Prova elaborada pelo prof. Octamar Marques. Resolução da profa. Maria Antônia Conceição Gouveia.

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1 ª AVALIAÇÃO DA ª UNIDADE ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO DISCIPLINA: MATEMÁTICA Prov elord pelo prof. Otmr Mrques. Resolução d prof. Mri Antôni Coneição Gouvei.. Dispondo de livros de mtemáti e de físi, qunts oleções de livros podemos formr tendo em d um dels, pelo menos livros mtemáti? ) 8 ) ) ) ) Como em d oleção deve existir pelo menos livros de Mtemáti, então o número totl ds possíveis oleções é enontrdo d seguinte form: C C C C. Alterntiv.. Seleionndo-se o so um ngrm d plvr CARRETO, qul proilidde dele omeçr e terminr por vogl? ) 7 ) 7 ) ) ) Pr oupr primeir s à direit temos três opções entre A, E e O. Esolhid um dels restm pens dus opções pr últim s à direit. As ino ss intermediáris serão oupds pelos ino símolos restntes. Como entre eles existem dois R, então o número do evento A é n(a)!.! 7! O número do espço mostrl será ddo por : n(e)..! Então proilidde pedid è Alterntiv. n(a) n(e) 7 A E MN 7// Miro/sps

2 . Um urn ontém ols rns e dus prets. Qul proilidde de retirndo-se letorimente ols els tenhm, ores diferentes? ) ) ) ) 7 ) 8 8 P(A). Alterntiv.. rpzes e moçs devem formr fils de pessos tendo dus moçs nos extremos ds fils. Clule o número de fils que se pode formr. ) ) 88 ) 8 ) ) Como d fil deve ter pessos, e os lugres extremos devem ser oupdos por dus ds moçs, pr estes dois lugres s possiiliddes são de ( ) forms diferentes. Oupdos os extremos, os outros qutro lugres n fil serão oupdos de ( ) forms diferentes. Assim o número totl de fils diferentes são : 88. Alterntiv.. Num grupo de 8 rpzes estão meus dois filhos, Antônio e José. Qunts equipes de squeteol podem ser formds inluindo meus dois filhos em tods els? ) ) ) ) ) 8 RESOLUÇÃO; Um equipe de squeteol é formd om omponentes. A ordem não é importnte e existe ondição de dois entre os oito rpzes fzerem prte sempre ds equipes formds. Logo omo s sus vgs estão grntids, pens três vgs serem disputds pelos seis rpzes restntesc. Alterntiv. MN 7// Miro/sps

3 . Considere formdos e dispostos em ordem resente todos os números que se otêm permutndo os lgrismos,,, 7,. O número.7 oup, ness disposição, o lugr: ) 7º ) 8º ) º ) º ) º Como é primeiro lgrismo ( à esquerd) do número prourdo, vmos pensr iniilmente nos omeçdos por ou, que são ertmente menores que o número em questão. Esolhido o lgrismo oupr primeir ordem à esquerd, entre e, o número totl de números será : ( ) 8. Vmos pensr gor nos iniidos por. As três ss á direit serão oupds de forms diferentes. O próximo número n ordem resente é 7. Logo posição prourd é de número (8 ) 7 Alterntiv. log log x log 7. A solução d equção é: ) ) ) ) ) A ondição de existêni d solução dest equção é x >. log log log log x log logx logx x x x. Alterntiv. MN 7// Miro/sps

4 é: 8. O onjunto-solução d inequção log ( x ) log ), ), ), ) ], ] ) [, ] log ( x ) log log ( x ) log. Como se do logrítmo é tl que < <, função é deresente e (x ) x x O domínio d função é x > x >. A solução d inequção é Alterntiv. < x... Quntos inteiros pertenem o domínio d função y log ( x ) ) ) ) nenhum ) ) x x Pr que função y log ( x ) exist em R temos que ter x e ( x ) > x x x e x> - x ], -]. O únio inteiro que pertene este domínio é o. Alterntiv. MN 7// Miro/sps

5 . y x N figur vemos o gráfio d função f(x) x O vlor f( ) é igul : ) 8 ) ) ) 7 ) Exminndo o gráfio d função vemos que f() e f(-). Assim e e e Alterntiv. x f(x) f( - ) 7.. 8% dos lunos de um fuldde fzem erto urso. Se neste urso entrrem mis lunos, ess tx se elevrá %. Quntos lunos tem ess fuldde? ) ) ) ) 8 ) Número de lunos d fuldde Número de lunos do urso x,8x x,8x Pel segund informção do prolem :,8x,,8x,x 7,x x. x, Alterntiv. MN 7// Miro/sps

