Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Prof. Dra. Shirley Maria Santos e Souza Curso de Licenciatura em Matemática UFPBVIRTUAL

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1 Disciplin: Introdção à Álgebr Liner Prof Dr Shirle Mri Sntos e Soz Crso de Licencitr em Mtemátic UFPBVIRTUAL shirle@mtfpbbr Ambiente Virtl de Aprendizgem: Moodle wwwedfpbbr Site d UFPBVIRTUAL wwwirtlfpbbr Site do crso wwwmtfpbbr/ed Telefone UFPBVIRTUAL Crg horári: 6 hors Créditos: Ement Espços Vetoriis e Sbespços Aplicções Lineres e Mtrizes Vetores e Vlores Próprios Digonlizção de Operdores Prodto Interno Descrição Est disciplin é prte indispensáel d formção básic não só de mtemáticos ms de qntos necessitem plicr Mtemátic mesmo em ss forms mis rdimentres Os pré-reqisitos pr leitr deste teto são os tópicos de Mtemátic normlmente istos té o crso níel médio e o crso de Geometri Anlític do semestre nterior O estdnte dee desenoler s cpcidde de leitr escrit e discssão dentro de m mbiente intertio trblhndo em grpo e tilizndo como ferrment pltform Moodle Objetios Ao finl do crso esper-se qe o lno estej hbilitdo : Compreender o conceito de espços e sbespços etoriis Compreender o conceito de espços isomorfos Encminhr os conceitos pr solção de problems nos qis os lnos já tenhm sentido dificlddes Modelr problems e pros enolendo combinções lineres plicções e mtrizes digonlizções de operdores lineres

2 Uniddes Temátics Integrds Unidde I Espços Vetoriis Espços Vetoriis Sbespços Combinção Liner Dependênci e Independênci Liner Bses dimensão e mdnç de bse Unidde II Aplicções Lineres e Mtrizes Aplicções Lineres Núcleo e imgem de m plicção liner Aplicção iners Isomorfismo Mtriz de m Trnsformção Liner Unidde III Vetores e Vlores Próprios Vetores e Vlores Próprios Polinômios Crcterístico e Miniml Digonlizção de Operdores Unidde IV Espços com Prodto Interno Prodto Interno Espços com Prodto Interno

3 Unidde I: Espços Vetoriis - Sitndo Temátic Ddo m conjnto podemos introdzir operções sobre este qe podem gerr determinds proprieddes e dest form constitir m espço etoril O objetio dest nidde é definir espço etoril e presentr proprieddes e teorems qe serão n miori demonstrdos qndo não presentremos eemplos o eercícios Este teto complement-se n pltform MOODLE onde estão s lists de eercícios e tiiddes relcionds com o teto Os eercícios são prte fndmentl d disciplin m ez qe mos dotr m metodologi poid n resolção de eercícios - Problemtizndo Temátic Sponhmos qe m forç te sobre m corpo podemos determinr s intensidde e direção Assim forç é m eemplo típico de grndez representd por m etor Otros eemplos são elocidde e deslocmento Nest nidde desenoleremos o conceito de etor de m form mis mpl de modo qe por eemplo solções de sistems de eqções lineres fnções mtrizes possm ser representds e/o denominds de etor O conjnto desses etores mnido de determinds operções será definido como m espço etoril - Conhecendo Temátic - Espços Vetoriis - Introdção Sbemos qe o conjnto { ; } é interpretdo geometricmente como sendo o plno crtesino Um pr pode ser isto como m ponto Ess mesm idéi em relção o plno estendemos pr o espço tridimensionl qe é interpretção geométric do conjnto Embor se perc isão geométric de espços com dimensão cim de é possíel estender ess idéi espços como 5 n Assim o espço de dimensão n o espço n- dimensionl será constitído pelo conjnto de tods s n-pls ordends e representdo por n isto é n { n ; i } Trblhmos nesses espços de mneir idêntic àqel ist em e Por eemplo se e são etores no n e m esclr definimos: n n se e somente se i n b n n n n c d n n e i i

4 Consideremos gor o conjnto n e o conjnto ds mtrizes reis de ordem m n representdo por M m n Com relção estes conjntos estão definids s operções de dição e mltiplicção por esclr qe tem em comm s segintes proprieddes: Se w n esclres e ABC M m n podemos erificr qe: Em relção à dição temos s proprieddes: w w e A B C A B C ssocitiidde e A B B A comttiidde Eiste m único elemento netro em n e em M m n representdo por tl qe: onde e A A onde M m n Pr cd etor n e pr cd mtriz A M m n eiste m único etor e m únic mtriz representdos por e A tis qe: - e A -A onde n se n e n n n A qndo n A Neste cso - e A são chmdos de m m mn m m mn elementos simétricos Com relção à mltiplicção por esclr lem s segintes proprieddes: e A A e A A A e A B A B e A A De cordo com o eposto os conjntos n e M m n mnidos desse pr de operções presentm m estrtr comm em relção esss operções Tl fto le tmbém pr otros conjntos mnidos com ds operções como eremos mis trde os qis são chmdos de espços etoriis

5 5 - Espços Vetoriis Consideremos V m conjnto não zio no ql introdziremos s operções dição e mltiplicção por esclr o sej V temos V V então V O conjnto V mnido dests ds operções é denomindo espço etoril rel o espço etoril sobre se forem stisfeits s segintes proprieddes: V w w w V V qe tl V Eiste V qe tl V Eiste e V Amplindo o se conhecimento - Eemplos O conjnto ; { } é m espço etoril com s operções de dição e mltiplicção por m esclr ssim definids: ddos w e e Ests são s operções sis de dição e mltiplicção por esclr definids n introdção Verificremos qe mnidos dests operções stisfzem s oito proprieddes do espço etoril: w w w w w w Ddo temos qe eiste tl qe 5 Os elementos do espço etoril V são chmdos de etores independentes d s ntrez o sej podemos chmr s mtrizes mn de etores onde V seri o conjnto ds mtrizes mn

6 O conjnto em relção às operções sis de dição e mltiplicção por esclr é tmbém m espço etoril Os etores neste cso são números reis O conjnto V de tods s fnções f:x mnido ds operções f f e g f g f é m espço etoril pois tis operções stisfzem s oito proprieddes d definição O conjnto de todos os polinômios i n n t t t f V ; { } é m espço etoril sobre em relção às operções sis de dição de polinômios e mltiplicção por esclr 5 Um conjnto pode ser m espço etoril com relção m pr de operções e não ser com relção otro pr de operções De fto Podemos considerr o conjnto ; { } gor mnido ds segintes operções: 5 e Obseremos qe operção dição é sl portnto do eemplo s qtro primeirs proprieddes d definição são stisfeits Entretnto com relção mltiplicção por m esclr temos: isto é porém O sej propriedde 6 d definição de espço etoril não é stisfeit portnto mnido ds operções definids em 5 não é m espço etoril - Sbespços Vetoriis Sejm V m espço etoril sobre e W m sbconjnto não zio de V O sbconjnto W é m sbespço etoril de V se s segintes condições são stisfeits: W W W W Dilogndo e constrindo o se conhecimento Todo sbespço etoril W de V contém pelo menos o etor nlo pois qndo temos W Um sbespço etoril W de V é tmbém m espço etoril com tods s oito proprieddes herdds de V Todo espço etoril V dmite pelo menos dois sbespços: o conjnto {} chmdo sbespço nlo e o próprio espço etoril V Os demis sbespços são denomindos sbespços não triiis o próprios Por eemplo o conjnto nitário {} é m sbespço etoril do V R ssim como o conjnto W R

