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1 Universidde Federl d Bhi -- UFBA Deprtmento de Mtemátic, Cálculo IIA, Prof. Adrino Ctti Cálculo de áres de figurs plns (curvs sob equções prmétrics) (por Prof. Elin Prtes) Exemplo : Sej o círculo C de rio e centro n origem. Temos, P = (x, y) C x + y = Pr cd ponto P=(x, y) C, tomemos o ângulo t entre OX e OP tl que t [, ]. Então x = cos(t) e y= sen(t). Dizemos que C é um curv pln prmetrizd pels equções x(t) y(t) = cos(t) ; t [,] = sen(t) Ests equções são equções prmétrics d curv C Ddos um intervlo I e um função λ : I t ( x( t), y( t)) tl que x(t) e y(t) são funções contínus então o conjunto {(x(t), y(t)); t I} é um curv pln C prmetrizd pels equções x(t) y(t) ; t I. Ests equções são equções prmétrics d curv C. t pode ser interpretdo como tempo e (x(t),y(t)) nos dá posição de um ponto no instnte t, que se desloc no plno XOY. A curv C é trjetóri descrit pelo ponto. Assim como um trjetóri pode ser descrit de váris mneirs (mis rápid ou mis devgr, num sentido ou no outro, etc) um dd curv pode ser prmetrizd de váris mneirs. Exemplo : Os dois pres de equções seguir prmetrizm o círculo C de rio e centro n origem: x(t) = cos(t) x(t) = cos( t) i) ; t [, ] e ii) ; t [,] y(t) = sen(t) y(t) = sen( t) Em i) o ponto se desloc mis rápido, percorre o círculo, n metde do tempo, no sentido ntihorário. Em ii) o ponto se desloc mis devgr e em sentido horário

2 Exemplo: Sej o círculo C de rio r > e centro no ponto (h,k) Temos, P(x, y) C (x h) + (y k) = r x h y k + = r r x h y k Q =, pertence o círculo C r r, ddo nteriormente. Tomemos então h r y k r = cos(t) = sen(t) Pr cd ponto P (x, y) C temos ; t [,] x y = r cos(t) + h = r sen(t) + k ; t [,] que são equções prmétrics de C. Vmos clculr áre A d região do plno limitd pelo círculo C: C não é gráfico de um função y = y(x) e nem x = x(y). Consideremos s dus funções y = y (x) e y = y (x) cujos gráficos são respectivmente o semi-círculo superior (isto é, y k, em zul n figur o ldo) e o semicírculo inferior (y k, em vermelho). Temos, A= y ( x) dx y ( x) dx Usndo s equções prmétrics, fzemos mudnç de vriável x = +.cos(t) dx = - sen(t) y = sen(t) N ª integrl temos: x = t = x = t =

3 N ª integrl temos: x = t = x = t =. A = sen(t)( sen(t)) sen(t).( sen(t)) = sen (t) + sen (t) = = cos(t) + cos(t) =. = ) A [] [ sen(t ] + t 4 4 [] t [ sen(t) ] + Exemplo 4: Sej elípse E com centro no ponto (h, k), eixos prlelos os eixos coordendos e semi-eixos e b. Temos, P = (x, y) E h cos(t) = Tomemos então ; t [,] y k = sen(t) b Pr cd ponto P = (x, y) E temos x = cos(t) + h ; t [,] que são equções prmétrics de E y = b sen(t) + k Vmos clculr áre A d região do plno limitd pel elipse E: De modo nálogo, E não é gráfico de um função y = y(x) e nem x = x(y). Consideremos s dus funções y = y (x) e y = y (x) cujos gráficos são respectivmente semi-elípse superior (isto é, y k, em zul n figur cim) e inferior (y k, em vermelho). Temos, A = h+ h h+ y(x)dx y (x) dx h Usndo s equções prmétrics, fzemos mudnç de vriável x = h +.cos(t) dx = -.sen(t) e y = k + b.sen(t) N ª integrl temos: x = h t = x = h + t = N ª integrl temos: x = h t = x = h + t =. A = (k + b sen(t))(. sen(t)) (k + b sen(t))(. sen(t)), A = b

