Um Estudo Sobre a Teoria de Sturm-Liouville

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1 Universidde Estdul Pulist Júlio de Mesquit Filho Instituto de Geociêncis e Ciêncis Exts Câmpus de Rio Clro Um Estudo Sobre Teori de Sturm-Liouville Vlterln Atnsio de Souz Dissertção presentd o Progrm de Pós- Grdução em Mtemátic como requisito prcil pr obtenção do gru de Mestre Orientdor Prof. Dr. Mrt Cilene Gdotti 2016

2 517.5 S729e Souz, Vlterln Atnsio de Um estudo sobre Teori de Sturm-Liouville / Vlterln Atnsio de Souz. - Rio Clro, f. : il., gráfs. Dissertção (mestrdo) - Universidde Estdul Pulist, Instituto de Geociêncis e Ciêncis Exts Orientdor: Mrt Cilene Gdotti 1. Análise funcionl. 2. Teori espectrl. 3. Operdores compctos. 4. Problem de Sturm-Liouville. 5. Equções diferenciis. 6. Espços de Hilbert. I. Título. Fich Ctlográfic elbord pel STATI - Bibliotec d UNESP Cmpus de Rio Clro/SP

3 TERMO DE APROVAÇÃO Vlterln Atnsio de Souz Um Estudo Sobre Teori de Sturm-Liouville Dissertção provd como requisito prcil pr obtenção do gru de Mestre no Curso de Pós-Grdução em Mtemátic do Instituto de Geociêncis e Ciêncis Exts d Universidde Estdul Pulist Júlio de Mesquit Filho, pel seguinte bnc exmindor: Prof. Dr. Mrt Cilene Gdotti Orientdor Prof. Dr. Suzete Mri Silv Afonso Deprtmento de Mtemátic - UNESP - Rio Clro (SP) Prof. Dr. Kti Andrei Gonçlves de Azevedo Deprtmento de Computção e Mtemátic - USP - Ribeirão Preto (SP) Rio Clro, 12 de Dezembro de 2016

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5 À minh mãe Ver, à memóri de meu pi Lildo, à minh espos Ttine, à minh lh Júli e o Pedro que chegrá em 2017.

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7 Agrdecimentos Agrdeço primeirmente Deus por tods s bênçãos em minh vid e por me dr forç nos momentos mis difíceis. Agrdeço minh mãe Ver por todo o scrifício em me mnter n universidde e por seu mor. A minh irmã Erik pelo seu eterno crinho. A minh espos Ttine por tod forç, pciênci e um mor incondicionl. A minh lh Júli pel legri nesse tempo. A minh querid mig e professor Dr. Mrt Cilene Gdotti, por todo o conhecimento e simpti trnsmitidos não só nesse projeto como tmbém n grdução. Obrigdo pel pciênci e compreensão com minh flt de tempo. Aos professores do Deprtmento de Mtemátic que contribuírm pr minh formção, em especil o professor Dr. Vnderlei Mrcos do Nscimento por su grnde contribuição e mizde. Aos funcionários do Deprtmento de Mtemátic, em especil An e Mri Elis. Aos meus eternos migos de grdução: Gllco, Lucs Mzzi, Givnildo e Vinicius Wsques, por fzerem prte dos momentos mis especiis de minh vid. E todos, que de lgum modo contribuírm pr relizção deste trblho.

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9 Costummos dizer que migos de verdde são os que estão o seu ldo em momentos difíceis... Ms não! Amigos verddeiros são os que suportm tu felicidde. Porque em um momento difícil qulquer um se proxim de você. Ms o seu inimigo jmis suportri su felicidde. Pdre Fábio de Melo

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11 Resumo Este texto bord os principis resultdos sobre Teori de Sturm-Liouville ssim como os pré-requisitos necessários pr construí-los, entre eles o Teorem Espectrl pr Operdores Compctos e Teori de Fredholm. Tmbém são presentdos lguns exemplos e um plicção envolvendo um equção diferencil prcil que model o problem d cord vibrnte. Plvrs-chve: Teori Espectrl, Operdores Compctos, Problem de Sturm-Liouville, Equções Diferenciis, Espços de Hilbert.

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13 Abstrct This reserch pproches the min results on the Sturm-Liouville Theory, s well the necessry prerequisites for constructing them, including the Spectrl Theorem for Compct Opertors nd Fredholm Theory. It is lso presented some exmples nd n ppliction involving prtil dierentil eqution tht models the vibrting string problem. Keywords: Spectrl Theory, Compct Opertors, Sturm-Liouville Problem, Diferentil Eqution, Hilbert Spces.

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15 Sumário 1 Introdução 15 2 Teori Básic Sobre Espços Métricos e Bnch Espço Vetoril Espços Métricos Conjuntos Abertos, Fechdos e Limitdos Sequêncis e Completude Espços Métricos Compctos O Teorem de Ascoli-Arzelá Espços Normdos e de Bnch O Teorem de Hhn-Bnch A Desiguldde de Hölder Sombilidde em Espços Normdos Espços de Hilbert Complemento Ortogonl e Som Diret Conjunto Ortonorml Representção de Funcionis Lineres em Espços de Hilbert Form Sesquiliner Teori dos Operdores Operdores Lineres Limitdos Operdores Compctos Operdor Hilbert-Adjunto Operdores Autodjunto, Unitário e Norml Teori Espectrl Teori Espectrl dos Operdores Compctos A Equção Integrl de Fredholm com Núcleo Hermitino O Problem de Sturm-Liouville 105 Referêncis 131

16 A Método de Seprção de Vriáveis e Séries de Fourier 133 A.1 Seprção de Vriáveis e Séries de Fourier A.1.1 O Método de Seprção de Vriáveis

17 1 Introdução Este trblho tem por objetivo presentr e plicr os resultdos referentes à Teori de Sturm-Liouville e, pr isso, foi preciso desenvolver Teori Espectrl dos Operdores Hermitinos Compctos em espços de dimensão não nit. Esse estudo é importnte pois inúmeros problems que são modeldos por equções diferenciis prciis, pós o uso do método de seprção de vriáveis, recem em problems de vlores de contorno envolvendo equções diferenciis ordináris de segund ordem. Deste modo, teori de Sturm-Liouville fornece um solução do problem sob certs condições. Pr tnto, o cpítulo 2 bord ssuntos como espço vetoril, espços métricos e espços de Bnch. Destc-se o conceito de bse de um espço vetoril e fz-se um breve estudo sobre espços métricos, do qul bord-se o essencil sobre sequêncis e completude e, não menos importnte, um estudo, mesmo que breve, sobre espços métricos compctos dndo destque pr os espços métricos reltivmente compctos, com o objetivo de presentr o Teorem de Ascoli-Arzelá, que será de utilidde no cpítulo de operdores. Por m, tem-se os Teorems de Hhn-Bnch sobre funcionis lineres e no nl do cpítulo encontr-se desiguldde de Hölder e lguns resultdos pertinentes sobre sombilidde em espços normdos. No cpítulo 3 tem-se denição de um espço de Hilbert e um espço pré-hilbertino, ms o objetivo mior do cpítulo está em enuncir e demonstrr o Teorem d Representção de Riesz que é usdo no cpítulo seguinte, no estudo dos operdores Adjuntos. Pr tnto, tem-se um breve estudo sobre complemento ortogonl, som diret e conjunto ortonorml, tendo como destque Desiguldde de Bessel e lguns resultdos sobre convergêncis de séries em espços de Hilbert ou simplesmente em espços pré-hilbertinos. Conclui-se o cpítulo com o Teorem de Riesz e o Teorem d Representção de Riesz. O cpítulo 4, Teori dos Operdores, bord lguns resultdos sobre operdores lineres limitdos e compctos, dndo destque pr um operdor liner denido sobre um núcleo contínuo, onde tl operdor é de grnde importânci no estudo do Problem de Sturm-Liouville. Aind neste cpítulo, fz-se um estudo sobre operdores Hilbert- 15

18 16 Introdução Adjunto (operdores denidos entre dois espços de Hilbert), Autodjunto, Unitário e Norml, donde destc-se existênci do djunto pr operdores lineres limitdos denidos em espços de Hilbert e proprieddes destes operdores. O cpítulo 5 trz prov do Teorem Espectrl pr operdores compctos e present Equção Integrl de Fredholm com núcleo hermitino como um ds consequêncis do Teorem Espectrl. Por m, o cpítulo 6 englob teori de Sturm-Liouville, de modo presentr o Problem de Sturm-Liouville e resultdos que buscm um solução do problem. Tis resultdos têm como consequênci nl dois importntes teorems, o Teorem d função de Green e o teorem que crcteriz, por meio de seis itens, o Problem de Stum-Liouville. Há, ind, lguns exemplos do problem e um plicção n físic. Tmbém, pr o leitor interessdo, no pêndice A encontr-se um breve introdução às equções diferenciis prciis e o método de seprção de vriáveis. O leitor pode perceber que os cpítulos 2 e 3, rigor, podem ser considerdos cpítulos preliminres, um vez que grnde miori dos ssuntos borddos nestes cpítulos não tem um ligção diret com o problem de Sturm-Liouville de modo que o objetivo destes cpítulos está em presentr lguns resultdos d Análise Funcionl.

