NOTAS DE AULA - ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇOS VETORIAIS TRANSFORMAÇÕES LINEARES

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1 NOAS DE AULA - ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇOS VEORIAIS RANSFORMAÇÕES LINEARES ISABEL C C LEIE SALVADOR BA 007

2 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner ESPAÇOS VEORIAIS Definição: Sej m conjnto V não io sobre o ql estão definids s operções dição e mltiplicção por m esclr o sej V V R V V O conjnto V com esss ds operções é chmdo espço etoril rel o espço etoril sobre R se s segintes proprieddes forem stisfeits: A Em relção à dição: w V A w w A A 0 V tl qe 0 A 4 V tl qe 0 M Em relção à mltiplicção por esclr: V e β R M β β M β β M M 4 Eemplos: V R² { / R} é m espço etoril com s operções sis de dição e mltiplicção por esclr: Os conjntos R³ R 4 R n são espços etoriis com s operções sis de dição e mltiplicção por esclr V Mmn o conjnto ds mtries reis m n com som e o prodto por esclr sis Em prticlr: V Mnn o conjnto ds mtries qdrds de ordem n; V Mn {[ n ]; ij R} tmbém identificdo com V R n são espços etoriis reltimente às mesms operções 4 O conjnto P n { 0 ² n n ; i R} dos polinômios com coeficientes reis de gr n em relção às operções sis de dição de polinômios e mltiplicção por esclr Em prticlr o conjnto dos polinômios de gr menor o igl P { 0 ²; i R} é m espço etoril reltimente às mesms operções

3 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner Proprieddes dos espços etoriis D definição de espço etoril V decorrem s segintes proprieddes: i Eiste m único etor nlo em V elemento netro d dição ii Cd etor V dmite pens m simétrico V iii Pr qisqer w V se w então w i Qlqer qe sej V tem-se Qisqer qe sejm V eiste m e somente m w V tl qe w Esse etor w será representdo por w i Qlqer qe sej V tem-se 0 0 ii Qlqer qe sej λ R tem-se λ0 0 iii Se λ 0 então λ 0 o 0 i Qlqer qe sej V tem-se Qisqer qe sejm V e λ R tem-se λ λ λ SUBESPAÇOS VEORIAIS Definição Ddo m espço etoril V m sbconjnto W não io é m sbespço etoril de V se: i Pr qisqer W tem-se W ii Pr qlqer R W tem-se W Obserções As condições d definição grntem qe o operrmos em W não obteremos m etor for de W De modo qe W é ele próprio m espço etoril Qlqer sbespço W de V precis necessrimente conter o etor nlo condição ii pr 0 odo espço etoril dmite pelo menos dois sbespços chmdos sbespços triiis o conjnto formdo somente pelo etor nlo e o próprio espço etoril Eemplos Sejm V R² e W { ; R} Eidentemente W Φ pois 00 W Verifiqemos s condições i e ii Pr e W tem-se: i W pois segnd componente de é igl o dobro d primeir ii W pois segnd componente de é igl o dobro d primeir Portnto W é m sbespço etoril de R² qe represent geometricmente m ret qe pss pel origem

4 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner Obseremos qe o tomrmos dois etores e d ret qe pss pel origem o etor som ind é m ret qe pss pel origem E se mltiplicrmos m etor d ret por m número rel o etor ind estrá nest ret O mesmo não ocorre qndo ret não pss pel origem Por eemplo ret W { 4 ; R} não é m sbespço etoril do R² Se escolhermos os etores e 0 de W temos W Aind W pr Os eemplos dests ds rets sgerem pr qlqer sbconjnto W de m espço etoril V qe: sempre qe 0 W W não é sbespço de V No entnto se 0 W não nos engnemos pensndo de imedito qe W sej sbespço de V pois será necessário erificr s proprieddes i e ii Pr V R² os sbespços triiis são {00} e o próprio R² enqnto qe os otros sbespços sbespços próprios são s rets qe pssm pel origem Sejm V R 4 e W {0; R} 0000 W Pr 0 e 0 W: i W pois qrt componente é nl ii 0 0 W pois qrt componente é nl Logo W é sbespço etoril de R 4 Sejm V M e W o conjnto-solção de m sistem liner homogêneo três riáeis Consideremos o sistem homogêneo Fendo: 0 A X e 0 0 o sistem em notção mtricil será ddo 0 por AX 0 sendo X elemento do conjnto-solção W Se X e X são solções do sistem então: AX 0 e AX 0 i Somndo esss iglddes em: AX AX 0 o AX X 0 X X W isto é som de ds solções é ind m solção do sistem ii Mltiplicndo por R primeir igldde em: AX 0 o AX 0 X W isto é o prodto de m constnte por m solção é ind m solção do sistem Logo o conjnto-solção W do sistem liner homogêneo é m sbespço etoril de M

