Unidade V Geometria Analítica II: Estudo das Cônicas

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1 Unidde V Geometri Anlític II: Estudo ds Cônics Situndo Temátic As cônics form de fundmentl importânci pr o desenolimento d stronomi, sendo descritos n ntiguidde por Apolônio de Perg, um geômetr grego Mis trde, Kepler e Glileu mostrrm que esss curs ocorrem em fenômenos nturis como ns trjetóris de um projétil ou de um plnet Problemtizndo Temátic Vimos ns seções nteriores, por exemplo, que equção x5y8 0 represent um ret r no plno crtesino Do mesmo modo como fizemos com ret r, mos qui ssocir cd cônic (circunferênci, elipse, prábol e hipérbole) um equção e, prtir dí, estudr s sus proprieddes 3 Conhecendo Temátic 3 Circunferênci Sbemos d geometri elementr que circunferênci é o conjunto de todos os pontos eqüidistntes de C, b denomindo centro d circunferênci Considerndo o centro d circunferênci como sendo o ponto C, b, r sendo o rio e P ( x, y) um ponto d circunferênci, temos: um ponto fixo, Portnto, um circunferênci de centro C, b d C P x yb r x yb r e rio r tem equção x yb r, denomind Equção Reduzid d circunferênci x y 4 Circunferênci de centro C=(0,0) e rio x y Circunferênci de centro C=(,) e rio Desenolendo equção reduzid x yb r temos: x y x by b r 0 Est equção é chmd equção gerl d circunferênci Exercício : Determine o centro e o rio d circunferênci x y x y Solução: D equção gerl x y 4x8y9 0, mos encontrr equção reduzid x yb r Vmos utilizr um processo conhecido como completmento de qudrdos Pr isso, lembrmos Com bse n equção x y 4x8y9 0 seprmos os termos que enolm s riáeis x que x x x e y bx b y b e y, d seguinte form: 53

2 I) x 4 x x 4x44 x 4 e II) y 8 y y 8y6 6 y4 6 4 b8 x b4 y4 4 b 6 Dest mneir, de (I) e (II) temos: x + y 4x 8y + 9 = 0 => x 4x + y 8y + 9 = 0 => (x ) 4 + (y 4) = 0 => (x ) + (y 4) = Logo, equção x y4 represent um circunferênci de centro C, 4 No Moodle e rio Exercício : Determine equção d circunferênci que pss pel origem e tem centro no ponto C = (3,4) Solução: A equção d circunferênci é ponto C = (3,4) então x 3 y 4 r podemos escreer: Portnto, x y x yb r Como est circunferênci tem centro no A origem (0,0) é um ponto d circunferênci e ssim r 96r r é equção d circunferênci pedid Exercício 3: A circunferênci representd no gráfico bixo pss pelos pontos A e B Determine su equção reduzid Solução: A equção reduzid d circunferênci de centro C = (,0) é x y0 r Como A,e 3, 0 circunferênci, temos: De (I) e (II) temos 3, ou sej, 44 B pertencem à ( I) r ( II) 3 0r 96 e, portnto Dest form, equção reduzid d circunferênci é x y r Vmos determinr o lor de r Pr isso lembrmos que o ponto B = (3,0) pertence à 3 0 r r circunferênci, ssim: x y é equção reduzid d circunferênci pedid Portnto 3 Posição de um Ponto em Relção um Circunferênci Em relção à circunferênci x yb r, um ponto P m, n seguintes posições: N Pltform Moodle ocê encontrrá ários exercícios enolendo completmento de qudrdo Aproeite pr exercitr já que trblhremos ess ferrment com bstnte freqüênci pode ocupr s 54

3 P é exterior à circunferênci se, e somente se, dp, c r, ou sej, m nb r (Figur ) P pertence à circunferênci se, e somente se, dp, c r, ou sej, m nb r (Figur ) P é interior à circunferênci se, e somente se, dp, c r, ou sej, m nb r (Figur 3) Assim pr determinr posição de um ponto P m, n s coordends desse ponto n expressão x y b º cso: Se m n b r º cso: Se m n b r 3º cso: Se m n b r em relção um circunferênci, bst substituir e obserr que:, P é exterior à circunferênci (Figur );, P pertence à circunferênci (Figur );, P é interior à circunferênci (Figur 3) 33 Posições Reltis entre Ret e Circunferênci Anlogmente, como fizemos n seção nterior, ddo um ret s: AxByD 0 e um : x yb r temos três posições reltis possíeis d ret s e circunferênci circunferênci Cso : s é exterior circunferênci s ; Obsere que, neste cso, distânci d(c,s) entre o centro C e ret s é mior do que o rio r Cso : s é tngente à circunferênci s P( x, y ) ; Obsere que, neste cso, distânci d(c,s) entre o centro C e ret s é igul o rio r 55

