sinl d derivd segund pr os pontos rítios. '', '' 0 0, nd podemos irmr por este método. Vmos usr o teste d derivd primeir, nlisndo o sinl de. Intervlos ]-,0[ ]0, [ Sinl de ' < 0 ' > 0 Grç Dominguez Sntos

14 Logo, tem um mínimo lol em 0. ver igur m y y min Figur Figur Convidde do gráio de um unção N igur 4, oserve que qundo um ponto do gráio de move-se pr direit, ret tngente o gráio de neste ponto gir no sentido nti-horário e su inlinção ument. Dizemos que este gráio possui onvidde voltd pr im. Anlogmente, n igur, qundo um ponto do gráio de move-se pr direit, ret tngente gir no sentido horário e su inlinção derese. Dizemos que tl gráio possui onvidde voltd pr io. Ests onsiderções geométris nos onduzem às seguintes deinições. Convidde voltd pr im Convidde voltd pr io estritmente deresente estritmente resente Figur 4 Figur Grç Dominguez Sntos 4

15 Deinição: Sej um unção derivável em um intervlo ],[ i O gráio de tem onvidde pr im C.V.C em ],[ se e somente se ' or um unção estritmente resente em ],[. ii O gráio de tem onvidde pr io C.V.B em ],[ se, e somente se ' or um unção estritmente deresente em ],[. Deinição: Um ponto, do gráio de um unção ontínu é hmdo de ponto de inleão, se e somente se eiste um intervlo erto ],[ D, ontendo, tl que tenh onviddes de nomes ontrários em ],[ e em],[. Aplindo unção o ritério d derivd pr resimento e deresimento, otemos o seguinte resultdo. Teste pr onvidde de um gráio Considere unção que dmite derivd segund no intervlo ],[. i Se '' > 0 pr todo em,[, então o gráio de possui onvidde pr im em ],[. ii Se '' < 0 pr todo em,[, então o gráio de possui onvidde pr io em ],[. Eemplo : Estude s unções seguir em relção onvidde. Solução: ', '' 6 Assim, '' < 0, se < 4 e '' > 0, se >. Logo, o gráio de tem onvidde voltd pr io no intervlo pr im no intervlo, Como o gráio de mud de onvidde n vizinhnç de. ponto de inleão do gráio de., e onvidde voltd então P 0,, 7 Grç Dominguez Sntos é o

16 D R *, 4 6, > 0 em ]-, 0[ e ]0,9/4[ e < 0 em ]9/4, [. Logo, o gráio de tem onvidde voltd pr im em ]-, 0[ e em ]0,9/4[ e tem onvidde voltd pr io em em ]9/4, [. 9 Como o gráio de mud de onvidde n vizinhnç de então P 9 9, é o ponto de inleão do gráio de.. Assíntots Deinição: Dd um ret r e um unção, dizemos que ret r é um ssíntot do gráio de se e somente se distâni δ entre um ponto M do gráio de e ret r tende zero à medid que o ponto M se st indeinidmente d origem. As ssíntots podem ser: Vertiis igur 6 olíqus igur 7 so prtiulr: horizontis igur 8 Figur 6 Figur 7 Figur 8 Deinição: A ret é um ssíntot vertil do gráio de y se, e somente se, pelo menos um ds lterntivs or verddeir: 4 Grç Dominguez Sntos 6

17 Eemplos: 4 ; D R * e 0 0 é um ssíntot vertil do gráio de. ; D R {-, },, e Logo, s rets e - são ssíntots vertiis do gráio de.. Os: As possíveis ssíntots vertiis do gráio de unções do tipo /g, são os vlores pr os quis g 0. Pr unção ; ujo o domínio é D R *, temos 0 e 0. Logo ret 0 não é ssíntot vertil do gráio de. Deinição: A ret y k é um ssíntot olíqu do gráio de y se, e somente se, [ k ] 0 ou [ k ] 0 Os A ret y é um ssíntot horizontl do gráio de y se, e somente [ ] 0 se, ou Determinção d ssíntot olíqu: [ ] 0, isto é, ou. y k é um ssíntot olíqu do gráio de y [ k ] 0 I k 0. Segue então que k 0, pois se 0 k terímos que k ou. Grç Dominguez Sntos 7

18 Assim, Conheendo-se k, de I temos que k 0 k II k III. Logo, se ret y k é um ssíntot do gráio de y otemos k e pels órmuls II e III respetivmente. Reipromente, se os ites II e III eistem e são initos iguldde I se verii e ret y k é um ssíntot olíqu do gráio de. Oservções: Anlogmente pr. Se k 0 e então ret y é um ssíntot é horizontl do gráio de. ± O gráio de um unção y tem no máimo dus ssíntots olíqus ou horizontis. Eemplos: 4 ; k 0 e. ± ± ± Logo, ret y é um ssíntot horizontl do gráio de. k e 0. ± ± ± ± Logo, ret y é um ssíntot olíqu do gráio de., D R k Grç Dominguez Sntos 8

19 k Logo, s rets y e y são ssíntots do gráio de. Gráios Pr o esoço do gráio de um unção, sugerimos o seguinte roteiro: Determinr se possível o domínio e interseção om os eios, ssíntots do gráio de e interseções om s ssíntots intervlos de resimento e deresimento, d etremos lois, e intervlos onde o gráio de tem onvidde pr im e pr io, pontos de inleão. BIBLIOGRAFIA Guidorizzi, Hmilton Um Curso de Cálulo, vol Livros Ténios e Cientíios Editor S.A. Munen, Mustá Foulis,Dvid Cálulo, vol Editor Gunr Dois. Leithold, Louis Cálulo om Geometri Anlíti, vol, Edição Editor HARBRA ltd. Piskounov, N. Cálulo Dierenil e Integrl I, vol, Editor Lopes d Silv. Steinruh, Alredo-Winterle, Pulo - Geometri Anlíti Edição - Editor Mkron Books Swookowski, Erl Cálulo om Geometri Anlíti vol, Edição - Editor Mkron Books Grç Dominguez Sntos 9