Aspectos do Teorema Fundamental do Cálculo

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1 Aspectos do Teorem Fundmentl do Cálculo Luis Aduto Medeiros Conferênci proferid n Fculdde de Mtemátic - UFPA (Belém Mrço de 2008)

2 Então porque pint? Por nd. Procuro simplesmente reproduzir o que vejo W. Somerset Morgn Primeir Fse Deve-se Newton ( ) introdução do conceito de primitiv de um função. Denomin-se primitiv de um função f, um função F tl que su derivd F sej igul f. Newton empregv est nomencltur pr definir os conceitos de velocidde e celerção por meio d noção de espço percorrido por um prtícul. Adot-se notção F = f ou f = F + constnte. Diz-se que f é integrl indefinid d f ou primitiv de f. Segund Fse Leibniz ( ) Pensv no cálculo de áres por meio d noção de limite obtendo um novo conceito mtemático, denomindo integrl. Com notção tul, consider-se um função f definid em um intervlo, tomndo vlores reis, 2

3 positiv. Considere-se o subconjunto do plno R 2 definido do modo seguinte: { (x, y) R 2 ; x b, 0 y f(x) }, denomindo conjunto ordend de f em [, b]. Clculv-se áre do conjunto ordend pr certs funções, í residindo, penso eu, o conceito de integrl definid. Terceir Fse Cuchy ( ) Fix-se tenção pr funções reis, definids em um intervlo fechdo [, b] d ret R. Pr ests funções, Cuchy definiu, de modo clro, s noções de limite, continuidde, derivd e integrl. Relcionou integrl com derivd, isto é, relcionou os conceitos de Leibniz e Newton pr o cso ds funções contínus. Integrl de Cuchy Considere-se um função contínu f : [, b] R, um prtição P de [, b] por meio dos pontos: = x 0 < x 1 < < x k 1 < x k < < x n = b. (1) 3

4 Escolhe-se ξ k tl que x k 1 < ξ k < x k, k = 1,...,n e define-se som S P = Consulte-se Figur 1. (x k x k 1 )f(ξ k ). y M f f ( ) k m 0 x 0 = x k-1 k xk b=xn x Fig. 1 Cuchy demonstrou que qundo f : [, b] R for contínu, existe o limite finito de S P qundo mx(x k x k 1 ) converge pr zero, qulquer que sej prtição P de [, b]. A este limite ele denominou integrl d função contínu f : [, b] R. Representou por f(x) dx, notção que, segundo ele, deve-se Fourier. Relcionou, por meio do teorem seguir, s noções de integrl e derivd. 4

5 Teorem de Cuchy. Suponh f : [, b] R, contínu, derivável, com derivd f : [, b] R contínu. Então vle iguldde: f (x) dx = f(b) f(). (2) Observção 1. Este denomin-se Teorem Fundmentl do Cálculo. Demonstrção: Considere-se um prtição P do intervlo [, b], cf. (1). Por cálculo simples, verific-se: f(b) f() = [f(x k ) f(x k 1 )]. Sendo f : [, b] R contínu, result: f(x k ) f(x k 1 ) = f (ξ k )(x k x k 1 ), teorem do vlor intermediário de Cuchy, com x k 1 < ξ k < x k. Dí result que f(b) f() = (x k x k 1 )f (ξ k ). (3) Sendo f : [, b] R contínu, el é integrável segundo Cuchy. Portnto, considerndo o limite em (3), qundo mx(x k x k 1 ) 0, obtém-se: f (x) dx = f(b) f(). Sendo f : [, b] R contínu é bem definid função F(x) = cf. Figur 2. x f(s) ds, 5

6 y f x f( s) ds 0 x Fig. 2 b x É simples verificr que F é um primitiv de f. De fto, pr h > 0 tl que < x + h < b, obtém-se: F(x + h) F(x) = x+h x f(s) ds = hf(ξ), com x < ξ < x + h, pois f é contínu. Result, d continuidde d f, que qundo h 0 obtém-se: F (x) = f(x). (4) Assim, é grnde clsse ds primitivs de funções contínus. De (4) e d continuidde d f e do Teorem de Cuchy, obtém-se: F(b) F() = f(x) dx. (5) Deste modo, pr o cálculo d integrl de Cuchy é suficiente o conhecimento de um primitiv. Este método é fundmentl ns plicções. A 6

