Método de Newton generalizado e Aplicações

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1 Universidde Federl do Prá Instituto de Ciêncis Exts e Nturis Progrm de Pós-Grdução em Mtemátic e Esttístic Jocine dos Sntos Fonsec Método de Newton generlizdo e Aplicções Belém - PA Junho de 2017

2 Jocine dos Sntos Fonsec Método de Newton generlizdo e Aplicções Trblho presentdo o Progrm de Pós-Grdução em Mtemátic e Esttístic d Universidde Federl do Prá, em cumprimento com s exigêncis legis pr obtenção do título de Mestre. Orientdor: Prof. Dr. Cristin Vz Belém - PA Junho de 2017

3 Ddos Interncionis de Ctlogção-n-Publicção (CIP) Bibliotec Centrl Fonsec, Jocine dos Sntos, Método de Newton generlizdo e Aplicções / Fonsec, Jocine dos Sntos Orientdor: Cristin Vz Dissertção (Mestrdo) - Universidde Federl do Prá, Instituto de Ciêncis Exts e Nturis, Progrm de Pós-Grdução em Mtemátic Aplicd e Esttístic, Belém, Método de Newton-Rphson. 2. Problems inversos (Equções diferenciis). 3. Análise numéric. 4. Funções (Mtemátic). 5. Teorem de existênci. I. Título. CDD ed

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5 Dedictóri Dedico est dissertção à minh fmili, pelo poio incondicionl e constnte incentivo, em especil à minh mãe e inspirção, Mri Messis. Dedico tmbém minh orientdor Prof. Dr. Cristin Vz, pel confinç, pciênci, incentivo, mizde e excelente orientção. Sem o poio de mbos este trblho não teri se relizdo, eles meu muito, muito obrigd. i

6 Agrdecimentos Agrdeço Deus por tods s grçs concedids, pois tem me ddo mis do que eu poderi imginr, pel forç e inspirção pr desenvolver este trblho. Agrdeço minh fmíli, meus pis José Coimbr e Mri Messis e os meus irmãos, Josivn e Josimr pelo poio e incentivo. Agrdeço os meus tios Antonio, Luci e seus filhos Alln e Artur por tod receptividde e colhimento em su residênci no tempo em que residir com os mesmos. Agrdeço minh orientdor Prof. Dr. Cristin Vz por su orientção impecável, por seu poio, dedicção e pciênci. Agrdeço o Prof. Dr. João Rodrigues pelo poio, estímulo e confinç. Agrdeço os meus migos e colegs, em especil o migo Edurdo Rngel e s migs, Jcqueline Ribeiro e Susn Sntos pel solidriedde, compreensão e poio. Agrdeço o CAPES pelo poio finnceiro. ii

7 Resumo Este trblho consiste em um nálise numéric teóric do método de Newton em espços de Bnch, conhecido como Método de Newton generlizdo. A principl idei do método é trnsformr um equção de operdores num problem de ponto fixo equivlente. Como o método é um processo itertivo nlismos su convergênci e ordem de convergênci. Além disso, plicremos o método de Newton generlizdo n resolução de sistem não lineres, equções diferenciis ordináris não lineres e equções integris não lineres. Pr isto, essencilmente, generlizmos o conceito de derivd. O método de Newton é um poderos ferrment n obtenção de soluções de equções dos mis vridos tipos. A principl vntgem deste método e su versátil plicbilidde é ter convergênci qudrátic. Além disso, o método de Newton tmbém pode usdo pr mostrr outros teorems importntes n mtemátic, como por exemplo, o Teorems de existênci e unicidde de soluções pr certs equções diferenciis e o Teorem d função invers e implícit, entre outros. Plvrs-chves: Diferencil de Fréchet. Teorem do Ponto fixo. Método de Newton. iii

8 Sumário Introdução Preliminres Tópicos de Análise Funcionl Soluções de Equções Lineres Teorem do ponto fixo de Bnch Aplicções do Teorem de ponto fixo de Bnch Equções diferenciis em espços de Bnch Cálculo em espços de Bnch Cálculo Diferencil Cálculo Integrl Método de Newton generlizdo Cso unidimensionl Cso multidimensionl Método de Newton generlizdo Aplicções do método de Newton generlizdo Sistems não lineres Equções integris não lineres Equções diferenciis ordináris de 1 ordem Equções diferenciis de 2 ordem Conclusão 52 Referêncis Bibliográfics 53 iv

9 Introdução Este trblho consiste em nálise mtemátic teóric do método de Newton em espços de Bnch, conhecido como Método de Newton Generlizdo. A principl idéi do método é, dd função f : X X, encontrr solução d equção de operdores f(x) = 0 (1) com X um espço de Bnch. Noss bordgem será trnsformr equção (1) num equção de ponto fixo x = T x, (2) com T : X X ddo por T (x) = x [Df(x)] 1 f(x). O método descrito cim foi proposto inicilmente por Isc Newton em 1669 pr encontrr rízes de funções polinomiis. Pouco tempo depois, em 1690 J. Rphson extendeu o método pr funções reis quisquer. Por isso é muito comum, n litertur, o método ser chmdo método de Newton-Rphson. A consolidção do método está ligd fmosos mtemáticos como J. Fourier, L. A. Cuchy entre outros. Em 1818, Fourier provou que o método convergi qudrticmente desde que o ponto inicil fosse tomdo em um vizinhnç d solução procurd, enqunto Cuchy ( ) mostrou que o método se extende nturlmente pr funções pr funções de váris vriáveis e usou o método pr provr existênci de rízes de lgums equções. Em 1916, os mtemáticos Fine e Bennet derm mis lgums contribuições pr o método. Fine provou convergênci pr o cso n-dimensionl sem hipótese de existênci de solução. Bennet estendeu o resultdo pr o cso de dimensão infinit. Mis recentemente, em 1948, L. V. Kntorovich provou existênci de solução e convergênci do método pr operdores T : B 1 B 2, onde B 1 e B 2 são espços de Bnch e T é um operdor diferenciável qulquer. O método de Newton é um poderos ferrment n obtenção de soluções de equções dos mis vridos tipos. A grnde importânci desse método reside no fto de que sob lgums hipóteses é grntid convergênci, um tx reltivmente lt, pr um solução. O método de Newton tmbém é usdo pr mostrr outros teorems importntes n mtemátic. 1

10 2 Por exemplo: teorems de existênci e unicidde de soluções pr certs equções diferenciis, o teorem d função invers e implícit entre outros. Est dissertção está orgnizd d seguinte form. No cpítulo 1, presentmos lguns conceitos e resultdos que serão utilizdos neste trblho. No cpítulo 2, trtmos do conceito de diferencibilidde em espços de dimensão finit e espços de Bnch, e os principis resultdos sobre diferencição. No cpítulo 3, bordmos o método de Newton e sus principis proprieddes utilizndo o teorem do ponto fixo de Bnch. No cpítulo 4, plicmos o método de Newton em equções integris do tipo: Fredholm e Volterr, lineres e não lineres e equções diferenciis.

11 Cpítulo 1 Preliminres Neste cpítulo, descrevemos os principis resultdos usdos neste trblho. 1.1 Tópicos de Análise Funcionl Nest seção, enuncimos e demonstrmos lguns resultdos de Análise Funcionl que serão usdos no trblho. Pr mis detlhes consulte [2], [3] e [5]. Definição 1.1 Sej X um espço vetoril sobre o corpo K, onde K = R ou C. Um produto interno em X é um plicção ((.,.)) : X X K (x, y) ((x, y)) que stisfz s seguintes proprieddes pr quisquer x, y X e α R : i) ((x, y)) 0; ii) ((x, x)) = 0 x = 0 iii) ((αx, y)) = α((x, y)) iv) ((x + y, z)) = ((x, z)) + ((y, z)) (v) ((x, y)) = ((y, x)) Definição 1.2 Sej X um espço vetoril sobre o corpo K onde K = R ou C. Um norm em X é um função rel. : X R x x 3

12 1.1 Tópicos de Análise Funcionl 4 que stisfz s seguintes proprieddes pr quisquer x, y X e α R : i) x 0; ii) x = 0 x = 0 iii) αx = α x iv) x + y x + y. Definição 1.3 Um espço vetoril X munido com um norm. é chmdo de Espço Normdo, o qul denotmos por (X,. ). A convergênci em Espços Normdos é dd pel seguinte definição. Definição 1.4 Sej X um espço normdo. Dizemos que sequênci (x n ) de elementos de X converge pr x X se lim x n x = 0 ɛ > 0, n 0 N; n n 0 x n x < ɛ. n Ás vezes, usremos notção x n x. Sej X um espço normdo. Um sequênci (x n ) de elementos de X é chmd sequênci de Cuchy se lim x m x n = 0 ɛ > 0, n 0 N; m, n n 0 x m x n < ɛ. n Podemos observr que tod sequênci convergente é de Cuchy, ms nem tod sequênci de Cuchy é convergente. Vej[6]. Definição 1.5 O espço normdo X é um espço de Bnch se, e somente se, tod sequênci de Cuchy de elementos de X converge pr um elemento de X. Definição 1.6 Sejm X e Y espços vetoriis sobre o corpo K. Dizemos que L : X Y é um operdor liner se L(αu + v) = αl(u) + L(v), u, v X, α K Qundo Y = R, o operdor liner L chm-se funcionl liner. Definição 1.7 Sejm X e Y espços normdos e T : X Y um operdor liner. Dizemos que T é um operdor limitdo se existe um constnte C > 0 tl que, pr todo u X, T u C u.