6 . Um pitl de R$, foi plido juros simples, tx de %.m., durnte meses. O montnte otido foi plido por mis meses juros ompostos, tx de i% o mês, otendo-se um montnte de R$,. O vlor de i é: ) ) ) ) ) Como resultdo d primeir plição temos : M,. O montnte d segund plição foi R $,. Como plição foi no regime de juros ompostos,e, fzendo i% x, temos x², x², x,,. Então x i%, i%, i. Alterntiv.. A função f (x) x x tem vlor máximo qundo x é igul : x ) ) ) ) ) x f (x) x x² x x x² f(x) -x² x. x A função do segundo gru ssume o seu vlor extremo qundo se igul à ordend do vértie, logo qundo x Alterntiv. MN 7// 7 Miro/sps

7 MN 7// Miro/sps 8. Considere equção XA A t X I, onde A e I é mtriz identidde. Clule o vlor do elemento x d mtriz X. ) ) ) ) ) Consideremos X d. Determinemos A e A t. Fzendo s devids sustituições n equção XA A t X I, d d d d, logo x. Alterntiv.. As rets m x my e mx y são perpendiulres. Determine ordend do ponto de interseção desss rets, onsiderndo m >. ) ) ) ) ) Primeir ret : m x my my m²x y mx m. Segund ret : mx y y - m x. Como são perpendiulres, m m - m² m ( ondição do prolem : m > ). Primeir ret: y x. Segund ret :y - x - x x -x x x - e y. Alterntiv.

8 . O resto d divisão do polinômio p(x) x x por x é 8. Qul o resto d divisão de p(x) por x? ) ) ) ) ) Pel teori do resto, o resto d divisão de um polinômio por ( x ) é p(-), ssim p() 8 8 p(x) x³ x Assim o resto d divisão de p(x) por x é p(-) 8 -. Alterntiv. 7. Considere função f(x) x x tl que f(x) f(x) x x, x R Sendo que f() lule o menor vlor dess função. ) ) ) ) ) f(). f(x) x² x. f(x) f(x) x² x (x x ) x x x² -x x x e - Como. Assim f(x) x² -x. (x )² Logo o menor vlor d função é. Alterntiv. 8. Um pesso desej er um terreno om form de um setor irulr. A B C O usto ds ers AB e AC é de R$, por metro e o d er irulr é de R$, por metro. O vlor ser empregdo n onstrução ds ers é R$.,. Clule o omprimento x d er BC em metros, de modo se oter áre máxim pr o terreno. NOTA: A áre de um setor irulr é igul o semiproduto do rio pelo omprimento do ro. ) ) ) ) ) MN 7// Miro/sps

9 As informções do prolem nos onduz à seguinte equção: (y) x (y) x y x y A áre do setor irulr pode ser luld pel relção S xy. x. x Assim : S x S x x Como função é qudráti S ssume vlor máximo pr x -. Alterntiv.. D C E A F B N figur vemos um qudrdo ABCD e um triângulo isóseles CEF tl que CE CF m e EF m. Determine, em entímetros, áre do qudrdo. ) 8 ), ) 8 ), ) MN 7// Miro/sps

10 N figur vemos que o triângulo retângulo ABC é isóseles, logo x x. No triângulo retângulo CDE, CD L - (L - )² L² L² - L - 7 ± L² - L - 7 L 7 L²,. Alterntiv. 7 ± N figur vemos s seções meridins de dois ilindros de rios m e m, respetivmente. O primeiro ontém águ té m de ltur e o segundo té m. Prte d águ do segundo ilindro é olod no primeiro de modo que s oluns de águ fiquem n mesm ltur. Clule ess ltur. ) 7 m ) 8 m ) m ) m ) m MN 7// Miro/sps

11 A quntidde de águ representd no primeiro ilindro pel prte de ltur x orresponde águ que foi trnsferid do segundo ilindro, representd pel prte de ltur y. Então: x y y x e π.x π. y x ( x) x - x x x,7 A ltur pedid é,7 8,7 m. Alterntiv. MN 7// Miro/sps