4 / / Exemplo 5: Sej stróide A de equção crtesin x + y = / Temos, P = (x, y) A / / y / / x + = / / x y Q= (, ) pertence o círculo C / / / x = cos(t) / Tomemos então ; t [,] / x = sen(t)) / x =.cos (t) Pr cd ponto P=(x, y) A temos ; t [,] que são equções prmétrics de A. = sen (t) Vmos clculr áre A d região do plno limitd pel stróide A: De modo nálogo, consideremos s dus funções y=y (x) e y=y (x) cujos gráficos são respectivmente o rco superior (isto é, y k, em zul) e o inferior (y k, em vermelho). Temos, A = y(x)dx y(x) dx, Usndo simetri d figur em relção os eixos OX e OY, então A = 4. y(x) dx. Mudndo de vriável : x =.cos (t) dx = -..cos (t).sen(t) e y =.sen (t) A x = t = / x = t =, A sen ( t)( cos ( t)sen( t)) / / 4 = = sen ( t)cos ( t) = / cos( t) ( + cos( t)) (. cos( ) cos ( ) cos ( ) ) /. = t t + t = /. = / [ sen(t) ] ( + cos(4t)) + / ( sen (t)).cos(t) =. = A = 4.A. = / [ sen(4t) ] + sen (t) sen(t) /

5 Outros Exemplos Exemplo : Clculr áre d região do plno limitd pelo eixo OX, pels rets x = e x = e pel curv C de equções prmétrics x = (t ) y = t (*) Solução: Podemos interpretr s equções d curv C como equções do movimento de um ponto sobre o plno, isto é, (x(t), y(t)) dá posição do ponto no instnte t. x(t) nos dá o movimento n horizontl e y(t) nos dá o movimento verticl. Usremos então os sinis ds derivds dx e pr obter o crescimento e decrescimento de x e de y em relção t. Qunto concvidde d curv, pr efeito ds plicções que vmos fzer, não é necessári. Temos, dy dx = (t ) dy = t Pels equções (*) = t = = Clculndo s intersecções entre s curvs: Pels equções (*), x = = -(t-) t = x = = -(t-) t = - Apens com ests informções podemos presentr seguinte representção gráfic pr áre As sets indicm o sentido em que curv C é percorrid.

6 Observe que este gráfico não indic corretmente concvidde d curv C (é bstte imperfeito!), ms, no momento, serve os nossos propósitos. Sej y = y(x) função cujo gráfico é curv C. Então A = ydx = t ( (t ) O gráfico seguir represent curv com mis extidão. 6 ) = 5 Exemplo : Ddo >, clculr áre d região do plno limitd pelo eixo OX e pel curv C =.(t sen(t)) de equções prmétrics t (*) =.( cos(t)) Solução: Temos, dx dy = ( cos(t)) = sen(t) Pels equções (*) = =. =. t = ; t = ; t =. = =. y = Apens com ests informções podemos presentr seguinte representção gráfic pr áre.

7 Sej y = y(x) função cujo gráfico é curv C. Então A = Com mudnç de vriável x =.(t sen(t)) dx =.( cos(t)), y =.( cos(t) e x = t = ; x = t =, temos ydx A =.( cos(t))..( cos(t)) = = ( cos(t) + cos De fto ess curv é chmd ciclóide e tem seguinte representção gráfic. (t)) = Exemplo : Clculr áre d região do plno limitd pelo lço d curv C de equções prmétrics t x = + t y = t (*) Solução: Temos, dx = t dy = t + Pels equções (*) x = x = t = x = ; t = ; t =. y = y = y = Usndo pens ests informções podemos presentr seguinte representção gráfic pr áre.

8 É preciso clculr o ponto de uto-intersecção d curv, que é um ponto por onde o móvel pss dus vezes (ou sej em dois instntes diferentes). Logo, sejm t < t tis que x(t ) = x(t ) e y(t ) = y(t ). y(t ) = y(t ) (t ) = (t ) t = ± t t = - t. (t ) (t ) (t ) x(t) = x(t ) e t = - t t = + t t = t = ou t = ± t = t = t (não serve!). Então t = e t =. Temos, t = ± = ; y = Sejm A, A, A e A 4 s áres indicds n figur bixo. Temos A = A + A + A +A 4 Se y = y(x), y = y(x), y = y(x), y 4 = y(x) são s funções cujos gráfico estão indicdos n tmbém n figur bixo / Fzendo mudnç de vriável, A = y (x)dx + y (x)dx y(x)dx y / t x = + t dx = ( t / + ) e temos, A = - (t )(t ) + - (t )(t ) + / y = t 4 (x)dx = - (t )(t ) - (t )(t ), 6 A = 5 5

9 A figur cim é um representção gráfic mis ext pr curv C

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