13 1.1 Tópicos de Análise Funcionl 5 Definição 1.8 Sejm X e Y espços normdos e T : X Y um operdor liner. Dizemos que T é um operdor contínuo se ddo ɛ > 0, δ > 0 tl que, pr u, v X, u v < δ T u T v < ɛ. Se δ = δ(ɛ) dizemos que T é uniformemente contínuo. Teorem 1.1 Sejm X e Y espços normdos. operdor liner T : X Y é limitdo. Se X tem dimensão finit, então todo A prov deste teorem pode ser encontrd em ([5], pg 96, teorem 2.7-8). Teorem 1.2 Sejm X e Y espços normdos e T : X Y liner. Então T é limitdo se, e somente se, T é contínuo. A demonstrção deste resultdo pode ser encontrd em ([5], pg 97, teorem 2.7-9) Definição 1.9 Dizemos que um operdor T : X X é um contrção com constnte de contrticidde α [0, 1) se T u T v X α u v X, u, v K. O operdor T é chmdo não-expnsivo se T u T v X u v X, u, v X. e Lipschtiz contínuo se existe um constnte L 0 tl que T u T v X L u v X, u, v X. Assim, temos s seguintes implicções Contrcticidde não-expnsividde Lipschitz continuidde continuidde. Considere o espço vetoril L(X, Y ), espço dos operdores lineres contínuos com s operções usuis. Então temos o seguinte resultdo. Teorem 1.3 Sejm X e Y espços normdos. Então, L(X, Y ) é um espço normdo, com

14 1.1 Tópicos de Análise Funcionl 6 norm dd por T = T x sup x X {0} x = sup T x (1.1) x =1 pr todo T L(X, Y ). Temos gor definição de Espço de Hilbert. Definição 1.10 Dizemos que um espço com produto interno é um espço de Hilbert se é um espço normdo completo. Observe que todo Espço de Hilbert é um Espço de Bnch porém recíproc não é verddeir, pois existem Espços de Bnch cuj norm não provém de um produto interno. Definição 1.11 Sejm H 1 e H 2 espços de Hilbert com produto interno ((, )) e T : H 1 H 2 um operdor liner limitdo. Chmmos T : H 2 H 1 de operdor djunto de T se vle seguinte propriedde: ((T u, v)) = ((u, T v)), u H 1, v H 2. (1.2) Teorem 1.4 (Teorem d Representção de Riesz) Sej H um espço de Hilbert com produto interno ((.)) e norm.. Ddo φ H, existe um único f H tl que < φ, v > H,H= ((f, v)), pr todo v H. Além disso, f H = φ H. Prov: Consideremos plicção T : H H f T f, (1.3) definid por < T f, v > H,H= ((f, v)) pr todo v H. T f : H R é clrmente liner e contínu, pois < T f, v > H,H = ((f, v)) f H v H, o que implic que T f H.

15 1.1 Tópicos de Análise Funcionl 7 Assim, T : H H está bem definid e é liner, pois ddos f, g, v H e α, β R temos: < T (αf + βg), v > = ((αf + βg, v)) = α((f, v)) + β((g, v)) = α < T f, v > +β < T g, v > = < αt f + βt g, v >, o que implic que T (αf +βg) = αt f +βt g provndo lineridde de T. A seguir provremos que T f H = f H, f H (1.4) De fto, ddos f, v H de (1.3) vem que < T f, v > f H v H T f H f H. (1.5) Por outro ldo, notemos que se f 0 (não identicmente nul), então f 2 H = f ((f, f)) =< T f, f >=< T f, f >. f H f H. sup < T f, v > = f T f H, v H v =1 ou sej, f H T f H. (1.6) Observe que se f 0 desiguldde (1.6) segue trivilmente. Combinndo (1.5) e (1.6) obtemos o desejdo em (1.4). Assim, plicção T : H H é um plicção liner isométric, portnto injetor. Rest-nos provr que T H = H, (1.7) isto é, T é sobrejetor. Com efeito firmmos que T H é um espço fechdo de H (1.8) pois se (T ν ) T H é tl que T vν w em H, então pelo fto de v ν v µ = T v ν T v µ H 0 qundo ν, µ, segue que sequênci (v ν ) ν N é de Cuchy em H e portnto é convergente, digmos, existe v H tl que v ν v em H. Pel continuidde d plicção T : H H result que T v ν T v em H e, portnto fce unicidde do limite em H, concluímos que w = T v T H,

16 1.2 Soluções de Equções Lineres 8 o que prov (1.8). Logo se mostrrmos que T H é denso em H (1.9) então, por (1.8) e (1.9) result que T H = T H = H, ou sej, T H = H, ficndo provdo (1.7). Logo, bst mostrrmos (1.9). Sej então ξ H tl que < ξ, T f > H,H = 0, f H. Queremos provr que ξ 0 em H. Com efeito, como H é reflexivo (posto que é Hilbert) segue que H H. Assim, ξ H H o que implic que < T f, ξ > H,H= ((f, ξ)) = 0, f H. Em prticulr se f = ξ obtemos ((ξ, ξ)) = ξ 2 = 0 o que implic que ξ 0, o que prov o desejdo. N demonstrção nterior usmos um consequênci do seguinte teorem (pr miores detlhes consulte [3]). Teorem 1.5 (Teorem de Hhn-Bnch-2 0 Form Geométric) Sejm E um espço vetoril normdo, A, B E subconjuntos convexos de E, disjuntos e não-vzios. Se A for fechdo e B for compcto, então existe um hiperplno fechdo que sepr A e B no sentido estrito. Corolário 1.1 Sejm E um espço vetoril normdo e F um subespço vetoril de E. Se pr tod form f E tl que < f, x >= 0, x F se tem f 0 (isto é, < f, x >= 0, x E) então F é denso em E (ou sej, F = E). 1.2 Soluções de Equções Lineres Um dos problems computcionis centris d nálise funcionl liner é solução de equções lineres. Este problem surge tmbém no estudo de equções de operdores nãolineres, um vez que lguns métodos de tque de equções não-lineres são bsedos n resolução de um equção liner proximd ou um sequênci desss equções. Em um espço de Bnch X o problem de resolver um equção liner pode ser dd d seguinte form: Sej L : X X um operdor liner limitdo e x X tis que Lx = y, (1.10)

17 1.2 Soluções de Equções Lineres 9 Pr lgum y X. Se existir lgum elemento x, será chmdo solução d equção liner (1.10). É conveniente introduzir noção do produto (ou composição) de operdores (não necessrimente lineres) de X em X, então o produto P Q é o operdor definido por P Q(x) = P (Q(x)) pr todo x X. A equção esclr liner x = y é resolvid pr 0 multiplicndo mbos os ldos por 1 e obtendo x = 1 y. Ess idéi pode ser estendid pr operdores lineres limitdos. Definição 1.12 Se L : X X um operdor liner limitdo, e existe um operdor liner limitdo L 1 tl que L 1 L = LL 1 = I, com I é no operdor identidde. Então L 1 é chmdo de operdor inverso de L. O inverso de um operdor liner limitdo, é portnto, um generlizção d noção de inverso de um esclr diferente de 0. mtriz Operdores lineres não-nulos, no entnto, não precism ter inversos: por exemplo, A = ( é limitd, liner e não-nul em R 2, ms A não possui invers. Se L 1 existir, então equção (1.10) tem um únic solução ) x = L 1 y (1.11) pr cd y X, e x L 1 y. (1.12) Se equção (1.10) tem um únic solução x pr cd y X ddo, isso define um operdor liner L 1 pel correspondênci x = L 1 y. Se L 1 é limitdo, então L 1 existe e L 1 = L 1. O teorem fundmentl que fornece condições necessáris e suficientes pr existênci de um operdor liner limitdo inverso de um operdor liner limitdo L : X X é o seguinte, e bsei-se n observção de que se 1 < 1, então 1 = 1 + (1 ) + (1 ) = (1 ) n. (1.13) n=0