19 2 Teori Básic Sobre Espços Métricos e Bnch Este cpítulo tem por objetivo presentr lguns resultdos sobre Espços Métricos, Normdos e de Bnch. Pr os resultdos de Álgebr Liner utilizou-se ds referêncis [1], [2] e [3]. Já n teori de Espços Métricos form utilizds s referêncis [4], [5] e [3], por m, pr os Espços Normdos e de Bnch utilizou-se s [3] e [7]. 2.1 Espço Vetoril Espços vetoriis desempenhm um ppel importnte em muitos rmos d mtemátic e sus plicções. Em diversos problems práticos (e teóricos) temos um conjunto X cujos elementos podem ser vetores em espços tridimensionis, ou sequênci de números, ou ind funções; estes elementos podem ser diciondos ou multiplicdos por um constnte (número) de um form nturl e o resultdo ind será um elemento de X. Tis situções sugerem o conceito de espço vetoril como denido bixo. Ness denição envolverá um corpo gerl K ms, em nálise funcionl, K será R ou C. Os elementos de K são chmdos esclres, portnto, no nosso cso eles serão números reis ou complexos. Denição 2.1. Um espço vetoril sobre um corpo K é um conjunto não vzio X de elementos x, y,... (chmdos de vetores) munido de dus operções lgébrics. Ests operções são chmds dição de vetores e multiplicção de vetores por esclr, isto é, por um elemento de K. Adição de vetores: ssoci cd pr x, y de vetores um vetor x + y chmdo som de x e y de tl modo que ess operção sej comuttiv e ssocitiv, isto é, pr todos os vetores tem-se x + y = y + x x + (y + z) = (x + y) + z lém do mis, existe um vetor 0, chmdo de vetor nulo e pr cd vetor x existe um vetor x, chmdo oposto, tl que pr todo vetor tem-se x + 0 = x 17

20 18 Teori Básic Sobre Espços Métricos e Bnch e x + ( x) = 0. Multiplicção por esclr: ssoci cd vetor x e um esclr α um vetor αx (tmbém se escreve xα), chmdo de produto de α por x, de tl modo que pr todos vetores x, y e esclres α, β tem-se α(βx) = (αβ)x 1x = x e lei distributiv α(x + y) = αx + αy (α + β)x = αx + βx A prtir d denição observ-se que dição de vetores é um plicção de X X em X, já multiplicção por esclr é um plicção de K X em X. O corpo K é chmdo de corpo de esclres do espço vetoril X, e X é chmdo um espço vetoril rel se K = R, e um espço vetoril complexo se K = C. Exemplo 2.1. O corpo dos números complexos C pode ser considerdo como um espço vetoril sobre o corpo R dos números reis. De mneir mis gerl, sej R o corpo dos números reis e sej V o conjunto ds n-úpls x = (x 1, x 2,..., x n ) onde x 1,..., x n são números complexos. Dene-se dição de vetores e multiplicção por esclr, respectivmente, por x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) αx = (αx 1, αx 2,..., αx n ). Dest form obtém-se um espço vetoril sobre R que é diferente do espço C n e do espço R n. Denição 2.2. Um subespço de um espço vetoril X é um subconjunto não vzio Y X tl que pr todos vetores y 1, y 2 em Y e todos esclres α, β tem-se αy 1 + βy 2 em Y. Note que Y é, por si próprio, um espço vetoril com s operções de dição de vetores e multiplicção por esclr induzids de X. Com efeito, um vez que X é um espço vetoril sobre K s proprieddes comuttiv e ssocitiv de vetores, bem como s proprieddes d multiplicção restringids os elementos de Y são stisfeits. Como Y é não vzio, existe um vetor w em Y, logo ( 1)w + 1w = 0 está em Y. Assim, se x é um vetor qulquer em Y e α um esclr qulquer, o vetor αx = αx + 0 está em Y. Em prticulr, ( 1)x = x está em Y. Então se x e y estão em Y, então x + y = 1x + y está em Y. Se X é um espço vetoril qulquer, X é um subespço de X; o subconjunto {0} de X tmbém é um subespço de X, denomindo o subespço nulo de X.

21 Espço Vetoril 19 Exemplo 2.2. Em K n, o conjunto ds n-úpls (x 1, x 2,..., x n ) com x 1 = 0 é um subespço; contudo, o conjunto ds n-úpls com x 1 = 1 + x 2 não é um subespço (n 2). Um combinção liner de vetores x 1, x 2,..., x m de um espço vetoril X é um expressão d form α 1 x 1 + α 2 x α m x m onde os coecientes α 1, α 2,..., α m são quisquer esclres. Assim um vetor x em X é dito um combinção liner dos vetores x 1, x 2,..., x m se existirem esclres α 1, α 2,..., α m em K tis que x = α 1 x 1 + α 2 x α m x m = m α i x i i=1 Pr qulquer subconjunto não vzio M X, consideremos o conjunto de tods s combinções lineres de vetores de M, tl conjunto é um subespço Y de X, e é chmdo de subespço gerdo por M. Escrevemos Y = [M]. Pr mostrr que Y é um subespço de X, sejm x e y vetores quisquer de Y e α, β esclres. x = α 1 x α m x m e y = β 1 y β n y n são elementos de Y, então αx + βy = α(α 1 x α m x m )+β(β 1 y β n y n ) = (αα 1 )x (αα m )x m +(ββ 1 )y 1 +(ββ n )y n tmbém é um elemento de Y. Denição 2.3. Sejm X um espço vetoril sobre K e M um subconjunto de X. () Diz-se que M é linermente independente (ou l.i.) se α 1 x α n x n = 0, pr x i M e α i K, i = 1,, n, implic que α 1 =... = α n = 0. (b) O conjunto M é chmdo linermente dependente (ou l.d.) se não for linermente independente. Us-se o conceito de dependênci e independênci liner pr denir dimensão de um espço vetoril, começndo como seguir. Denição 2.4. Um espço vetoril X é dito ser de dimensão nit se existir um inteiro positivo n tl que X contenh um conjunto linermente independente de n vetores o psso que qulquer conjunto de n + 1 ou mis vetores de X sej linermente dependente. Nesss condições n é chmdo de dimensão de X, escreve-se n = dim X. Por denição, X = {0} é de dimensão nit e dim X = 0. Se X não é de dimensão nit, então ele é dito de dimensão innit. Se dim X = n, um n pl linermente independente de vetores de X é chmd um bse pr X. Se {e 1,..., e n } é um bse pr X, cd elemento x de X tem um únic representção como um combinção liner de vetores d bse, isto é, Se

22 20 Teori Básic Sobre Espços Métricos e Bnch x = α 1 e α n e n. De modo gerl, se X é um espço vetoril qulquer, não necessrimente de dimensão nit, e B é um subconjunto linermente independente de X que ger X, então B é chmdo um bse (ou Bse de Hmel) pr X. Portnto, se B é um bse pr X então cd elemento não nulo x de X tem um únic representção como um combinção liner de (quntidde nit) elementos de B com esclres não todos nulos como coecientes. Exemplo 2.3. Sej M um mtriz qudrd, de ordem n, inversível com elementos no corpo K. Então s coluns M 1, M 2,..., M n de M formm um bse do espço ds mtrizes coluns M n 1 (K). De fto, sej X = (x ij ) n 1 um mtriz colun, então MX = x 11 M 1 + x 21 M x n1 M n. Como M é inversível, equção MX = 0 dmite somente solução trivil X = 0, ssim {M 1,..., M n } é um conjunto linermente independente. Pr mostrr que tl conjunto ger M n 1 (K) considere Y um mtriz colun rbitrári. Se X = M 1 Y, então Y = MX, ou sej, Y = x 11 M 1 + x 21 M x n1 M n. Portnto, {M 1, M 2,..., M n } é um bse de M n 1 (K) concluindo que dim M n 1 (K) = n. Exemplo 2.4. Sejm C o conjunto dos números complexos e V o espço ds funções polinomiis sobre C. Vle lembrr que esss funções são s funções de C em C d form f(x) = x + 2 x n x n, pr lgum nturl n. Considere f k (x) = x k, k {0, 1, 2,...}. O conjunto {f 0, f 1, f 2,...} é um bse de V. De fto, note que {f 0, f 1, f 2,...} ger V porque função f(x) = x n x n é f = 0 f f n f n. Pr vericr que o conjunto {f 0, f 1, f 2,...} é linermente independente bst mostrr que cd um de seus subconjuntos nitos é linermente independente. Assim, é suciente mostrr que, pr cd n, o conjunto {f k0, f k1, f k2,... f kn } é linermente independente. Pr tnto, suponh que k0 f k0 + k1 f k kn f kn = 0. Isto é, k0 x k 0 + k1 x k kn x kn = 0, pr todo x C. Ms isto signic que pr cd x k j, com j {0, 1, 2,..., n}, seu respectivo coeciente é identicmente nulo. Então, k0 = k1 =... = kn = 0. Logo

