MAT Cálculo I - POLI Resolução de Algumas Questões da 2 a Lista de Exercícios

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1 MAT 45 - Cálclo I - POLI - 0 Resolção de Algms Qestões d List de Exercícios -) O ojetio dest qestão é demonstrr como lei d reflexão pln e lei d refrção de Snellis, d Óptic Geométric, podem ser otids como conseqüêncis do princípio de Fermt, segndo o ql trjetóri dos rios de lz é qel qe minimiz o tempo de percrso () (REFLEXÃO PLANA) Sejm P (0, ) e Q (, c), onde,, c são números reis positios Sej M (x, 0), x R (ide figr ) Sej d : R R tl qe, pr todo x R, d(x) é som ds distâncis d(p, M) + d(m, Q) Mostre qe fnção d possi m único ponto de mínimo x 0 R Verifiqe qe x 0 (0, ) e qe β se x x 0 P(0,) Q(,c) β M(x,0) Figr : Reflexão Pln OBSERVAÇÃO: Note qe, dmitindo qe lz se propge com elocidde constnte no semiplno sperior, minimizr som ds distâncis d(p, M) + d(m, Q) é eqilente minimizr o tempo qe m rio de lz le pr ir de P Q, refletindo-se no eixo Ox () (LEI DE REFRAÇÃO DE SNELLIUS) Sejm P R m ponto no semi-plno sperior e Q R m ponto no semi-plno inferior, fixos (ide figr ) Um prtícl i de P m ponto M (x, 0) sore o eixo Ox com elocidde constnte e moimento retilíneo; em segid, i de M té Q com elocidde constnte, tmém em moimento retilíneo Sej T : R R tl qe, pr todo x R, T(x) é o tempo de percrso de P Q Mostre qe T possi m único ponto de mínimo x 0 R Verifiqe qe x 0 (0, ) e qe, se x x 0, então: sin sin β

2 P(0,) M(x,0) β Q(, c) Figr : Refrção RESP: SOLUÇÃO DO ITEM B O tempo qe prtícl gst pr ir de P Q, pssndo por M (x, 0), é ddo por d(p,m) Assim, T : R R é dd por ( x R ) : + d(m,q) T(x) x + (x ) + c + Portnto, pel regr d cdei, T é ds ezes deriáel e ss derids primeir e segnd são dds por, respectimente, ( x R ) : T (x) x x + + x + T (x) x + x (x ) + c x x + (x + ) / + + (x ) + c c ((x ) + c ) / (x ) + c (x ) (x ) +c Assim, T (x) > 0 pr todo x R Como T (0) < 0, T () > 0 e T é contín, pelo teorem do lor intermediário existe x 0 (0, ) tl qe T (x 0 ) 0; como T > 0, T é crescente e, em prticlr, injeti, portnto x 0 é únic riz de T Pelo teste d derid segnd, concli-se qe x 0 é ponto de mínimo de T, e é o único ponto de mínimo, pois, pelo teorem de Fermt, se hoesse lgm otro, tmém seri ponto crítico, e já imos qe x 0 é únic riz de T Então está demonstrdo qe T possi m único ponto de mínimo x 0, e x 0 pertence o interlo (0, ) Além disso, como sin (x) x e x sin β(x), (x ) +c T (x 0 ) 0 é eqilente sin (x 0) sin β(x 0) 0 x + -) Dee-se constrir m estrd ligndo m fáric A m ferroi qe pss por m cidde B Assmindo-se qe estrd e ferroi sejm ms retilínes, e qe os cstos de frete por nidde de distânci sejm m ezes miores n estrd do qe n ferroi, encontre o ânglo qe estrd dee ser conectd à ferroi de modo minimizr o csto totl do frete d fáric té cidde Assm m > RESP: Sejm: d distânci d fáric à cidde, distânci ser percorrid n rodoi, distânci ser percorrid n ferroi, e ânglos como n figr ixo

3 γ d β Denotndo por C o csto totl do frete e por f o csto do frete por nidde de distânci n ferroi, tem-se: C f + m f Pelo teorem dos senos, tem-se: donde d sin β sin C f (, d sin γ sin d sin sin β ) π (+β) sin d(sin cos β + sin β cos ) sin sin d sin γ d(sin cos β+sin β cos ) sin + m d sin β sin, Portnto, m + cos d cos β + d sin β sin Assim sendo, o prolem se redz encontrr (cso exist) o(s) ponto(s) de mínimo d fnção: F : [ π, π β] R d cos β + d sin β m+cos sin A referid fnção é deriáel, e s derid é dd por ( [ π, π)) : F () d sin β sin cos (m + cos ) sin d sin β( m cos ) sin Tomndo g : [ π, π) R dd por ( [ π, π)) g() m cos, g é deriáel e ( [ π, π)) g () m sin > 0, logo g é estritmente crescente; como g se nl em rccos( m ) (note qe m > por hipótese, portnto m dom rccos), sege g < 0 em [ π, rccos( m )) e g > 0 em (rccos( m ), π) Assim: (i) se rccos( m ) < π β, tem-se F < 0 em [ π, rccos( m )) e F > 0 em (rccos( m ), π β] e, por m corolário do teorem do lor médio, concli-se qe rccos( m ) π rccos( m ) é ponto de mínimo de F; (ii) se rccos( m ) π β, tem-se F < 0 em [ π, π β] e, nomente por m corolário do teorem do lor médio, concli-se qe π β é ponto de mínimo de F Assim, o ponto de mínimo de F é min{π rccos( m ), π β} -) Dois corredores com lrgr > 0 e > 0 intersectm-se em ânglo reto Determine o comprimento máximo l de m escd qe pode ser trnsportd horizontlmente de m corredor pr o otro RESP: Sem perd de generlidde, pode-se ssmir qe escd de comprimento máximo será trnsportd de m corredor pr o otro de tl form qe ss extremiddes se póiem sore s predes externs, conforme figr ixo Ao ser feito o trnsporte, o ânglo qe escd form com prede do corredor de lrgr rirá de 0 π Pr cd (0, π ) fixo, o comprimento máximo L d escd qe pode ser