5 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 4 Eercícios Verifiqe se os segintes conjntos são espços etoriis OBS: Os símbolos e qndo tilidos são pr indicr qe dição e mltiplicção por esclr não são sis V { ²; R} com s operções definids por: ² ² ² ² ²² b V * R com s operções definids por e V Verifiqe se os segintes sbconjntos dos espços etoriis ddos são sbespços etoriis destes { R } W R b b W ; b R M R 0 0 INERSECÇÃO DE SUBESPAÇOS VEORIAIS Definição Sejm W e W sbespços etoriis de V W W W { V; W e W } eorem: A intersecção W de dois sbespços etoriis W e W de V é tmbém m sbespço etoril de V Eemplos: b b V M W ; d b c 0 e W c d ; c d b 0 o sej c d d b b ' 0 W e W 0 d ' ' Pr encontrrmos W W s condições de W e de W deem ser stisfeits simltnemente b 0 ' Assim temos: ' d d 0 Portnto W W d - b ' 0 0 V P R espço dos polinômios reis de gr menor o igl V { b c²; b c R} W { b c²; b c 0} e W { b c²; 0} W W { b c²; b c 0 0}

6 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 5 SOMA DE SUBESPAÇOS VEORIAIS Definição Sejm W e W sbespços etoriis de V W W W { w V; W e w W } eorem: A som W de dois sbespços etoriis W e W de V é tmbém m sbespço etoril de V Considerndo os mesmos espços e respectios sbespços dos eemplos nteriores: d b b ' 0 ' d b b 0 d ' ' ' ' d c b b W W ; ' b c R o W W ' c ; w w Sejm p b c b c W e q b c W p q b c b b c c Como não eiste nenhm relção de dependênci entre os lores b c b b e c c W W é m polinômio qlqer de P R W W P R SOMA DIREA DE SUBESPAÇOS VEORIAIS Definição Sejm W e W sbespços etoriis de V Di-se qe V é som diret de W e W e se represent por V W W se V W W e W W {0} eorem: Se V é som diret de W e W todo etor V se escree de modo único n form w onde W e w W Eemplo: Sejm V R o sej V {bc; bc R} e os ses sbespços W { b 0; b R} e W {00c; c R} R é som diret de W e W pois W W {bc; bc R}e W W {000} Confirmndo o teorem cim bc R b c b c escrito de modo único Eercício: b b Sejm W ; d e b c e W c d ; c e b d sbespços de M R c d Determine W W W W e erifiqe se M R W W

7 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 6 COMBINAÇÃO LINEAR Sejm os etores d form K n do espço etoril V e os esclres n K n K Qlqer etor V K n é m combinção liner dos etores n Eemplo: Em P o polinômio p 5t 5t 7 é m combinção liner dos polinômios p t t p t e p t t pois p p p p Eercícios Escreer 4 6 como combinção liner de e Pr qe lor de k mtri A é combinção liner de A 0 k e 0 A? 0 4 Mostrr qe o etor 4 R² pode ser escrito de infinits mneirs como combinção 0 0 liner dos etores e SUBESPAÇOS GERADOS Sejm V m espço etoril e A { K n} V A Φ O conjnto W de todos os etores de V qe são combinção liner dos etores de A é m sbespço etoril de V ; K ; R é dito sbespço gerdo pelo conjnto A W V n n K Notção: W [ K ] o W GA n n Obserções: K n são ditos etores gerdores do sbespço W Por definição: A Ф [Ф] {0} A GA o sej { K n } [ K n ] 4 odo sbconjnto A de V ger m sbespço etoril de V podendo ocorrer GA V Nesse cso A é o conjnto gerdor de V 5 Sej W [ K n ] Ao crescentrmos etores de W o conjnto dos gerdores os noos conjntos continrão gerndo o mesmo sbespço W 6 A obserção 5 nos permite conclir qe m espço etoril pode ser gerdo por m infinidde de etores ms eiste m número mínimo de etores pr gerá-lo Eemplos: i 0 e j 0 germ o R² pois 0 0 R i 00 e j 00 germ o sbespço do R³: W {0 R³; R} qe geometricmente represent o plno 0 i 00 j 00 e k 00 germ o R³ pois R 4 i 00 j 00 e 40 germ o sbespço do R³: W {0 R³; R} 5 - e 0- germ o sbespço do R³: W { R³; - 4-0}

