Material Teórico - Módulo Triângulo Retângulo, Leis dos Cossenos e dos Senos, Poĺıgonos Regulares. Lei dos Senos e Lei dos Cossenos - Parte 1

Transcrição

1 Mteril Teório - Módulo Triângulo Retângulo, Leis dos ossenos e dos Senos, Poĺıgonos Regulres Lei dos Senos e Lei dos ossenos - Prte 1 Nono no utor: Prof. Ulisses Lim Prente Revisor: Prof. ntonio min M. Neto Portl d OMEP

2 1 Lei dos ossenos O ojetivo desse mteril é demonstrr e eiir lgums plições do teorem io, que é um generlizção do Teorem de Pitágors, oneido omo Lei dos ossenos. ntes, porém, neessitmos estender definição de osseno ângulos retos e otusos. Pr tnto, onsidere α um ângulo otuso. Temos: 90 o < α < 180 o 180 o < α < 90 o 0 o < 180 o α < 90 o, ou sej, 180 o α é um ângulo gudo. Então, pr 90 o < α < 180 o, definimos o osseno de α por osα = os(180 o α). Definimos, ind, os90 o = 0. Mis dinte, estudremos o osseno em situções mis geris e firá lro o porquê ds definições im. Teorem 1. Sej um triângulo de ldos =, = e =. Então, = + osâ. (1) Prov. Iniimos om o so  = 90o. omo os90 o = 0, temos: + osâ = + os90 o = +. Por outro ldo, omo é retângulo em, o Teorem de Pitágors grnte que + =. Então, (1) vle nesse so. Supon, gor,queâ < 90o, e sejm opédperpendiulr o segmento pssndo pelo vértie, = e =. Se tmém tivermos < 90 o, situção é desrit n figur seguir (o so 90 o pode ser trtdo de modo nálogo, om modifições mínims): Portl d OMEP omo =, plindo o Teorem de Pitágors os triângulos retângulos e, otemos, respetivmente, Tis igulddes são equivlentes (tmém respetivmente) = e = ( ), de sorte que = ( ). Ms, = ( ) = + = +. gor, omo o triângulo é retângulo (vej novmente figur nterior), rzão, entre o teto oposto o ângulo  e ipotenus do triângulo, é igul osâ. Dí, otemos = osâ e, portnto, = + osâ. so  > 90o, sejm o pé d perpendiulr id de o prolongmento do ldo (vej próim figur), = e =. omo no so nterior, o Te- orem de Pitágors plido os triângulos e fornee s igulddes ou, ind, = + e = +(+) = e = (+). prtir dels, temos = ( + ). Tmém omo ntes, = (+) = = + +. Um vez que  > 90 (vej novmente figur), temos osâ = os(180 Â) = osâ. Por outro ldo, oservndo o triângulo, notmos que = osâ. Portnto, e, ssim, otemos: = osâ = osâ = + + = + osâ. = + e = +( ). ttp://mtemti.omep.org.r/ 1 mtemti@omep.org.r

3 O orolário seguir trz um onsequêni útil d Lei dos ossenos. orolário. Sej um triângulo de ldos =, = e =. Se > >, então: () é retângulo = +. () é utângulo < +. () é otusângulo < +. Prov. Pr o item (), omee oservndo que, omo > >, o triângulo é retângulo se, e só se, su ipotenus for. Portnto, o item () é omposto pelo Teorem de Pitágors e su reípro, os quis já form provdos n ul sore relções métris em triângulos retângulos. Pr o item (), oserve iniilmente que, utilizndo Lei dos ossenos, temos: < + + osâ < + osâ < 0 osâ < 0  < 90o. gor, note que ipótese > > impli 90 o >  > > Ĉ, o que onlui prov do item (). Pr (), podemos mostrr, trvés de um rgumento nálogo o feito im, que > +  > 90o. No restnte deste mteril, presentremos lgums plições d Lei dos ossenos. Eemplo 3 (UFRGS). No triângulo representdo n figur io, os ldos e têm um mesm medid, e ltur reltiv o ldo é igul 3 d medid do ldo. om se nesses ddos, lule o osseno do ângulo Â. Portl d OMEP Solução. Iniilmente, reorde que, sendo isóseles de se e ltur reltiv, temos que é o ponto médio de (isso segue d ongruêni dos triângulos e, pelo so de ongruêni de triângulos retângulos). Portnto, s notções = =, empregds n figur nterior, têm sentido. plindo o Teorem de Pitágors o triângulo e usndo iguldde (dd no enunido) = 3, otemos: ( ) ( ) ( = + = = + 3 ) = = = = 5 36 = = 5 6. Por outro ldo, plindo Lei dos ossenos o triângulo, otemos: = + osâ = = (1 osâ) = = (1 osâ) = 1 osâ = = osâ = 1 50 = osâ = = 7 5. Eemplo 4. Sej um triângulo tl que =, = e = +. lule, em grus, medid do ângulo. Solução. Utilizndo lei dos ossenos, otemos e, dí, Portnto, = + osâ ( ) + = + osâ. + = + osâ, e, pós efeturmos os nelmentos possíveis, osâ = 1. Dí, segue que  = 60o. ttp://mtemti.omep.org.r/ mtemti@omep.org.r