7 5 - Eemplos - Sejm V e W { ; } { ; } Então W é m sbespço etoril de V De fto W isto é W Ø b Ddos W e então e Logo De onde conclímos qe W é m sbespço etoril de V W W b b - Sejm V M ; b c d R e W c d ; b c R com V mnido ds operções c som de mtrizes e mltiplicção por esclr o sej s operções sis Notemos qe W isto é W Ø b b b b b b Ddos W então W c c c c c c e b b W c c Portnto W é m sbespço etoril de V - Sejm V mnido ds operções sis de dição e mltiplicção por esclr e W { ; } { ; } W represent geometricmente m ret qe pss pel origem Obseremos qe W o sej W é não zio Além disso ddos W temos qe W e W Neste cso o tomrmos dois etores e d ret o etor som tmbém pertence à ret ej figr e - Ao contrário do eemplo nterior m ret qe não psse pel origem por eemplo o conjnto W { ; } { ; } não é m sbespço etoril de De fto Escolhendo - e de W temos - W pois conforme figr o ldo 5 - O conjnto W { / > } não é m sbespço etoril de V W já qe -6 < Pois 7 W ms No Moodle Lei com tenção os eemplos cim N pltform moodle ocê dee fzer eercícios! 7

8 6 - Interseção de dois Sbespços Vetoriis Ddos W e W dois sbespços etoriis de V interseção de W e W denotd por W W W é o conjnto todos os etores V tis qe W e W 6 Teorem A interseção W de dois sbespços etoriis W e W de V é m sbespço etoril de V Demonstrção: i Pel definição de sbespço etoril W e W logo W W ii Sejm W W então W e W Como W e W são sbespços etoriis por definição W e W dí W W iii Ddo W e W pois W e W são sbespços de V logo W W Ds condições cim conclímos qe W W é m sbespço etoril de V 7 - Eemplos b b Consideremos V M e W ; b R e W ; b c R sbespços etoriis de c b V Sej V tl qe W W Então W o sej c d Ms W dí d c d b b Logo b onde b c d Portnto W W b ; b R Sej V { z; z } e W { ; } e W { z; z } sbespços etoriis de V Se z W W então pel definição de W e W z o sej W W {} Nosso próimo psso é definir som diret entre sbespços etoriis pr isto definiremos inicilmente som entre sbespços 8 - Som de dois Sbespços Vetoriis Sejm W e W dois sbespços etoriis de V A som de W e W denotd por W W W é o conjnto de todos os etores de V tis qe W e W 8 Teorem Se W e W são sbespços etoriis de V então W W tmbém é m sbespço etoril de V Demonstrção: i Sejm W e W então W pois W é m espço etoril Anlogmente W Por otro ldo W W como tmbém W W logo W W ii Pr qlqer sendo W W então W e W Por otro ldo W W logo W W 9 - Eemplos Obserndo os eemplos 7 temos qe: 8

9 O conjnto W W b b b ; bc c R ; bc c R é m sbespço etoril de b b V De fto W ; b R ew ; b c R são sbespços etoriis de V M e c como conseqüênci do Teorem 8 W W tmbém é m sbespço etoril de V A som de W { ; } com W { z; z } é o sbespço etoril de z ; z R qe é o próprio W W { } Som Diret de dois Sbespços Vetoriis Sejm W e W dois sbespços etoriis de V Diremos qe V é som diret de W e W denotd por V W W se: Obserção V W W e W W {} Se V W W então todo V se escree de modo único n form: w onde W e w W De fto Sponhmos qe w com W e w W e tmbém w onde W e w W Dí w w o w w Como W e w w W d últim igldde w w W W Ms W W {} então w w o sej e w w - Eemplo O espço é som diret dos sbespços etoriis W { ; R } e W {z ; z R } pois qlqer etor z pode ser escrito como som de m etor de W e m etor de W de mneir únic z z lém disso W W {} Portnto W W - Combinção Liner Sej V m espço etoril sobre R Um etor em V é combinção liner dos etores n em V se eistirem esclres n R tis qe n n - Eemplos Escreeremos o etor 5 do como combinção liner dos etores e Pr isto deemos encontrr R tis qe 5 e resolendo o sistem 5 encontrmos e Considerndo gor - mostrremos qe não pode ser escrito como combinção liner dos etores e 9

10 Mostrremos qe não eistem esclres e tis qe - logo d primeir eqção e d segnd Porém d últim eqção - o qe é incomptíel Portnto não eistem esclres e tis qe isto é - não pode ser escrito como combinção liner dos etores e Determinr o lor de k pr qe o etor -k sej m combinção liner dos etores - e --5 Deemos encontrr esclres e tis qe o sej -k resltndo no seginte sistem: 5 k ssim - e o lor de k é -8 Conclsão: pr qe -k sej escrito como combinção liner dos etores e é preciso qe k sej igl -8 - Sbespços Gerdos Sejm V m espço etoril sobre R e n etores de V o conjnto W { V; n n } constitído de todos os etores de V qe são combinções lineres dos etores n de V é m sbespço etoril de V De fto i W é não zio pois W n ii Ddos W eistem esclres n e n tis qe n n e n n logo n n n n n n n W Além disso iii Se R e W temos n n n n W Sege de i ii e iii qe W é m sbespço etoril de V Este sbespço é denomindo sbespço gerdo pelos etores n o ql se denot W [ n ] - Eemplos Os etores i e j germ o conjnto W { ; R } pois qlqer etor de W pode ser escrito como combinção liner dos etores i e j o sej

11 Neste cso W é gerdo pelos etores i e j pois todo etor de W é escrito como combinção liner dos etores i e j E sndo notção de sbespço gerdo W [ij] No cso dos etores i j e k estes germ o escrito como combinção liner dos etores i j e k z z Assim R [ijk] R já qe todo etor z do O sbespço gerdo pelos etores -- e será: [ ] {z ; z - b b R } D igldde cim temos: b b b z e resolendo o sistem sndo s primeirs eqções b /5 /5 e /5 -/5 Sbstitindo n terceir eqção teremos 5z Portnto [ ] {z / 5z } isto é o sbespço gerdo pelos etores e é m plno qe pss pel origem Sejm V M e mtrizes de V O sbespço gerdo pelos etores e será: [ ] z t b b R e dí z e t stisfzem o sistem: b b b z b t de onde teremos z - e - t Logo o sbespço gerdo pels mtrizes e é d form: t [ ] t R t ; t R t - Dependênci e Independênci Liner Sej V m espço etoril sobre R Os etores n de V são ditos linermente independentes LI se eqção etoril n n R é dmite pens solção triil nl n Cso contrário se eqção dmite pelo menos m solção não nl os etores são denomindos linermente dependentes LD Nos gráficos segir presentremos m interpretção geométric d dependênci liner de dois e três etores no R