4 Cso 3: s é secnte à circunferênci s A, B Obsere que, neste cso, distânci d(c,s) entre o centro C e ret s é menor do que o rio r Sbemos que distânci entre um ponto C, b e um ret s: AxByD 0 é dd por A Bb D dc, s, e ssim bst clculr o lor de dc, s e erificr qul dos csos cim A B teremos Vej o exercício bixo Exercício 4: Qul é posição d ret s:3x y9 0 em relção à circunferênci x y : 3 0 Cso ret intercepte circunferênci, encontre os referidos pontos de intersecção Solução: Primeirmente mos determinr posição d ret s em relção à circunferênci Pr isso mos clculr distânci do centro C,3 d circunferênci à ret s:3x y Logo, dc, s d C, s r, r 0 então ret s é tngente à circunferênci Como Iremos gor determinr o ponto P x, y s:3x y 9 0 Obsere que P que é intersecção entre ret e circunferênci x y s e P e ssim o ponto P x, y equções : 3 0 3x y90 x y3 0 Vmos encontrr solução do sistem cim pr determinr o ponto, stisfz s P x y Temos: 3x y90 x y3 0 x y3 0 II Substituindo (I) em (II) temos: `y 3x9 I x x x x x 4x4 9x 96x56 0 0x 00x5 0 x 0x 5 0 E ssim x' x'' 5(note que encontrmos um únic solução, pois ret s é tngente à ) Dest form, como y 3x9encontrmos y e o ponto de tngênci entre ret s e é o ponto P 5, 4 O exercício 4 nos le pensr e concluir que em qulquer um ds três possíeis posições reltis entre ret s: AxByD 0 e circunferênci : x yb r o conjunto s é o conjunto solução do sistem 56

5 Ax By D 0 x yb r * Esse sistem poderá ser clssificdo como: Impossíel se, e somente se, ret s é exterior à circunferênci ; Possíel com solução únic se, e somente se, ret s é tngente à circunferênci ; Possíel com dus soluções se, e somente se, ret s é secnte à circunferênci Obserção: Note que, do sistem * resultrá um equção do gru e ssim o lor do discriminnte ( ), dess equção determinrá posição relti entre ret s e circunferênci 34- Posições Reltis entre dus Circunferêncis Dds dus circunferêncis : x yb r e : x y b r distints, podemos obter dois, um ou nenhum ponto em comum Cso Cso Cso 3 : x yb r 0 Resolendo o sistem descobrimos quntos e quis são os pontos : x yb r 0 comuns entre e Além disso, no segundo cso (um ponto comum) e no terceiro cso (nenhum ponto r e r, e distânci entre os centros em comum) podemos identificr posição relti usndo os rios, d C, C Vejmos o exercício resolido seguir Exercício 5: Verificr posição relti entre s circunferêncis dds : x y 30 e : x-3 y 9 Solução: b : x y e : x y () Como já discutimos nteriormente mos clssificr o sistem Acompnhe: x y 3 x y 3 x-3 y 90 x y 6x0 6x300 x5 x y 30 x-3 y 9 x y 3 x y 6x 0 57

6 Logo substituindo x 5 em um ds equções, obteremos y 5 Portnto os pontos A 5, 5 e 5, 5 B são soluções do sistem e ssim s dus circunferênci são secntes cujos pontos em comum são A e B Obsere representção gráfic gerd pelo softwre Geogebr: b) Montndo o sistem, obtém-se: x y x y 0 x y x y 4x4y70 Agor, mos resoler o sistem x y 0 I x y 4x4y70 II Fzendo I = II e efetundo s deids operções obtemos: x y x 4x4y8 x y Substituindo gor x y n equção (I) teremos: y 4x 4y 7 4x 4y 7 y y 0 y 4y4 y 0 y 4y30 80 Como 0, não existe solução pr o sistem e ssim concluímos que s circunferêncis não possuem pontos em comum Vejmos gor qul ds dus situções bixo se erific: ou Vmos clculr dc, C Como C x y C 0, 0 : x y então d C, C Note que r, r e rr Como d C, C 8 r r então s circunferêncis são externs Vej representção geométric desss circunferêncis, : e No Moodle N Pltform Moodle ocê encontrrá ários exercícios enolendo circunferêncis Acesse e prticipe! 58