8 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 7 6 A ger o sbespço de M R: W ; R ESPAÇOS FINIAMENE GERADOS Um espço etoril V é finitmente gerdo se eiste m conjnto finito A A V tl qe V GA odos os eemplos de espços etoriis istos té gor são eemplos de espços finitmente gerdos Um eemplo de espço etoril não finitmente gerdo é o espço P de todos os polinômios reis DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR Sejm V m espço etoril A { K n} V e K n n 0 O conjnto A di-se linermente independente LI o os etores K n são ditos LI cso eqção cim dmit pens solção triil 0 K 0 0 n Se eistirem solções i 0 pr lgm i n di-se qe o conjnto é linermente dependente LD Eemplos: Em V R³ os etores e w - são LD pois podemos escreer combinção liner 4 w 0 b Em V P R os polinômios p 4 p 5 e p 4 são 0 LI pois p p p 0 somente qndo c Em V R² i 0 e j 0 são LI d Em V R² i 0 j 0 e - são LD pois podemos escreer combinção liner i j 0 Atenção: Fç os cálclos qe conferem s firmções cim eorem Um conjnto A { K n } é LD se e somente se pelo menos m desses etores é combinção liner dos otros O eqilentemente m conjnto A { K n } é LI se e somente se nenhm desses etores pode ser escrito como combinção liner dos otros Do teorem cim podemos conclir qe pr o cso prticlr de dois etores temos qe: e são LD se e somente se m etor é múltiplo esclr do otro Eemplo: 6 A M R é m conjnto LD pois podemos escreer combinção liner Notemos qe

9 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 8 Eercício: Verifiqe se são LD os segintes conjntos { 4 7 } P R { } R² PROPRIEDADES DA DEPENDÊNCIA E DA INDEPENDÊNCIA LINEAR Sej V m espço etoril Se A {} V e 0 então A é LI Consider-se por definição qe o conjnto io Ф é LI Se m conjnto A V contém o etor nlo então A é LD 4 Se m prte de m conjnto A V é LD então A é tmbém LD 5 Se m conjnto A V é LI então qlqer prte de A é tmbém LI Obseremos qe recíproc dest firmção não é erddeir De fto oltndo o eemplo d A {0 0 -} temos qe qlqer sbconjnto próprio de A é LI A {0} A {0} A {-} A 4 {0 0} A 5 {0 -} A 6 {- 0} Porém erificmos qe o conjnto A é LD 6 Se A { } é LI e B { n w} etores K n K n é LD então w é combinção liner dos K BASE DE UM ESPAÇO VEORIAL Um conjnto B { K n} V é m bse do espço etoril V se: i B é LI; ii B ger V Eemplos: B { - 0} é bse do R OBS: qisqer dois etores não colineres do R portnto LI formm m bse desse espço B { 0 0 } é bse do R denomind bse cnônic B { e e K e n } é bse cnônic do R n onde 00 K 0 e 00 K0 K e 00 4 n K n R pode ser escrito como e e e são etores LI e K e n n B B { t t t n } é bse cnônic de M R K é bse cnônic do espço etoril P n e tem n etores

10 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 9 6 B { - -4} não é bse do R pois é LD 7 B { -} não é bse do R pois não ger todo R Esse conjnto ger m ret qe pss pel origem W [ -] { R ; -} 8 B { --0} não é bse do R pois não ger todo R B ger o sbespço do R W R ; 0 e por ser LI é bse de W { } OBS: odo conjnto LI de m espço etoril V é bse do sbespço por ele gerdo eorem: Se B { K n} for m bse de m espço etoril V então i todo conjnto com mis de n etores será LD; ii todo conjnto com menos de n etores não ger V Corolário: Ds bses qisqer de m mesmo espço etoril têm o mesmo número de etores DIMENSÃO de m espço etoril: é o número de etores d bse de m espço etoril Eemplos: dim R dim R n n dim M R 4 4 dim Mmn m n 5 dim P n n 6 dim {0} 0 pois {0} é gerdo pelo conjnto io e portnto não possi bse Obserções: dim V n e W é sbespço de V dim W n No cso de dim W n então temos qe W V E: V R dim V A dimensão de qlqer sbespço W do R só poderá ser 0 o Portnto temos: dim W 0 então W {000} é origem b dim W então W é m ret qe pss pel origem c dim W então W é m plno qe pss pel origem d dim W então W R Se dim V n então qlqer sbconjnto de V com mis de n etores é LD Se sobermos qe dim V n pr obtermos m bse de V bst qe pens m ds condições de bse estej stisfeit pois otr ocorrerá como conseqüênci O sej: Se dim V n qlqer sbconjnto de V com n etores LI é m bse de V b Se dim V n qlqer sbconjnto de V com n etores gerdores de V é m bse de V