18 1.3 Teorem do ponto fixo de Bnch 10 A demonstrção do seguinte teorem encontr-se em ([10], pg 50, teorem 10.1). Teorem 1.6 Sej L é um operdor liner limitdo em X. L é um operdor invertível, com inverso L 1, se somente se existe um operdor liner limitdo K : X X tl que K 1 existe e I KL < 1. (1.14) se L 1 existe, então e L 1 = L 1 (I KL) n K (1.15) n=0 K 1 I KL. (1.16) 1.3 Teorem do ponto fixo de Bnch Nest seção, considermos equções de operdores d form u = T (u), u X (1.17) com X é um espço de Bnch e T : X X. As soluções d equção (1.17) são chmds de pontos fixos do operdor T. O resultdo mis importnte d teori de soluções de tis equções pr o operdor T que são um contrção é o conhecido Teorem do ponto fixo de Bnch Teorem do Ponto fixo de Bnch Teorem 1.7 (Teorem do Ponto Fixo de Bnch) Sejm X um espço de Bnch e K X um subconjunto não-vzio, fechdo. Se T : K K é um contrção com constnte de contrticidde α [0, 1). Então, s seguintes firmções são verddeirs. (1) Existênci e Unicidde: Existe um único u K tl que T (u) = u. (2) Convergênci e Estimtivs do erro: Pr lgum u 0 K, sequênci u n K definid por u n+1 = T (u n ), n = 0, 1, 2,... (1.18) converge pr u: u n u X 0 pr n.

19 1.3 Teorem do ponto fixo de Bnch 11 Pr o erro os seguintes limites são válidos: Prov: u n u X u n u X αn 1 α u 0 u 1 X (1.19) α 1 α u n 1 u n X (1.20) u n u X α u n 1 u X. (1.21) Sendo T : K K, sequênci {u n } está bem definid. Inicilmente mostrremos que {u n } é um sequênci de Cuchy. Usndo contrtividde d plicção T temos u n u n+m X α u n 1 u n+m 1 X... α n u 0 u m X. (1.22) Agor, temos que u 0 u m X = u 0 u 1 +u 1 u 2 +u 2...+u m 1 u m X u 0 u 1 X + u 1 u 2 X u m 1 u m X. Usndo novmente contrtividde do operdor T, gor em (1.23), concluímos que (1.23) u 0 u m X u 0 u 1 X + α 2 u 0 u 1 X + α 3 u 0 u 1 X α m u 0 u 1 X (1.24) Como m 1 j=0 (1 + α + α 2 + α α m 1 ) u 0 u 1 X (1.25) α j = 1, pois 0 α < 1, temos: 1 α u 0 u m X u 0 u 1 X 1 α Logo de (1.22) e d desiguldde nterior temos u n u n+m X Pssndo limite em (1.26) com n, segue que αn 1 α u 0 u 1 X. (1.26) lim u α n n u n+m X lim n n 1 α u 0 u 1 X = 0, (1.27) pois α [0, 1). E portnto, {u n } é um sequênci de Cuchy. Como K é um subespço fechdo de um espço de Bnch X, existe u K tl que lim n u n = u. Rest mostrrmos gor, que u é um ponto fixo de T, ssim pssndo limite em u n+1 = T (u n ) qundo n, e observndo que sendo T um operdor contrtivo, ele tmbém é

20 1.3 Teorem do ponto fixo de Bnch 12 contínuo segue que T (u n ) T (u), e d unicidde de limite concluímos que T (u) = u. Suponh que u 1, u 2 K são pontos fixos de T. Então u 1 = T (u 1 ) e u 2 = T (u 2 ), e u 1 u 2 = T (u 1 ) T (u 2 ). Portnto, u 1 u 2 X = T (u 1 ) T (u 2 ) X α u 1 u 2 X (1 α) u 1 u 2 X 0. Como α [0, 1) segue que u 1 u 2 X 0 u 1 = u 2. Portnto, um ponto fixo de um operdor contrtivo é único. Provremos gor, s estimtivs do erro. Pssndo limite qundo m em (1.26) obtemos estimtiv (1.19). De u n u X = T (u n 1 ) T (u) X α u n 1 u X obtemos estimtiv (1.21). Est estimtiv junto com u n 1 u X u n 1 u n X + u n u X implicm n estimtiv (1.20). O Teorem 1.7 tem seguinte generlizção: Teorem 1.8 Sej X um espço de Bnch e T : X X um operdor contínuo em X. Se T n é um contrção pr n > 1 então T tem um único ponto fixo. Prov: Sejm f 1 X qulquer e f = lim n T n f 1. Então pel continuidde de T tem-se Ms, T n é um contrção e logo T f = lim n T T n f 1. T n T f 1 T n f 1 α T (n 1)n T f 1 T (n 1)n f 1... α n T f 1 f 1 com α < 1. Portnto, T f f = lim n T T n f 1 T n f 1 = 0,

21 1.4 Aplicções do Teorem de ponto fixo de Bnch 13 ou sej, T f = f. Pr provrmos unicidde, observe que se T tem mis de um ponto fixo então T n tmbém terá, o que é um contrdição pelo Teorem 1.7, pois T n é um contrção. Assim, pr resolvermos o problem f(x) = 0 (1.28) pr lgum operdor f : X X podemos trnsformá-lo num problem de ponto fixo equivlente (1.17) definindo T (u) = u F (f(u)) com F : X X um operdor stisfzendo F (w) = 0 w = 0. Como os problems são equivlentes temos que solução do problem de ponto fixo (1.17) é solução do problem (1.28) e vice-vers. Além disso, o processo itertivo (1.18) é um método de proximção pr resolução d equção (1.28). 1.4 Aplicções do Teorem de ponto fixo de Bnch Nest Seção presentremos lgums plicções importntes do Teorem de ponto fixo de Bnch ( pr mis detlhes consulte [1], [8] e [10]) Equção não-liner em espço de Hilbert Como um plicção do teorem de ponto fixo de Bnch, considermos existênci e unicidde de solução de um equção não-liner em um espço de Hilbert. Teorem 1.9 Sej H um espço de Hilbert. Assum que T : H H é fortemente monóton e Lipschitz contínuo, isto é, existem dus constntes c 1, c 2 > 0 tis que, pr v 1, v 2 H ((T (v 1 ) T (v 2 ), v 1 v 2 )) c 1 v 1 v 2 2, (1.29) T (v 1 ) T (v 2 ) c 1 v 2 v 1. (1.30) Então, pr qulquer b H, existe um único u H tl que T (u) = b. (1.31)

22 1.4 Aplicções do Teorem de ponto fixo de Bnch 14 Além disso, solução u depende Lipschitz continumente de b: se T (u 1 ) = b 1 e T (u 2 ) = b 2, então u 1 u 2 1 b 1 b 2. (1.32) c 1 Prov: A equção T (u) = b é equivlente u = u θ[t (u) b] pr qulquer θ 0. Definmos um operdor T θ : H H pel fórmul T θ (v) = v θ[t (v) b]. Vmos mostrr que pr θ > 0 suficientemente pequeno, o operdor T θ é um contrção. Escrev T θ (v 1 ) T θ (v 2 ) = (v 1 v 2 ) θ[t (v 1 ) T (v 2 )]. Então, T θ (v 1 ) T θ (v 2 ) 2 = v 1 v 2 2 2θ((T (v 1 ) T (v 2, v 1 v 2 ))) + θ 2 T (v 1 ) T (v 2 ) 2. Usndo (1.29) e (1.30) obtemos T θ (v 1 ) T θ (v 2 ) 2 (1 2c 2 θ + c 2 1θ 2 ) v 1 v 2 2. Pr θ (0, 2c 2 /c 2 1) 1 2c 2 θ + c 2 1θ 2 < 1 e T θ é um contrção. Então, pelo Teorem do ponto fixo de Bnch, T θ tem um único ponto fixo u H. Portnto, equção (1.31) tem um únic solução. Agor provremos dependênci Lipschitz contínu d solução. Sejm T (u 1 ) = b 1 e T (u 2 ) = b 2, obtemos T (u 1 ) T (u 2 ) = b 1 b 2. Então, ((T (u 1 ) T (u 2 ))) = ((b 1 b 2, u 1 u 2 )). Aplicndo (1.29) e desiguldde de Cuchy-Schwrz, c 1 u 1 u 2 2 b 1 b 2 u 1 u 2,

