INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO

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1 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO Prof. Ktrin Gelfert Nots de curso IM-UFRJ Conteúdo 1. Prelude Integrção vs. diferencição Limites de funções contínus Séries de Fourier Funções Cuchy-integráveis Funções Riemnn-integráveis 4 2. Integrl de Riemnn Proprieddes básics d integrl Funções escd e integrl reguld Teorem fundmentl de Cálculo Definição d integrl de Riemnn Conjunto nulo Conjunto(s) de Cntor Integrl de Drboux Integrbilidde de Riemnn Exemplo de Volterr Definição d medid de Lebesgue Proprieddes básics desejds σ-álgebrs Medid de Lebesgue Integrl de Lebesgue em R Funções simples Funções de vlor estendid A integrl de Lebesgue de funções limitds O teorem de convergênci limitd A integrl de Lebesgue de funções não-limitds Integrl de funções não-negtivs Convergênci domind e monóton Integrl de funções geris Proprieddes d integrl de Lebesgue TFC-P TFC-E O espço L 2 como espço de Hilbert Definição do espço L Convergênci em L 2 [, b] Espço(s) de Hilbert Séries de Fourier Séries de Fourier no L 2 [ π, π] Séries de Fourier no espço L 2 C [ π, π] Usndo séries de Fourier pr mostrr ergodicidde Os spços L p Convergêncis A construção d medid de Lebesgue Medid exterior Conjuntos Lebesgue-mensuráveis Conjuntos não-mensuráveis O teorem de Bnch-Trski A integrl e medid de Lebesgue em R n Pre-medid A medid de Lebesgue em R n O teorem de Fubini 52 Referêncis Prelude 1.1. Integrção vs. diferencição.. Teorem 1.1 (Cuchy 1823). Se f : [, b] R é contínu, função F : [, b] R definid por F (x) := x f(y) dy é diferenciável, tem-se F = f. Em outrs plvrs (TFC-P(rimitiv)) f(x) = d dx x f(y) dy. Este resultdo se refere existênci de (um) primitiv pr cd função contínu. Teorem 1.2 (Cuchy 1823). Se F : [, b] R é um função diferenciável com derivd contínu, então tem-se (TFC-E(vluço)) F (b) F () = F (x) dx Este resultdo se refere interpretção d integrl como áre bixo d curv. A integrl considerdo no Teorem Fundmentl de Cálculo de Cuchy é integrl de Cuchy ( integrl de Riemnn, neste cso qundo f é contínu). Perguntmos se cso pens: f é integrável, vle (TFC-P)? F é diferenciável, vle (TFC-E)? Riemnn deu um exemplo de um função que é integrável e em nenhum lugr contínu e que d um contr-exemplo à prte (TFC-P) (ver [2, Exercise 3.4.3]).