12 Onde n figr e estão representdos n mesm ret qe pss pel origem Enqnto qe n figr e não estão n mesm ret Obserem qe n figr e estão representdos no mesmo plno qe pss pel origem Já n figr não pertence o plno gerdo pelos etores e Pssemos estdr dependênci liner de etores nm determindo espço etoril V trés dos eemplos segir - Eemplos Mostrremos qe os etores do qe eistem e números reis tis qe R são LI De fto sponhmos logo e teremos d primeir eqção d segnd e d terceir E sbstitindo e n qrt eqção conclímos qe igldde é erddeir Portnto combinção liner cim dmite pens solção nl e dest form os etores são LI No espço V R os etores - -- e - são LD Pois dd combinção liner temos isto é

13 e ds ds primeirs eqções - e - os qis sbstitindo n terceir eqção E últim igldde é álid pr qlqer lor de Dí escolhendo por eemplo - teremos e Portnto combinção liner cim dmite pelo menos m solção não nl e - Logo os etores e formm m conjnto LD e são etores LI de V M De fto dd combinção liner temos o sej e teremos Portnto combinção liner cim só tem m solção nl logo os etores e formm m conjnto LI Anlogmente considerndo os etores i j e k do R estes constitem m conjnto LI Dilogndo e constrindo o se conhecimento Tente mostrr qe os etores e e e n do conjnto LI n R formm m Teorem Um conjnto { i n } é LD se e somente se pelo menos m desses etores é combinção liner dos otros Demonstrção: Sendo { i n } LD por definição é possíel igldde i i n n com pelo menos m dos coeficientes diferente de zero Spondo i temos i i i- i- - i i - n n o sej i - / i / i - - i- / i i- - i / i i - n / i n fzendo j - j / i com j i teremos Reciprocmente se temos i i- i- i i n n i i- i- i i n n i- i- - i i i n n

14 Obserem qe o esclr - de i d últim combinção é não nlo Portnto por definição { i n } é LD Obserções O Teorem é eqilente : O conjnto { i n } é LI se e somente se nenhm desses etores for escrito como combinção liner dos otros Dois etores e são LD se e somente se m etor é múltiplo esclr do otro Por eemplo - e --6 são LD pois - Se o conjnto nitário {} é LI De fto Considerndo combinção liner com únic solção é nl Note qe se m conjnto { n } contém o etor nlo então é LD Pois n é erddeir pr todo Logo { n } é LD - Bse e Dimensão Um sbconjnto { n } de m espço etoril V é m bse do espço etoril V se; é LI; ger V - Eemplos O conjnto {-} é m bse do R Pois: i Ddos esclres tis qe - temos o sej Logo W é LI; ii Pr todo etor do R erificremos se eistem esclres e b tis qe b- b b b logo e b O sej todo etor do R pode ser escrito como combinção liner dos etores de d form -- Sege de i e ii qe ger o espço R O conjnto W {ij} é otr bse do A bse cnônic do R denomind bse cnônic do R onde i e j n R é dd pelos etores {e e e n } onde e e e n Amplindo o se conhecimento Em V M bse cnônic é { } onde Tentem mostrr! e Teorem Se { n } for m bse de m espço etoril V então todo conjnto com mis de n etores será LD

15 Demonstrção: Sem perd de generlidde consideremos n e W {w w w } Mostrremos qe W é LD isto é qe se eistirem esclres não todos nlos tis qe w w w * Como { } é m bse de V pr cd w i W w i é m combinção liner dos etores de o sej eistem esclres tis qe: w w w Sbstitindo s relções cim n combinção liner * temos: e ordenndo os termos de mneir coneniente Sendo { } m bse de V é LI logo os esclres d últim combinção são nlos e este sistem homogêneo possi riáeis e e eqções logo eistem solções não triiis não nls Portnto W {w w w } é LD Corolário Ds bses de m espço etoril têm o mesmo número de etores Este resltdo é conseqüênci imedit do Teorem - Obserção Todo espço etoril não triil V {} possi m bse 5 - Dimensão de m Espço Vetoril A dimensão de m espço etoril V é o número de etores de m bse o ql denotmos dimv Se V não possi bse dimv Se V tem m bse com infinitos etores então dimensão de V é infinit e denotremos dimv Sege dos Eemplos qe dim R dim R n n dimm e dimmmn m n 5 - Obserções Se dimv n e W é m sbespço etoril de V então dimw n Se dimw n então W V A dimensão de qlqer sbespço W do R só poderá ser o i dimw então W { é origem ii dimw então W é m ret qe pss pel origem iii dimw W é m plno qe pss pel origem i dimw W é o próprio R Sej V m espço etoril tem dimensão n então qlqer sbconjnto de V com mis de n etores é LD Vimos qe m conjnto é bse de m espço etoril V se for LI e se ger V Porém se dimv n pr obtermos m bse de V bst qe pens m ds condições de bse sej stisfeit o sej: 5

16 i Se dimv n qlqer sbconjnto de V com n etores LI é m bse de V ii Se dimv n qlqer sbconjnto de V com n etores gerdores de V é m bse de V Eemplo: O conjnto {9-} é m bse do R pois como dim R e os dois etores são LI 9 não é múltiplo esclr de - eles formm m bse do R 5 Teorem Qlqer conjnto de etores LI em V é prte de m bse isto é pode ser completdo té formr m bse de V Demonstrção: Bsed no Teorem e n definição de dimensão Não demonstrremos pens dremos m eemplo 5 - Eemplo Consideremos os etores e Obsere qe { } é LI Como dim R pel obserção 5 m bse do R terá etores LI Encontrremos m etor R tl qe { } sej LI O sej não pode ser escrito como combinção liner dos etores e isto é b b R z b bb Escolhendo por eemplo b segnd coordend dee ser diferente de b o sej tomndo o conjnto { } será LI 5 - Componentes de m Vetor Sejm { n } bse de V e V pode ser escrito como combinção liner dos etores de isto é eistem n esclres tis qe n n Os esclres n são chmdos de coordends de em relção à bse s qis denotmos por [ ] n 5 Eemplo Consideremos V R e {ij} bse cnônic do R isto é {} Ddo -5 m etor do R -5-5 isto é e -5 são s coordends de em relção à bse denotds por [ 5] 5 Considerndo gor bse {} O etor -5 pode ser escrito como combinção dos etores d bse o sej eistem esclres e b tis qe -5 b Assim e b -7 Logo e -7 são s coordends do etor em relção à bse e dí 6

17 [ 5] ' Obserção Notem qe ordem dos etores de m bse tmbém infli n mtriz ds coordends de m etor em relção est bse Se {} e {} então [ 5] 5 e 5 [ 5] Por isso o considerrmos m bse sbentendemos qe est sej ordend 6 - Eercícios Resolidos Determinr dimensão e m bse do espço etoril W {z R / z } Solção Com condição z temos z - - Se z R este tem form: o ind z z - - Vejm qe todo etor de W é combinção liner dos etores - e - Como esses dois etores gerdores de W são LI mostrem este fto! estes formm m bse de W e por definição dimw Obserem qe como cd riáel lire corresponde m etor d bse qndo estes são LI concli-se qe o número de riáeis lires é dimensão do espço Ddos os etores e - mostrremos qe o conjnto { } é m bse do R Solção: Consideremos seginte combinção liner isto é o eqilentemente b c bb -c b b c e dí b c Logo é LI Como tem três etores então é bse do R 7 - Mdnç de Bse Considerndo m determindo problem em qe m corpo se moe no plno cj trjetóri é m elipse de eqção descrição do moimento se torn mito simplificd se o inés de trblhrmos com os eios e ejm figr 5 o sej o referencil determindo pel bse cnônic do R tilizrmos m referencil qe se pói nos eios principis d elipse por eemplo os eios e representdos n figr 5 Neste noo referencil eqção d trjetóri será mis simples descrit por 6 7