4 L colocd nos corredores, formndo m ânglo com o corredor de lrgr, será, conforme figr, sin + cos Assim, o trnsporte será possíel se, e somente se, o comprimento d escd for menor o igl L, pr todo (0, π ) O máximo comprimento d escd qe pode ser trnsportd será, portnto, o lor mínimo (cso exist) d fnção: f : (0, π ) R sin + cos Tl fnção é deriáel e s derid é dd por ( (0, π )) : f () cos sin + sin cos cos + sin sin cos Sej g : (0, π ) R dd por ( (0, π )) g() cos + sin Est fnção é deriáel e s derid é dd por ( (0, π )) g () cos sin + sin cos, portnto g > 0 em (0, π ), donde g é estritmente crescente Como g se nl em (0, π ) tl qe tn, ie rctn, sege qe g < 0 em (0, rctn ) e g > 0 em (rctn, π ) Logo, f < 0 em (0, rctn ) e f > 0 em (rctn, π ) Então, pelo teste d derid primeir, rctn é ponto de mínimo de f, logo o lor mínimo de f é f (rctn ) (/ + / ) / 4-) Um corpo de peso P poido sore m plno horizontl dee ser deslocdo horizontlmente pel plicção de m forç F Ql o ânglo com horizontl dee formr forç pr qe intensidde d mesm necessári pr moer o corpo sej mínim, dmitindo coeficiente de trito µ > 0? F R P 4

5 RESP: Pr cd [0, π ] fixo, o lor mínimo d forç F pr moimentr o loco é tl qe diferenç entre componente horizontl de F e forç de trito R sej positi, ie F cos µ(p µp F sin ) 0, o sej, F cos +µ sin Assim sendo, o prolem se redz encontrr o(s) ponto(s) de mínimo d fnção contín: f : [0, π ] R µp cos +µ sin A referid fnção é deriáel, e s derid é dd por ( [0, π ]) f µp( sin +µ cos ) () (cos +µ sin ) Tomndo g : [0, π ] R dd por ( [0, π ]) g() sin µ cos, g é deriáel e ( [0, π ]) g () cos + µ sin > 0, logo g é estritmente crescente Como g se nl em rctn µ, sege g < 0 em [0, rctn µ) e g > 0 em (rctn µ, π ], portnto f < 0 em [0, rctn µ) e f > 0 em (rctn µ, π ] Assim, pelo teste d derid primeir, concli-se qe rctn µ é ponto de mínimo de f 5-) Desej-se constrir m esfer e m co de modo qe som ds áres de ss sperfícies sej igl (i) Encontre o rio d esfer e o ldo do co qe minimizm som de ses olmes (ii) Encontre o rio d esfer e o ldo do co qe mximizm som de ses olmes RESP: Sejm r 0 o rio d esfer e l 0 o ldo do co A som ds áres de ss sperfícies é dd por: Som dos olmes: A 6l + 4πr 4πr V 4 πr + l Fzendo 6l 4πr, temos l 6 Assim, o prolem se redz encontrr (cso existm) os pontos de máximo e mínimo d fnção V : [0, π ] R dd por: V(r) 4 ( πr πr + Como V é contín e está definid no interlo fechdo e limitdo [0, π ], pelo teorem de Weierstrss concli-se qe existem pontos de máximo e de mínimo de V no referido interlo Além disso, como V é deriáel, sege do teorem de Fermt qe, se m destes pontos não for extremidde do interlo, deerá ser m ponto crítico de V no interior do mesmo Conclsão: V tem pontos de máximo e mínimo no interlo [0, π ], e tis pontos pertencem o conjnto formdo pels extremiddes do interlo e pelos pontos críticos de V no interior do mesmo A fnção derid de V, V : [0, π ] R, é dd por: ) / πr V (r) 4πr πr ( πr ) πr r 5

6 ( ) πr Pr encontrr os pontos críticos de V, osere qe πr r 0 se, e somente se, r 0 πr o r, ie se, e somente se r 0 o r π+ Assim, os pontos críticos de V são 0 e r 0 π+ (0, π ) Além disso, como 0 e r 0 são os únicos zeros de V, e como V é contín, sege do teorem do lor intermediário qe V dee ter sinl constnte nos interlos (0, r 0 ) e (r 0, π ] Ms V ( π ) > 0, e ) ( ) lim r < 0 (portnto πr r tem sinl negtio pr r > 0 e próximo r 0 ( πr πr de zero), o qe nos permite conclir qe V tem sinl negtio em (0, r 0 ) e positio em (r 0, π ) Logo, pelo teste d derid primeir, r 0 π+ é o ponto de mínimo de V Por otro ldo, temos: V(0) 7 e V( π ) 9 π Como π < 4, tem-se π <, logo 9 π < 7, donde > 9 π 7, o qe implic V( π ) > V(0) Assim, π é o ponto de máximo de V 6