7 relção (5) entre integrl e um de sus primitivs é conhecid por fórmul de Newton-Leibniz. Qurt Fse Riemnn ( ) Drboux ( ) O conceito de integrl de Riemnn é um extensão do método de Cuchy, o cso em que f : [, b] R é pens limitd, não necessrimente contínu, como no cso de Cuchy. De fto, suponh-se f : [, b] R limitd e P um prtição de [, b] como em (1). Repete-se metodologi como no cso de Cuchy, obtendo-se: S P = com f : [, b] R, limitd. (x k x k 1 )f(ξ k ), Se S P possui limite finito, qundo mx(x k x k 1 ) converge pr zero, diz-se que f é integrável à Riemnn e o limite denomin-se integrl de Riemnn d f limitd representndo-se por: (R) f(x) dx. Obtém-se, tmbém, um teorem fundmentl do cálculo como segue. Teorem de Riemnn. Supõe-se f : [, b] R, limitd, integrável à Riemnn, derivável com f : [, b] R integrável à Riemnn. Então vle 7

8 iguldde: f (x) dx = f(b) f(). Demonstrção: Análog o cso contínuo de Cuchy. Lebesgue provou que clsse ds funções integráveis à Riemnn não é tão grnde qundo comprd às contínus. Record-se, seguir, o rgumento de Lebesgue. Definição 2. Diz-se que um subconjunto E [, b] possui medid nul, qundo, pr cd ε > 0 existe um fmíli enumerável de intervlos bertos {I k } k N, stisfzendo às condições: (i) E I k, os I k cobrem E (ii) mpi k < ε. Lebesgue provou que um condição necessári e suficiente pr que f : [, b] R, limitd, sej integrável à Riemnn é que o conjunto dos pontos de descontinuidde d f, possu medid nul. Anlisndo o teorem fundmentl do cálculo, segundo Riemnn reformul-se com f : [, b] R, contínu em [, b] menos de um conjunto de medid nul, o mesmo contecendo à su derivd f : [, b] R. Com objetivo de melhorr o conceito de integrl de Riemnn, Drboux definiu s integris inferior e superior pr funções limitds. Será feit um rápid revisão. 8

9 Considere-se f : [, b] R, limitd, e um prtição P de [, b], cf. (1). Represente-se por J k = [x k 1, x k ], k = 1,...,n e define-se: s k = inf x J k f(x), mbos finitos porque f : [, b] R é limitd. S k = sup x J k f(x), São definids s soms inferior e superior de Drboux, referentes prtição P, do modo seguinte: s P = (x k x k 1 )s k ; S P = (x k x k 1 )S k. Qundo P vri obtém-se os conjuntos de números reis {s P } e {S P }, de soms inferiores e superiores. Prov-se que {s P } é limitdo superiormente e {S P } inferiormente. Logo, o primeiro possui um supremo e o segundo um ínfimo, finitos. Define-se f(x) dx = sup{s P }, P f(x) dx = inf P {S P }. Estes números são denomindos, respectivmente, integrl inferior e superior, de Drboux d função limitd f. Tem-se: bf(x) dx f(x) dx. Qundo houver iguldde diz-se que f é integrável em [, b] e est integrl é de Riemnn. Exemplo 1. Considere função definid em [, b] por 1 se x rcionl χ(x) = 0 se x irrcionl 9

10 Em qulquer prtição P de [, b], há nos intervlos [x k 1, x k ] rcionis e irrcionis. Result, dí, que χ(x) dx = 0 e χ(x) dx = 1. Portnto χ não é integrável à Riemnn-Drboux. Quint Fse Lebesgue ( ) Em 1901 Lebesgue publicou um pequen not no C.R. Acd. Sci. Pris, 132, (1901) pp , completndo um século em Aliás, o conteúdo dest not não ocup mis de um págin. Nel, Lebesgue mud de modo profundo mneir de definir integrl idelizd por Riemnn- Drboux. Dd relevânci pr o desenvolvimento d Análise Mtemátic, por ocsião do centenário d not de Lebesgue, op. cit., J.M. Bony, G. Choquet, G. Lebeu, publicrm: Le centenire de l integrle de Lebesgue, C.R. Acd. Sci. Pris, t. 332, Série I, (2001) pp , slientndo profund mudnç n Análise Mtemátic motivd pels idéis de Lebesgue. Pr definir seu novo conceito de integrl, Lebesgue fz observção que é repetid seguir. Supõe f : [, b] R, limitd, crescente, sendo m, M, respectivmente, o ínfimo e o supremo de f em [, b], vej Figur 3. 10

11 y f y = M n y k y k-1 y 1 y = m 0 x 0 = x 1 x x x k-1 k n = b x Fig. 3 Considere-se um prtição P de [, b] em intervlos [x k 1, x k ], k = 1,...,n. Est determin um prtição em intervlos [y k 1, y k ], k = 1,...,n, de [m, M]. Reciprocmente, em fce de ser f crescente em [, b], um prtição de [m, M] em intervlos [y k 1, y k ], k = 1,...,n, determin um prtição de [, b] em intervlos [x k 1, x k ], k = 1,...,n. Portnto, no cso crescente, qulquer método de prtição de [, b] ou [m, M] conduz um mesmo conceito de integrl, considerndo-se: s P = (x k x k 1 )y k 1 e S P = (x k x k 1 )y k. (6) Conclui Lebesgue que no cso em que f é crescente, limitd, obtém-se s integris inferior e superior de Riemnn-Drboux com prtições de [, b] ou [m, M], conduzindo o mesmo conceito de integrl. O cso decrescente limitdo é nálogo. Suponh f : [, b] R limitd ms não necessrimente monóton, cf. Figur 4. 11

