e b ij = , se i = j i 2 + j 2 i 3 j 3 b ij =

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1 Universie Feerl e Ouro Preto List e GAAL/MTM730 Professor: Antônio Mros Silv Oservção: Muitos os exeríios ixos form retiros s lists o professor Wenerson 0 Revej os exemplos feitos em sl e ul Sejm ij e B ij mtries 6 6 Se ij 0, se i j 3, se i j e ij 0, se i j 2, se i j, etermine o elemento [AB] 34 Se I e ij i 2 + j 2 i 3 j 3, se i j, se i j, etermine o elemento [AB] 46 2 Consiere s mtries: , B , C e D 2 Se possível, lule: AB e BA Os proutos são iguis? CD e DC Os proutos são iguis? A + B e A + C AC, CA e C T A e 2D T C T f A T + B 3 Se-se que item o tipo I ust R$, 00, item o tipo II ust R$2, 00 e item o tipo III ust R$3, 00, lém isso, se-se que tel esreve o número e itens e tipo que form ompros urntes os qutro primeiros meses o no Tipo I Tipo II Tipo III Jn Fev Mr Ar 7 Que informção est represento pelo seguinte prouto mtriil? Enontre x tl que AB t 0, em que x 4 2 e B 2 3 5

2 5 Verifique se s firmções ixo são vereirs ou flss Se firmção for fls, ê um ontr-exemplo Se vereir justifique emonstrno- Se A e B são mtries qurs e mesm orem, então AB BA Resp: F A mtri X y y, stisf equção mtriil X 2 2X Se A e B são mtries qurs e mesm orem então A + B 2 A 2 + 2AB + B 2 Resp: F Se A e B são mtries qurs e mesm orem então A B 2 A 2 2AB + B 2 Resp: F e Se A e B são mtries qurs e mesm orem então A + B 2 + A B 2 2A 2 + B 2 f Se A e B são mtries que AB 0 então 0 ou B 0 Resp: F g Se A é um mtri tl que A 2 0 então 0 Resp: F h Se A e B são mtries simétris então A + B e ka são mtries simétris em que k é um número rel qulquer Resp: V i Se A e B são mtries qurs tis que etab 0 então ou A é singulr ou B é singulr Resp: V j Se A é um mtri n n então et2a 2 et A Resp: F k O sistem mx + y 0 4x + y 0 é possível e inetermino ese que m Resp: F l Se A é um mtri qur e orem 7 e eta λi 7 λλ λ 3 2 λ 4 3, então A é singulr Resp: V 6 Se possível, enontre s inverss s seguintes mtries: 2 3, B , C Enontre toos os vlores e pr que mtri A sej invertível e D Resolv o sistem AX B seno que A e B Mostre que mtri por é invertível se, e somente se, 0 e, neste so, invers é A 2

3 Mostre que se 0, então o sistem liner x + y x + y t, tem omo solução et x et t et e y et t Est é onhei Regr e Crmmer 0 Mostre que se A e P são mtries 2 2 e P é invertível, então etp AP et A Mostre que se A é um mtri não singulr tl que A 2 A, então et 2 Artur, Bernro e Cláuio sírm pr tomr hope, e r em r, tnto no sáo qunto no omingo As mtries seguir resumem quntos hopes um onsumiu e omo espes foi ivii S e D S refere-se às espess e sáo e D às e omingo C elemento ij nos á o número e hopes que i pgou pr j, seno Artur o número, Bernro o número 2 e Cláuio o número 3 Quem eeu mis hopes no fim e semn? Quntos hopes Cláuio fiou eveno pr Artur? Resp: Cláuio 2 3 Seno, enontre um expressão pr A n, n N Resp: A n n os α sin α 4 Pr α R, onsiere mtri T α Mostre que: sin α os α T α T β T α+β Sugestão: Lemre-se e que osα + β os α os β sin α sin β e sinα + β sin α os β + sin β os α T α T t α Sugestão: Lemre-se e que seno é um função ímpr e osseno é um função pr 5 Diemos que um mtri A nul um polinômio px quno pa 0 A mtri polinômio px x 2 0 6x + 5? E mtri B? Sugestão: Clule pa A 2 6A + 5I e pb B 2 6B + 5I 6 Consiere mtri nul o Determine o onjunto solução o sistem AX B, em que B t, pr toos os vlores e Resp: Se e 5 o sistem tem solução úni Se, o sistem tem infinits soluções Se 5, o sistem não tem solução 3

