Espaços Vetoriais. Profª Cristiane Guedes. Bibliografia: Algebra Linear Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler

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1 Espços Vetoriis Profª Cristie Gedes iliogrfi: Alger Lier oldrii/cost/figeiredo/wetzler

2 Itrodção Ddo m poto P(,,z o espço, temos m etor ssocido esse poto: OP (,, z pode ser escrito d segite form: z z V é o cojto dos etores o espço, com: V {( i R R R R,, / R} z O P(,,z

3 Dest form: Vetor lo o espço R : Vetor oposto em R : Operções com etores o espço V=R Ddos: e Som: z z z z z z z

4 Prodto de m etor com m esclr: Eemplo: z z k k k k Eemplo: k 6 k z

5 Proprieddes: i ii iii i i ii iii ( ( w w V / ( / V ( ( ( (

6 Defiição de Espço Vetoril É m cojto V com ds operções VV V e RV V, tis qe pr qisqer,,w Є V e, Є R, s proprieddes i iii sejm stisfeits O etor é m elemeto do espço etoril Dest form m etor poderá ser: Vetor -dimesiol Mtriz de qlqer ordem Poliômio de qlqer gr Vejmos lgs eemplos: Eemplo: Cojto de Vetores o espço V R,, ; ( i R É espço etoril 6

7 R R V i ;,,, ( Eemplo: Cosiderdo -pls de os reis R = R R V i ;,,,, ( Neste cso o etor lo é:

8 Eemplo: V=M(m,, o cojto de mtrizes m com som e prodto por esclr: R d c d c M V,,, ; (, A A 6 9 Neste cso o etor lo é: Eemplo: V=P o cojto dos poliômios com coeficietes reis de gr meor o igl, iclido o zero = R P i ; ( ( f ( f f f 6 ( ( f

9 Sespços Vetoriis São espços etoriis cotidos o espço etoril mior: W Eemplo: Sej V=R o plo e W é m ret qe pss pel origem deste plo A som de qisqer dois etores de W reslt em otro etor de W O mesmo ocorre se mltiplicrmos m úmero por m etor de W Nests codições, W é fechdo em relção à som de etores e o prodto de m esclr pelos etores de W

10 Defiição: Ddo m espço etoril V, m scojto W, ão zio, será sespço etoril de V se: Qisqer, Є W tiermos + Є W Pr qlqer Є R, Є W tiermos Є W Os: Não é ecessário erificr s proprieddes i iii ; Um codição ecessári pr W ser m SEV (Sespço Vetoril é coter o etor lo No etto, ess codição ão é sficiete, pois lgs cojtos cotêm o etor lo e ão são SEV; c Todo o espço etoril dmite pelo meos dois sespços (sespços triiis, o cojto formdo somete pelo etor lo e o próprio espço etoril

11 Eemplo: V=R e W é m plo pssdo pel origem do sistem Se W ão pssr pel origem ele ão é m sespço etoril Eemplo: V=R e W,,,, ; ( PS: Somete rets e plos qe pssm pel origem são SEV i R i ii W é m cojto de etores do R cj primeir coorded sej l: (,,,, (,,,, k, k, k, k, k W (,,,, W (

12 Comição Lier Defiição: Sej V m espço etoril rel e,,, V e,,, R A comição lier desses etores, é o etor: O cojto W formdo pels comições lieres de todos os etores de V, é m o sespço etoril Notção: W,,, Sespço gerdo pel comição lier de,,, Formlmete: W V, R, i ; i

13 Eemplo: Ddos dois etores: =(,, =(-, escre o etor =(-,8 como m comição lier de e : W=[, ] r Solção: 6 9 r Eemplo: Ddos dois etores: e determie os etores: Solção: 8