11 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 0 EXERCÍCIOS Verifiqe se os conjntos bio são sbespços de V R W R constnte rel c W R b W R d W R sen Ddos os espços etoriis bio dig em cd cso se W é sbespço etoril de V sobre R V R W R { R } { R 0} W W b V M R b W { A V A A fid emv} b W { A V A A} A V A é inersíel b W c P R V c { t bt c V b c 0} c W { t bt c V c 4} W d V F R R Espço ds fnções contíns de R em R d W { f V f f } W f V f 0 d { } Sej M R t t V e sejm W { A V A A} e W { A V A A} Mostre qe: W e W são sbespços de V; b V W W ; 4 No eercício nterior mostre qe V W W 5 Escre se possíel cd etor como combinção liner dos elementos de S sendo: e S e S { 0 9 } 0 0 e S b c { } d d p t t 4t t e S { t t t } e f sen e S { cos } 6 Determine m conjnto de gerdores pr os segintes sbespços: { R 0 e 0} W { R 0} b W b W c 0 e d 0 c d c M R { b c e 0} d W bt ct d P R t

12 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 7 Sej { w} { w w w} m conjnto LI de etores de m espço etoril V Mostre qe é LI 8 Determine k de modo qe o conjnto { 0 k k k } k sej LI 9 Mostre qe os segintes pres de etores em V F RR são LI b c 0 Verifiqe qis dos segintes conjntos: e d sen cos i são LI ii germ os espços V considerdos iii são bses dos espços V considerdos 4 { } V R b { } V R 0 0 c V M R 0 d V M R 0 e e { t t } V P R t f { 5 t } V P R t Determine m bse e dimensão dos segintes sbespços etoriis: [ π ] W em V R b [ ] W em c W A M R A A t em M R d Os sbespços do eercício 6 e [ sen cos ] V F R R W f W [ e e e ] V F R R V 4 V R Encontre s eqções lineres homogênes qe crcterim os segintes sbespços: [ 0 0 ] W em b [ 4 4 ] W em V R V R c [ ] W em 4 V R

13 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 0 d W em M R e W [ t t t t] em P R V V Em cd cso segir determine os sbespços U W U W de V e m bse pr cd m dos sbespços encontrdos: V b V 4 R R c V M R d V R U W U W U W U W { w V w 0} { w V 0 e w 0} { V 0} e [ 00 7 ] V w 0 0 e w V 0 w 0 w [ 0 0 ] [ 0 0 ] 4 Ddos os etores 4 0 e t 48 6 Encontre m bse pr S [ t] ; : b Escre s eqções qe crcterim S; c Qe relção dee eistir entre e b pr qe 0b d Sej Y [ 00 ] Determine Y S Y S 5 Verifiqe se V U W nos segintes csos: 0 pertenç S? dim e m bse pr Y S e e V M b V 4 R c itens do eercício o U d W d U W b e b e c V b f f c V d 0 f { w V w w 0} { w V 0} 6 Determine m bse do R 5 qe contenh o conjnto { } 7 Sendo W [ 5 7 ] encontre m sbespço U do Jstifiqe s respost R tl qe R U W