4 Eemplo 5. Um míssil, vijndo em trjetóri prtimente retilíne, foi detetdo por um rdr situdo no ponto em dois instntes distintos: o primeiro no ponto tl que = 6km, e o segundo no ponto, tl que = 10 km. Sendo que  = 10o, lule distâni perorrid pelo míssil do ponto té o ponto. Solução. O triângulo d figur io represent situção desrit no enunido. plindo Lei dos 6 km 10 o 10 km ossenos o mesmo e omitindo s uniddes de distâni por onveniêni, otemos: Ms, = os10 o. os10 o = os(180 o 10 o ) = os60 o = 1, de modo que ( = ) Então, = = 196. = 196 km = 14 km. Eemplo 6. figur io represent um fol de ppel retngulr, de dimensões D = 6 m e = 8 m. D 6 m Portl d OMEP 8 m Susequentemente, ess fol foi dord de modo que o vértie fiou sore o ponto médio M d digonl D, onforme mostrdo n próim figur. Pede-se lulr medid do segmento EM. D M Solução. plindo o Teorem de Pitágors o triângulo retângulo D, otemos: D = D + = D = 6 +8 E = D = = D = 100 = D = 10. gor, ns notções d segund figur im, vej que EM = E. Dí, otemos: Note tmém que e DE = D E = 8 EM. ose DM = os D = D D = 8 10 = 4 5. DM = D = 10 = 5. Portnto, plindo Lei dos ossenos o triângulo EDM, otemos: EM = DE +DM DE DM ose DM = ( 8 EM ) +5 ( 8 EM ) = 64 16EM +EM +5 8 ( 8 EM ) = 64 16EM +EM EM = 8EM +EM +5. Então, 8EM = 5, de sorte que EM = 5 8 = 3,15 m. Eemplo 7. Sej um triângulo om =, = e =. Denotndo por M o ponto médio do ldo, lule medid m d medin M em função de, e. ttp://mtemti.omep.org.r/ 3 mtemti@omep.org.r

5 Sugestões de Leitur omplementr m M Solução. Nsnotçõesdfigurim, pondoθ = M, temos M = 180 o θ. Utilizndo Lei dos ossenos nos triângulos M e M otemos, respetivmente, ( ) = +m mosθ e = 4 +m mosθ ( ) = +m mos(180o θ) = = 4 +m m( osθ) 4 +m +mosθ. Somndo memro memro s epressões pr e otids im, fimos om Então, e, por fim, + = 4 +m = +m. m = 1 ) ( + = ( + ) 4 m = 1 ( + ). Dis pr o Professor Reomendmos que sejm utilizds dus sessões de 50min pr epor o onteúdo deste mteril. Eplir os lunos que Lei dos ossenos é um generlizção do Teorem de Pitágors é fundmentl pr o entendimento desse onteúdo. Sugerimos o uso de figurs (omprndo os três sos) pr melor eplir o orolário. lém disso, o fzer d eemplo, resslte o momento onde está sendo plid Lei dos ossenos. s referênis seguir ontêm mis eemplos e prolems de vridos grus de difiuldde, envolvendo Lei dos ossenos. 1.. min. Tópios de Mtemáti Elementr, Volume : Geometri Eulidin Pln. Rio de Jneiro, Editor S..M., G. Iezzi. Fundmentos de Mtemáti Elementr, Volume 3: Trigonometri. São pulo, Editor tul, 013. Portl d OMEP ttp://mtemti.omep.org.r/ 4 mtemti@omep.org.r