23 1.4 Aplicções do Teorem de ponto fixo de Bnch 15 o que implic (1.32). No que segue, plicremos o Teorem de ponto fixo de Bnch pr resolução de integris do tipo Fredhom e Volterr Equção integrl de Fredholm Nest Seção provremos existênci e unicidde d equção de Fredholm liner de segund espécie dd por ϕ(x) = f(x) + λ b k(x, y)ϕ(y)dy (1.33) com s funções k : [, b] [, b] R e f : [, b] R contínus. Pr trtrmos s questões de existênci e unicidde vmos escrever (1.33) como um equção de operdores d seguinte form: ϕ(x) = f(x) + λk[ϕ](x) com K é definido como K[ϕ](x) = b k(x, y)ϕ(y)dy. Agor, se considerrmos o operdor T : C([, b]) C([, b]) ddo por T [ϕ](x) = f + λk[ϕ](x) temos que o problem de determinr existênci e unicidde d equção (1.33) é equivlente o problem de determinr um único ponto fixo de T, ou sej, obter ϕ tl que T ϕ = ϕ ϕ = f + λkϕ. Vmos plicr o Teorem do ponto fixo de Bnch. Como o espço C([, b]) é um espço de Bnch com norm do supremo devemos prov que o operdor T é um contrção. Pr isto, escrevemos T ϕ 1 T ϕ 2 = λ K[ϕ 1 ] K[ϕ 2 ]. Como k(x, y) contínu tem-se k(x, y) M em [, b] [, b] e K é um operdor liner tem-se K[ϕ 1 ](x) K[ϕ 2 ](x) = K[ϕ 1 ϕ 2 ](x) M Logo, b b k(x, y) ϕ 1 (y) ϕ 2 (y) dy ϕ 1 (y) ϕ 2 (y) dy M(b ) ϕ 1 ϕ 2. K[ϕ 1 ] K[ϕ 2 ] M(b ) ϕ 1 ϕ 2

24 1.4 Aplicções do Teorem de ponto fixo de Bnch 16 e obtemos T ϕ 1 T ϕ 2 λ M(b ) ϕ 1 ϕ 2. Portnto, pr λ < 1 M(b ) (1.34) temos que T é um operdor de contrção e equção (1.33) tem um únic solução em C([, b]). Além disso, s sucessivs proximções ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n,... dest solução são dds por com ϕ 1 qulquer função contínu. ϕ n+1 (x) = f(x) + λ b k(x, y)ϕ n (y)dy Ressltmos que o método ds sucessivs proximções só poderá ser plicdo n equção (1.33) pr λ stisfzendo condição (1.34) Equção de Fredholm não liner Nest seção provremos existênci e unicidde d equção de Fredholm não liner de segund espécie dd por ϕ(x) λ b k(x, y, ϕ(y))dy = 0 (1.35) com função núcleo k : [, b] [, b] R um função Lipschitzin n terceir vriável, ou sej, existe β > 0 tl que k stisfz condição k(x, y, s 1 ) k(x, y, s 2 ) < β s 1 s 2. Anlogmente, podemos escrever equção integrl (1.35) n form de um equção de operdores do seguinte modo: com K ddo por K[ϕ](x) = b T [ϕ](x) = λk[ϕ] k(x, y, ϕ(y))dy. Novmente devemos provr que o operdor T é um contrção. Como k é lipschtiz n terceir vriável tem-se K[ϕ 1 ](x) K[ϕ 2 ](x) b β b k(x, y, ϕ 1 (y)) k(x, y, ϕ 2 (y)) dy ϕ 1 (y) ϕ 2 (y) dy β(b ) ϕ 1 ϕ 2. Logo, T ϕ 1 T ϕ 2 λ β(b ) ϕ 1 ϕ 2.

25 1.4 Aplicções do Teorem de ponto fixo de Bnch 17 1 Portnto, pr λ < temos que T um contrção e equção (1.35) tem um únic β(b ) solução em C([, b]). Além disso, s sucessivs proximções ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n,... dest solução são dds por ϕ n+1 (x) = f(x) + λ com ϕ 1 qulquer função contínu. b k(x, y, ϕ n (y))dy Ressltmos que o método ds sucessivs proximções só poderá ser plicdo n equção (1.35) pr λ suficientemente pequeno Equção integrl de Volterr Nest seção provremos existênci e unicidde d equção de Volterr liner dd por ϕ(x) = f(x) + λ x k(x, y)ϕ(y)dy (1.36) com s funções k : [, b] [, b] R e f : [, b] R contínus. Vmos plicr o Teorem d contrção de Bnch pr mostrr que equção (1.36) tem um únic solução pr qulquer λ e não suficientemente pequeno como no cso d equção de Fredholm. De fto, considere o operdor T : C([, b]) C([, b]) ddo por T [ϕ](x) = f + λk[ϕ](x) com K[ϕ](x) = x k(x, y)ϕ(y)dy. Então, K[ϕ 1 ](x) K[ϕ 2 ](x) = K[ϕ 1 ϕ 2 ](x) M Assim, x x k(x, y) ϕ 1 (y) ϕ 2 (y) dy ϕ 1 (y) ϕ 2 (y) dy M(x ) ϕ 1 ϕ 2. K[K[ϕ 1 ]](x) K[K[ϕ 2 ]](x) x x M M k(x, y) K[ϕ 1 ](y) K[ϕ 2 ](y) dy M(y ) ϕ 1 ϕ 2 dy x M 2 ϕ 1 ϕ 2 (y )dy 2 (x )2 ϕ 1 ϕ 2. 2

26 1.5 Equções diferenciis em espços de Bnch 18 Procedendo sucessivmente té n obtemos o que implic K n [ϕ 1 ](x) K n ϕ 2 ](x) M T n ϕ 1 T n ϕ 2 λ n M M n (x )n ϕ 1 ϕ 2 n! n (b )n ϕ 1 ϕ 2, n! n (b )n ϕ 1 ϕ 2. n! Portnto, pr qulquer λ e n suficientemente grnde tem-se λ n n (b )n M n! e, portnto T é um contrção pr n suficientemente grnde, então pelo Teorem 1.8 T tem < 1, um único ponto fixo. Portnto, equção (1.36) tem um únic solução. 1.5 Equções diferenciis em espços de Bnch Sej X um espço de Bnch e considere o problem de vlor inicil { u (t) = f(t, u(t)) em [t 0, b] u(t 0 ) = u 0 (1.37) com u 0 X e f : [t 0, b] X X é contínu e Lipschitz n segund vriável: f(t, s 1 ) f(t, s 2 ) β s 1 s 2. O problem d equção diferencil (1.37) é equivlente equção integrl u(t) = u 0 + t t 0 f(s, u(s))ds. (1.38) Note que (1.38) é d form u = T (u) e (1.38) é um equção integrl de Volterr não liner. Deste modo, temos o seguinte o processo itertivo: u n (t) = u 0 + t t 0 f(s, u n 1 (s))ds. (1.39) Pr mostrmos existênci e unicidde de (1.37) usmos form equivlente (1.38) e plicmos o Teorem de ponto fixo de Bnch. Pr isto, considere X = C([t 0, b]) com

27 1.5 Equções diferenciis em espços de Bnch 19 norm do máximo, então t T u 1 T u 2 mx f(s, u 1 (s)) f(s, u 2 (s)) ds t [t 0,b] t 0 β b u 1 u 2 Se βb < 1 temos que T é um contrção é (1.39) tem um únic solução. Como (1.38) e (1.39) são equivlentes temos que o problem de Cuchy (1.38) tem um únic solução pr β b < 1. Em resumo, Teorem 1.10 (Teorem de Picrd-Lindelof em espço de Bnch) Suponh que f : [t 0, b] X é contínu e Lipchitz com relção n segund vriável: com β é um constnte independente de t. f(t, s 1 ) f(t, s 2 ) β s 1 s 2 Se β b < 1, então o problem de vlor inicil (1.37) tem um únic solução continumente diferenciável u(.) em [t 0, b]. Além disso, qulquer vlor inicil u 1 tl que u 0 u 1 < b, o método itertivo (1.39) converge pr solução u(t), ou sej, mx u n(t) u(t) 0 qundo n. t t 0 b