14 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 8 Sejm W ew sbespços do 5 R Sbendo-se qe: dim W W 4 ; { } é bse de W ; W [ 00 0 ] W Determine dimensão de W Jstifiqe s respost 9 Sbendo qe V W R 4 e V [ 4 69 ] determine dimensão de W Jstifiqe 0 Sejm V m espço etoril de dimensão igl 6 U e W sbespços de V tis qe: dim U 4 e dim W 5 Mostre qe W { 0} b dim dim W 4 U U Encontre s possíeis dimensões pr U W Dê se possíel eemplos de: Um conjnto LI de etores qe não germ o R ; b Um conjnto LD de etores do M R ; c Um sbespço U de R 4 tl qe U R 4 e dim U 4 ; d Dois sbespços W e U de R 5 tis qe dim dim Cso sej impossíel jstifiqe s respost 5 U W e U W R Determine s coordends dos segintes etores em relção às bses indicds: 4 5 b 0 c t 5t t B B' { 0 0 } { 0 4 } 0 0 B B' bse cnônic de M { t t t t t- } B B' bse cnônic de P 0 0 R R 0 0

15 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 4 sim b não c não d não Resposts não sim não c sim c não b sim b não b não d sim d sim c não é possíel t 4t t 5 t t t 4 b 7 d e sen cos 6 b k 0 e k 0 i LI ii sim iii sim b i LD ii sim iii não c i LD ii não iii não d i LI ii não iii não e i LI ii sim iii sim f i LD ii não iii não c d { t t } W B otr bse de W: B b B dim W c B W dim { } dim W { } dim W d d B d B d B W 0 dim d4 B { t t} dim W e B sen cos dim W f B { e e e } dim W { } W R 0 b W ' dim { R 0} c W R 4 d W M w R 0 e 0 w e W t bt ct d P R c b { } 4 U W { w R w } 4 U W { w R w } B U W { } 0 B U W

16 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 5 b U W R 0 B U W 00 U W R c U W U W M R d B U W U W R B U W não há bse B U W 0 { } U W R B U W B 0 00 otr bse: 4 0 { } b { } S w R w c b d Y S Y dim Y S B Y S mesm de S 5 não b sim c não b não c sim d não 6 B [ 0 0 ] o por eemplo [ 00 ] o [ 0 0 ] U U U 8 dim W 4 9 dim W 0 < < 5 { 0} dim U W U W b 4 impossíel b por eemplo c impossíel d impossíel 0 0 [ ] 5 [ 4 5 ] 4 5 B 7 e 58 7 b B' B e 0 B' B 5 c [ t 5t t] [ t 5t t] B e '

17 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 6 RANSFORMAÇÃO LINEAR Sejm V e W espços etoriis Um plicção :V W é chmd trnsformção liner de V em W se stisf às segintes condições: I II R e V Em prticlr m trnsformção liner de V em V o sej se W V é chmd operdor liner sobre V Eemplos: A trnsformção nl o ero é liner: O O: V W 0 O De fto: I O O O II O 0 0 O A trnsformção identidde é liner I I W V I : De fto: I I I I II I I A trnsformção projeção de R em R é liner R R : De fto: I II 4 A fnção rel F: R R tl qe F não é m trnsformção liner De fto: I F F F II F F

18 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 7 5 A trnsformção derid D é liner P n R é o conjnto dos polinômios reis de gr n e ft gt são polinômios de P n R D : P R P R n f t D f t n f ' t De fto: I D f t g t f t g t ' f ' t g ' t D f t D g t II D f t f t ' f ' t D f t Eercício: Verifiqe se são lineres s segintes plicções : R R definid por b : P R R definid por t t Proprieddes Se V W 0 0 : é m trnsformção liner então V 0W Eqilentemente se 0 0 então V W V W 0 : não é m trnsformção liner Podemos sr est propriedde pr jstificr qe trnsformção do eercício b não é liner 0 0 pois Se : V W é m trnsformção liner então V e R Anlogmente K K K V e K n n n n n n R Est propriedde é mito útil principlmente se os etores K n constitem m bse de V pois podemos encontrr lei d trnsformção liner como em eemplificdo bio Eemplo: Sejm : R R m trnsformção liner e B m bse do R³ Sbendo qe e 0 0 determine e 5 Em primeiro lgr mos epressr o etor como combinção liner dos etores d bse No cso resolendo o sistem determinmos qe Aplicndo trnsformção e sndo propriedde temos Portnto 4 4 e plicndo o etor ddo 5 0 0