12 y y =M n f y k y k-1 y =m 0 b x Fig. 4 Um prtição em [, b] em intervlos [x k 1, x k ], k = 1,...,n, permite definir s soms de Drboux conduzindo um conceito de integrl de Riemnn. Entretnto, fzendo-se um prtição [y k 1, y k ], k = 1,...,n, y 0 = m, y n = M, conclui-se que em [, b] não se tem um prtição em intervlos, vej Fig. 4, pr um cso simples. Em [, b] obtém-se os conjuntos: {x [, b]; y k 1 f(x) y k }, que, no cso Fig. 4, compõe-se d união de qutro intervlos, sem ponto comum. Se f for muito oscilnte em [, b] prtição de [m, M] determin subconjuntos bem geris em [, b]. Assim, segue-se um método heurísitco pr concluir nov definição propost por Lebesgue. 12

13 De fto, d prtição [y k 1, y k ], k = 1,...,n, y 0 = m, y n = M, de [m, M], result em [, b] prtição E k = { x [, b]; y k 1 f(x) y k, k = 1,...,n }, (7) ms em subconjuntos E k. Desejndo-se mnter s soms (6) pr obter o novo conceito de Lebesgue, surgem os problems: (i) Como tribuir os E k ddos por (7) um número positivo que correspond medid dos E k como x k x k 1 mede o comprimento dos intervlos [x k 1, x k ], k = 1,...,n? Suponh resolvido este problem. A cd E k, ddo por (7), tribui-se um número positivo representdo por µ(e k ), que se lê medid de conjunto E k, generlizndo o conceito de mplitude do intervlo [x k 1, x k ]. A estes conjuntos E k os quis tribui-se um medid, Lebesgue denominou mensuráveis. Os intervlos [x k 1, x k ] são mensuráveis. Dest form, s soms (6) são reescrits, no cso de prtição em [m, M] em intervlos [y k 1, y k ], y 0 = m, y n = M, k = 1,...,n, sob form: s P = y k 1 µ(e k ) e S P = y k µ(e k ). (8) Resolvid est etp, surge um problem crucil: (ii) Pr quis funções limitds f : [, b] R é possível tribuir um medid µ(e k ) os conjuntos E k, d prtição de [, b]? Dito de modo equivlente, pr quis funções f : [, b] R, limitds, os conjuntos E k de [, b] são mensuráveis? Deste modo, pr responder questão (ii) Lebesgue restringe s funções limitds à clsse que ele denominou funções mensuráveis. 13

14 Dd f : [, b] R, limitd, denominou mensurável qundo pr todo pr de números α < β, o conjunto { x [, b]; α < f(x) < β }, for mensurável. Conclui-se que tudo fic em ordem pr s funções f : [, b] R, limitds e mensuráveis. Ele observ que s funções contínus menos de conjunto de medid nul são exemplos de funções mensuráveis. Conclusão. Aceitndo-se s noções de conjunto e função mensurável, se f : [, b] R for limitd e mensurável s soms s P e S P definids em (8) estão bem definids. Assim, define-se s integris inferior e superior, respectivmente, por sup{s P } e inf {S P }. Qundo ests integris forem iguis, P P este vlor comum denomin-se integrl de Lebesgue d função f : [, b] R, representd por (L) f(x) dx. Lebesgue provou que se f : [, b] R for limitd e mensurável, então f é integrável. Um primeir versão do teorem fundmentl do cálculo semelhnç de Cuchy e Riemnn é simples. Teorem de Lebesgue. Sej f : [, b] R, limitd, mensurável, derivável com derivd f : [, b] R limitd. Então f é integrável, à Lebesgue, e f (x) dx = f(b) f(). 14

15 Observção 2. Com metodologi de Lebesgue, s proprieddes ds funções são válids menos de um conjunto de medid nul. Diz-se que propriedde vle quse sempre. Idéi d Demonstrção f é contínu quse sempre em [, b] porque é derivável. Estende-se f, por continuidde, o intervlo [, b + 1] definindo: f(x) = f(x) + (x b)f(b) se b < x < b + 1. Consider-se sucessão (φ n ) n N definid por [ ( φ n (x) = n f x + 1 ) ] f(x). n As φ n são mensuráveis porque f é contínu em [, b + 1]. lim n φ n (x) = f (x) f é mensurável porque é limite de φ n mensuráveis. (Por hipótese f é limitd.) Logo f é integrável à Lebesgue. Teorem do vlor intermediário de Cuchy: ( φ n (x) = f x + θ ), 0 < θ < 1. n Portnto, s funções φ n são limitds por f é limitd por hipótese. Logo φ n são mensuráveis e limitds obtendo-se: Tem-se f (x) dx = lim φ n (x) dx. n ( φ n (x) dx = n f x + 1 ) dx n f(x) dx. n 15