7 3- Prábol Podemos isulizr concretmente um prábol, dirigindo um jto d águ de um mngueir obliqumente pr cim e obserndo trjetóri percorrid pel águ Ess trjetóri é prte de um prábol Definição: Ddos um ponto F e um ret r de um plno, com F r, chmmos de prábol o conjunto dos pontos desse plno eqüidistntes d ret r e do ponto F O ponto F é denomindo foco d prábol e ret r é denomind diretriz d prábol O eixo de simetri d prábol é ret s, que pss por F e é perpendiculr à diretriz r Obsere que,, d F V d V D c e ssim o ponto V nd mis é que o ponto médio do segmento FD, e é denomindo értice d prábol Amplindo o seu conhecimento Se um stélite emite um conjunto de onds eletromgnétics, ests poderão ser cptds pel su nten prbólic, um ez que o feixe de rios tingirá su nten que tem formto prbólico e ocorrerá reflexão desses rios extmente pr um único lugr, denomindo o foco d prábol, onde estrá um prelho receptor que conerterá s onds eletromgnétics em um sinl que su TV poderá trnsformr em onds, que por su ez, significrão filmes, telejornis e outros progrms que ocê ssiste normlmente com mior qulidde Nosso objetio é determinr um equção que represente um prábol Dest form, prtir do foco F e d ret diretriz r, podemos chegr à equção d prábol que é formd por todos os pontos P x, ydo plno tl que dp, F dp, r Como ilustrção, mos determinr equção d prábol que tem como diretriz ret r: x 4 e F 6, conforme figur bixo: como foco o ponto Os pontos P x, y, dp, Q, onde Q 4, y d P F Assim : 59 que pertencem à prábol são tis que,, 6 4 x 6 y x 4 y x 4 x 6 y x x x x y x d P F d P Q x y x y y Portnto equção y 0xé equção d prábol que possui foco 6, diretriz r: x 4 Sbemos que o értice V d prábol é o ponto médio do segmento FA, onde 64 F 6, e A 4, e ssim V, V, Pel distânci de V té F encontrmos um lor c ddo por: F e ret

8 cd V, F 6 5 Obsere gor que n equção y 0x coordends do értice x e y e tmbém o lor c 5 :, obtid nteriormente, precem s 0 y x y 4 c x Reciprocmente, prtir d equção d prábol, y 0x V e o lor de c, e dí, teremos o foco F e diretriz r y 0 x Obtemos Dd equção c V, e 5, podemos chegr o értice Generlizndo, podemos, prtir do foco e d ret V x, y e o lor de diretriz, determinr o értice c dv, F como tmbém equção reduzid d prábol c=5 c=5 Vej os csos possíeis Cso : A ret diretriz r é prlel o eixo 0y; c c Se concidde é oltd pr direit, então equção reduzid d prábol é: y y 4 c xx Se concidde é oltd pr esquerd, então equção reduzid d prábol é: y y 4 c xx Obserções: Note que, qundo ret diretriz é prlel o eixo 0y, o ftor d equção que contém riáel y ficrá eledo o qudrdo Anlogmente, se ret diretriz é prlel o eixo 0x, o ftor d equção que contém riáel x ficrá eledo o qudrdo, ej ns ilustrções seguir 60

9 Cso : A ret diretriz r é prlel o eixo 0x c c Se concidde é oltd pr cim, então equção reduzid d prábol é: x x 4 c y y Se concidde é oltd pr bixo, então equção reduzid d prábol é: x x 4 c y y Fremos lguns exercícios pr que possmos ssimilr e trblhr melhor equção reduzid de um prábol Exercício : Se um prábol possui equção x 4xy8 0, determine s coordends do értice, do foco e equção d ret diretriz Solução: Primeirmente mos fzer o completmento do qudrdo n riáel x x 4 x x 4x44 x 4 Temos: Dest form equção x x y pode ser escrit n form: x 4 y8 0 x y x y Portnto, d equção d prábol x y obtemos, 4c c 3 4 Como n equção x y V e o termo enolendo riáel x está eledo o qudrdo, então pelos csos istos nteriormente, ret diretriz é prlel o eixo 0x Utilizndo o értice V, e o lor c3 d( V, F), encontrremos o foco e ret diretriz d prábol esboçndo um gráfico no plno crtesino Obsere: r: y 4 Logo, V,, F, e ret diretriz é Exercício : Determine equção d prábol com eixo de simetri perpendiculr o eixo 0y, értice V (,0) e que pss pelo ponto P (6,4) Solução: Fzendo um esboço gráfico do értice V (,0), do ponto P (6,4) e prtindo do fto que o eixo de simetri é perpendiculr o eixo 0y, noss prábol tem seguinte form: 6

