ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tem II Introdução o Cálulo Diferenil II Tref nº 1 do plno de trlho nº 7 Pr levr o est tref pode usr su luldor ou o sketh fmilis.gsp que está em d um dos omputdores do lortório de Mtemáti. Função logrítmi um investigção 1. Fç o gráfio ds seguintes funções: y 1 = ln x y = log 5 x y 3 = log x. Oserve e desrev o modo omo o prâmetro lterdo influeniou os gráfios.. Indique o domínio, ontrdomínio, zeros e intervlos de monotoni de d um ds funções.. Pr que vlores de x é que ln x > log 5 x > log x? E pr que vlores de x é que ln x < log 5 x < log x? 3. Fç os gráfios ds funções: y 1 = ln (-x) y = log 5 (-x) y 3 = log (-x). Oserve e desrev o modo omo o prâmetro lterdo influeniou os gráfios.. Indique o domínio, ontrdomínio, zeros e intervlos de monotoni de d um ds funções.. Pr que vlores de x é que ln (-x) > log 5 (-x) > log (-x)? d. Pr que vlores de x é que ln (-x) < log 5 (-x) < log (-x)?. Estude gor s fmílis de funções: f(x)= log x e g(x)= log (-x) Qul é em d um dos sos influêni do prâmetro? 5. Fç vrir, em IR, os prâmetros e e vrindo em ] 1, + [ estude fmíli de funções definid por: h( x) log ( x ) Domínio Contrdomínio Zeros Monotoni = + reltivmente : Suintmente, ms om rigor, explique omo, e influenim os gráfios ds funções d fmíli. Sintetize s onlusões que tirr num texto ilustrdo om gráfios eluidtivos. Professor: Ros Cnels 1

2 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tem II Introdução o Cálulo Diferenil II Tref nº 1 do plno de trlho nº 7 propost de resolução Função logrítmi um investigção 1. Vmos esoçr gráfios ds seguintes funções: y = ln x y = log 1 5 x y = log x 3. D oservção dos gráfios pree-nos que o umentr se de e pr 5 e de 5 pr 10 há um lterção do speto d urv que se trduz pelos vlores ds imgens dos pontos que ns 3 funções têm mesm iss. Os pontos om iss entre zero e 1 têm imgens que umentm om o umento d se do logritmo e os pontos om iss mior que um, têm imgens que diminuem om o umento d se do logritmo.. Tods s funções desenhds têm o mesmo domínio, IR +, o mesmo ontrdomínio, IR, um só zero em x = 1 tods são resentes em todo o domínio.. ln x > log 5 x > log x x ] 1, + [ ln x < log 5 x < log x x ] 0,1[ 3. Vmos esoçr gráfios ds funções: y = ln (-x) y = log 1 5 (-x) y = log (-x) 3. D oservção dos gráfios pree-nos que o umentr se de e pr 5 e de 5 pr 10 há um lterção do speto d urv que se trduz pelos vlores ds imgens dos pontos que ns 3 funções têm mesm iss. Os pontos om iss menor que -1 têm imgens que diminuem om o umento d se do logritmo e os pontos om Professor: Ros Cnels

3 iss entre -1 e zero têm imgens que umentm om o umento d se do logritmo.. Tods s funções desenhds têm o mesmo domínio, IR, o mesmo ontrdomínio, IR, um só zero em x = 1 tods são deresentes em todo o domínio.. ln (-x) > log 5 (-x) > log (-x) x ], 1[ d. ln (-x) < log 5 (-x) < log (-x) x ] 1,0[. Estudemos gor s fmílis de funções: f(x)= log x e g(x)= log (-x) As funções ds dus fmílis têm o mesmo ontrdomínio IR e os seus gráfios têm mesm ssímptot vertil, ret de equção x = 0. N primeir fmíli, ds funções do tipo f( x) = log x, tods têm o mesmo domínio IR +, um só zero em x = 1, tods são resentes em todo o domínio, são injetivs e ontínus. Tendem pr + qundo x tende pr + e tendem pr qundo x tende pr zero por vlores positivos. N segund fmíli, ds funções do tipo g( x) log ( x) =, tods têm o mesmo domínio IR, um só zero em x = 1, tods são deresentes em todo o domínio, são injetivs e ontínus. Tendem pr + qundo x tende pr e tendem pr qundo x tende pr zero por vlores negtivos. O prâmetro não tem influêni nests proprieddes ms lter o speto do gráfio por ter influêni nos vlores ds imgens. À medid que o prâmetro ument (tomndo vlores miores que 1) s imgens positivs diminuem e s imgens negtivs umentm. 5. Fçmos vrir, em IR, os prâmetros e e vrindo em ] 1, + [ estudemos fmíli de funções definid por: h( x) log ( x ) = + reltivmente : Domínio Clulndo o domínio verifimos que: Dh = { x IR:x+ > 0} = { x IR:x> } = x IR:x > > 0 x < < 0 o que signifi que os prâmetros e têm influêni no domínio d função e por isso tmém n equção d ssímptot vertil do gráfio. O domínio será, + se > 0 ou, se < 0. Est influêni fi demonstrd nos gráfios seguintes: Professor: Ros Cnels 3

4 8 A função logritmí de se mior que 1 y = log (x+) 8 A função logritmí de se mior que 1 y = log (x+) 6 Vrie os prâmetros, e pr identifir s lterções do gráfio. Pode mover pr enontrr os vlores ds ordends de um ponto do gráfio. 6 Vrie os prâmetros, e pr identifir s lterções do gráfio. Pode mover pr enontrr os vlores ds ordends de um ponto do gráfio =.01 = =.05 =.05 - = = =.01 - =.01 = = = = -1.0 Contrdomínio Tods s funções d fmíli têm o mesmo ontrdomínio IR omo se pode verifir o longo dos vários trçdos. Nenhum dos prâmetros o influeni. Zeros Podemos tmém lulr os zeros: 1 h( x) = 0 log ( x + ) = 0 x + = 1 x = 1 x = Assim se 0 função terá um só zero que depende de e. Se = 0 função é onstnte e o seu gráfio um ret horizontl que não interset o eixo Ox se 1 e oinide om ele se = 1, situção em que função terá um infinidde de zeros por tods s imgens serem zero. Os prâmetros e influenim o vlor e existêni de zero ds funções dest fmíli. A situção de 0 pode ser verifid nos gráfios presentdos pr o estudo do domínio. A situção de = 0 é ilustrd nos gráfios seguintes: Professor: Ros Cnels

5 =.01 - = =.01 - = =.07 - = 1.0 Monotoni As funções são resentes se é positivo, são deresentes se é negtivo e onstntes se é zero. Ests onlusões podem ser onsttds nos gráfios presentdos nteriormente. Em onlusão: O prâmetro influeni form d urv que represent d função por influenir os vlores ds imgens. Tem ssim influêni n ordend do ponto de interseção do gráfio om o eixo Oy que tem oordends ( 0,log ) rzão pel qul ess interseção só existe se for positivo. O prâmetro determin o tipo de monotoni ds funções d fmíli e influeni o domínio, existêni e o vlor de zero. O prâmetro influeni o domínio e o vlor do zero. Os prâmetros e são pois os responsáveis pel posição d urv enqunto o prâmetro é responsável pel form. De fto os gráfios dests funções podem resultr por trnsformções geométris plids os gráfios ds funções d fmíli definid por y = log x. Professor: Ros Cnels 5