16 Fç n primeir integrl t = x + 1 n, obtendo-se: + 1 n b φ n (x) dx = n f(t) dt n f(t) dt. + 1 n Dí obtém-se: φ n (x) dx = n n + 1 n + 1 n + 1 n f(t) dt + n f(t) dt n + 1 n f(t) dt f(t) dt ou + 1 f n (x) dx = lim n f(t) dt lim n n b n + 1 n f(t) dt = f(b) f(). Comprndo-se os enuncidos obtém-se: pr Cuchy f deve ser contínu em [, b], pr Riemnn-Drboux f deve ser integrável (logo contínu quse sempre) e pr Lebesgue f deve ser limitd. Desejndo-se ensinr integrl de Lebesgue, nos cursos básicos de mtemátic, seguindo metodologi idelizd por Lebesgue, é necessário ensinr medid de Lebesgue, s funções mensuráveis pr em seguid dr definição de integrl. Com o progresso d nálise mtemátic n segund metde do século XX, encontrou-se métodos mis eficientes pr o ensino deste imprescindível tópico n formção dos estudntes. Por est rzão Frederick Riesz idelizou um método pr o ensino d integrl de Lebesgue bem mis didático que o originl de Lebesgue. Um formulção precis do Teorem Fundmentl do Cálculo, será dd seguir, idelizd por Lebesgue em um clsse mis restrit de funções. 16

17 Definição 3. Diz-se que f : [, b] R é bsolutmente contínu qundo pr cd ε > 0, existe δ > 0 tl que pr tod coleção finit de subintervlos ( 1, b 1 ), ( 2, b 2 ),...,( n, b n ) de [, b], com 1 < b 1 < 2 < b 2 < < n < b n, stisfzendo tem-se, necessrimente, (b k k ) < δ, f(b k ) f( k ) < ε. Clro que se f : [, b] R for bsolutmente contínu el é uniformemente contínu logo contínu. Pr concluir este fto é suficiente considerr n = 1 n definição nterior. Considere-se f : [, b] R e prtição P de [, b] = x 0 < x 1 < < x n = b, definindo-se: V P = f(x k ) f(x k 1 ). Se supremo de V P, qundo vri prtição P de [, b], for finito, diz-se que f é de vrição limitd em [, b]. Diz-se que f : [, b] R é Lipschitzin, qundo existe K > 0 tl que pr quisquer x, y [, b] se tem: f(x) f(y) < K x y. As funções deriváveis com derivd limitd são exemplos de funções Lipschitizins. 17

18 obtém-se: Sej f : [, b] R Lipschitizin. Então dd prtição P de [, b], f(x k ) f(x k 1 ) K x k x k 1. Logo V P K(b ), provndo que f é de vrição limitd. Considere função contínu x cos π f(x) = 2x, 0 < x 1 0 se x = 0. Est não é de vrição limitd. obtém-se: Bst considerr prtição de [, b] dd por: 0 < 1 2n < 1 2n 1 < < 1 3 < 1 2 < 1 V = n, que não é limitd, pois 1 k diverge. As funções de vrição limitds f em [, b], possuem derivds f limitds quse sempre. As funções bsolutmente contínus são de vrição limitd. Dí, tem-se o Teorem Fundmentl do Cálculo de Lebesgue. Teorem de Lebesgue. Suponh f : [, b] R, bsolutmente contínu. Então f é derivável quse sempre em [, b], su derivd f é integrável em [, b] e se tem: f (x) dx = f(b) f(). 18

19 Observções Finis Há váris generlizções ds integris de Riemnn e Lebesgue, permitindo outrs formulções do Teorem Fundmentl do Cálculo. No contexto de Lebesgue são bem conhecids s de O. Perron e A. Denjoy. Em 1960 foi investigdo por R. Heinstock um conceito de integrl bsedo no processo de Riemnn, do qul si um formulção do Teorem Fundmentl do Cálculo. Ele denominou Integrl de Riemnn Generlizdo. Tmbém Kurzweill obteve um generlizção d integrl de Riemnn motivdo pelo estudo do teorem de existênci pr equções ordináris. Por est rzão, est integrl denomin-se de Kurzweill-Heinstok. Consulte-se exposição: R.G. Brtle - Return to the Riemnn Integrl - Am. Mth. Monthly (1966), pp