18 Um qestão resoler: ql relção entre s coordends de m ponto no ntigo referencil e ss coordends no noo? O sej estmos interessdos n seginte sitção: Sejm { } e { } bses de m espço V dimv Ddo m etor V podemos escreê-lo como combinção liner dos etores d bses e dos etores d bses isto é e [ ] e [ ] Como } é m bse de V podemos escreer os etores i como combinção liner dos j isto é { e sbstitindo em temos: Tmbém de e como s coordends em relção m bse são únics temos: Escreendo em form mtricil Denotndo 8

19 [ I] temos ] [ I ] [ ] [ A mtriz [I] é chmd mtriz de mdnç d bse pr bse 7 Obserção A mtriz [I] é obtid colocndo s coordends de i em relção à bse n i- ésim coln Conhecendo-se [I] podemos encontrr s coordends de qlqer etor em relção à bse mltiplicndo mtriz pels coordends de n bse 7 - Eemplo Sejm {-} e {} bses do logo / e / e -/ e / Portnto - - R Encontrremos mtriz [I] [ ] I / / / / A mtriz [I] pode ser sd pr encontrr por eemplo [5 8] s coordends do etor 5-8 em relção à bse De fto / / 5 [ ] [ I] [ ] / / 8 Isto é A iners de m mtriz mdnç de bse Se no sistem d seção 7 começrmos escreendo os etores i em fnção dos j chegremos à relção: obtid de mneir nálog à relção [] [][] I [] [][] I 9

20 Um fto importnte é qe s mtrizes [ ] e [ I 7 - Eemplo I são inertíeis e [ I ] [ I] ] No eemplo 7 podemos obter [I] prtir de [I] Como é bse cnônic os etores d bse podem ser escritos d form: - logo Então [ I] [ I ] / / / / No Moodle Olá! N pltform Moodle ocês encontrrão eercícios propostos Tentem resolê-los e depois disctiremos

21 Unidde II: Aplicções Lineres e Mtrizes - Sitndo Temátic No crso de Cálclo Diferencil e Integrl I trblh-se com fnções f: R R Estenderemos esse estdo pr o cso de fnções definids de V em W com V e W espços etoriis - Problemtizndo Temátic As plicções lineres descreem o tipo mis simples de dependênci entre riáeis Mitos problems podem ser representdos por tis fnções Por eemplo: Se de m qilogrm de soj são etrídos litros de óleo de m prodção de kg de soj serim etrídos litros de óleo Epressndo n form de fnção teremos: f onde f qntidde em litros de óleo de soj e qntidde em kg de soj Neste eemplo obseremos ds crcterístics importntes: Pr clclr prodção de óleo fornecid por kg de soj podemos tnto mltiplicr pelo ftor de rendimento como clclr s prodções de óleo de cd m ds qntiddes e e somá-ls o sej f f f Se qntidde de soj for mltiplicd por m ftor prodção de óleo será mltiplicd por este mesmo ftor o sej f f Ests ds proprieddes serirão pr crcterizr o qe denominmos plicção liner Considerndo gor otr sitção enolendo mis ftores: Por eemplo qntidde em litros de óleo etríd por qilogrm de cerel descrit n tbel Soj Milho Semente Algodão Amendoim Óleol 6 A qntidde totl de óleo prodzido por kg de soj kg de milho z kg de lgodão e w kg de mendoim é dd por f 6 z w A qntidde de óleo f pode ser dd pel mltiplicção d mtriz rendimento pelo etor qntidde f [ 6 ] 6 z w z w Formlmente temos m fnção f: M R [ z w 6 ] z w qe stisfz s proprieddes:

22 f z z w w ' f z w f z w e f f z z w w Pensemos gor em termos de espços etoriis Um fnção entre espços etoriis stisfzendo s proprieddes cim respeit estrtr de espço etoril - Aplicções Lineres Definição Sejm V e W espços etoriis Um plicção T:V W é denomind plicção o trnsformção liner de V em W se stisfz s segintes proprieddes: i T T T ii T T pr qisqer V e todo R Cso V W plicção liner T: V V é chmd operdor liner sobre V Amplindo o se conhecimento Tod plicção liner f de R em R só pode ser do tipo: f Obserem qe: f f e como f é liner e m esclr f f Chmndo f temos f O nome plicção liner certmente foi inspirdo neste cso V W R pois o gráfico de f é m ret qe pss pel origem Se T: V W é m plicção liner então T De fto T T - T T- T T Um conseqüênci deste fto: Cso T então T: V W não é liner Por eemplo T: R R definid por T não é liner Bst obserr qe T - Eemplos Sej T: R R definid por T -8 Verificremos qe T é m plicção liner Obseremos qe T ms isto não é sficiente pr grntirmos qe T sej liner Verificremos se s ds condições d definição são stisfeits De fto i Sejm e etores do R então T T T T T T ii Ddo R e etor do R temos qe T T 8 8 T R Ds condições i e ii temos qe T é m plicção liner Sej T: R R plicção liner definid por Tz denomind de projeção do isto é sobre o plno ej figr 6 segir R sobre o R

23 i Ddos z e z etores do R T T z z T T T ii Ddo R e z etor do R temos qe T T z Por otro ldo T T z EntãoT T R R Ds condições i e ii temos qe T é projeção do m plicção liner Considere no conjnto dos polinômios de gr menor o igl k P k A plicção T: P n P n- pt Tpt p t tmbém é liner No Moodle R sobre o Vocês deem mostrr qe plicção T definid em cim é de fto m plicção liner Qlqer dúid procrem-nos n pltform moodle R é Consideremos T: R R plicção definid por T -9 Ddos etor do R e R temos T T T Obserem qe embor T T não é liner pois ª condição d definição não é stisfeit neste cso Dilogndo e constrindo o se conhecimento A plicção nl T:V V T é liner Seri coneniente qe ocê demonstrsse ess firmção ssim ocê compreenderá melhor definição - Núcleo de m Aplicção Liner Dd T: V W m plicção liner o conjnto de todos os etores V tis qe T é denomindo núcleo de T o ql denotmos por NT o kert o sej NT kert { V; T } Obseremos qe NT V e mis NT é m sbespço etoril de V fto qe mostrremos segir