19 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 8 Imgem de m trnsformção liner Chm-se imgem de m trnsformção liner : V W o conjnto dos etores w W qe são imgem de etores V Im { w W / w pr lgm V} W OBS: Im pois no mínimo o conjnto imgem contém o etor nlo 0 W Im Se Im W di-se trnsformção sobrejetor isto é w W V tl qe w A imgem de m trnsformção liner : V W é m sbespço etoril de W Eemplo: Sej f : R R f 0 projeção ortogonl do R sobre o plno 0 A imgem de f é o próprio plno 0 Imf { 0 R / R } Núcleo de m trnsformção liner Chm-se núcleo de m trnsformção liner : V W o conjnto de todos os etores V qe são trnsformdos em 0 W Indic-se este conjnto por N o ker N { V/ 0} Eemplos: No eemplo nterior o núcleo d trnsformção f é o eio dos pois 0 f Portnto N f {00 / R} Dd trnsformção liner : R R 4 8 por definição sbemos qe N se e somente se o sistem cj solção é e Logo N { R / R}

20 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 9 OBS: N pois no mínimo o núcleo contém o etor nlose V N Um trnsformção liner é dit injetor se e somente se N {0} : V W é m trnsformção injetor se V O núcleo de m trnsformção liner : V W é m sbespço etoril de V eorem do Núcleo e d Imgem Se V é m espço etoril de dimensão finit e : V W m trnsformção liner dim N dim Im dimv Corolários: Sej : V W m trnsformção liner Se dimv dimw então é sobrejetor se e somente se é injetor Se dimv dimw e é injetor então trnsform bse em bse isto é se B { n} bse de V então B K é bse de W { n } K é Se trnsformção liner não stisf tods s condições do corolário podemos sr m resltdo semelhnte pr gerr imgem d trnsformção: Se : V W é m trnsformção liner e { n} K n ger Im K ger V então Eercício: Determine o núcleo imgem m bse pr o núcleo m bse pr imgem e dimensão de cd m deles pr s segintes trnsformções lineres : R R R definid por definid por t R tl qe e e 0 e e sendo { } : P R : R cnônic do R³ e e e bse Isomorfismo Chm-se isomorfismo do espço etoril V no espço etoril W m trnsformção liner : V W bijetor injetor e sobrejetor Neste cso V e W são ditos espços isomorfos Eemplo: Mostremos qe : P R R definid por bt ct c b c b é m isomorfismo Determinndo o N: c 0 c 0 bt ct 000 b c 0 b 0 N { 0} é injetor b 0 0 P R dim R³ pelo corolário podemos firmr qe tmbém é Como é injetor e dim sobrejetor prondo o isomorfismo

21 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 0 Atomorfismo Chm-se tomorfismo o operdor liner : V V qe é bijetor Proposição Se : V W é m isomorfismo então eiste m trnsformção iners qe tmbém é m isomorfismo : W V qe é liner e Eercício Determine pr o isomorfismo do eemplo nterior Mtri de m trnsformção liner Sejm : V W m trnsformção liner A { K n } B w w K w m m bse de W Então K n são etores de W e podemos escreê-los como combinção liner dos etores d bse B w w w K m m w w w K m m M w w K n n n mnwm m bse de V e A mtri [ ] A B M m M m K K O K n n M mn é chmd mtri d trnsformção em relção às bses A e B Como [ ] A B depende ds bses A e B m trnsformção liner poderá ter m infinidde de mtries pr representá-l No entnto m e fids s bses mtri é únic A Podemos representr trnsformção liner pel operção entre mtries: [ ] [ ] B [ ] A Eemplos: B Dd trnsformção liner : R R e considerndo s bses A { 0 00 } do R e qe ger os sistems: B do R temos

22 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 0 0 e 0 cjs solções são 0 Logo A 0 [ ] B Considerndo mesm trnsformção do eemplo nterior com s bses cnônics ' B ' 0 0 do R A { } do R e Logo A [ ] ' 0 B' 0 No cso de serem A e B bses cnônics represent-se mtri simplesmente por [] qe é chmd mtri cnônic de Então tem-se: [ ] [ ] [ ] Obseremos qe clclr pel mtri [] é o mesmo qe fê-lo pel fórml qe define o 0 0 [ ] Dds s bses B 0 do R e ' B No cso desejmos determinr trnsformção : R 0 B trnsformção liner cj mtri é [ ] ' como é determind mtri [ ] B ' B sbemos qe B do R encontremos R tl qe b c Pelo modo Escreendo como combinção liner dos etores d bse B temos 0