23 Espço Vetoril 21 {f k0, f k1, f k2,... f kn } é um bse innit de V. Observe que V não pode ser de dimensão nit, pois considerndo um número nito de funções polinomiis g 1, g 2,..., g r hverá um mior potênci de x precendo (com coeciente não nulo) em g 1 (x),..., g n (x). Se este expoente for k, então f k+1 (x) = x k+1 não estrá no espço gerdo por g 1,..., g r. Logo, V não é de dimensão nit. O teorem seguir mostr que todo espço vetoril, diferente do nulo, possui um bse. Teorem 2.1. Todo espço vetoril X {0} tem um bse. Pr demonstrr o teorem, fz-se uso do Lem de Zorn, ms ntes considere s seguintes denições. Denição 2.5. Um conjunto prcilmente ordendo ou Cdei é um conjunto X no qul é denid um ordem prcil, isto é, um relção binári, denotd por, e stisfzendo s seguintes condições: i. pr cd X. (Reexiv) ii. Se b e b, então = b. iii. Se b e b c, então c. (Antissimétric) (Trnsitiv) Prcilmente enftiz que M pode conter elementos e b pr os quis nem b e nem b. Nests condições e b são ditos elementos incompráveis. Por outro ldo, dois elementos e b são ditos compráveis se eles stisfzem b ou b (ou mbs). Um conjunto totlmente ordendo ou cdei é um conjunto prcilmente ordendo tl que cd dois elementos do conjunto são compráveis. Em outrs plvrs, um cdei é um conjunto prcilmente ordendo que não tem elementos incompráveis. Um limitnte superior de um subconjunto Y de um conjunto prcilmente ordendo X é um elemento α X tl que x α pr todo x Y. Um elemento mximl de um conjunto X é um m X tl que m x, pr x X, implic m = x. Exemplo 2.5. O Conjunto dos Números Reis. Sej R o conjunto de todos os números reis e sej x y com seu signicdo usul. Nests condições R é totlmente ordendo e não possui elemento mximl. Exemplo 2.6. Conjunto ds Prtes. Sej P(X) o conjunto de todos os subconjuntos de um ddo conjunto X. Ddos A e B dois conjuntos, relção A B signic A B, isto é, A é um subconjunto de B. Nests condições P(X) é um conjunto prcilmente ordendo e o único elemento mximl de P(X) é X.

24 22 Teori Básic Sobre Espços Métricos e Bnch Lem 2.1. (Lem de Zorn). Sej X um conjunto não vzio prcilmente ordendo. Suponh que cd cdei Y X tenh um limitnte superior. menos um elemento mximl. Demonstrção. Ver seção 16 de [6]. A demonstrção do Teorem 2.1 segue bixo. Então X tem pelo Demonstrção. Sej M o conjunto de todos os subconjuntos linermente independentes de X. Um vez que X {0}, existe um elemento x 0 em X e como {x} é linermente independente, segue que M. O conjunto M é prcilmente ordendo com relção inclusão de conjuntos. Deve-se mostrr que cd cdei C M possui um limitnte superior. Como C = {A α } α L, seu cndidto nturl pr limitnte superior é o conjunto A = α L A α. O conjunto A é linermente independente. De fto, sej A = {x 1,, x n } um subconjunto nito de A. Então, pr cd i = 1,, n, existe α i L tl que x i A αi. Sendo C totlmente ordendo tem-se que, reordenndo os elementos de A se necessário, A α1 A αn, e portnto, x i A αn pr cd i = 1,, n. Assim, A é linermente independente como um subconjunto nito do conjunto linermente independente A αn. Como A é qulquer, segue que A é linermente independente concluindo que C tem A como limitnte superior. Segue do Lem de Zorn que M tem um elemento mximl, por exemplo, B. Tem-se que B ger todo espço X, pois do contrário existiri x X não gerdo por B, então B {x} seri linermente independente o que contrri mximlidde do conjunto B. Portnto B ger X e é de fto um bse pr X. Teorem 2.2. (Dimensão de um subespço). Sej X um espço vetoril n- dimensionl. Então qulquer subespço próprio Y de X possui dimensão menor que n. Demonstrção. Se n = 0, devemos ter X = {0} e então X não possui subespço próprio. Se dim Y = 0, então Y = {0} e como X Y temos dim X 1. Portnto dim Y dim X = n. Se dim Y for n, então Y teri um bse de n elementos, que seri tmbém um bse pr X desde que dim X = n, então X = Y. Isto mostr que qulquer conjunto linermente independente de vetores em Y deve ter menos que n elementos, e portnto dim Y < n. 2.2 Espços Métricos Denição 2.6. Um espço métrico é um pr (X, d), onde X é um conjunto e d é um métric em X, isto é, um função rel denid em X X tl que pr todos x, y, z em X tem-se: M1 - d(x, y) = 0 se, e somente se, x = y.

25 Espços Métricos 23 M2 - Se x y então d(x, y) > 0. M3 - d(x, y) = d(y, x). M4 - d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Exemplo 2.7. (Espço Funcionl). Considere o conjunto de tods s funções reis denids e contínus no intervlo fechdo [, b] com imgem em R. Escolhendo métric denid por d(f, g) = mx{ f(t) g(t), t [, b]}, obtém-se um espço métrico denotdo por C([, b], R). Tmbém C([, b], R) é um espço métrico com métric denid por d(f, g) = pr tod função rel f, g C([, b], R). f(t) g(t) dt, Exemplo 2.8. (Espço ds Funções Limitds). Sej X um conjunto rbitrário. Um função rel f : X R diz-se ser limitd qundo existe um constnte k = k f > 0 tl que f(x) k f pr todo x X. O conjunto de tods s funções limitds f : X R, denotdo por B(X, R), é um espço métrico com métric, do supremo, denid por d(f, g) = sup f(t) g(t). t X No cso em que X = [, b], escreve-se B([, b], R) Conjuntos Abertos, Fechdos e Limitdos Abixo denem-se três subconjuntos importntes de um espço métrico X = (X, d). Denição 2.7. Ddos um ponto x 0 X e um número rel r > 0, dene-se: () Bol Abert - B(x 0 ; r) = {x X d(x, x 0 ) < r}; (b) Bol Fechd - B[x 0 ; r] = {x X d(x, x 0 ) r}; (c) Esfer - S(x 0 ; r) = {x X d(x, x 0 ) = r}; Em todos os csos, x 0 é chmdo de centro e r de rio. Sej A um subconjunto de um espço métrico X. Um ponto A chm-se um ponto interior de A qundo este é centro de um bol bert contid em A, isto é, qundo existe r > 0 tl que d(x, ) < r x A. Chm-se, ind, interior de A em X o conjunto int A formdo pelos pontos interiores A.