28 Cpítulo 2 Cálculo em espços de Bnch Neste cpítulo, fremos um breve introdução do Cálculo em espço de Bnch. Os conceitos e resultdos trtdos neste cpítulo serão importntes pr generlizrmos o Método de Newton, pois precisremos generlizr o conceito de derivd pr espços de Bnch. Além disso, pr provrmos convergênci do método plicremos um versão do Teorem do vlor médio em espços de Bnch. Pr melhor entendimento d generlizção do conceito de derivd, primeiro, trtremos o cso em R n. No cso do Cálculo integrl, só presentremos os resultdos pr funções do tipo f : [, b] X. Não é nosso objetivo fzer um estudo detlhdo do Cálculo em espço de Bnch, pr miores detlhes consulte [1]. 2.1 Cálculo Diferencil Definição 2.1 Sej f : I R, I um intevlo berto. Dizemos que f é diferenciável em x 0 I se, e somente se existe um operdor liner L : R R dd por L(h) = h com = f (x 0 ) tl que pr todo ɛ > 0 existe δ > 0 stisfzendo h < δ f(x 0 + h) f(x 0 ) L(h) ɛ h, (2.1) equivlentemente, f(x 0 + h) f(x 0 ) L(h) lim h 0 h = 0. (2.2) Observção 2.1 Podemos mostrr que L é únic. Ressltmos que definição de derivd dd em (2.1) (ou (2.2)) é mis dequd pr obtermos generlizção do conceito, pois não us divisão por um elemento do espço, ms pel norm do elemento. 20

29 2.1 Cálculo Diferencil 21 Observe que no cso unidimensionl, plicção liner L é o diferencil d função f em x 0. Por est rzão, usremos notção L = Df(x 0 ). Vmos generlizr o conceito de derivd pr um função f : U R n R m usndo (2.1) (ou (2.2)). Est definição de diferencibilidde foi dd pelos mtemáticos Fréchet e Stolz. Definição 2.2 Sejm U R n um berto e x 0 U. Dizemos que um função f : U R m é fortemente diferenciável em x 0, se existe um operdor liner Df(x 0 ) : R n R m tl que ddo ɛ > 0 existe δ > 0 stisfzendo h < δ f(x 0 + h) f(x 0 ) Df(x 0 )(h) < ɛ h, h R n, (2.3) equivlentemente, f(x 0 + h) f(x 0 ) L(h) lim h 0 h = 0. (2.4) O operdor Df(x 0 ) é chmdo derivd de f. Observção 2.2 O operdor Df(x 0 ) tmbém é chmdo de Derivd de Fréchet ou diferencil de f em x 0 e denotdo por f (x 0 ) ou df(x 0 ), respectivmente. Teorem 2.1 Sej U R m um berto. Se f : U R n é diferenciável em x 0 U então plicção Df(x 0 ) é únic. Exemplo 2.1 Sej L : R n R m um trnsformção liner, então DL(x 0 ) = L, x 0 R n. De fto, ddo ɛ > 0 tem-se L(x 0 + h) L(x 0 ) L(h) = L(x 0 ) + L(h) L(x 0 ) L(h) = 0 ɛ h. Então, pr qulquer δ > 0 tem-se h < δ L(x 0 + h) L(x 0 ) L(h) ɛ h. Logo, pel unicidde, DL(x 0 ) = L. Teorem 2.2 Se f : U R n R m é diferenciável em um ponto x 0 interior de U então f é contínu em x 0. Prov: Como f diferenciável em x 0 temos que ddo ɛ > 0 existe δ 1 > 0 tl que x x 0 < δ 1 f(x) f(x 0 ) Df(x 0 )(x x 0 ) < ɛ x x 0.

30 2.1 Cálculo Diferencil 22 Tomndo ɛ = 1 tem-se x x 0 < δ 1 (1) f(x) f(x 0 ) Df(x 0 )(x x 0 ) < x x 0 (2.5) Por outro ldo, como todo operdor liner definido num espço de dimensão finit é limitdo, então existe um constnte M 1 tl que Df(x 0 )(x x 0 ) M 1 x x 0 (2.6) Ms, pel desiguldde tringulr tem-se f(x) f(x 0 ) = f(x) f(x 0 ) Df(x 0 )(x x 0 ) + Df(x 0 )(x x 0 ) f(x) f(x 0 ) Df(x 0 )(x x 0 ) + Df(x 0 )(x x 0 ). Agor, plicndo (2.5) e (2.6) obtemos x x 0 δ 1 f(x) f(x 0 ) M x x 0 com M = 1 + M 1. Isto mostr que f stisfz condição de Lipchitz. ( ɛ ) Agor, escolhendo δ = min δ 1, concluímos que M x x 0 δ f(x) f(x 0 ) ɛ E continuidde de f em x 0 está provd. N seguinte definição generlizremos o conceito de derivd de direcionl. Definição 2.3 Sejm U R n um berto, x 0 U ponto interior, u R n e f : U R m. Dizemos que f tem derivd direcionl em x 0 n direção do o vetor u se ddo ɛ > 0, existe δ > 0 tl que 0 < t < δ f(x 0 + tu) f(x 0 ) D u f(x 0 ) t < ɛ, t R, (2.7) ou equivlentemente, se existe o seguinte limite: f(x 0 + tu) f(x 0 ) D u f(x 0 ) = lim. t 0 t Observção 2.3 Usmos tmbém s seguintes notções pr derivd direcionl: f (x 0 ; u), f u (x 0 ). f u (x 0), Qundo u = e j pr j = 1, 2,, n, s derivds direcionis de f em x 0 n direção dos

31 2.1 Cálculo Diferencil 23 vetores cnônicos são chmds derivds prciis de f em x 0. Neste cso, s notções mis usds são D j f(x 0 ) ou f x j (x 0 ). O seguinte resultdo firm que todo operdor liner definido em espços normdos de dimensão finit pode ser representdo por um mtriz. Su demonstrção pode ser encontrd em [6]. Proposição 2.1 Sejm X e Y espços de dimensão finit com dim X = n, dim Y = m e m, n 1. Sejm {e 1, e 2,..., e n } e {b 1, b 2,..., b m } bses de X e Y, respectivmente. Então o operdor T : X Y é liner se, e somente se, existe um mtriz A m n tl que pr n x = α k e k temos que k=1 com β i = T (x) = m β i b i i=1 n ij α j, A = ( ij ), ij K, 1 i n, 1 j m. Além disso, T é contínuo. j=1 Usremos o Teorem 2.1 pr provr o seguinte resultdo: Teorem 2.3 Se f : U R n R m é diferenciável em um ponto x 0 interior de U então s derivds prciis D i f j (x 0 ) existem pr i = 1,..., n e j = 1,..., m e Df(x 0 ) é dd por com h = (h 1,..., h n ). Df(x 0 )(h) = Prov: Como Df(x 0 ) : R n Df(x 0 ) pode ser representd por Df(x 0 )(h) = D 1 f 1 (x 0 )... D n f 1 (x 0 )..... D 1 f m (x 0 )... D n f m (x 0 ) R m é um operdor liner pelo Teorem 2.7 temos que n..... m1... mn h 1. h n h 1. h n (2.8). Como f diferenciável em x 0 temos f(x 0 + h) f(x 0 ) Df(x 0 )(h) lim h 0 h = 0.