23 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner Aplicndo : Do eemplo cim obsermos qe dd m mtri e fid ds bses em V e em W est mtri represent m trnsformção liner Est mesm mtri nm otr dpl de bses representrá m trnsformção liner diferente 0 0 é mtri cnônic d trnsformção temos qe Considerndo qe mtri [ ] e portnto As mtries ds trnsformções lineres são importntes pois: mits ees resposts qestões teórics sobre estrtr de m trnsformção liner podem ser obtids estdndo s crcterístics d mtri d trnsformção; ests mtries tornm possíel clclr s imgens de etores sndo mltiplicção mtricil Estes cálclos podem ser efetdos rpidmente em comptdores eorem Sejm : V W m trnsformção liner e A e B bses de V e W respectimente Então A dim Im posto de [ ] B A A A dim N nlidde de [ ] nº de colns de [ ] posto de [ ] B B B eorem Sejm A e B bses dos espços etoriis V e W respectimente Um trnsformção liner V W é inersíel Além disso se é inersíel então : é inersíel se e somente se [ ] A B [ ] B A B A Corolário Sejm A e B bses dos espços etoriis V e W respectimente e liner é inersíel se e somente se det[ ] A B 0 : V W m trnsformção 4 Eercício Sej : R R m trnsformção liner dd pel mtri cnônic [ ] Verifiqe se é inersíel Cso o sej determine -

24 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner Atolores Vlores Próprios e Atoetores Vetores Próprios Definição Sej : V V m operdor liner Um etor V 0 é m toetor o etor próprio do operdor se eiste R λ λ tl qe λ é denomindo tolor o lor próprio lor crcterístico lor espectrl ssocido o toetor Eemplos: Sej : R R tl qe λ λ R Este operdor tem λ como tolor e qlqer 00 como toetor correspondente Se i λ < 0 inerte o sentido do etor; ii λ > dilt o etor; iii λ > contri o etor; i λ é trnsformção identidde Sej : R R definid por trnsformção refleão no eio Os etores d form 0 são tis qe o sej Assim todo etor 0 0 é toetor de com tolor λ mbém pr todo etor 0 temos qe Dí diemos qe todo etor 0 0 é toetor de com tolor λ Sej : R R definid por trnsformção rotção de 90 Notemos qe nenhm otro etor diferente do etor nlo é ledo por nm múltiplo de si mesmo Logo este operdor não tem tolores nem toetores

25 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 4 Determinção dos tolores e toetores Sej o operdor : R n n R cj mtri mtri cnônic é A M M O M n n n n nn o sej A [] Se e λ são respectimente toetor e tolor ssocido temos: endo em ist qe A λ A λ 0 é mtri coln n e 0 é mtri nl n I onde I é mtri identidde de ordem n podemos escreer A λi 0 λ A I 0 Pr qe o sistem homogêneo dmit solções não nls isto é indetermindo e portnto deemos ter A λi det este dee ser 0 A eqção A λi λ n λ M M O M n n nn λ n det 0 det 0 é denomind eqção crcterístic do operdor o d mtri A e ss ríes são os tolores do operdor o d mtri A det A λi é m polinômio n riáel λ denomindo polinômio crcterístico O Determinmos os toetores correspondentes sbstitindo os tolores encontrdos λ no sistem homogêneo de eqções lineres Eemplo: Determinr os tolores e toetores do operdor liner 4 5 : R R definido por 0 4 Mtri cnônic de : A λ 0 4 A λi 0 λ λ λ Eqção crcterístic: det A λi 0 λ λ λ 0 λ

26 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 5 4 Cálclo dos toetores ssocidos: Pr λ temos o sistem R e Portnto temos os toetores 0 ssocidos o tolor Verificção: Pr λ temos R Portnto temos os toetores ssocidos o tolor Verificção: eorem Ddo m operdor liner : V V o conjnto formdo pelos toetores ssocidos m tolor V V; λ é sbespço de V λ e o etor nlo é sbespço etoril de V isto é λ