10 Logo, pelos csos já mostrdos nteriormente, noss prábol possui seguinte equção: y y c xx y cx y cx 4( ) Como o ponto P (6,4) pertence à prábol então: c c c Portnto equção d prábol é y 4 x No Moodle Vmos nos encontrr n Pltform Moodle pr podermos discutir, trés de exercícios, este conteúdo Espero por ocê 33- Elipse Em um copo, no formto cilíndrico circulr, despeje té metde do copo um refrigernte de su escolh Depois incline o copo e mntenh-o fixo A figur formd pelo refrigernte n lterl do copo é um ilustrção concret de um elipse Existe outr mneir de se obter um elipse, em um tábu pregue dois pregos e rme neles s extremiddes de um brbnte mior que distânci entre os pregos; seguir desenhe um linh n tábu com o uxilio de um lápis poido no brbnte, mntendo- o mis esticdo possíel Definição: Fixdo dois pontos F e P x, y F de um plno, tl que conjunto dos pontos cuj som ds distâncis dp, F e, c (I) F e N figur o ldo temos: F são focos d elipse e distânci focl df F A A é o eixo mior d elipse e da, A ; B B é o eixo menor d elipse e db, B b; (II) (III) d F, F c, c 0, chm-se elipse o, c; (IV) C é o centro d elipse e é o ponto médio do segmento FF, AA e BB, e mis, dc, FdC, F c c V) O numero e chm-se excentricidde d elipse C x, y, temos os seguintes csos: Dd um elipse de centro d P F é um constnte, com 6

11 Cso : O eixo mior AA prlelo o eixo 0x; Neste cso, mostr-se que elipse pode ser representd pel equção reduzid b c (Teorem de Pitágors) xx y y, com b Cso : O eixo mior AA prlelo o eixo 0y e mis b c Neste cso, elipse pode ser representd pel equção reduzid xx y y b, com b c A demonstrção dests equções é conseqüênci diret d P x, y C x, y definição, isto é, se é um ponto d elipse de centro e foco F x0 c, y0e F x0 c, y0 (eixo mior prlelo o eixo 0x), por exemplo, então desenolendo df, PdF, P, onde,, cd C F d C F, obtemos equção xx y y, b Teremos oportunidde em nosss uls de discutir o desenolimento d equção reduzid d elipse pelo desenolimento de dp, FdP, F Exercício : Determinr equção d elipse de centro n origem e eixo mior horizontl, sendo 0e c 6 (distânci focl) Solução: Temos 0 5 e c6 c 3 Como b c então b b b Se o eixo mior é horizontl e o centro é n origem, equção é d form x y 5 6 Exercício : Determinr os focos e excentricidde d elipse de equção Solução: Obsere que o centro dess elipse é o ponto C 0,0, que 63 x eixo mior horizontl x y e que b 4b Como b c então 49c c 5 c 5 Pel equção reduzid obsermos que o eixo mior (eixo focl) é prlelo o eixo 0x Como C 0,0, os focos pertencem o eixo 0x c 5 Logo, os focos são F 5,0 e F 5,0, excentricidde é e 3 y b c, ssim: 5

12 Exercício 3: Um elipse tem como equção 5x 50x4y 6y59 0 Escreer est equção n form reduzid e esboçr o gráfico Solução: Primeirmente, iremos grupr os termos em x, e os termos em y, e fremos o completmento de qudrdo (I) 5x 50x5( x x) 5( x x 5 x x (II) 4y 6y 4( y 4 y) 4( y 4y44) 4 y 4 Logo, equção 4 4 y 5x 50x4y 6y59 0 pode ser escrit n form x y x y x 4y 00 Diidindo por 00 mbos os membros dest equção, obtemos form reduzid: x y 4 5 Obsere que neste cso o mior denomindor 5, se encontr no termo que enole riáel y e ssim o eixo focl (ou eixo mior) é prlelo o eixo 0y x y Pr esboçr o gráfico d elipse procedemos d seguinte form 4 5 (i) O eixo focl é prlelo o eixo 0y; (ii) 5 e b 4, ssim b c 45c c 6 c4; (iii) O ponto C, é o centro d elipse Vej ilustrção com esss três etps; (i) determinr F, F, A, A, Be B trés dos lores 5, b e c 4, ou sej, F, 4, F, 4, A, 5, A, 5, B, e B, () Esboçr o gráfico com: cd( C, F ) 4 C,, F,, F (, 6), A,3, A (, 7), B (, ) e B 3, 64