4 7 Se eta 3, lule: eta 2, eta 3, eta e eta t 8 Se A e B são mtries n n tis que eta 2 e etb 3, lule eta t B 9 Clule o eterminnte e um s seguintes mtries: D B E C Res: et 6; et B 4; et C 0; et D 39, et E 6 e et F 2 20 Ds mtries o exeríio nterior, qulis pertenem o onjunto Resp: Apens mtri F W M M 5 R; et M 0}? 2 Assinle omo vereiro ou flso Justifique su respost F Sej ij m n Se X e Y são soluções o sistem homogêneo, AX 0, então X + Y tmém o é Resp: V Se A e B são mtries que omutm om mtri M, então AB BA Resp: V 0 Se X é um solução o sistem AX B e Y é solução o sistem homogêneo AX 0, então X + Y é solução e AX B Resp: V Existe um mtri A e orem n tl que etaa T Resp: F Se A é invertível, então BA + CA é solução o sistem AX B + C Resp: F 22 Pr mtries qurs ij n n, efinimos o trço e A omo seno som os elementos igonl n prinipl e A, ou sej, tra ii Mostre que: tra + B tra + trb trαa αtra tra tra t trab trba i 23 Um inústri prou três proutos, X, Y e Z, utilino ois tipos e insumo, A e B Pr mnuftur e kg e X são utilios grm o insumo A e 2 grms o insumo B; pr kg e Y, grm e insumo A e grm e insumo B e, pr kg e Z, grm e A e 4 grms e B O preço e ven o kg e um os proutos X, Y e Z é R$2, 00, R$3, 00 e R$5, 00, respetivmente Com ven e to proução e X, Y e Z mnuftur om kg e A e 2 kg e B, ess inústri rreou R$2500, 00 Determine quntos kg e um os proutos X, Y e Z form venios Sugestão: Trnsforme s informções im em um sistem mtriil form AX B em que mtri A terá omo entr os vlores referentes s grms e A e e B por kg e tmém o preço por kg, X terá omo entr os vlores que voê eve enontrr, e B será form pels grms e A e e B utilios e rreção Resp: 700 kg e X; 200 kg e Y e 00 kg e Z 4

5 24 Um feneiro está plnejno estrtégi e plntio o próximo no Por informções otis nos órgãos governmentis, se-se que s ulturs e feijão, rro e milho, serão mis rentáveis n próxim sfr O usto o plntio e feijão, rro e milho por hetres é respetivmente R$0,00, R$2,00 e R$5,00 O feneiro ispõe e R$000 pr investir A áre ultivável fen é e 80 hetres Que áre fen eve-se utilir pr o ultivo e um os proutos? 25 A equção x 2 tem us soluções reis: x e x Enontre tos s mtries 2 2 que stisfem equção X 2 I 2 26 Se-se que um limentção iári equilir em vitmins eve onstr e 70 unies e vitmin A, 80 unies e vitmin B, 40 unies e vitmin C, 80 unies e vitmin D e 350 unies e vitmin E Com o ojetivo e esorir omo everá ser um refeição equilir, form estuos ino limentos Fix mesm quntie g e limento, eterminou-se que: O limento I tem unie e vitmin A, 0 unies e vitmin B, unie e vitmin C, 2 unies e vitmin D e 2 unies e vitmin E O limento II tem 9 unie e vitmin A, unies e vitmin B, 0 unie e vitmin C, unies e vitmin D e unies e vitmin E O limento III tem 2 unie e vitmin A, 2 unies e vitmin B, 5 unie e vitmin C, unies e vitmin D e 2 unies e vitmin E O limento IV tem unie e vitmin A, unies e vitmin B, unie e vitmin C, 2 unies e vitmin D e 3 unies e vitmin E e O limento V tem unie e vitmin A, unies e vitmin B, unie e vitmin C, 9 unies e vitmin D e 2 unies e vitmin E Qunts grms os limentos I, II, III, IV e V, evemos ingerir irimente pr que noss limentção sej equilir? 27 Sej Use efinição e eterminnte por oftor pr lulr et A Clule et 2 2 A t D, em que D , se i < j 28 Consiere mtri por ij 3 3, se i j, se i > j Determine A e A t A é invertível? Se não, justifique Se sim, enontre A em que é um número rel qulquer 5

6 29 Quis s seguintes mtries estão n form eslon reui: , B Res: As mtries A e C estão n form eslon reui e C Resolv os seguintes sistems: x + y x 2y + 3, 3x 7y x + 2y x + 5y + 2 8x + y + 4 e 2y + 3 3x + 6y 3 2 6x + 6y Res: X 3,, 2 X α, 7 4 7α, α não tem solução 3 Em item suponh que mtri omplet e um sistem foi trnsform usno operções elementres n mtri eslon reui Resolv osistem orresponente Sej Resp: X α, 0, α e X 5α, 6α, α α R Enontre solução gerl os sistems A + 4I 3 X 0 e A 2I 3 X 0 33 Consiere o suonjunto W e M 2 R o por W 0 } ;, R Quis s mtries seguir pertenem W? Resp: pertene; não pertene; pertene Enontre toos os vlores e pr os quis o sistem ixo não tenh solução, tenh solução úni e tenh infinits soluções x + y + 2 2x + 3y x + 3y Resp: Não existem vlores reis pr que o sistem tenh infinits soluções Se ± 3, o sistem não tem solução Se ± 3 o sistem tem solução úni 35 Ahe x, y, e w tis que x y w

7 Mostre que não existem x, y, e w tis que x y w Existem x, y, e w tis que 36 Sej 37 Se 2 x 2 2x x y w Se A t, etermine x, he B tl que B 2 A 38 Um mtri A 3 3 tem propriee A 2 ij iδ ij, one δ ij 0 se i j, e δ ij se i j Clule et Resp: Consiere mtri 0 0 Determine toos os vlores e λ R pr os quis Av λv em que v 0 Resp: λ e λ 2 Pr λ enontro no item nterior resolv, usno o métoo e Guss-Jorn, o sistem? A Consiere mtri A λi 3 v 0 Determine toos os vlores e λ R pr os quis Av λv em que v 0 Pr λ enontro no item nterior resolv, usno o métoo e Guss-Jorn, o sistem 4 Consiere mtri A λi 3 v 0 Enontre, se existir, A Se B 2 3, om i R, i, 2, 3}, qunts soluções tem o sistem AX B? Justifique 7