26 24 Teori Básic Sobre Espços Métricos e Bnch Um subconjunto A de um espço métrico X diz-se berto em X qundo todos os seus pontos são interiores, isto é, int A = A. Um espço métrico, diz-se que o conjunto V é um vizinhnç do ponto qundo int V. Assim, V é um vizinhnç de se, e somente se, V contém um berto que contém. Sej X um espço métrico. Um ponto x X diz-se um ponto isoldo de X qundo ele é um bol bert em X, ou sej, qunto existe r > 0 tl que B(x; r) = {x}. Um espço métrico X chm-se discreto qunto todo ponto de X é isoldo. Um ponto diz-se derente um subconjunto A de um espço métrico X qundo d(, A) = 0. Isto signic que existem pontos de A rbitrrimente próximos de, ou sej, pr cd ɛ > 0, pode-se encontrr x A tl que d(, x) < ɛ. Outrs mneirs equivlentes de dizer que é derente A são: 1. pr todo ɛ > 0 tem-se B(; ɛ) A ; 2. pr todo berto B contendo, tem-se B A ; 3. tod vizinhnç de tem pontos em comum com A. O fecho de um conjunto X num espço métrico E é o conjunto X dos pontos de E que são derentes X. Portnto, escrever X é o mesmo que rmr que o ponto é derente X em E. Diz-se que um conjunto F E é fechdo no espço métrico E qundo seu complementr E F é berto em E. De modo imedito, ddo F E, tem-se F = F se, e somente se, E F é berto. Isto signic que um conjunto é fechdo se, e somente se, contém todos os seus pontos derentes. Um subconjunto X de um espço métrico E chm-se limitdo qundo existe um constnte c > 0 tl que d(x, y) c pr quisquer x, y X. O menor desses números c é chmdo de diâmetro de X e represent-se pelo símbolo δ(x). Um plicção f : X M, denid num conjunto rbitrário X e tomndo vlores num espço métrico M, chm-se limitd qundo su imgem f(x) é um subconjunto limitdo de M. Denição 2.8. Sejm X e Y espços métricos. Um plicção T : X Y diz-se ser contínu no ponto X qundo, pr todo ɛ > 0 ddo rbitrrimente, existe δ > 0 tl que d(x, y) < δ implic d(t (x), T (y)) < ɛ. Diz-se, simplesmente, T é contínu se T for contínu em todos os pontos de X. Denição 2.9. Sej M um subconjunto do espço métrico X. Um ponto X, que pode ou não pertencer M, é chmdo de ponto de cumulção de M qundo tod vizinhnç V de em X contém pelo menos um ponto y M, distinto do ponto.

27 Espços Métricos 25 O conjunto dos pontos de cumulção de M chm-se derivdo de M e é denotdo por M. Denição Um conjunto M de um espço métrico X é denso em X qundo seu fecho M coincide com o espço inteiro X. Diz-se que o espço métrico X é seprável se este possui um subconjunto enumerável que é denso em X. Vle lembrr que um conjunto X é dito ser enumerável se este é nito ou existe um plicção biunívoc f : X N. Exemplo 2.9. A ret rel R é seprável, pois o conjunto dos números rcionis Q é um conjunto enumerável denso em R Sequêncis e Completude Um sequênci em um conjunto X é um plicção x : N X, denid no conjunto N = {1, 2,..., n,...}. O vlor que sequênci x ssume no número n N será indicdo por x n, em vez de x(n). sequênci. Este vlor é chmdo de n-ésimo termo d Usm-se s notções (x 1, x 2,..., x n...), (x n ) n N ou simplesmente (x n ) pr representr um sequênci. Um subsequênci de (x n ) é um restrição d plicção n x n um subconjunto innito N = {n 1 < n 2 <..., < n k <...} de N. A subsequênci é indicd pels notções (x x1, x n2,..., x nk,...), (x n ) n N ou simplesmente (x nk ). Denição Em um espço métrico X = (X, d), diz-se que o ponto x é limite de um sequênci (x n ) qundo, pr todo ɛ > 0 ddo rbitrrimente, é possível obter um nturl N = N(ɛ) tl que d(x n, x) < ɛ pr todo n > N. Exemplo O limite d sequênci (1/n) de números reis é 0, pois ddo ɛ > 0 rbitrário, e sendo N ilimitdo superiormente, é possível obter um inteiro n 0 > 0 tl que n 0 > 1/ɛ. Assim, n > n 0 implic 1 n 0 = 1 n < 1 < ɛ. n 0 Qundo x é limite d sequênci (x n ), diz-se tmbém que (x n ) converge pr x, e escreve-se lim x n = x, n ou simplesmente lim x n = x. Se (x n ) não é convergente diz-se que (x n ) é divergente. Um sequênci de plicções f n : M X, denids em um conjunto rbitrário M e tomndo vlores em um espço métrico X, converge simplesmente (ou pontulmente) em M pr plicção f : M X qundo, pr cd x M, sequênci (f 1 (x), f 2 (x),..., f n (x),...) tem limite f(x) em X. Isto signic que ddos rbitrrimente x M e ɛ > 0, existe n 0 N (dependendo de x e ɛ) tl que n > n 0 implic d(f n (x), f(x)) < ɛ.

28 26 Teori Básic Sobre Espços Métricos e Bnch Exemplo A sequênci de funções f n : R R, dds por f n (x) = x/n, converge simplesmente em R pr função identicmente nul. Um sequênci de plicções f n : M X converge uniformemente em M pr plicção f : M X qundo, pr todo número rel ɛ > 0 ddo, for possível obter n 0 N tl que n > n 0 implic d(f n (x), f(x)) < ɛ, qulquer que sej x M. No exemplo nterior, mesmo mntendo ɛ > 0 xo, não se pode determinr um número nturl n 0 que sej stisftório pr todos os x M. Assim convergênci uniforme ds plicções f n : R R dds por f n (x) = x/n só é stisfeit se M R é subconjunto limitdo de R. Teorem 2.3. Sejm M, N espços métricos. Se um sequênci de plicções f n : M N, contínus no ponto M, converge uniformemente em M pr um plicção f : M N, então f é contínu no ponto. Demonstrção. Sej ɛ > 0 qulquer, d continuidde uniforme, existe um número nturl n tl que d(f n (x), f(x)) < ɛ/3 pr todo x M. Como f n é contínu no ponto, existe δ > 0 tl que d(x, ) < δ em M implic d(f n (x), f n ()) < ɛ/3. Então, pr todo x M com d(x, ) < δ, tem-se d(f(x), f()) d(f(x), f n (x)) + d(f n (x), f n ()) + d(f n (), f()) < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ. Denição Um sequênci (x n ) em um espço métrico X = (X, d) é dit ser de Cuchy se pr cd ɛ > 0 existe um nturl N = N(ɛ) tl que d(x n, x m ) < ɛ pr quisquer m, n > N. O espço métrico X é dito ser completo se tod sequênci de Cuchy é convergente em X, isto é, tem um limite que é elemento de X. Exemplo O espço funcionl C([, b], R) do exemplo 2.7 é completo. De fto, sej (f m ) um sequênci de Cuchy qulquer em C([, b], R). Então, ddo qulquer ɛ > 0, existe N N tl que d(f m, f n ) = mx f m (t) f n (t) < ɛ, (2.1) pr todos m, n > N e todo t [, b]. Fixdo t = t 0 [, b], tem-se ind f m (t 0 ) f n (t 0 ) < ɛ pr todos n, m > N. Assim sequênci (f m (t 0 )) é um sequênci de Cuchy de números reis. Como R é completo, tem-se lim f m (t 0 ) = f(t 0 ), pr lgum f(t 0 ) R. Deste modo, pode-se ssocir pr cd t [, b] um único número rel f(t), um vez que o limite de um sequênci é único. Assim, c denid um função f em [, b] tomndo vlores reis, restndo pens mostrr que f C([, b], R) e que f m f.

29 Espços Métricos 27 De (2.1) com n tem-se mx f m (t) f(t) ɛ, pr todos m > N e todo t [, b]. Consequentemente, pr cd t [, b], sempre que m > N. f m (t) f(t) ɛ, Isto mostr que sequênci (f m (t)) converge uniformemente pr f(t) em [, b]. Um vez que cd plicção f m é contínu em [, b] e que su convergênci é uniforme, o seu limite é um função contínu em [, b] pelo Teorem 2.3. Portnto f C([, b], R) e f m f concluindo que C([, b], R) é completo. Exemplo Sej C([0, 1], R) o conjunto ds funções contínus em [0, 1] tomndo vlores reis. Com métric C([0, 1], R) não é completo. d(f, g) = 1 0 f(t) g(t) dt De fto, considere sequênci de funções, Figur 2.1-(), denids por 0, se 0 t 1 2 f m (t) = m ( ) t 1 1 2, se 2 < t m 1, se m < t 1, onde m = m. A sequênci (f m) é de Cuchy, pois dds f, g C([0, 1], R), tem-se d(f m, f n ) = 1 0 f m (t) f n (t) dt = 1 2 ( 1 m 1 ), n que é áre do triângulo hchurdo d Figur 2.1-(b). Logo, pr todo ɛ > 0, tem-se d(f m, f n ) 0 qundo m, n. pois Note que f m f, onde d(f m, f) = 0, se 0 t 1 f(t) = 2 1, se 1 < t 1, f m (t) f(t) dt = 1 2m 0, qundo m. Ms f é descontínu o que implic f / C([0, 1], R). Portnto C([0, 1], R) não é completo.

