Redes elétricas Circuitos que contém resistências e geradores de energia podem ser analisados usando sistemas de equações lineares;

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1 Álger Lier Mtrizes e vetores Sistems lieres Espços vetoriis Bse e dimesão Trsformções lieres Mtriz de um trsformção lier Aplicções d Álger Lier: Redes elétrics Circuitos que cotém resistêcis e gerdores de eergi podem ser lisdos usdo sistems de equções lieres; Progrmção lier geométric Um prolem usul trtdo áre de progrmção lier é o d determição de proporções dos igredietes em um mistur com o ojetivo de miimizr seu custo qudo s proporções vrim detro de certos limites; Prolem de locção de trefs deslocmeto de pessol e de recursos de meir eficiete quto o custo s idústris; Iterpolção splie cúic s fotes tipográfics PostScript TM e TrueType TM usds em tels de moitores são defiids por curvs poliomiis por prtes deomis splies; Cdeis de Mrkov estimtiv d proilidde de cotecimetos futuros com se em ddos pssdos; Teori dos Grfos - A Teori dos Grfos é tulmete um ds áres mis importtes d mtemátic discret. Tedo s sus rízes em jogos e recreções mtemátics, triui-se su crição Euler, o resolver o prolem ds potes de Köigserg em 76, ms form os prolems cerc de fórmuls de estrutur de compostos químicos, que A. Cyley resolveu segud metde do século XIX, que começrm desevolver. Hoje, Teori dos Grfos tem sido plicd muits áres (Iformátic, Ivestigção Operciol, Ecoomi, Sociologi, Geétic, etc.), pois um grfo costitui o modelo mtemático idel pr o estudo ds relções etre ojetos discretos de qulquer tipo; Jogos de estrtégi os métodos mtriciis podem ser usdos pr desevolver estrtégis otmizds pr os jogdores; Modelos ecoômicos de Leotief Tis modelos são sedos s idéis do ecoomist russo Wssily Leotief, prêmio Noel de Ecoomi de 97. Usdo teori de mtrizes é possível clculr certos prâmetros diciois, tis como os preços e íveis de produção, pr stisfzer um ojetivo ecoômico desejdo;

2 Computção Gráfic Um ds plicções mis úteis d Computção Gráfic é do simuldor de vôo; Tomogrfi computdorizd Os métodos d Álger Lier podem ser usdos pr recostruir imges prtir do escemeto por rios X d tomogrfi computdorizd; Criptogrfi, Geétic e outrs plicções. Mtrizes e vetores Itrodução os Sistems de equções lieres Equção lier Mtriz umetd x + y = c [ c ] Ex.: x + y = [ ] Sistems de equções lieres Mtriz umetd x + x + x + y + y + y + z + z + z + w = w = w = Ex.: x + y z w = x y + 8z w = x + 6y z + w = Defiição: Um mtriz é um grupmeto retgulr de úmeros. Exs.: A = B = [ ] C = D = [ ] Tmho de um mtriz: Dim (A) = x Dim (B) = x Dim (C) = x Dim (A) = x

3 Simologi: A = ( ij ) ode Dim(A) = m x A = m m m... m Mtriz qudrd de ordem é um mtriz ode o úmero de lihs m é igul o úmero de colus. Ex.: C = Ordem (C) = Operções sore mtrizes Defiição: Dus mtrizes são defiids como sedo iguis se têm o mesmo tmho e seus elemetos correspodetes são iguis, i.é, ij = ij. Ex.: x = se, e somete se, x = Adição e sutrção de mtrizes Sejm A = ( ij ), B = ( ij ). Etão A + B = ( ij ) + ( ij ) = ( ij + ij ) A B = ( ij ) ( ij ) = ( ij ij ) Ex.: Ddos A = e B = ecotre A + B e A B. Multiplicção por um esclr Se A é um mtriz e k é um esclr, etão o produto ca é mtriz otid pel multiplicção de cd elemeto d mtriz A por k.

4 Ex.: A = = 8 6 A =? Se A, B são mtrizes do mesmo tmho e, são esclres, etão um expressão d form A + B é chmd de comição lier A e B. Ex.: Se A = e B = etão ecotre A + B, A B, A B Multiplicção de mtrizes Dim (A) = m x k, Dim (B) = k x Dim (AB) = m x Ex.: A = B = 6 AB = 7 8 = x + x + x 8 = x + x + x = x + x + x = x + x + x Colus do produto AB como comições lieres = x + x + x 8 = x + x + x Form mtricil de um sistem lier

5 x + x + x x x + x + x x... m x + mx + mx mx =... m m m m... m x x... x m =... m Ax = B Trspost de um mtriz: A T Defiição: Se A é um mtriz m x qulquer, etão trspost de A, deotd por A T, é mtriz ode primeir lih de A T é primeir colu de A, segud lih de A T é segud colu de A, terceir lih de A T é terceir colu de A, e ssim por dite. Ex.: Se A = [ ] etão A T = [ ] Se A = etão A T = [ ] Se A = 7 etão A T = 7 Proprieddes d trspost () (A T ) T = A () (A + B) T = A T + B T () (A B) T = A T B T () (ka) T = ka T () (AB) T = B T A T Trço de um mtriz

6 Se A é um mtriz qudrd, etão o trço de A, deotdo por tr(a), é defiido pel som dos elemetos d digol pricipl. tr(a) = Ex.: Sejm A = e B = Etão tr(a) = + + = ; tr(a) = + + = 8 Proprieddes ds mtrizes ) A + B = B + A (Comuttividde pr dição) ) A + (B + C) = (A + B) + C (Associtividde pr dição) ) A (B C) = (A B) C (Associtividde pr multiplicção) ) A (B + C) = A B + A C (Distriutividde à esquerd) ) (A + B) C = A C + B C (Distriutividde à direit) ) (B + C) = B + C ) ( + ) C = C + C ) ( C) = ( ) C ) (B C) = ( B) C = B ( C) Ex.: Cosidere s mtrizes A = otemos e B =. Multiplicdo AB e BA AB = e BA = 6, o que mostr que AB BA Mtrizes Zero Um mtriz com todos os seus elemetos ulos., [ ],,, Proprieddes: () A + = + A = A () A A = () A = A

7 () A = A = Mtrizes Idetidde Um mtriz qudrd com todos os seus elemetos ulos pr i j e iguis qudo i = j. [ ],,, Proprieddes: () A I = I A = A Mtriz ivers Dd um mtriz qudrd A, se pudermos ecotrr um mtriz qudrd B de mesmo tmho tl que AB = BA = I, etão diremos que A é ivertível e que B é um ivers de A. Ex.: B = é um ivers de A = pois AB = = = I e BA = = = I Ex.: A = é um mtriz sem ivers pois = Assim, BA I = Proprieddes:

8 () Se B e C são iverss d mtriz A, etão B = C () A mtriz A = c d é ivertível se d c. Neste cso, A - = d c d c () Se A e B são mtrizes ivertíveis de mesmo tmho, etão AB é ivertível e (AB) - = B - A - () Se A é um mtriz ivertível, etão A - é ivertível e (A - ) - = A () Se A é um mtriz ivertível, etão ka é ivertível e (ka) - = k A - Ex.: Clcule s iverss ds seguites mtrizes ) A = ) B = ) C = Ex.: Sej mtriz A = ecotre su ivers.. Determie se A é ivertível e, se for,