14 ( 8

15 EXERCÍCIOS: Ddos os etores (,,, (,, e (,,, escre o etor (,, como comição lier desses etores Escre, se possíel, o etor (,, como comição lier de (,,, (,,, (,, e (,, Escre o etor (,, - como comição lier de (,, -, (,, - e (-,, - Determie o cojto de todos os etores qe são comição lier dos etores coplres (,,, (,,, (,, e (,,

16 Coclsão: Dois etores ão prlelos (, germ o R Três etores ão coplres (,, z germ o R Eercícios: Determie o SEV gerdo pelos cojtos de etores: {(,,,(,,, (,, } {(,,,(,,, (,, }

17 Depedêci Lier Sej V m espço etoril e,,, V Dizemos qe {,,, } é LI (Liermete idepedete se + ++ = = == = Se lgm i {,,, } é LD (liermete depedete Coclsão: Em cojto de etores LD, pelo meos m dos etores pode ser escrito como comição lier dos demis Eemplo: Verifiqe se os etores (,,, (-,, e (7,, são LI o LD

18 se de m Espço Vetoril Defiição: Um cojto {,,, } de etores de V é m se de V se: i {,,, } é LI ii [,,, ] = V ( o cojto de etores ger o V Eemplo: V R, i (, e j (, é se de V, cohecid como se côic de V=R i, j

19 Eemplo: Sej V R i (,, j (,, k (,, é se de V, cohecid como se côic de V=R, i, j, k Eemplo: Verificr se é se em R : Notemos qe Logo, (, é LD e portto ão pode formr m se (, Vetores do R LD são etores prlelos

20 OS: se do R dois etores LI se do R três etores LI Eercícios: Determie o SEV gerdo pelo cojto {(,,,(,,,(,,,(,, } e m se pr esse SEV Ecotre m se ortogol pr o plo Ecotre m se ortoorml pr o plo Ecotre m se ortoorml do R qe coteh dois etores d se do item terior : z : z

21 Determie o sespço de M (R gerdo pelos etores: Resp: 6 Determie os gerdores do sespço W de M (R Resp: 7 Determie os gerdores do sespço W de R Resp: M (r;w z e - z w W W W W z w,,z, M R,,,,, (r;w z ;z

22 Coordeds de m etor em m se β: Cosidere se etor {,,, } As coordeds de m se β são os coeficietes d comição lier de, escrito se β ( (,,, ode: Eercícios: Ecotre s coordeds do etor (,, se côic Ecotre s coordeds do etor (,, se {(,,,(,,,(,, } Determie m se pr o plo π : + z = e escre os etores (,, e (,, ess se

23 Mdç de se Dds ds ses: e,,,,,, Ddo m etor ϵ V, podemos escreê-lo como: se α se β

24 se α se β Podemos escreer os etores d se β ( i como comição lier dos etores d se α ( i :

25 Sstitido-se ( em ( ( ( (

26 ( ( ( se β se α Mtriz de trsformção d se β pr se α

27 Portto pode-se escreer simplificdmete I I Ode é mtriz de trsformção d se β pr se α A prtir dest mtriz é possíel oter-se mtriz de trsformção de α pr β tilizdo-se álger mtricil dest form: I I I I I Qe é mtriz idetidde E Portto: I I

28 Eemplo : Sejm s ses: } {, {(,,(,} }, {,(,} {(, j i i i ses de R Determido-se mtriz de trsformção de pr : Escree-se os etores de momo comição lier dos etores de : i i e i i e I

29 De (: / / 8 De (: / 8 / I

30 Eemplo : Determir s coordeds de se, sedo qe s coordeds de se são (, -8 V I V 8 V Pr pssr d se pr se, st fzer iersão d mtriz I I I

31 Otr meir de se oter é cosiderr trsformção lgéric iers: e e i e e i ; ; ; I

32 Eemplo : Só pr erificr o eemplo terior: Osere s ses grficmete o espço R :

33 Eercícios: Sedo = {(,, (, -} m se do R e mtriz qe md 7 d se pr se, determie se 6 8