30 28 Teori Básic Sobre Espços Métricos e Bnch Figur 2.1: Sequênci (f m ) 2.3 Espços Métricos Compctos Um espço métrico E diz-se totlmente limitdo qundo, pr todo ɛ > 0, podese exprimir E = S 1... S n como reunião de um número nito de subconjuntos, cd um dos quis com diâmetro menor que ɛ. Sej X um subconjunto de um espço métrico E. Um cobertur de X é um fmíli C = (C λ ) λ L de subconjuntos de E tl que X λ L C λ. Se existe um subconjunto L L tl que, pr cd x X, ind se pode obter λ L com x C λ, isto é, X λ L C λ, então subfmíli C = (C λ ) λ L chm-se um subcobertur de C. Um cobertur X λ L A λ diz-se bert qundo cd conjunto A λ, λ L, é berto em E. A cobertur X λ L C λ diz-se nit qundo L é um conjunto nito. Neste cso, tem-se L = {λ 1, λ 2,..., λ n } e escreve-se X C λ1 C λ2... C λn. Denição Um espço métrico E chm-se compcto qundo tod cobertur bert possui um subcobertur nit. Isto é, se E λ L A λ, onde cd A λ é berto em E, então existem λ 1,..., λ n tis que E A λ1... A λn. A seguir lguns resultdos sobre espços métricos compctos. Teorem 2.4. Um subespço de um espço compcto é compcto se, e somente se, for fechdo. Demonstrção. Sej X um espço métrico compcto e F X fechdo. Dd um cobertur bert F A λ, tem-se que A λ (X F ) é um cobertur bert de λ L λ L X, que é compcto, logo existe um subcobertur nit A λ1... A λn (X F ) de X. Como nenhum ponto de F pertence X F, tem-se F A λ1... A λn. Logo F é compcto. Reciprocmente, sej K X um conjunto compcto de um espço

31 Espços Métricos Compctos 29 métrico X. Se K não fosse fechdo em X, existiri x K K. Pr cd n N, tome A n = X B[x, 1/n], onde B[x, 1/n] é bol fechd de centro em x e rio 1/n. Note que K A n. De fto, como B[x; 1/n] = {x}, tem-se A n = X {x} K pois x / K. Como A 1 A 2 A 3..., reunião de um coleção nit de conjuntos A n é igul o conjunto de mior índice d coleção. Ms x K, ssim cd bol B[x; 1/n] contém lgum ponto de K, ou sej, nenhum A n contém K. Logo cobertur A n não dmite subcobertur nit, contrrindo o fto de K ser compcto. Teorem 2.5. A imgem de um conjunto compcto por um plicção contínu é um conjunto compcto. Demonstrção. Sejm f : M N contínu, onde M e N são espços métricos, e K M compcto. Dd um cobertur f(k) A λ, obtém-se cobertur λ L K f 1 (A λ ), d qul possui um subcobertur nit K f 1 (A λ1 )... λ L f 1 (A λn ). Logo f(k) ff 1 (A λ1 )... ff 1 (A λn ) A λ1... A λn. Portnto, f(k) é compcto. Teorem 2.6. Sej E um espço métrico. São equivlentes s seguintes proprieddes: 1) E é compcto. 2) Todo subconjunto innito de E possui um ponto de cumulção. 3) Tod sequênci de pontos em E possui um subsequênci convergente. 4) E é completo e totlmente limitdo, isto é, ddo ɛ > 0 rbitrário, existe um recobrimento nito de E formdo por conjuntos de diâmetros menores que ɛ. Demonstrção. 1) 2). Sej X E um subconjunto innito. Se X =, então X = X X = X, isto é, X é fechdo em E e portnto compcto pelo Teorem 2.4. Como nenhum ponto de X é ponto de cumulção, X é discreto e portnto nito, contrdizendo hipótese. 2) 3). Sej (x n ) n N um sequênci de pontos de E; há dus possibiliddes: ou o conjunto X = {x 1, x 2,..., x n,...} é nito ou innito. No cso em que X é nito, lgum vlor x n1 = x n2 =... deve repetir-se um innidde de vezes, o que nos dá um subsequênci constnte e, portnto, convergente de (x n ). No cso em que X é innito, segue que X possui um ponto de cumulção x E. Assim, tod vizinhnç

32 30 Teori Básic Sobre Espços Métricos e Bnch de x conterá termos x n com índices rbitrrimente grndes e portnto x será limite de um subsequênci de (x n ). 3) 4). Sej (x n ) um sequênci de Cuchy em E. Por hipótese (x n ) possui um subsequênci x nk convergente. Logo própri sequênci (x n ) é convergente. Pr mostrr que E é totlmente limitdo, sej ddo ɛ > 0. E pode ser coberto por um número nito de bols B(x i ; ɛ/2). De fto, tomdo x 1 E qulquer. Se E = B(x 1 ; ɛ/2), rmção está provd. Cso contrário, existirá x 2 E, com d(x 2, x 1 ) > ɛ/2. Se E = B(x 1 ; ɛ/2) B(x 2 ; ɛ/2), estrá concluíd demonstrção. existirá x 3 E, com d(x 3, x 2 ) > ɛ/2, d(x 3, x 1 ) > ɛ/2. No cso contrário, Prosseguindo, tem-se que, ou existe um número nito de pontos x 1, x 2,..., x n em E tis que E = B(x 1 ; ɛ/2)... B(x n ; ɛ/2), ou então é possível obter um sequênci de pontos x n E, com d(x m, x n ) > ɛ/2 pr m n quisquer. Tl sequênci, porém, não possuirá um subsequênci de Cuchy, bem como não presentrá um subsequênci convergente, contrdizendo hipótese. Portnto E é totlmente limitdo. 4) 1). Suponh que E não sej compcto, ssim existe um cobertur bert (A λ ) λ L de E que não dmite subcobertur nit. Sendo totlmente limitdo, E pode ser coberto por um número nito de conjuntos com diâmetro menor que 1. Note que pelo menos um desses conjuntos, dig-se S 1, não pode ser coberto por um número nito dos A λ, pois, se todos pudessem, E seri coberto por um quntidde nit dos A λ. Tem-se que S 1 tmbém é totlmente limitdo, logo é reunião de um número nito de subconjuntos de diâmetro menor que 1/2. Do mesmo modo, pelo menos um desses conjuntos, dig-se S 2, não está contido em um reunião nit dos A λ, pois, se todos tivessem, su reunião S 1 tmbém estri. Prosseguindo nlogmente, obtém-se um sequênci S 1 S 2... S n..., onde o diâmetro de S n é menor que 1/n e nenhum dos S n pode ser coberto por um número nito de conjuntos A λ. Tome pr cd n N, um ponto x n S n. Como δ(s n ) < 1/n, segue que sequênci (x n ) é de Cuchy. Com efeito, bst notr que lim δ(s n) = 0, logo pr todo ɛ > 0 existe n 0 N tl que δ(s n ) < ɛ, pr todo n > n 0, n ms isto equivle dizer que d(x n, x m ) < ɛ um vez que cd S n é, em prticulr, limitdo. Sendo E completo, existe lim x n = x. O ponto x pertence lgum berto A λ. Logo, existe um ɛ > 0 tl que B(x; ɛ) A λ. Pr n sucientemente grnde, de modo que 1/n < ɛ, tem-se S n B(x; ɛ) A λ, contrdizendo o fto de que S n não está contido em um reunião nit dos conjuntos A λ. Denição Diz-se que um subconjunto X de um espço métrico E é reltivmente compcto qundo seu fecho X é um subconjunto compcto de E.

33 Espços Métricos Compctos 31 Corolário 2.1. Ddo um subconjunto X de um espço métrico completo E, são equivlentes s seguintes proprieddes: 1') X é reltivmente compcto em E. 2') Tod sequênci de pontos de X contém um subsequênci convergente em E. 3') X é totlmente limitdo. Demonstrção. Bst notr que cd um ds proprieddes 1 ), 2 ) e 3 ) de X é equivlente à propriedde correspondente 1), 3) e 4) de X O Teorem de Ascoli-Arzelá Nest seção E indic um espço compcto e F um espço métrico completo com distânci d. C(E, F ) indic o conjunto ds funções contínus de E em F munido d distânci d(f, g) = sup d(f(x), g(x)). x E De modo nálogo o Exemplo 2.12 mostr-se que C(E, F ) completo. Sej H um conjunto de plicções de E em F. Diz-se que H é equicontínuo no ponto x 0 E qundo, pr todo ɛ > 0, existe um vizinhnç V x0 de x 0 em E tl que, pr todo x V x0 tem-se d(f(x), f(x 0 )) < ɛ, qulquer que sej f H. Note que se H é equicontínuo no ponto x 0, então tods s plicções f H são contínus no ponto x 0 e todo subconjunto de H é equicontínuo no ponto x 0. Diz-se que o conjunto H de plicções f : E F é equicontínuo qundo H é equicontínuo em todos os pontos de E. Nests condições tem-se H C(E, F ). Exemplo Todo conjunto nito H = {f 1,..., f n } de plicções contínus f i : E F é equicontínuo. Com efeito, sej x 0 E, pr cd ɛ > 0 e cd i = 1, 2,..., n, existe um vizinhnç V i de x 0 em E tl que pr todo x V i tem-se d(f i (x), f i (x 0 )) < ɛ. Pr que H sej equicontínuo bst considerr V = V 1... V n. Então, pr todo x V tem-se d(f(x), f(x 0 )) < ɛ sej qul for f = f i H. Teorem 2.7. O Teorem de Ascoli-Arzelá. reltivmente compcto se, e somente se, ele stisfz s condições: 1) H é equicontínuo; Um subconjunto H C(E, F ) é 2) Pr todo x E, o conjunto H(x) = {f(x) f H} é reltivmente compcto em F. Demonstrção. Suponh, primeiro, que H C(E, F ) sej reltivmente compcto. Fixdo x E, plicção v x : C(E, F ) F denid por v x (f) = f(x) é contínu. Sendo H compcto, segue que v x (H) é compcto. Pelo Teorem 2.4, em prticulr,

34 32 Teori Básic Sobre Espços Métricos e Bnch v x (H) é fechdo em F. Como v x (H) v x (H), segue que v x (H) v x (H) e portnto v x (H) é compcto. Como H(x) = v x (H), segue que H(x) é reltivmente compcto. H é equicontínuo. Com efeito, d propriedde 3 ) do Corolário 2.1, ddo ɛ > 0 rbitrário, existe um número nito de conjuntos H 1,..., H n, de diâmetro menor que ɛ/3, tis que H = H 1... H n. Fixdos os elementos f 1 H 1,..., f n H n, d continuidde ds funções f i, segue que ddo x 0 E existe um vizinhnç V de x 0 tl que pr todo x V tem-se d(f i (x), f i (x 0 )) < ɛ 3, pr cd i = 1, 2..., n. Ddo f H, tem-se que f H i pr lgum i, ssim pr x, tem-se d(f(x), f(x 0 )) d(f(x), f i (x)) + d(f i (x), f i (x 0 )) + d(f i (x 0 ), f(x 0 )) < ɛ. Portnto H é equicontínuo. Reciprocmente, suponh que H C(E, F ) sej equicontínuo e tl que pr todo x E o conjunto H(x) sej reltivmente compcto em F. Do Corolário 2.1, segue que pr mostrr que H é reltivmente compcto bst mostrr que H é totlmente limitdo, isto é, ddo ɛ > 0 existe um número nito de conjuntos de diâmetro menor que ɛ tis que H se exprime como reunião destes conjuntos. Assim, sendo H equicontínuo, pr todo x E existe um vizinhnç bert V x de x tl que se x V x tem-se d(f(x ), f(x)) < ɛ/3 pr tod f H. Como E é compcto, E pode ser recoberto por um número nito de bertos V x1,..., V xn com propriedde nterior. Por outro ldo H(x i ) = H (i), i = 1, 2..., n, é reltivmente compcto por hipótese, portnto existem conjuntos H (i) 1, H (i) 2,..., H m (i) i, de diâmetro menor ou igul ɛ/3, tis que H (i) = H (i) 1 H (i) 2... H m (i) i. Pr cd sequênci de inteiros p 1,..., p n com 1 p i m i, i = 1, 2,..., n, considere H pi = {f H f(x i ) H (i) p i, i = 1, 2,..., n}. Estes conjuntos formm um recobrimento nito de H, restndo mostrr pens que cd H pi tem diâmetro menor que ɛ. Pr isto, sejm f, g H pi, pr todo x E existe i {1, 2,..., n} tl que x V xi e portnto d(f(x), g(x)) d(f(x), f(x i )) + d(f(x i ), g(x i )) + d(g(x i ), g(x)) < ɛ. Portnto H é reltivmente compcto. 2.4 Espços Normdos e de Bnch Denição Um espço normdo X é um espço vetoril sobre K com um norm denid sobre ele. Um espço de Bnch é um espço normdo completo (completo n métric denid pel norm; vej (2.2), bixo).

35 Espços Normdos e de Bnch 33 Aqui, um norm sobre um espço vetoril (rel ou complexo) X é um função rel : X R, que ssoci cd vetor x X um número rel x, chmdo norm de x, que possui s seguintes proprieddes: (N1) - x 0 pr todo x X. (N2) - x = 0 se, e somente se, x = 0. (N3) - αx = α x. (N4) - x + y x + y. onde x e y são vetores quisquer de X e α é qulquer esclr em K. A norm sobre X dene um métric d sobre X que é dd por d(x, y) = x y, x, y X (2.2) e é chmd de métric induzid pel norm. O espço normdo denido cim é denotdo por (X, ) ou simplesmente por X. Proposição 2.1. Sej X um espço vetoril normdo. Então, pr quisquer x, y em X tem-se x y x y. Demonstrção. Observe que, i. x = (x y) + y x y + y x y x y. ii. y = (y x) + x y x + x y x x y x y x y. Portnto, de i. e ii., x y x y. Lem 2.2. Sej X um espço vetoril normdo, função : X R, dd por x x é uniformemente contínu. Demonstrção. Ddo ɛ > 0, bst tomr δ = ɛ e plicr proposição 2.1. Exemplo O espço euclidino R n é um espço de Bnch com norm denid por ( n ) 1 2 x = x j 2 onde x = (x 1, x 2,..., x n ). j=1

36 34 Teori Básic Sobre Espços Métricos e Bnch De fto, sej (x k ) k N um sequênci de Cuchy em R n, com x k = (x k1, x k2,..., x kn ) = (x ki ) k N (i = 1,..., n). Como (x k ) é de Cuchy, ddo ɛ > 0, existe um nturl N tl que x k x p = ( n i=1 x ki x pi 2 ) 1 2 Note que, pr cd 1 i n tem-se < ɛ pr todo k, p > N. (2.3) x ki x pi x k x p < ɛ. Assim, pr cd 1 i n xo, sequênci (x ki ) k N é de Cuchy em R, que é convergente pois R é completo, ou sej, lim x ki = x i existe e é um número rel. k Fzendo isto pr todo 1 i n e p, segue que sequênci (x k ) é convergente, com seu limite em R n. Do mesmo modo, mostr-se que o espço C n tmbém é de Bnch. No exemplo 2.13, o espço C([0, 1], R) com norm f = espço de Bnch. A seguir, mis lguns exemplos de espços normdos. retomdos durnte o texto. 1 0 f(t) dt não é um Tis espços podem ser Exemplo Ddo um espço compcto K, indic-se por C(K, C) o conjunto ds funções denids em K tomndo vlores complexos que são contínus. A menos que hj menção contrári, C(K, C) é sempre munido d norm x C(K, C) x = sup x(t). t K Exemplo O espço normdo C L1 ([, b], C) indic o conjunto C([, b], C), (conjunto ds funções contínus em [, b] tomndo vlores complexos), munido d norm x C([, b], C) x 1 = x(t) dt. No cso em que não houver confusão notção x 1 será omitid, denotndo-se pens por x. Exemplo C (m) ([, b], C) indic o conjunto ds funções denids em [, b] tomndo vlores complexos que são m vezes continumente diferenciáveis. Com notção do Exemplo 2.16 x C (m) ([, b], C) x (m) = sup x (i). 0 i m O Teorem de Hhn-Bnch Denição Sej X um espço vetoril sobre K. Um funcionl liner é um trnsformção liner com domínio X e imgem no corpo esclr K, ssim f : X K.

37 Espços Normdos e de Bnch 35 Denição Um funcionl liner f : X K é dito ser limitdo se existir um número rel c tl que pr todo x X, tem-se Assim, dene-se norm f, do funcionl f, por f(x) c x. (2.4) f(x) f = sup x X x. x 0 Lem 2.3. Sej f um funcionl liner limitdo. Então: ) Um fórmul lterntiv pr norm de f é f(x) b) f = sup x X x x 0 Demonstrção. onde y = f(x) f = sup x X x x 0 dene um norm. f = sup f(x). (2.5) x X x =1 ) Como f é liner, pr todo x 0 em X, tem-se ( = sup 1 f(x) = sup x x X x f x X x x 0 x 0 x x. b) (N1) segue de modo imedito d denição. ) = sup f(y), y X y =1 (N2) Se f = 0 não há o que provr. Reciprocmente, suponh que f 0, então f(x) existe x 0 X, x 0 0 tl que f(x 0 ) > 0, ssim f = sup x X x > 0. x 0 (N3) Sejm x X e α um esclr qulquer, então αf = sup αf(x) = sup α f(x) = α sup f(x) = α f. x =1 x =1 x =1 (N4) Sej x X, então f 1 + f 2 = sup (f 1 + f 2 )(x) = sup f 1 (x) + f 2 (x) x =1 x =1 sup f 1 (x) + sup f 2 (x) x =1 x =1 = f 1 + f 2.

38 36 Teori Básic Sobre Espços Métricos e Bnch Teorem 2.8. Um funcionl liner f : X K denido em um espço normdo X é contínuo se, e somente se, f é limitdo. Demonstrção. Se f = 0 o resultdo segue de imedito. Suponh que f 0. Então f 0. Suponh, tmbém, que f sej um funcionl liner limitdo e x 0 um elemento qulquer de X. Sej ɛ > 0 rbitrário, um vez que f é liner, pr todo x X tl que x x 0 < δ com δ = ɛ f, tem-se Portnto f é contínuo. f(x) f(x 0 ) = f(x x 0 ) f x x 0 < f δ = ɛ. Reciprocmente, suponh que f sej contínuo em x 0 X. Então, ddo ɛ > 0 rbitrário, existe δ > 0 tl que pr todo x X com x x 0 < δ tem-se f(x) f(x 0 ) < ɛ. Pr mostrr que f é limitdo considere y X rbitrário e tome x = x 0 + Assim x x 0 = δ y e d continuidde e lineridde de f obtém-se y ( f(x) f(x 0 ) = f(x x 0 ) = δ f ) y y = δ f(y) < ɛ. y δ y y. Assim f(y) < ɛ y concluindo que f é limitdo. δ Pr um cso mis gerl do que os funcionis lineres, considere o seguinte teorem. Teorem 2.9. Sejm X e Y espços normdos e f um plicção liner de X em Y. São equivlentes s seguintes proprieddes: ) f é contínu n origem; b) sup f(x) = M < ; x X x 1 c) Existe c > 0 tl que f(x) < c x pr todo x X; d) f é contínu. Demonstrção. ) b) Sendo f contínuo n origem, então ddo ɛ > 0 existe δ > 0 tl que x δ implic f(x) 0 = f(x) ɛ. Portnto x 1 implic f(x) ɛ δ. b) c) Pr todo x X, x 0, o elemento x tem norm 1 e portnto x ( ) ( ) x f sup x x f = M, x ssim, f(x) M x.

39 Espços Normdos e de Bnch 37 c) d) Sej x 0 um elemento qulquer de X, ddo ɛ > 0 bst tomr δ = ɛ, pois se c x x 0 < ɛ c então f(x) f(x 0) = f(x x 0 ) c x x 0 < ɛ. d) ) É evidente. Denição Ddos espços normdos X e Y, L(X, Y ) indic o espço vetoril ds plicções lineres contínus de X em Y munido d norm f L(X, Y ) f = sup f(x). x 1 Portnto, do Teorem 2.9, pr todo x X tem-se f(x) f x, isto é, f é menor constnte c tl que f(x) c x. Proposição 2.2. Sejm X = C([, b], C), Y = C([c, d], C) e K : [c, d] [, b] C um função contínu. Pr todo f X dene-se (kf)(t) = K(t, s)f(s)ds (c t d), onde k L(X, Y ) e tem-se k sup c t d K(t, s) ds. Demonstrção. É imedito que k é um plicção liner de X em Y. continuidde bst notr que Pr su implic que e portnto (kf)(t) = K(t, s)f(s)ds kf sup c t d k sup c t d K(t, s)f(s) ds K(t, s) ds f, K(t, s) ds. K(t, s) ds f Denição Sej X um espço vetoril. Um função p : X R é chmd de funcionl subliner se stisfz s seguintes proprieddes: () p(x + y) p(x) + p(y), pr todo x, y X, (b) p(αx) = αp(x), pr todo α R + e x X. Teorem Teorem de Hhn-Bnch (Extensão de funcionis lineres). Sej X um espço vetoril rel e p : X R um funcionl subliner. Além disso, sej f : Z R um funcionl liner denido em um subespço Z de X, distintos dos triviis, tl que: f(x) p(x) (2.6)

40 38 Teori Básic Sobre Espços Métricos e Bnch pr todo x Z. Então existe um funcionl liner f : X R tl que f(x) p(x) (2.7) pr todo x X, e f(x) = f(x) pr todo x Z. Demonstrção. Deve-se provr: () O conjunto E, de tods s extensões lineres g : D(g) X R de f, isto é, g(x) = f(x) pr todo x Z, stisfzendo g(x) p(x) pr todo x D(g), onde D(g) é o domínio de g, pode ser prcilmente ordendo e o Lem de Zorn produz um elemento mximl f de E. (b) f é denido em todo o espço X. Com efeito, () sej E o conjunto de tods s extensões lineres g de f tis que g(x) p(x) pr todo x D(g). Um vez que f E, tem-se E. Assim, E cumpre s condições do Lem de Zorn com seguinte ordem prcil: g 1 g 2 se, e somente se, D(g 2 ) D(g 1 ) e g 2 (x) = g 1 (x) pr todo x D(g 1 ), ou sej, g 2 é um extensão de g 1. De fto, pr qulquer conjunto totlmente ordendo C = {g i i I} E, considere D(g) = D(g i ) e den g : D(g) R por g(x) = g i (x) pr todo x D(g i ). i I Arm-se que g está bem denid. De fto, se g(x) = g i (x) e g(x) = g j (x) pr lgum x D(g) e pr certos i, j I, como g i, g j C, tem-se g i g j ou g j g i. Por exemplo, g i g j. Neste cso, D(g j ) D(g i ) e g j (x) = g i (x) pr todo x D(g i ). Arm-se que D(g) é um subespço de X. De fto, sejm x, y D(g), então, x D(g i ) e y D(g j ) pr certos i, j I. Como g i, g j C, tem-se g i g j ou g j g i. Suponh g i g j. Então D(g j ) D(g i ) e g j (x) = g i (x) pr todo x D(g i ). Assim, pode-se dizer que x, y D(g j ). Sendo D(g j ) um subespço vetoril, pr quisquer α, β R, tem-se αx + βy D(g j ) e, portnto αx + βy D(g) = D(g i ). i I Arm-se que g é liner. De fto, sejm x, y D(g) quisquer, ssim x D(g i ) e y D(g j ) pr certos i, j I. Como g i, g j C, tem-se g i g j ou g j g i. Suponh g i g j. Então D(g j ) D(g i ) e g j (x) = g i (x) pr todo x D(g i ). Portnto, x, y D(g j ) e, pr α, β R, tem-se αx + βy D(g j ) D(g) e g(αx + βy) = g j (αx + βy) = αg j (x) + βg j (y) = αg(x) + βg(x). Por m, g(x) = f(x) pr todo x Z e g(x) p(x) pr todo x D(g). De fto, sej x Z. Como Z D(g i ) pr todo i I e g i (x) = g(x), concluí-se que

41 Espços Normdos e de Bnch 39 g(x) = g i (x) = f(x). Além disso, ddo x D(g), tem-se x D(g i ) pr lgum i I. Logo, g(x) = g i (x) p(x). Então g E, D(g i ) D(g) pr todo i I e g(x) = g i (x) pr todo x D(g i ), ou sej, g é um limitnte superior de C. Pelo Lem de Zorn, E possui um elemento mximl. Tl elemento será denotdo por f : D( f) R. (b) Pr mostrr que D( f) = X suponh que D( f) X, ou sej, existe x 0 X D( f). Assim, chme D( g) = D( f) + [x 0 ]. Dess form, D( f) D( g) e D( g) é um subespço de X. Note que, pr quis x, y D( f), tem-se: f(x) + f(y) = f(x + y) p(x + y) = p(x + x 0 + y x 0 ) p(x + x 0 ) + p(y x 0 ) um vez que p é subliner e p está denid em X. Portnto, f(y) p(y x 0 ) p(x + x 0 ) f(x) pr quisquer x, y D( f). Deste modo tem-se, Tome α R tl que sup { f(y) p(y x 0 )} inf {p(x + x 0 ) f(x)}. y D( f) x D( f) sup { f(y) p(y x 0 )} α inf {p(x + x 0 ) f(x)} (2.8) y D( f) x D( f) e den g : D( g) R por g(x + tx 0 ) = f(x) + tα pr x D( f) e t R. Como g é liner, por 2.8, tem-se 1. f(y) p(y x0 ) α f(y) α p(y x 0 ) 2. α p(x + x 0 ) f(x) f(x) + α p(x + x 0 ). Primeirmente considere t > 0. Ddo x D( f), tem-se g(x + tx 0 ) = f(x) [ ( x ) 2 ( x ) + tα = t f + α] t p t t + x 0 = p(x + tx 0 ). E pr t < 0 e x D( f), tem-se g(x + tx 0 ) = f(x) + tα = t [ f ( x ) ] 1 ( α t p x ) t t x 0 = p(x + tx 0 ). Assim, g pertence E e est é um extensão de f contrdizendo mximlidde de f. O Teorem Hhn Bnch 2.10 diz respeito espços vetoris reis. Um generlizção pr espços vetoriis complexos será dd no seguinte teorem.

42 40 Teori Básic Sobre Espços Métricos e Bnch Teorem Teorem de Hhn-Bnch (Generlizdo). Sej X um espço vetoril rel ou complexo e p : X R um funcionl tl que, pr todo x, y X, como no Teorem 2.10, e pr cd esclr α, tem-se p(x + y) p(x) + p(y) (2.9) p(αx) = α p(x). (2.10) Além disso, sej f um funcionl liner denido em um subespço Z de X tl que f(x) p(x) (2.11) pr todo x Z. Então f possui um extensão liner f de Z pr X stisfzendo pr todo x X. f(x) p(x) (2.12) Demonstrção. Considere, inicilmente, X um espço vetoril sobre R. Por hipótese, f(x) p(x), pr todo x Z. Ms f(x) f(x) p(x) pr todo x Z. Segue então que f(x) p(x), pr todo x Z. Pelo Teorem de Hhn-Bnch 2.10, existe um funcionl liner f : X R tl que f(x) = f(x) pr todo x Z e f(x) p(x) pr todo x X. Note tmbém que f(x) = f( x) p( x) = 1 p(x) = p(x), isto é, f(x) p(x) pr todo x X. Assim, conclui-se que pr todo x X o que complet prov. f(x) p(x), Agor, considere X um espço vetoril sobre C. Então Z tmbém é um espço vetoril complexo. Como f : Z C, pode-se escrever f(x) = f 1 (x) + if 2 (x), pr todo x Z, onde f 1 e f 2 são funções de Z vlores reis. Como f é liner, f 1 e f 2 tmbém o são. Por hipótese, tem-se f 1 (x) f 1 (x) f(x) p(x), pr todo x Z. Deste modo, existe um funcionl liner f 1 : X R tl que f 1 (x) = f 1 pr todo x Z e f 1 (x) p(x) pr todo x X. Observe que, i[f 1 (x) + if 2 (x)] = if(x) = f(ix) = f 1 (ix) + if 2 (ix),

43 Espços Normdos e de Bnch 41 pr todo x Z. Dí f 2 (x) = f 1 (ix) e f(x) = f 1 (x) if 1 (ix), pr todo x Z. Dene-se f : X C por f(x) = f 1 (x) i f 1 (ix). Tem-se que f é liner. De fto, d lineridde de f 1, pr qulquer esclr ( + ib) C, tem-se f(( + ib)x) = f 1 (x + ibx) i f 1 (ix bx) = f 1 (x) + b f 1 (ix) i[ f 1 (ix) b f 1 (x)] = ( + ib)[ f 1 (x) i f 1 (ix)] = ( + ib) f(x). Além disso, f(x) = f(x) pr todo x Z. Ddo x X, pode-se escrever f(x) = f(x) e iθ e, portnto, f(x) = f(x)e iθ. Um vez que f(x) R, pr x X, tem-se f(x) = f(x)e iθ = f(e iθ x) = f 1 (e iθ x) p(e iθ x) = e iθ p(x) = p(x). Isto complet prov. Teorem Teorem de Hhn-Bnch pr Espços Normdos. Sej f um funcionl liner limitdo em um subespço Z de um espço normdo X. Então existe um funcionl liner limitdo f em X que é um extensão de f pr X tl que f X = f Z, (2.13) onde f X = sup f(x), e f Z = sup f(x). x X x Z x =1 x =1 Demonstrção. Se Z = {0}, então f = 0, e su extensão é f = 0. Suponh, gor, Z {0}. Pr fzer uso do Teorem 2.11 deve-se primeiro determinr p. Como, pr todo x Z, tem-se f(x) f Z x, é conveniente tomr p(x) = f Z x, pois dest form (2.11) c stisfeit. Vê-se que p está denid em todo X. Além disso, p(x + y) = f Z x + y f Z ( x + y ) = p(x) + p(y), pr todo x, y X, pel desiguldde tringulr. Note tmbém que p(αx) = f Z αx = α f Z x = α p(x), pr α K. Assim (2.9) e (2.10) estão stisfeits, concluindo s hipóteses do Teorem Portnto existe um funcionl liner f em X que é um extensão de f stisfzendo f(x) p(x) = f Z x, pr todo x X. Tomndo o supremo sobre todos x X de norm 1, obtém-se desiguldde f X = sup f(x) f Z. x X x =1

44 42 Teori Básic Sobre Espços Métricos e Bnch Tem-se tmbém f X f Z pois norm sobre um extensão não pode diminuir. Portnto f X = f Z e o teorem está provdo. Teorem Sej X um espço normdo e x 0 0 um elemento qulquer de X. Então existe um funcionl liner limitdo f em X tl que f = 1 e f(x 0 ) = x 0. Demonstrção. Considere um subespço Z de X constituído por todos os elementos x = αx 0 onde α é um esclr. Den f : Z K por Tem-se f limitdo e f = 1 pois Assim tomndo o supremo tem-se, f(x) = f(αx 0 ) = α x 0, (2.14) f(x) = f(αx 0 ) = α x 0 = αx 0 = x. f(x) f = sup x Z x x 0 = sup x x Z x = 1. x 0 O Teorem 2.12 implic que f possui um extensão f de Z pr X tl que f = f = 1. De (2.14) tem-se f(x 0 ) = f(x 0 ) = x A Desiguldde de Hölder Ddo 1 p, indic-se com p o elemento de [1, ], tl que 1 p + 1 p = 1. Observe que p = p, 1 = e 2 = 2. Nests condições diz-se que p e p são expoentes conjugdos. Ddo x C n dene-se pr p <. Ddo f C([, b], C) dene-se x p = [ n j=1 x j p ] 1 p, pr p <. [ f p = ] 1 f(t) p p dt, Lem 2.4. Sej 1 < p <, pr quisquer, b R + tem-se Demonstrção. Considere curv b p p + bp p b = p 1, ( = b 1 p 1 = b p 1 ) que é estritmente crescente (convex se p > 2 e côncv se p < 2).

45 Espços Normdos e de Bnch 43 Figur 2.2: Lem 2.4 Observe, prtir d gur cim, que b áre A + áre B, onde A e B são s regiões cinz e bege, respectivmente, destcds n gur. Assim b 0 t p 1 dt + 0 t p 1 dt = p p + bp p. Teorem (Desiguldde de Hölder) Sejm 1 < p, p < tis que 1 p + 1 p = 1; ) Ddos x, y C n, tem-se xy 1 x p y p, isto é, qundo 1 < p <. [ n n x j y j j=1 j=1 ] 1 [ p n x j p j=1 y j p ] 1 p, b) Ddos f, g C([, b], C) tem-se fg 1 f p g p, isto é, qundo 1 < p <. Demonstrção. [ f(t)g(t) dt ] 1 [ f(t) p p b dt g(t) dt] 1 p p, ) Pr o cso em que p = 1 ou p = não há o que mostrr, pel mesm rzão suponh x 0 e y 0. Assim, plicndo o Lem 2.4 o pres com j = 1, 2,, n, tem-se j = x j e b j = y j, x p y p j b j = x j x p y j y p = x jy j x p y p 1 ( p xj x p ) p + 1 ( ) p p yj. y p