27 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 6 Verifiqe qis ds segintes plicções são lineres: :R R b :R R definid por definid por c :R R definid por d :R R EXERCÍCIOS definid por e :R M R definid por 0 0 f R R definid por e c f M : g : R R b c d e f definid por sen Determine trnsformção liner pr cd m ds plicções bio: :R R b :R R c :R R d P tl qe 5 e 0 4 tl qe e tl qe 00 5 e R R tl qe e 5 7 : e :R R tl qe e M Ql trnsformção liner :R R b Determine 0 e tl qe 0 00 sndo o item c Ql trnsformção liner S:R R e? tl qe S S 00 0 S d Determine trnsformção liner compost So:R R sndo os itens e c e? 4 Determine dimensão do núcleo e d imgem e ss respectis bses d plicção liner do: eercício itens d e e b eercício itens b d e e 5 5 Sendo :R R Im definid por 0 0 determine m bse de N e 6 Determine m trnsformção liner: :R R b :R R c :R R cj imgem sej gerd por tl qe N [ ] e Im [ 4 ] considere β tl qe Im 0 [ ] 7 Dê se possíel os eemplos pedidos bio Cso não eistm jstifiqe Um plicção liner injetor :R R b Um plicção liner sobrejetor :R R c Um plicção liner :R R tl qe 0 0 sej m bse pr R bse do R

28 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 7 d Um plicção liner : V W tl qe Im { 0 } 5 e Um plicção liner :R R 5 tl qe sej injetor ms não sej sobrejetor 8 Sej : V V m trnsformção liner Sbendo-se qe dim V 5 e dim N Im Determine jstificndo dim N Im b pode ser injetor? Jstifiqe 9 Mostre qe plicção :R P R definid por 4 0 Determine trnsformção liner : R R tl qe Consideremos trnsformção liner { } do R e { 0 } do R t é m isomorfismo { ; } N R e : R R definid por A B Determine mtri [ ] e s bses Sej trnsformção liner : R R e s bses { } { } B Determine [ ] A B Ql mtri [ ] A C Sbendo qe mtri de m trnsformção liner :R R B 4 Sej [ ] { 0 0 } A B onde C é bse cnônic do A do R é [ ] B 5 0 mtri cnônic de m trnsformção liner :R R 5 Sej o operdor liner ddo pel mtri N e dim N b Im e dim Im A e R? ns bses { 0 } A do encontre epressão de e mtri [ ] 0 Determine: Se 4 R e clcle AUOVALORES E AUOVEORES Verifiqe tilindo definição se os etores ddos são toetores ds correspondentes mtries: 0 - b - Determine os tolores e os toetores dos segintes operdores lineres: : R R ; 4; b : R R ; c : R R ; 5 ; d : R R ; ; e : R R f g ; : R R ; : R R ;

29 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 8 Os etores e são toetores de m operdor liner : R R ssocidos λ 5 e λ respectimente Determine imgem do etor 4 por esse operdor 4 Determine o operdor liner : R R cjos tolores são λ e λ ssocidos os toetores e 0 respectimente b Mesmo enncido pr λ λ e 0 5 Se λ 4 e λ são tolores de : R R ssocidos os toetores e respectimente determine 6 Sej m operdor liner : R R tl qe e pr lgm etor e R Determine w se 0 6 e w 7 Resposts São lineres s fnções dos itens d e f 4 b c d b c 5c 5b 7 c e b 0 5 e c S 5 6 d So 4 β N 0 0 β Im 0 0 d β N 0 β Im e β N β Im b b β N β Im 0 0 d { 5 } β Im β N e β N 0 0 β Im

30 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 9 5 β N { } e β { Im } b 4 c 7 Impossíel b Impossíel c Qlqer plicção injeti o sobrejeti d A plicção nl e Não eiste 8 dim N Im b Não dim N e e [ ] N b Im { 4 ; R} R ; dim N { 0 } dim Im Atolores e toetores Sim b Não λ ; λ b λ ; λ 4 c λ λ 4 d Não eistem e λ λ ; λ 4 f λ ; λ 0 ; λ 00 g λ λ λ 0 e não simltnemente nlos b

31 Profª Isbel Cristin C Leite Álgebr Liner 0 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS SEINBRUCH A WINERLE P Álgebr Liner Editor Mkron Books 987 CALLIOLI Crlos A DOMINGUES Hgino H COSA Roberto C F Álgebr liner e plicções 6 edição Atl Editor 998 ANON Howrd & RORRES Chris Álgebr Liner com Aplicções Ed Bookmn 8 Edição BOLDRINI J L Álgebr Liner Hrbr 984 LIPSCHUZ S Álgebr Liner edição Coleção Schm Editor Mkron Books SANOS REGINALDO J Álgebr Liner e Aplicções Belo Horionte Imprens Uniersitári d UFMG 006 Liro disponíel pr downlod no site wwwmtfmgbr/~regi

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