13 No Moodle Vmos nos encontrr n Pltform Moodle pr podermos discutir, trés de exercícios, este conteúdo Espero por ocê 34 Hipérbole Pr que possmos entender bem definição d hipérbole, iremos primeirmente prender desenhá-l Dest form relize seguinte experiênci (I) em um extremidde de um hste (pode ser um régu), prend pont de um brbnte; (II) fixe s outrs extremiddes d hste e do brbnte em dois pontos distintos, F e F, de um tábu ( diferenç entre o comprimento d d régu e o comprimento l do brbnte dee ser menor do que distncis d( F, F ), ou sej, d l FF ); (III) com pont de um lápis, pressione o brbnte contr régu, deslizndo o grfite sobre tábu, deixndo o brbnte esticdo e sempre junto d régu; (IV) repit operção, inertendo os pontos de fixção n tábu, isto é, fixe hste em F e o brbnte em F Conforme figur A figur o ldo construíd é denomind hipérbole Definição: Fixdos dois pontos F e F de um plno, tis que df, F c, c 0 P x, y distâncis df P e, chm-se hipérbole o conjunto dos pontos de um plno tis que diferenç, em módulo, ds, d F P é constnte, com 0 c, d F, P d F, P, ou sej, N figur o ldo temos: (I) F e F são os focos d hipérbole, sendo df, F c distânci focl; (II) A e A são os dois értices d hipérbole, sendo d A, A d F, A d F, A (III) C é o centro d hipérbole, sendo C o ponto médio do segmento FF ou do segmento A A, ou sej df, CdF, C c e da, CdA, C ; c (IV) O número e, é excentricidde d hipérbole (note que e, pois c ) Dd um hipérbole de centro C x0, y0 temos os seguintes csos: Cso : Se o eixo focl é prlelo o eixo 0x, então hipérbole pode ser representd pel equção reduzid b c (Teorem Pitágors) xx y y b, como 65

14 Cso : Se o eixo focl é prlelo o eixo 0y, então hipérbole pode ser representd pel equção y y xx b com b c Assim como n elipse, demonstrção desss equções é P x, y é um ponto d C x, y F x c, y e conseqüênci diret d definição, isto é, se hipérbole de centro e foco F x0 c, y0 desenolendo df, P df, P (eixo focl prlelo o eixo 0x), por exemplo, então,,, onde cd C F d C F, obtemos equção xx y y b, com Exercício : Obtenh equção reduzid d hipérbole representd bixo b c Solução: Pelo gráfico emos que: i) C 4,6, A 7,6e F 9,6; ii) Como d A, C, então d A, C 3 ; iii) Como d F, C c, então d F, C 5 c ; i) O eixo focl é prlelo o eixo 0x e ssim equção d hipérbole xx y y é d form b Como b c b 5 9 b 4, então x4 y6 equção reduzid d hipérbole cim é: 9 6 Exercício : Um hipérbole tem como equção x 9y 6x8y9 0 Escre- n form reduzid Solução: Vmos fzer o completmento de qudrdos: (I) x 6 x x 6x99x3 9 6 x y 8y 9 y y 9 y y 9 y Logo equção x 9y 6x8y9 0 se trnsform n equção (II) x y x 9y 6x8y90 x3 99 y x3 9 y 9 Diidindo mbos os membros d equção cim por 9 teremos: x3 y 9 No Moodle Vmos nos encontrr n Pltform Moodle pr podermos discutir, trés de exercícios, este conteúdo Espero por ocê 66

15 4- Alindo o que foi Construído Nest unidde, trblhmos com s equções reduzids ds cônics (Circunferênci, Prábol, Elipse e Hipérbole) Tudo que conhecemos hoje sobre stronomi dee-se, em grnde prte, o estudo ds cônics Por exemplo, órbit que os plnets fzem em torno do Sol é descrit por elipses Isto mostr quão importnte é o estudo ds Cônics Agor é com ocê! Procure prticipr ds discussões desenolids no mbiente irtul e sempre que houer dúids procure seu professor tutor Lembre-se que o conhecimento mtemático é construído grdul e sistemticmente Procure formr grupo de estudo e estej constntemente em contto com disciplin, sej reisndo, exercitndo ou discutindo no Moodle 5- Bibliogrfi DANTE, Luiz R Mtemátic: Contexto e Aplicções ª ed São Pulo: Átic Vol PAIVA, Mnoel Rodrigues Mtemátic: conceito lingugem e plicções São Pulo: Modern Vol FACCHINI, Wlter Mtemátic pr Escol de Hoje São Pulo: FTD, GENTIL, Nelson S Mtemátic pr o º gru Vol 3 Átic, 7ª ed São Pulo: