Matrizes Resolução de sistemas de equações lineares por eliminação Gauss e Gauss-Jordan

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1 No epliciv grdeço os professores João lves José Lís Fchd mrino Lere Roger Picken e Pedro Snos qe me fclrm mvelmene eercícios d s ori e recolhs de emes d cdeir. revemene (ind ese no) serão crescends solções pr lgns prolems e mis eercícios. Noe-se qe nos cpílos mis vnçdos se enconrm eercícios com pres relivs à méri nerior. Iso deve-se o fco (nrl) d méri evolir de form consriv mios eercícios corem diversos specos reslndo mis ineressnes e compleos (os eercícios de eme inclem-se gerlmene nes cegori). Os eercícios mrcdos com m serisco necessim de conhecimenos liás rdimenres de cálclo inegrl. Os cpílos form orgnidos de cordo com os diversos ópicos d disciplin de Álger Liner dd o primeiro no dos crsos do IST. Cpílo Mries Resolção de sisems de eqções lineres por eliminção Gss e Gss-Jordn. Resolver pelo méodo de eliminção de Gss os segines sisems: 8 ) 8 d) e).. Clcle os prodos e sempre qe possível ) ).

2 . Deerminr - ) ). Sej. Oer m fórml pr n.. Sej cos cos sen sen. Oer m fórml pr n.. Sej. Mosre qe e deermine m epressão gerl pr n por indção..7 pliqe eliminção de Gss pr decompor LU pr ) d)..8 Com s mries d líne e d) resolver pr eqção:..9 Clclr s mries inverss (se possível) de ) d)

3 d) cos sin sin cos e) cosh sinh sinh cosh f).nocosh e senh e e e e.. Uilindo o méodo de Gss-Jordn deermine invers de d c com c e d reis deermine relção qe os prâmeros êm de oedecer pr mri ser não singlr.. Disc em fnção dos prâmeros os segines sisems: β α 7 ) (Fchd) α ) ( α β α β (Fchd).. Dd mri dos coeficienes do sisem dig pr qe vlores de o sisem em solção.. Tenr resolver segine eqção mricil:. C pr os segines csos ) C C

4 . Tenr resolver segine eqção mricil: C pr os segines csos: ) C C nese cso discir solção em fnção dos prâmeros e.. Tenr resolver segine eqção mricil: pr os segines csos: ) c - nese cso discir solção em fnção dos prâmeros e... Considere o segine sisem de eqções lineres: onde e são coeficienes esclres. ) Disc o sisem em fnção dos coeficienes e. ) Decomponh mri dos coeficienes pr n form P LDU ) Clcle invers d mri dos coeficienes do sisem pr o cso. Uilie o resldo pr resolver o sisem no cso e.

5 Cpílo Espços lineres. Qis dos ernos segines (. ) são espços lineres ( represen m conjno e. represenm s operções dição de vecores e mliplicção de esclres por vecores). Se não forem espços lineres indicr os ioms violdos. ) O conjnos de ernos ordendos () de reis com s operções: ( ) ( ) ( ) e k.( ) ( k ) O conjnos de ernos ordendos () de reis com s operções: ( ) ( ) ( ) e k.( ) ( ) O conjnos de ernos ordendos () de reis com s operções: ( ) ( ) ( ) e k.( ) ( k k k) d) O conjnos de pres ordendos () de reis em qe com s operções sis em R. e) O conjnos de pres ordendos () de reis com s operções: ( ) ( ) ( ) e k.( ) ( k k) f) O conjno dos reis posiivos com s operções e k k. g) O conjno ds mries d form: com dição de mries e mliplicção sl por esclres. h) O conjno ds mries d form: com dição de mries e mliplicção sl por esclres. i) O conjno ds fnções reis de vriável rel is qe f ( ) com s operções sis de dição e mliplicção (definids pono pono). j) O conjno ds fnções reis de vriável rel is qe f é periódic com s operções sis de dição e mliplicção (definids pono pono). k) O conjno ds mries d form: com dição de mries e mliplicção sl por esclres. l) s recs de R qe pssm pel origem. m) Os plnos de R qe pssm pel origem.. Prove qe cd espço liner possi m único nero e m único simérico pr cd vecor em relção à dição.. Usndo os ioms de espço liner prove:

6 Sej V m espço liner m vecor qlqer de V e k m esclr enão: r ) r r k ( ) r r d) Se k enão k o. Deermine qis os sespços de R ) Os vecores d form (). Os vecores d form (). ( ) R : { } d) {( ) R : }. Deermine qis os sespços de M. ) Mries d form em qe c e d são ineiros. Mries d form em qe d. s mries em qe. d) Mries d form c c c em qe c mries ringlres speriores. e) s mries em qe de.. Deermine qis os sespços de M n n. ) Mries n n em ods s enrds são consiíds por ineiros. s mries n n em qe. d) Mries n n ringlres speriores. e) s mries n n em qe de. d d d.7 Qis dos segines conjnos são sespços de P ) Os polinómios (de coeficienes reis) em qe. Os polinómios (de coeficienes reis) em qe.

7 Os polinómios em qe são ineiros. d) Os polinómios (de coeficienes reis)..8 Qis os conjnos segines qe são sespços do espço ds fnções reis de vriável rel V(F) com s operções sis. ) s fnções f is qe f ( ) R s fnções f is qe f ( ). s fnções f is qe f ( ). d) s fnções consnes. e) s fnções d form sin c cos R.9 Qis dos vecores segines são cominções lineres de ( ) e de v ( ) : ) ( ) ( ) ( ) d) ( ). Eprimir os vecores segines como cominções lineres de e de. ) 9 d). Eprimir s mries ds línes ) e d) como cominções lineres de e 9 ) d). Em cd líne deerminr se os vecores ddos germ R ) v ( ) v ( ) v ( ) v ( ) v ( ) v ( 8 8) v ( ) v ( ) v ( 9) v ( ) d) v ( ) v ( ) v ( ) v ( ). Sej E o espço gerdo por: f cos e g sin Deerminr se os vecores d segines línes perencem E ) cos d) sin. Os segines polinómios germ P?

8 p p p p. Mosre qe os segines conjnos de fnções formm sespços do espço ds fnções reis de vriável rel V(F). ) s fnções coníns. s fnções de clsse C. s fnções de clsse C qe sisfem f f.. Qis os conjnos linermene independenes e os linermene dependenes. ) Em R : i) ( )( )( ) ii) ( )( )( ) iii) ( )( ) iv) ( )( )( )( 7 ) Em R : i) ( )( )( )( ) ii) ( 8 )( )( )( ) iii) ( )( )( ) iv) ( )( )( )( 7 8 ) Em P i) ii) iii) iv) 7 d) Em V(F) i) sin cos ii) cos iii) sin sin iv) cos sin cos v)( ) vi) f ( ) vii) sinh cosh viii) sinh cosh.7 Deermine qis dos segines conjnos de vecores de R se sim no mesmo plno o n mesm rec indicr em cd cso sição. ) ( )( )( ) ( )( )( 7 ) ( 9)( )( ) d) ( 8)( )( ).8 Pr qe vlores de λ o segine conjno é linermene dependene: ( λ )( λ )( λ).9 Prove: -Sendo v e w qisqer vecores {-vv-ww-} é m conjno linermene dependene.. Deermine dimensão e m se pr o espço solção de cd m dos sisems segines:

9 ) 8 d) e). Deermine ses pr cd m dos sespços de R ) O plno { } : ) ( O plno { } ) : ( linh dd pels eqções prmérics:. Deermine dimensão e m se pr o sespço de P { } : P. Sej { } m se de m espço V. Prove qe { } mém é se de V.. Prove qe o espço de ods s fnções reis de vriável rel com s operções sis é m espço liner de dimensão infini.. Prove qe m sespço de m espço de dimensão fini é de dimensão fini.. Prove qe m sespço V de m espço de dimensão fini W verific: dim( ) dim( ) V W.7 Enconrr crcerísic e ses pr o espço ds colns e ds linhs ds mries segines: ).8 Enconrr ses pr os sespços de R gerdos pelos segines conjnos de vecores:

10 ) {( )( )( ) } { ( )()() } ( )()( )( ) { }.9 Enconrr os sconjnos qe formm ses pr os espços gerdos pelos conjnos de vecores segines: ) { } {( )( 7)( 9)( ) }. Usr informção dd em cd líne pr deerminr se o sisem é possível (deermindo o não) e impossível. Tipo de ( ) Cr Cr( [ ] ) ) d) 9 e) 9 f) g). Provr: ) Um sisem em solção sse crcerísic d mri dos coeficienes e crcerísic d mri mend são igis. Se é m sisem em qe é mri dos coeficienes m n se em crcerísic r o sisem em n r vriáveis livres.. Provr qe s colns de m mri n n inverível formm se de R n.. Enconrr mri mdnç de se e represenr o vecor w n se : ) {( )() } w ( ). {( )() } w ().

11 { } w.. Sej v m vecor represendo n se { } represenr v n se cnónic: ) { } )()() ( v. { } )() )( ( v.. Sej w m vecor represendo n se { } represenr w n se cnónic de P { } w.. Represenr o vecor w d líne nerior n se { }.. Sej m vecor de M represenr n se não esqecer deerminção d mri mdnç de se:..7 Considere s ses { } e { } de R onde: 7 ) Deermine mri mdnç de se de pr '. Represene w 8 n se '..8 Represene o mesmo vecor w d líne nerior ms considerndo e ' como se sege:.9 Sej V o espço gerdo por f f cos sin e por. ) Mosre qe g g sin cos cos e por formm m se pr V. Ql mri d mdnç de se de { } g g pr { } f f. Ql mri d mdnç de se de pr. d) Sendo h cos sin represene h n se. e) Represene h n se ' pr d represenção de h n se e ilie m ds mries mdnç de se clcld ns línes precedenes.