32 2.1 Cálculo Diferencil 24 Tomndo h = te i e escrevendo (2.8) em termos ds componentes, obtemos f j (x 0 + te i ) f j (x 0 ) ij t lim t 0 t com ij o (i, j) elemento d mtriz Df(x 0 ), ddo pel i-ésim componente do vetor Df(x 0 ).e j = Df(x 0 ) plicdo no j-ésimo vetor cnônico e j. Portnto, = 0, f j (x 0 + te i ) f j (x 0 ) lim ij = 0. t 0 t Logo, D j f i (x 0 ) existe e pel unicidde d derivd prcil, concluímos que D j f i (x 0 ) = ij. Observção 2.4 Pr f : U R n R o Teorem 2.3 firm que Df(x 0 )(h) = f(x 0 ).h. Mtriz jcobin Sejm U R n um berto e f : U R m. Se s derivds prciis ds funções componentes f j de f existem em x 0 podemos formr seguinte mtriz (D i f j (x 0 )) = D 1 f 1 (x 0 )... D n f 1 (x 0 )..... D 1 f m (x 0 )... D n f m (x 0 ) chmd mtriz jcobin de f no ponto x 0. Se f for diferenciável em x 0 então pelo Teorem 2.3, mtriz diferencil coincide com mtriz jcobin, ou sej, Df(x 0 ) = (D i f j (x 0 )). Se f m n é diferenciável em x 0 o determinnte Jf(x 0 ) = D 1 f 1 (x 0 )... D n f 1 (x 0 )..... D 1 f m (x 0 )... D n f m (x 0 ) é chmdo Jcobino de f em x 0. Sejm U R n um berto e L(R m, R n ) espço vetoril ds plicções lineres de R n em R m. Se f : U R m é um função diferenciável em cd ponto em U então podemos considerr função diferencil Df dd por Df : U L(R n, R m ) x 0 f (x 0 )

33 2.1 Cálculo Diferencil 25 com Df(x 0 ) : R n R m h Df(x 0 )(h) Exemplo 2.2 Sejm f(x, y) = (x 2 + y 2, x y) e x 0 = (, b) então Df(x 0 ) = [ 2 2 b b ] Logo, pr h = (h, k) tem-se Df(x 0 )(h) = (2 h + 2 b k, b h + k). O seguinte Teorem crcteriz o diferencil de um função diferenciável em termos d derivd direcionl: Teorem 2.4 Sejm U R n um berto e f : U R m. Se f é diferenciável em x 0, então derivd direcionl de f em x 0 n direção do vetor u existe e Df(x 0 )(u) = D u f(x 0 ) Observção 2.5 A existênci de tods s derivds direcionis em x 0 não implic diferencibilide de f em x 0. De fto, podemos mostrr que função f : R 2 R dd por f(x, y) = x 2 y x 2 + y 2 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) não é diferenciável em (0, 0), ms têm tods s derivds direcionis em (0, 0) Funções de clsse C r Teorem 2.5 Sejm U R n um berto e f : U R m. Se s derivds prciis ds funções componentes D i f j (x 0 ) de f existem e são contínus em U, dizemos que função f é continumente diferenciável ou de clsse C 1 (U). Se s funções componentes D i f j (x 0 ) são diferenciáveis em U, ou sej, podemos clculr sus derivds prciis D k (D i f j (x 0 )), então definimos s derivds prciis de segund ordem de f. Anlogmente, podemos definir s derivds prciis de ordem r, r N de f. Dizemos que um função f é de clsse C r (U) se, e somente se, cd função D i f j (x 0 ) é de clsse C r 1 (U) em U. Teorem 2.6 Sejm U R n um berto e conexo e f : U R n de clsse C 1 (U). Se Df(x) é lipschitz contínu em x U com constnte L > 0. Então, pr quisquer x + h U tem-se f(x + h) f(x) Df(x)(h) L 2 h 2.

34 2.1 Cálculo Diferencil Diferencibilidde em espços de Bnch Nest seção presentremos o conceito de diferencibilidde em espços mis geris, em prticulr espços de Bnch. Definição 2.4 Sejm X e Y espços de Bnch, U X berto. Dizemos que função f : U Y é Fréchet diferenciável num ponto x 0 U se existe um operdor liner limitdo Df(x 0 ) : X Y tl que ɛ > 0 existe δ > 0 stisfzendo h < δ f(x 0 + h) f(x 0 ) Df(x 0 )(h) ɛ h, h U. equivlentemente, f(x 0 + h) f(x 0 ) Df(x 0 )(h) lim h 0 h = 0. O operdor Df(x 0 ) é chmdo derivd de Fréchet ou derivd forte de f em x 0. Se f é Fréchet diferenciável em todos os pontos de U dizemos que f é diferenciável em U. Nesse cso, plicção x U Df(x) L(X, Y ) é chmd diferencil de f em U e representd por Df. Observção 2.6 Observe que pr o cso de dimensão finit, n Definição 2.1, está implícito que diferencil Df(x 0 ) é um plicção liner contínu, pois tl continuidde é grntid pelo Teorem 1.1. O seguinte teorem é um definição lterntiv de derivd de Fréchet. Proposição 2.2 A função f é Fréchet diferenciável em x 0 L(X, Y ) tl que com r(h) lim h 0 h = 0. se e somente se, existe E r(h) = f(x 0 + h) f(x 0 ) E(h) (2.9) Prov: Suponh que f é Fréchet diferenciável em x 0 então, existe o operdor liner contínuo Df(x 0 ) tl que Sej r : X Y definid por f(x 0 + h) f(x 0 ) Df(x 0 )(h) lim h 0 h = 0 r(h) = f(x 0 + h) f(x 0 ) Df(x 0 )(h).

35 2.1 Cálculo Diferencil 27 Então, o que implic r(h) h = f(x 0 + h) f(x 0 ) Df(x 0 )(h), h r(h) lim h 0 h = 0. (2.10) Portnto, E = Df(x 0 ). Reciprocmente, suponh que existe E L(X, Y ) tl que equção (2.9) stisfeit e r(h) lim h 0 h = lim f(x 0 + h) f(x 0 ) E(h) h 0 h = 0. Então, f é diferenciável em x 0, e logo, existe Df(x 0 ) e E = Df(x 0 ). Exemplo 2.3 Sej X um espço de Bnch e f : [, b] X. Se f é diferenciável em t 0 então, pel Proposição 2.2, tem-se E(t) com lim. t t0 t t 0 f(t) f(t 0 ) = f (t 0 )(t t 0 ) + E(t) O teorem seguir nos ssegur o importnte resultdo que diferencibilidde implic em continuidde. A prov é similr do Teorem 2.2 e será omitid. Teorem 2.7 Sej f : U Y com U um berto de X. Se f é diferenciável em x 0 U então f é contínu em x 0. Exemplo 2.4 Se L : X Y é um operdor liner então, x 0 X, DL(x 0 ) = L. A prov é nálog o cso n-dimensionl e será omitid. Note que não estmos dizendo que DL e L são idêntics, ms que DL tem o mesmo vlor que L pr todos os pontos x 0. Exemplo 2.5 Sej H um espço de Hilbert com produto interno ((.,.)). Considere função f : H R dd por f(x) = x 2 = ((x, x)). Então, f é Fréchet diferenciável em x 0 H e Df(x 0 )(h) = 2 ((x 0, h)). De fto, note que f(x 0 + h) f(x 0 ) Df(x 0 )(h) = x 0 + h 2 x 0 2 2((x 0, h)) = ((x 0 + h, x 0 + h)) x 0 2 2((x 0, h)) = h 2. Escolh δ = ɛ.

36 2.1 Cálculo Diferencil 28 Note que f não é diferenciável em x 0 = 0. Suponh, por contrdição, que f é diferenciável em x 0 = 0. Então, E(h) h + r(h) h = h pr E L(H, R). Substituindo h por h temos que E(h) h + r(h) h = h, o que implic h = r(h), o que é um bsurdo! h Exemplo 2.6 Sej H um espço de Hilbert com produto interno ((.,.)). Se f : H R é Fréchet diferenciável em x 0. Então, Df(x 0 )(h) = (( f(x 0 ), h)). (2.11) De fto, sej Df(x 0 ) : H R diferencil de Fréchet de f em x 0. Como Df(x 0 ) H, pelo Teorem d Representção de Riesz ( vej Teorem (1.4)), existe um elemento f(x 0 ) H tl que Df(x 0 )(h) = (( f(x 0 ), h)), h H. O elemento f(x 0 ) é chmdo grdiente de f em x 0. Note que f : H H. Definiremos gor generlizção do conceito de derivd direcionl pr espços Bnch, chmd de Derivd de Gâteux. Definição 2.5 Sej X e Y espços de Bnch. Dizemos que função f : X Y é Gâteux diferenciável em x 0 X n direção de h se, pr x 0, h X, existe δf(x 0 ; h) Y tl que ddo ɛ > 0 existe δ > 0 stisfzendo equivlentemente, t < δ f(x 0 + th) f(x 0 ) t δf(x 0, h) < ɛ, δ(x 0, h) = lim f(x 0 + th) f(x 0 ) t 0 t = 0. Se δ(x 0 ; h) existe pr todo h X e plicção df(x 0 ) : h δ(x 0 ; h) é liner e contínu, então df(x 0 ) é chmd derivd de Gâteux de f em x 0. Observção 2.7 A terminologi sobre derivd de Gâteux não é uniforme. Alguns utores não ssume lineridde de df(x 0 ). No cso de dimensão finit, mostrmos que diferencil de um função diferenciável é crcterizdo em termos d derivd direcionl (vej Teorem 2.4). O seguinte Teorem é generlizção deste resultdo pr espços de Bnch:

37 2.1 Cálculo Diferencil 29 Teorem 2.8 Se f : X Y é Fréchet diferenciável em x 0 diferenciável em x 0 e Df(x 0 )(u) = δf(x 0 ; u), u X. X então f é Gâteux Prov: Como f é Fréchet diferenciável em x 0, então existe um operdor liner limitdo Df(x 0 ) : X Y tl que ddo ɛ > 0, existe δ > 0 stisfzendo h < δ f(x 0 + h) f(x 0 ) Df(x 0 )(h) < ɛ h, h X. Como vle pr todo u X, podemos tomr h = tu, com t R e u X, t 0. Assim, Portnto, pr t < tu < δ f(x 0 + tu) f(x 0 ) Df(x 0 )(tu) < ɛ tu, h X. δ u e u 0 obtemos f(x 0 + tu) f(x 0 ) t Df(x 0 )(tu) < ɛ t u pel lineridde de Df(x 0 ), o que implic t < Portnto, tomndo δ 1 = δ u f(x 0 + tu) f(x 0 ) t Df(x 0 )(u) < ɛ u δ u temos que f é Gâteux diferenciável em x 0 e δf(x 0, u) = Df(x 0 ). Exemplo 2.7 Sejm X = C 1 ([0, 1]) e Y = C([0, 1] com nom do máximo. Considere Assim, f(x) = x 2 dx dt. f(x 0 + th) f(x 0 ) = (x 0 + th) 2 d dt (x 0 + th) x 2 dx 0 0 ( dt = t x 2 dh 0 dt + 2 h dx ) 0 + O(h 2 ). dt Então, derivd de Gâteux é dd por δ(x 0 ; h)[ ] = x 2 d 0 dt [ ] + 2 x 0 dx 0 dt [ ]. O próximo Teorem é generlizção do Teorem 2.5 em termos d derivd de Gâteux, su prov pode ser encontrd em [4, p. 123]: Teorem 2.9 Assum que df(x) existe num vizinhnç de x 0 X. Se x df(x) é contínu em x 0 (como função de X L(X, Y )) então Df(x 0 ) existe.

38 2.1 Cálculo Diferencil Regrs de diferencição Agor, enuciremos lgums regrs de diferencição. Se não especificrmos o tipo de derivd, então o resultdo é válido pr diferencil de Fréchet. Proposição 2.3 (Regr d Som) Sejm X e Y espços normdos. Se f, g : U X Y são diferenciáveis em x 0, então pr quisquer esclres α e β, αf + βg é diferenciável em x 0 e D(αf + βg)(x 0 ) = αdf(x 0 ) + βdg(x 0 ) Proposição 2.4 (Regr d Cdei) Sejm X, Y e Z espços normdos. Sej f : U Y Z e g : W X Y com g(w ) U. Assum que u 0 é um ponto interior de W, g(u 0 ) em ponto interior de U. Se f é Fréchet diferenciável em x 0 e g é Gâteux diferenciável em u 0 com g(u 0 ) = x 0. Então, f g é Gâteux diferenciável em u 0 e δ(f g)(u 0 ; h) = Df(x 0 )(δg(u 0 ; h)). Vejmos um exemplo. Exemplo 2.8 Sej X = Y = C([, b]) com norm do máximo. Assum que g C([, b]), k C([, b] [, b] R). fórmul Então, podemos definir o operdor G : V W pel G(u)(t) = g(t) + b k(t, s, u(s))ds Este operdor é chmdo operdor integrl de Urysohn. Sej u 0 C([, b]) tl que Então, G é Fréchet diferenciável em u 0 e (G (u 0 )h)(t) = Derivds Prciis k u (t, s, u 0(s)) C([, b] [, b]). b k u (t, s, u 0(s))h(s)ds, h V. No que segue, vmos generlizr do Teorem 2.5 em termos ds derivds prciis de f, su prov pode ser encontrd em Definição 2.6 Sejm X 1,X 2 e Y espços de normdos e f : X 1 X 2 Y. Pr 2 X 2 fixo, se f 1 : x 1 f(x 1, 2 ) tem derivd de Gâteux (ou Fréchet) em 1 X 1 então df 1 ( 1 )

39 2.2 Cálculo Integrl 31 (ou Df 1 ( 1 )) é chmd derivd prcil Gâteux (ou Fréchet) de f em ( 1, 2 ) com relção primeir vriável e representd por d 1 f( 1, 2 ) (ou D 1 f( 1, 2 ). De modo nálogo, podemos definir derivd prcil d 2 f( 1, 2 ) (ou D 2 f( 1, 2 )) com relção segund vriável. Se df( 1, 2 ) existe então existem d 1 f( 1, 2 ) e d 2 f( 1, 2 ) e df( 1, 2 )(h 1, h 2 ) = df 1 ( 1, 2 )(h 1 ) + df 2 ( 1, 2 )(h 2 ). (2.12) Pr termos revers dest firmção precismos de mis hipótese, como mostr o seguinte Teorem: Teorem 2.10 ([4], p. 124) Suponh que d 1 f( 1, 2 ) no ponto ( 1, 2 ) e d 2 f( 1, 2 ) existem num vizinhnç do ponto ( 1, 2 ) e plicção d 2 f : X 1 X 2 L(X 2, Y ) é contínu em ( 1, 2 ). Então, df( 1, 2 ) existe e vle (2.12). A prov dest proposição e demonstrção que existênci de derivds prciis em um ponto não implic existênci d derivd de Fréchet ou Gâteux. Corolário 2.1 ([1], p. 225) SejmA X 1 X 2 um berto e f : X 1 X 2 Y. Então, f C 1 (A) se, e somente se, f 1, f 2 C 1 (A). 2.2 Cálculo Integrl Sejm X um espço de Bnch e f : [, b] X. Considere um prtição qulquer dd por P = { = t 0 t 1... t n 1 t n = b} e os números c i [t i+1, t i ]. Considere t i = t i+1 t i, = mx{ t 0, t 1,..., t n 1 } e som de Riemnn n 1 S n (f) = f(c i ) t i que é um elemento do espço X. i=0 Definição 2.7 Se o limite lim S n(f) = I 0 existe em X pr tod prtição P e quisquer c i [t i+1, t i ], 0 i n 1, dizemos que f é integrável em [, b] e usmos notção I = b f(t) dt.

40 2.2 Cálculo Integrl 32 Teorem 2.11 ([12], p. 87) Se f(t) é contínu ou contínu por prtes em [, b] então f(t) é integrável em [, b] Regrs de integrção Teorem 2.12 ([12], p. 88) () (b) (c) (d) (e) b b c b b α f(t) dt = α b f(t) + g(t) dt = f(t) dt + b c f(t) dt com α R; b f(t) dt = f(t) dt + b b f(t) dt (b ) mx f(t) ; t [,b] b f(t) dt f(t) dt. g(t) dt; f(t) dt com c (, b); Teorem 2.13 ([12], p. 91) Sejm X um espço de Bnch e e f : [, b] X. Se f(t) é contínu por prtes em [, b] e contínu em t 0 [, b] então função F (t) = é diferenciável em t 0 e DF (t 0 ) = f(t 0 ). t f(τ) dτ Teorem fundmentl do Cálculo Sejm X um espço de Bnch e f : [, b] X contínu em [, b]. Dizemos que função contínu G : [, b] X é um primitiv de f(t) se DG(t) = f(t), t [.b]. Podemos mostrr que dus primitivs de f(t) diferem por um constnte e que qulquer primitiv de f(t) é d form G(t) = com x 0 um elemento fixo de X t f(τ) dτ + x 0 Teorem 2.14 ([12], p. 92) Sejm X um espço de Bnch e f : [, b] X. Se f é de clsse C 1 ([, b]). Então, pr todo t [, b]. b δdf(t) dt = f(b) f()

41 2.2 Cálculo Integrl 33 Teorem 2.15 Sej X um espço normdo, Y um espço de Bnch e f : X Y. Suponh que f tem derivd de Gâteux em todos os pontos do segmento que une os ponto e b em X n direção deste segmento, isto é, δf( + t(b ); b ) existe t [0, 1]. Se plicção t δf( + t(b ); b ) é contínu em [0, 1] então f(b) f() = (b ) 1 0 δf( + t(b ); b ) dt.