24 Logo pós definição do conjnto imgem d plicção liner ImT ocês erão m digrm ilstrndo os conjntos NT e ImT - Eemplos Ddo o operdor liner T: R R definido por T - determinremos o núcleo de T Por definição NT consiste dos pres tis qe T o sej - Assim e Ds ds últims iglddes conclímos qe Dest form NT {} Sej T: R R plicção definid por Tz - z 8z Por definição NT {z;tz } isto é NT {z ; z 8z } o qe nos le m sistem homogêneo com solção -z e z Logo NT {-zzz;z R } {z-; z R } Neste cso NT é determindo por todos os múltiplos esclres do etor - o ind por tods s combinções lineres do etor - Portnto NT é gerdo pelo etor - NT [-] Teorem: O núcleo de m plicção liner T: V W é m sbespço etoril de V Demonstrção: i NT é m conjnto não zio obserem qe sendo T m plicção liner T de onde NT ii Sejm NT Como T é liner T T T Por otro ldo sendo e etores do núcleo de T T e T ssim T Portnto V e é ledo pel T no etor nlo dí NT iii Ddo R e NT temos pel definição do núcleo de T qe T Por hipótese T é liner logo T T e sndo últim igldde temos T Portnto T le o etor no etor nlo isto é NT De i ii e iii podemos conclir qe NT é de fto m sbespço etoril de V - Proprieddes do Núcleo O núcleo de m plicção liner T: V W é m sbespço etoril de V Lembremos qe m plicção liner T: V W é injetor se V T T então O eqilentemente se V então T T Um plicção liner T: V W é injetor se e somente se NT {} Mostrremos qe se T é injetor então NT {} De fto Sej NT logo T Por otro ldo T pois T é liner Pelo eposto T T donde pel injetiidde de T Dí o etor zero é o único elemento do núcleo de T b Agor mostrremos qe se NT {} então T é injetor Pr isto sejm V tis qe T T logo T - T ms sendo T liner T - e portnto - NT Como por hipótese o único elemento do núcleo é o etor então e Então considermos T T e conclímos qe de onde sege injetiidde d T - Imgem de m Aplicção Liner A imgem de m plicção liner T: V W denotd por ImT é o conjnto dos os etores w W w W tis T w pr lgm V isto é ImT { w W; T w} Obseremos qe ImT W e é m conjnto não zio pois contém o etor nlo de W T Além disso ImT é m sbespço etoril de W mostrremos segir Lembremos qe T: V W é sobrejetor se pr todo w W eiste pelo menos m V tl qe T w o sej ImT W Um esqem do núcleo e d imgem de m plicção liner T é representdo n figr 7

25 Teorem Sej T: V W m plicção liner então o conjnto ImT é m sbespço etoril de W Demonstrção: i O etor nlo de W pertence o conjnto ImT pois eiste o etor nlo de V tl qe T pel lineridde d T Donde ImT é m conjnto não zio ii Sejm w w ImT eistem e etores de V tis qe T w e T w logo w w T T T últim igldde é álid deido lineridde d T Assim w w pertence à ImT pois é m elemento de W imgem do etor iii Ddo R e w ImT eiste V tl qe T w logo T w Por otro ldo T T ds ds últims iglddes T w Pel definição de ImT w ImT pois eiste m etor qe é ledo no etor w Ds condições podemos conclir qe ImT é m sbespço etoril de W - Eemplos A imgem do operdor liner identidde I: V V definid por I é todo o espço V O núcleo é NT {} A imgem d plicção nl T: V W dd por T é ImT {} e neste cso NT V O próimo teorem é tilizdo por eemplo no estdo d injetiidde e sobrejetiidde d plicção liner T - Teorem d Dimensão Se T: V W é m plicção liner então dim NT dim ImT dim V Deiremos de demonstrr o teorem e fremos lgms considerções por meio dos eercícios segir - Eercícios Determinr o núcleo e imgem do operdor liner e ss respectis dimensões onde T: é definid por Tz z Solção: Por definição NT {z;tz } Ms Tz implic qe -z o sej R R z dí e z o sej NT {zz/ z R } [] E dim NT Do Teorem d Dimensão dim ImT dim R dim NT Vmos determinr m bse pr o conjnto ImT D definição de imgem ImT {b;tz b} E condição Tz b z b o sej e b deem stisfzer o sistem 5

26 z b Dí ImT {b; z b } { z;z R } { z-; z R } o sej qlqer etor do conjnto ImT é combinção liner dos etores e - isto é germ ImT os qis denotmos ImT [-] Como - é múltiplo de ImT é tmbém gerdo pelos etores e [] Refletindo Um plicção liner T : V W está bem definid qndo conhecemos T T T n onde { n } é m bse de V Sej T: R R plicção liner tl qe T T e T - Determinr NT ImT m ds respectis bses e concl sobre injetiidde e sobrejetide de T Solção: Primeiro encontrremos definição d plicção T Como {} é bse cnônic do R qlqer etor deste espço pode ser escrito como combinção liner dest bse o sej z z e Tz T T zt Tz z- -z Logo NT {z; Tz } {z; z } Est igldde nos le solção gerl z -5z Portnto NT {z-5zz; z R } {z-5; z R } Obsere qe únic riáel lire é z fzendo z obtemos -5 e este etor constiti m bse do NT Assim dim NT e T não é injetor pois NT [-5] {} NT não é formdo pens pelo etor nlo ejm s Proprieddes do Núcleo Do Teorem d Dimensão dim ImT dim R dim NT Assimdim ImT dim R ImT R ImT é o contrdomínio e dí T é sobrejetor No Moodle N Pltform Moodle ocês encontrrão ários eercícios enolendo os conjntos núcleo e imgem de plicções lineres Tentem resolê-los Qlqer dúid solcionremos em bree 5 Corolário Sej T: V W m plicção liner Se dimv dimw então T é injetor se e somente se T é sobrejetor Demonstrção Sponhmos qe T sej injetor pel Propriedde do Núcleo NT {} logo NT não possi bse e dim NT Do Teorem d Dimensão dimv dimnt dimimt dimimt Por hipótese dimv dimw portnto dimw dim ImT e dí T é sobrejetor Agor recíproc: se T for sobrejetor ImT W logo dimimt dimw Ms d hipótese dimw dimv e jntmente d relção dimv dimnt dimimt temos dim NT e NT neste cso não tem bse sendo este m sbespço etoril temos NT {} logo T é injetor Dest form nm plicção liner onde dimv dimw se T é injetor o sobrejetor então T é sobrejetor o injetor 6 - Isomorfismo Denomin-se isomorfismo do espço etoril V no espço etoril W m plicção liner T: V W qe é injetor e sobrejetor isto é bijetor Neste cso diremos qe os espços V e W são isomorfos 6

27 7 - Eemplos Sej P {t bt c; bc R } o espço etoril dos polinômios de gr menor o igl Consideremos T : P R m plicção liner definid por Tt bt c c b b Verificremos qe V P e W R são isomorfos isto é plicção liner T é bijetor De fto i Se Tt bt c então c b b e b c isto é NT {t btc P ; Tt btc } neste cso é constitído do polinômio t t isto é NT {} logo T é injetor Além disso dimnt ii Por otro ldo {t t} é m bse de P logo dimv dimp dim R dimw sege do Corolário 5 qe T é sobrejetor De i e ii T é m plicção bijetor portnto T é m isomorfismo e conseqüentemente os espços V P e W R são isomorfos b Sej T : M R definid por T bcd Obseremos qe: c d b i T é injetor Se T então bcd e teremos b c d c d b b NT M; T c d c d neste cso NT {} e dimnt Ms dimv dimm dim R dimw como conseqüênci do Corolário 5 T é sobrejetor Portnto T:M R é m isomorfismo e isto implic qe M e R são espços isomorfos Agor tentem mostrr o seginte: se V e W são espços etoriis de dimensão finit e dim V dim W então V e W são isomorfos A segir definiremos mtriz de m plicção liner: - Mtriz de m plicção liner Sej T: V W m plicção liner m bse de V e γ m bse de W Por simplicidde consideremos o cso em qe dimv e dimw Assim tomemos { } e γ {w w w } bses de V e W respectimente Sej V logo T W ssim e T podem ser escritos como combinção liner dos etores de V e W respectimente e T w w w As coordends e definids cim são denotds por [] e [T] γ Por otro ldo de e d lineridde de T T T T T Sendo T e T etores de W estes podem ser escritos como combinção liner dos etores de γ: T w w w T w w w 5 7

28 e sbstitindo esses etores em temos: o ind T w w w w w w T w w w Comprndo igldde em com últim epressão temos: e escreendo este sistem n form mtricil e sndo notção em temos [T] γ o ql denotmos [T ] γ teremos relção [T] γ [T ] γ [] A mtriz [T ] γ é denomind mtriz de T em relção às bses e γ Obserções: A mtriz [T ] γ é de ordem lembrndo qe dimv e dimw As colns d mtriz [T ] γ são s componentes ds imgens dos etores d bse em relção à bse γ de cordo com s combinções lineres em e 5 T γ T γ No cso gerl se T : V W é m plicção liner dimv n e dimw m com { n } e γ {w w w m } bses de V e W respectimente então mtriz [T é de ordem mn ] γ [T ] γ m m n n mn Cso dimv dimw n mtriz T γ T γ T n γ [T ] γ é qdrd de ordem nn 8

29 - Eemplos Sej T : R R definid por Tz z 5 z Consideremos {} e γ {5} bses do R e R respectimente Determinremos mtriz [T qe é de ordem ] γ [ ] T γ onde os elementos d mtriz são determindos escreendo os etores T T e T obtidos plicndo T nos etores d bse como combinção liner dos etores d bse γ: e teremos: T - 5 T 5-5 T e 8 Assim 7 [ T ] γ 9 8 Sej T: R R o operdor liner definido por T z z z Vmos determinr [ T] onde é bse cnônic do R qe tmbém é denotd por[ T ] Sendo bse cnônic do R { } com e A mtriz [ T] neste cso é de ordem e pr determiná-l escreeremos os etores T T e T como combinção liner dos etores d bse Encontrndo os etores T T e T T T T T T T - e escreendo-os como combinção liner dos etores d bse temos T T T - - A mtriz [T] é obtid colocndo s coordends de T i n i-ésim coln com i o sej [ T] 9

30 Unidde III: Vetores Próprios e Vlores Próprios de m Operdor Liner - Sitndo Temátic Consideremos seginte sitção: ddo m operdor liner estdremos os etores qe são ledos em m múltiplo de si mesmo isto é os etores próprios Em segid encontrremos m bse do espço etoril n ql mtriz de m determindo operdor liner sej mis simples possíel - Problemtizndo Temátic Consideremos m fogete sbindo erticlmente prtir do solo sob ção d forç gritcionl de m forç constnte pr cim e de m implso f tmbém pr cim proporcionl o tempo t decorrido depois d h do lnçmento Se h é ltr pel segnd lei de Newton temos: m f bt mg dt N resolção dest eqção diferencil tilizm-se os conceitos de espço etoril bse lores e etores próprios O leitor interessdo em mis detlhes ej Álgebr Liner José Liz Boldrini - Conhecendo Temátic - Vetores próprios e lores próprios de m operdor liner Sej T : V V m operdor liner Um etor V é etor próprio de T se eiste λ R tl qe T λ Neste cso o número rel λ é denomindo lor próprio de T ssocido o etor próprio λ e são chmdos tmbém de tolor e toetor de T respectimente o ind lor e etor crcterístico de T Amplindo o se conhecimento As noções de etores e lores próprios de m operdor liner são fndmentis por eemplo em Físic Atômic porqe os níeis de energi dos átomos e molécls são ddos por lores próprios de determinds mtrizes Obserções Como se ê pel Definição m etor é etor próprio se imgem T for m múltiplo esclr de No R e no R dirímos qe e T têm mesm direção Assim dependendo do lor de λ o operdor T dilt se λ > contri se < λ < inerte o sentido de se λ < o o nl no cso de λ ejm figr 8 Obserem qe n figr 8 mesm direção não é m etor próprio de m operdor liner T pois e T não têm

31 - Eemplos O etor 5 é etor próprio do operdor liner ssocido o lor próprio λ 6 pois: T: R R T 5 T T Já o etor não é etor próprio deste operdor T pois: pr todo λ R T 5 λ N simetri definid no λ R por T qlqer etor é etor próprio ssocido o lor próprio Sej T: R R o operdor liner definido por T z z z Obserem qe o etor - é m etor próprio do operdor liner T ssocido o lor próprio λ pois e O sej T λ com ; T T 6 λ 6 Primeir qestão qe podemos ler em considerção: será qe o etor - é o único etor próprio de T definido no Eemplo? Pr isto bscremos m mneir de determinr os etores e lores próprios de m operdor liner Tendo em ist plicções em qestões de Geometri Anlític serão estddos neste Cpítlo somente etores próprios e lores próprios de operdores lineres definidos em R e em R - Determinção dos lores e etores próprios Determinção dos lores próprios de m operdor liner T Sej T: R R o operdor liner cj mtriz cnônic é: [ T] ql será denotd por A [ T] [ T] com é bse cnônic do R Se e λ são respectimente etor próprio e o correspondente lor próprio do operdor T tem-se: é mtriz coln o ind Tendo em ist qe I form: T A λ A λ I é mtriz-identidde podemos escreer últim igldde etoril d

32 A λ I o sej A λ I Pr qe este sistem homogêneo dmit solções não-nls isto é: deemos ter: isto é o ind det det A λ I λ det λ λ λ λ λ A eqção det A λ I é denomind eqção crcterístic do operdor T o d mtriz A e ss rízes são os lores próprios do operdor T o eqilentemente d mtriz A O determinnte det A λi é m polinômio em λ denomindo polinômio crcterístico Determinção dos lores próprios de m operdor liner T N determinção dos etores próprios sbstitiremos o esclr λ pelos ses lores no sistem homogêneo de eqções lineres como eremos nos eercícios segir - Eercícios Resolidos Sej T: R R o operdor liner definido no Eemplo o sej T z z z Vimos qe o etor - é m etor próprio de T Pssremos determinr os demis etores próprios de T Solção i Primeiro encontrremos mtriz T mdnç de bse de pr onde { } e é bse cnônic do R Encontrndo os etores T T e T T T T T T T - e escreendo-os como combinção liner dos etores d bse temos T T T - - e mtriz [T] é obtid colocndo s coordends de T i n i-ésim coln i o sej

33 [ T] A iii Pssmos estdr o polinômio crcterístico de T definido nteriormente det[ A λi] o sej sbstitindo s mtrizes A e I I identidde temos: det[ A λi] det λ λ det λ λ[ λ λ ] λ λ[ λ λ ] λ λ 5λ 6 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ o λ Assim λ e λ são s rízes do polinômio crcterístico de T isto é são os lores próprios de T Obserem qe λ é m riz repetid tem mltiplicidde iii Agor determinremos os etores próprios de T Pr isto consideremos o etor z do eqção definid nteriormente est será d form: R representdo por m mtriz coln A λ I λ λ λz e z Agor sbstitindo λ n eqção temos: o z z z e o sistem tem solção z onde é m riáel independente pois m etor próprio é m etor não nlo Logo os etores próprios de T correspondentes o lor próprio λ são d form Se escolhermos por eemplo m etor próprio de T é d form Sbstitindo λ n eqção encontrremos os etores próprios correspondentes isto é o z z z

34 e solção deste sistem é d form e z onde é riáel lire não nl pois m etor próprio é m etor não nlo Assim os etores próprios de T ssocidos o lor próprio λ são d form: - R Obserem qe se m etor próprio de T correspondente o lor próprio λ será - Como já tínhmos obserdo no Eemplo cim Determinr os lores próprios e os etores próprios d mtriz 6 A [ T] 6 8 Solção: A mtriz é mtriz mdnç de bse de pr onde é bse cnônic do R A eqção crcterístic de T é: 6 λ 6 λ 6 λ det A λi det det 6 8 λ 6 8 λ 6 8 λ isto é: 6λ 6 λ8 λ 6 8 6λ 8λ λ λ o ind λ λ e s rízes dess eqção são comples pois o discriminnte Δ < Por conseginte mtriz A o o operdor T não possi lores próprios nem etores próprios Obserção Se n definição de lor próprio de m operdor liner T dmitíssemos λ qlqer rel o compleo poder-se-i dizer qe mtriz A possi lores próprios compleos e em conseqüênci etores próprios de componentes compleos Neste teto considerremos pens lores próprios reis pois os espços etoriis estddos são espços etoriis sobre R Anlogmente à qestão nterior determinr os lores próprios e os etores próprios d mtrz 5 A [ T] Solção: i Temos qe o polinômio crcterístico de A é: isto é 5 λ λ 5 det A λi det det λ λ λ λ λ 5λ 6 e s rízes dest eqção λ 6 λ são os lores próprios d mtriz A ii Vimos qe o sistem homogêneo de eqções lineres qe permite determinção dos etores próprios ssocidos é definido por: Lembrndo qe T : R R e R denotmos por A λ I e últim eqção é eqilente o seginte sistem

35 λ 5 λ i Sbstitindo λ por λ 6 no sistem obtêm-se os etores próprios ssocidos o lor próprio λ : o sej O sistem dmite m infinidde de solções própris: 5 Assim os etores do tipo λ 6 5 o são etores próprios ssocidos o lor próprio 5 ii Anlogmente sbstitindo λ por λ no sistem obtêm-se os etores próprios ssocidos o lor próprio λ 5 5 isto é: 5 5 E o sistem dmite m infinidde de solções d form: Assim os etores do tipo o são etores próprios ssocidos o lor próprio λ No Moodle Alô lnos! Deemos tentr resoler os eercícios só ssim ssimilremos os conceitos e resltdos 5 - Proprieddes dos etores e lores próprios Se é etor próprio ssocido o lor próprio λ de m operdor liner T o etor pr qlqer rel é tmbém etor próprio de T ssocido o mesmo λ De fto: e: T λ T T λ λ Aliás os Eercícios Resolidos ilstrm est propriedde 5

36 6 - Obserção Tendo em ist qe é etor próprio ssocido o lor próprio λ fzendo pode-se obter sempre m etor próprio nitário ssocido o lor próprio λ Otr propriedde dos etores próprios: Se λ é m lor próprio de m operdor liner T : V V o conjnto Sλ { V / T λ} constitído de todos os etores próprios correspondentes o lor próprio λ é m sbespço etoril de V De fto S λ pois S λ T λ Se Sλ T T T λ λ λ e portnto Sλ Anlogmente se erific qe S pr todo R λ O sbespço S λ é denomindo sbespço ssocido o lor próprio λ o espço crcterístico de T correspondente λ o to-espço ssocido λ Por eemplo no Eercício Resolido imos qe o lor próprio λ 6 correspondem os etores próprios do tipo 5 Assim o to-espço ssocido 6 é: qe represent m ret qe pss pel origem S 6 { 5 / R } [5] Mtrizes Qdrds qe B P - AP Ds mtrizes qdrds A e B são semelhntes se eistir m mtriz inertíel P tl Mtrizes semelhntes têm o mesmo polinômio crcterístico e por isso os mesmos lores próprios De fto: Sejm T : V V m operdor liner e A e B bses de V Sbe-se qe relção entre mtrizes semelhntes é T M T M sendo M mtriz-mdnç de bse de B pr A Então: [ ] B [ ] A det [ T ] A M λm IM det [ T] A λi det M M det [ T ] det [ T ] B λ I det M [ T ] A M λi det M [ T ] B λi det M [ T] A λi M det M [ T ] B λi det M det M det [ T ] A λi det det [ T ] λi det [ T ] λi det - Digonlizção de operdores B A M λi Sbe-se qe ddo m operdor liner T : V V cd bse de V corresponde m mtriz [ T] qe represent T n bse Nosso propósito é obter m bse do espço V de modo qe mtriz de T ness bse sej mis simples representnte de T - Otr propriedde dos lores e etores próprios A Vetores próprios ssocidos lores próprios distintos de m operdor liner independentes T : V V são linermente 6

37 Fremos demonstrção pr o cso de dois lores próprios λ e λ distintos A pro pr o cso de n lores próprios distintos é nálog Sejm T λ e T λ com λ λ Consideremos igldde: Pel lineridde de T temos T T o: λ λ Mltiplicndo mbos os membros d igldde de por λ em: Sbtrindo de : λ λ λ λ ms λ λ e logo Sbstitindo n eqção e tendo em ist qe temos qe Portnto o considerrmos combinção liner únic solção é nl é LI Dí o conjnto { } Corolário Sejm λ eλ com λ λ lores próprios do operdor liner T : R R ssocidos o etores próprios e O conjnto { } é m bse do R Este fto le em gerl isto é se T : V V é liner dim V n e T possi n lores próprios distintos o conjnto { n } formdo pelos correspondentes etores próprios é m bse de V Eemplo Sej o operdor liner T : R R definido por T 5 5 A mtriz cnônic de T é definid por A [ T] onde é bse cnônic do R e o polinômio crcterístico de T é dd por λ 5 det A λi λ o ind λ λ Dí λ e λ são os lores próprios de T pois são s rízes d últim eqção Como λ λ os correspondentes etores próprios formm m bse de R Clclndo os etores próprios por meio do sistem homogêneo λ obteremos: Pr λ os etores ; Pr λ os etores Logo o conjnto { } 5 λ é m bse do liner T e mtriz de T em relção é d form R constitíd de etores próprios do operdor 7

38 [T] O sej m mtriz digonl cjos elementos são os lores próprios de T λ e λ Por otro ldo sempre qe tiermos m bse de m espço formd por etores próprios e conhecermos os lores próprios ssocidos poderemos determinr o respectio operdor nesse espço É o qe fremos no próimo problem No Moodle Obsere os problems resolidos segir Eles o jdrão compreender os eercícios propostos n pltform moodle - Eercícios Resolidos Os lores próprios de m operdor liner T : R R são λ e λ sendo e os respectios etores ssocidos Determinr T Solção: Epressemos inicilmente : em relção à bse { } b o sej b de onde e b Logo e plicndo o operdor T e sndo s lineridde temos T T T Por otro ldo T e T logo T o sej T 5 Obserção: Chmndo de P bse cim isto é P { } e obserndo qe: conclímos qe mtriz T T [ T ] P represent o operdor T n bse dos etores próprios e é m mtriz digonl cjos elementos d digonl principl são λ e λ 8

39 9 Sej : T R R m operdor liner definido por T - - cj mtriz em relção à bse cnônic é A Encontrremos m bse γ constitíd de etores próprios de T O polinômio crcterístico de T é det λ λ λi A o - λ λ o ind λ λ e λ e λ são os lores próprios de T Sendo estes lores próprios distintos os etores próprios correspondentes constitem m bse do R De fto Atrés do sistem homogêneo λ λ obteremos os etores próprios: Pr λ os etores ; Pr λ os etores Logo o conjnto {} é m bse do R Clclndo [T] T e T dí ] [ T Obsere qe mtriz de T em relção à bse de etores próprios é m mtriz digonl É clro qe mtriz digonl [T] obtid neste eercício não foi por cso Dd m plicção liner qlqer T:V V se consegirmos m bse { n } formd por etores próprios de T então mtriz ] [T será m mtriz digonl De fto como n n n n n T T T λ λ λ mtriz ] [T será m mtriz digonl onde os elementos d digonl principl são os lores próprios i λ isto é ] [ n T λ λ λ Não precismos ter necessrimente os i λ distintos N erdde m lor próprio precerá n digonl tnts ezes qntos forem os etores próprios LI ele ssocidos

40 Definição Sej T:V V m operdor liner Dizemos qe T é m operdor digonlizáel se eiste m bse de V cjos elementos são etores próprios de T No Moodle Cro lno ocê dee isitr pltform moodle pr erificr se os operdores lineres são digonlizáeis o não 5 - Eercício Resolido Sej T : R R o operdor liner cj mtriz em relção à bse cnônic é [ T ] 5 Logo o polinômio crcterístico é d form: det [T ] - λ I - λ - - λ Os lores próprios são λ e λ E os etores próprios ssocidos são solções do seginte sistem homogêneo λ 5 λ λ z Pr λ temos os etores ; Pr λ - teremos os etores - Neste cso temos pens dois etores próprios LI pr T e portnto não eiste m bse do R constitíd só de etores próprios o sej pel Definição T não é digonlizáel 5

41 Unidde IV: Espços com Prodto Interno - Sitndo Temátic Estmos interessdos em formlizr os conceitos de comprimento de m etor e de ânglo entre dois etores Assim poderemos medir nm espço etoril d mesm form pel ql se mede no plno o no espço - Problemtizndo Temátic Consideremos m corpo no plno qe se desloc em linh ret d origem té m ponto pel ção de m forç constnte F Sbemos d Físic qe o trblho relizdo pel forç F é ddo pel eqção: W F cosθ ondeθ é o ânglo entre e F O trblho é definido por qe é m prodto dos etores e F denotdo <F> Este prodto é denomindo prodto interno o prodto esclr e tem m relção importnte com norm de m etor - Conhecendo Temátic O principl objetio neste cpítlo é estdr espços etoriis nos qis tenh sentido flr do comprimento de m etor e do ânglo entre dois etores - Prodto Interno Sej V m espço etoril sobre R Um fnção : V V R é m prodto interno sobre V se s segintes condições são stisfeits: w w w pr todos w V pr todos V e R pr todos V pr todo V e - Obserções Note qe b w w b w b R e w V pois b w w b w w b w Mis gerlmente n n w w n n w i R e w V Note tmbém qe - Eemplos bw b w b R e w V Sejm V R e V Então é m prodto interno sobre V o ql é chmdo de prodto interno sl cnônico Note qe X t Y onde 5

42 X [] e Y [] z z z V e R temos qe Solção: Ddos w e Logo w 5 z z z z z z z z z z z z z z z w w As condições e são nálogs Finlmente é clro qe Agor pr pror qe em R Sponhmos por bsrdo qe digmos Então - o qe é m contrdição pois o ldo esqerdo d últim eqção é mior o igl zero enqnto o ldo direito é negtio Sejm V R e é m prodto interno sobre V Note qe X t AY onde V Então X [] A Solção: Vmos pror pens condição Como 5 temos qe Є V e Note qe como mtriz A 5 e Y [] 5 é simétric temos qe eiste m mtriz inertíel P tl qe P t AP D é digonl pois 5 L L L C C C [D P t ] Assim dizemos qe A é positi definid se todos os elementos digonis de D são positios Em gerl fnção X t AY define m prodto interno se A for m mtriz simétric positi definid

43 Sejm V P R e f g b b V Então é m prodto interno sobre V f g f t g t dt Solção: Vmos pror pens condição Como f f temos qe f f f V e f f f Um espço etoril V sobre R mnido com m prodto interno é chmdo espço eclidino Sejm V m espço eclidino e V Dizemos qe e são ortogonis se e denotmos por Sejm e sbconjntos de V Dizemos qe e são ortogonis se e e denotmos por Dilogndo e constrindo o se conhecimento Tentem mostrr qe os conjntos { R } e { R Cso não consigm disctiremos n pltform moodle R } são sbconjntos ortogonis do - Proposição Sej V m espço eclidino Então: pr todo V Se então Se pr todo V então Se w w então w 5 Se então pr todo R Pro Vmos pror pens os itens e Como pr todo V temos qe Finlmente como por hipótese Portnto pr todo V temos em prticlr qe Teorem Sejm V m espço eclidino e é m sbconjnto de V formdo de etores não-nlos ortogonis os pres então é linermente independente Pro Sejm n etores distintos de e n R tis qe n n Então j n n j j n n j j j j pois i j se i j Como i j > temos qe j j n Portnto é linermente independente 5

44 Sej V m espço eclidino Dizemos qe n é m bse ortogonl Hmel de V se i qndo i j j { } 5 Corolário Sej V m espço eclidino com V n n é m conjnto de etores não-nlos ortogonis os pres de V então é m bse ortogonl de V 6 - Eemplos n Sej V R com o prodto interno sl Então { e e n } é m bse ortogonl de V Sej V R com o prodto interno onde V Então 5 { } é m bse ortogonl de V Solção: Como { -} é LI e portnto m bse do R e 5 dim Se { } temos qe os etores e - são ortogonis Portnto é m bse ortogonl de V Sejm V P R com o prodto interno f g f t g t dt onde f g b b V Então { } é m bse ortogonl de V Solção Temos qe dimp R e {-} é LI Além disso Assim é bse ortogonl de P R t dt Sej V R com o prodto interno sl Então { } é m bse ortogonl de V Clcle [ ] Solção: É clro qe Logo é m bse ortogonl de V Pr clclr s coordends do etor clclr em relção à bse bst 5 e 5

45 Portnto 5 [ ] - Norm Sej V m espço eclidino A norm o comprimento de m etor V é definid como Note qe est definição é possíel pois pr todo V Sej V m etor qlqer Dizemos qe é m etor nitário se Se V é m etor não-nlo qlqer então o sbespço gerdo por é o mesmo sbespço gerdo por Neste cso dizemos qe é normlizção do etor Teorem Sej V m espço eclidino Então: pr todo V se e somente se pr todo V e R ± ± pr todos V é m etor nitário tl qe [ ] [ ] 5 pr todos V Desigldde de Cch-Schwrz 6 ± pr todos V Desigldde de Minkowski Pro Vmos pror pens o item 5 Se nd há pr ser prodo Se então s t s t R Como s t s st Em prticlr escolhemos Logo t temos qe s st t s t R s e t temos qe pois > Portnto etrindo riz qdrd em mbos os membros temos qe - Eemplo Sejm V m espço eclidino e V Mostre qe se e somente se R 55