42 Cpítulo 3 Método de Newton generlizdo O teorem do ponto fixo de Bnch contém miori ds proprieddes desejáveis de um método numérico. Sob s condições desejds, sequênci de proximções está bem definid, e converge pr solução do problem originl. Além disso, sbemos que tx de convergênci é liner (vej expressão (1.21)), e tmbém temos um estimtiv de erro priori (vej (1.19)). Est estimtiv pode ser usd pr determinr o número de iterções necessáris pr termos um bo solução proximd. Neste cpítulo, descrevemos o método de Newton nlisndo sus principis proprieddes. A noss bordgem será plicção diret do Teorem do ponto fixo de Bnch (vej Teorem 1.7). 3.1 Cso unidimensionl Dd função rel f : R R estmos interessdos em encontrr s rízes reis d equção f(x) = 0, x R. (3.1) Pr plicrmos o Teorem do ponto fixo de Bnch (Teorem 1.7) vmos reformulr o problem (3.1) n form x = T (x), x R (3.2) e gerr um sequênci de proximções d solução do seguinte modo: x k+1 = T (x k ). (3.3) Existem muitos modos de escolhermos função T (x), por exemplo T (x) = x c 0 f(x) pr lgum constnte c 0 0. Um outr escolh poderi ser T (x) = x f(x) f (x), f (x) 0. (3.4) 34

43 3.1 Cso unidimensionl 35 Métodos que usm o teorem do ponto fixo são chmdos Métodos itertivos, em prticulr pr escolh (3.4) temos o conhecido Método de Newton. A form gerl ds funções T (x) pr f : [, b] R contínu e ξ é um solução d equção f(x) = 0 é dd por T (x) = x + A(x)f(x) com A(ξ) 0. Grficmente, um riz d equção (3.2) é bsciss do ponto de intersecção d ret y = x e d curv y = T (x), como mostrm s seguintes figurs: Figur 3.1: Figur 3.2:

44 3.1 Cso unidimensionl 36 Nturlmente, convergênci dos métodos itertivos depende ds proprieddes d função T (x). Pr plicrmos o Teorem d Contrção de Bnch (Teorem 1.7) devemos mostrr que T é um contrção. Além disso, outrs condições dicionis, como no cso do método de Newton, grntem mior rpidez de convergênci. No seguinte resultdo presentremos s condições mínims necessáris que grntem convergênci do processo itertivo (3.3). Teorem 3.1 Suponh que T (x) pertence o espço C 1 ([, b]) tl que sup T (x) < 1. x [,b] Então, o problem (3.2) tem um únic solução ξ e sequênci (x k ) gerd pelo processo itertivo (3.3) converge pr ξ. Prov: Vmos mostrr que T é um contrção e plicr o Teorem 1.7. De fto, como T C 1 ([, b]) segue do Teorem do Vlor Médio que, pr x 1, x 2 [, b], existe c (x 1, x 2 ) tl que T (x 1 ) T (x 2 ) = T (c) x 1 x 2. Portnto, T (x 1 ) T (x 2 ) sup T (x) x 1 x 2 x 1 x 2, x [x 1,x 2 ] pois sup T (x) < 1 por hipótese. Logo, T é um contrção e pelo Teorem d contrção o x [,b] problem (3.2) tem um únic solução ξ e o processo itertivo (3.3) converge pr ξ. Observe que, com s hipóteses do Teorem 3.1, temos que ordem de convergênci do processo itertivo (3.3) é liner (vej (1.21)). Pr escolh de T (x) dd em (3.4) temos que ordem de convergênci será qudrátic. De fto, convergênci dos métodos itertivos será mis rápid qunto menor for o vlor de T (ξ). Observe que T (x) = f(x) f (x) (f (x)) 2 e, logo, se f (ξ) 0 tem-se T (ξ) = 0, pois f(ξ) = 0 (pr mis detlhes consulte [11]). Em resumo, Teorem 3.2 Sej f C 2 ([, b]) com f (x) 0 em [, b]. Suponh que existe um constnte 0 λ < 1 tl que f(x)f (x) (f (x)) 2 λ, x [, b]. (3.5) Então, equção f(x) = 0 tem um únic solução x = ξ em [, b] e sequênci (x k ) [, b] ger pelo processo itertivo x k+1 = x k f(x k) f (x k ), k 0

45 3.1 Cso unidimensionl 37 converge pr ξ com x 0 [, b] rbitrário. Além disso, ordem de convergênci do processo itertivo (3.2) é qudrátic, isto é, e k+1 lim k e 2 k com C um constnte. Prov: Como f C 2 ([, b]) com f (x) 0 em [, b] temos que T (x) = x f(x) f (x) e T (x) = f(x) f (x) (f (x)) 2 são contínus em [, b]. Além disso, por hipótese. Logo, = C T (x) = f(x) f (x) (f (x)) 2 < λ < 1 sup T (x) < 1 x [,b] e pelo Teorem 3.1 equção f(x) = 0 tem um únic solução ξ [.b] e o processo itertivo (3.2) converge pr ξ. Além disso, x k+1 ξ = x k ξ f(x k) f (x k ) e k+1 = e k f(x k) f (x k ). Aplicndo série de Tylor e efetundo lguns cálculos elementres obtemos e k+1 e 2 k = 1 f (α k ) 2 f (x k ) pr lgum α k [x, x k ]. Assim, e k+1 lim k e 2 k = 1 2 lim f (α k ) k f (x k ) = 1 2 ( f lim ( f lim k α k k x k ) ) = 1 2 f (ξ) f (ξ) = 1 2 T (ξ) = C Interpretção geométric do método de Newton Nest seção fremos interpretção geométric do método de Newton. Pr isto, considere o processo itertivo x k+1 = T (x k ) = x k f(x k) f (x k ).

46 3.2 Cso multidimensionl 38 Observe que pode ser escrito n form x k+1 x k = f(x k) f (x k ) f (x k )(x k+1 x k ) = f(x k ) f(x k ) + f (x k )(x k+1 x k ) = 0. Fzendo x k+1 = x e L k (x) = f(x k ) + f (x k )(x x k ) temos que L k (x) é proximção liner (ret tngente) d função f(x) num vizinhnç de x k. Portnto, o ponto x k+1 tl que L k (x k+1 ) = 0 é iterção do método de Newton, como mostr seguinte figur: Figur 3.3: 3.2 Cso multidimensionl Nest seção trtremos o problem de encontrr riz d equção f(x) = 0 (3.6) pr f : R n R n. Em termos ds funções coordends f( x) = (f 1 ( x), f 2 ( x),..., f n ( x)) equção (3.6) torn-se o seguinte sistem de equções:

47 3.2 Cso multidimensionl 39 f 1 (x 1,..., x n ) = 0 f 2 (x 1,..., x n ) = 0. =. f n (x 1,..., x n ) = 0 (3.7) No cso unidimensionl, geometricmente o processo itertivo do método de Newton signific proximr f(x) pel ret tngente L k (x) num vizinhnç de de x k, ou sej, f(x) L k (x). Usremos est idei pr generlizr o método pr o cso multidimensionl. Sejm f é de clsse C 1 (U) e ξ solução d equção f(x) = 0 então pr x num vizinhnç de ξ tem-se 0 = f(ξ) = f(x) + Df(x)(ξ x). Isto sugere o seguinte processo itertivo: Df(x k ) x k+1 = Df(x k ) x k f(x k ) ou n form lterntiv x k+1 = x k [Df(x k )] 1 f(x k ) (3.8) com Df(x k ) = f 1 x 1 f 1 x f n x f n... x 2 f 1 x n. f n x n x=x k Do ponto de vist computcionl, é conveniente escrever (3.8) como x k+1 = x k + δx k (3.9) sendo δx k solução do sistem liner Df(x k )δx k = f(x k ). (3.10) Portnto, o método de Newton é um processo itertivo que cd iterção resolve um sistem liner. Além disso, observe que cd iterção devemos grntir de mtriz jcobin Df(x k ) é inversível.