2 2 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO Esperndo que continuidde (de F ) não fosse necessário em (TFC-E), Volterr [8] encontrou um função diferenciável cuj derivd é limitd ms não integrável (no sentido de Riemnn) e portnto não vlendo (TFC-E). (A função é descontínu num conjunto de medid positiv e portnto não é Riemnn-integrável, ver [2, Section 3.12].) Interessnte seguinte cronologi de pessos (ver tmbém [7]): Augustin-Louis Cuchy ( ) Krl Theodor Wilhelm Weierstrss ( ) Georg Friedrich Bernhrd Riemnn ( ), luno de Guss Vito Volterr ( ) Jen Gston Drboux ( ) Henri Léon Lebesgue ( ) Jordn Cntor Peno Ftou e d mtemátic: 1872 construção de função em nenhum lugr diferenciável por Weierstrss 1881 introdução de função of vrição limitd por Jordn, estudo de retifibilidde 1883 construção do conjunto Cntor ternário 1890 construção de curvs que preenchem o plno por Peno 1902 teori de medid e integrção por Lebesgue 1905 construção de conjuntos não-mensuráveis por Vitli 1906 plicção d teori de Lebesgue no contexto complexo por Ftou 1.2. Limites de funções contínus.. Teorem 1.3. Se um sequênci f n : [, b] R de funções contínus converge uniformemente pr um função f : [, b] R, então f é (contínu e portnto) integrável e tem-se f(x) dx = lim f n (x) dx. Novmente, integrl no teorem é integrl de Cuchy ( integrl de Riemnn). Podemos perguntr se firmção do Teorem 1.3 ind vle se sequênci (f n ) n de funções (contínus ou pens integráveis) converge pens pontulmente: f(x) := lim f n(x) e, convergênci sendo não uniforme, portnto f tlvez não mis é contínu ms pens integrável? x Apresentremos um exemplo de funções f n : [0, 1] [0, 1] contínus tis que 0 f n (x) 1 pr todo x [0, 1], f n f n+1, função limite f definid por f(x) := lim f n (x) não é contínu e não é (Riemnn- )integrável. Perguntmos: se convergênci não é uniforme, o limite é contínu, ms não vle igulidde ds integris (do seu limite)? se convergênci não é uniforme, o limite não é contínu ms integrável, ms não vle igulidde ds integris (do seu limite)? 1.3. Séries de Fourier. A pergunt d convergênci de funções integráveis torn-se importnte qundo estudndo séries de Fourier. De fto isso foi um dos tems importntes n époc de Cuchy Riemnn-Drboux etc. Séries de Fourier são séries trigonométrics (ou complextrigonométrics) convergentes cuj som represent (certs) funções. Ver [9, Section 7.6]. Sej f : [ π, π] R função limitd Riemnn-integrável. Podemos definir n (f) := 1 π π R f(x) cos(nx) dx π b n (f) := 1 π π R f(x) sen(nx) dx. π e considerr som prcil (1.1) S N (f)(x) = N ( ) n (f) cos(nx) + b n (f) sen(nx) n=1 e série trigonométric ( ) n (f) cos(nx) + b n (f) sen(nx) n=1 Pergunts nturis são qundo tl série é convergente e qul é o seu limite. Vmos supor gor tmbém que f é contínu por prtes e monóton por prtes e que os limites lteris f(x ) e f(x+) existem e são finits em todo x. Pelo Lem de Riemnn-Lebesgue, então os seguintes limites lim n(f), lim b n(f) existem e são igul 0. Pelo Teorem de Dirichlet, supondo que o limite de (1.1) qundo N existe e é finito, lim S N (f)(x) <, N

3 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO 3 então S (f)(x) := lim S N(f)(x) = 1 (f(x+) + f(x )). N 2 Chmmos S (f)(x) série de Fourier de f em x. Em prticulr, se f é contínu, então, sob s hipoteses mencionds cim, tem-se S (f)(x) = f(x) sempre qundo série trigonomêtric é convergente. Observmos que há tmbém exemplos (de du Bois- Reymond) de um função f contínu cuj série trigonomêtric é divergente em um ponto. Pr cd f limitd e Riemnn integrável podemos ssocir s sequêncis (c n ) n Z onde c n = n (f) pr n 0 e c n = b n (f) pr cd n 1 e ssim (c n ) n l 2 (Z) := { (... c 1 c 0 c 1...): n= c n 2}. Por outro ldo, pr cd (c n ) n l 2 (Z) podemos ssocir um série trigonométric S N como em (1.1) que é convergente (num certo sentido) pr um função f qundo N. Porém, há exemplos de sequênci (c n ) n l 2 (Z) tl que tl função f é contínu em [ π, 0) (0, π] ms que f não é som de um série de Fourier de um função Riemnn-integrável. Perguntmos: Quis funções precem como funções limites de sequêncis de funções limitds Riemnnintegráveis reltivmente est norm? Como integrr-ls? 1.4. Funções Cuchy-integráveis.. Ddo um prtição P de [, b] (em intervlos) chmmos = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b dim P := mx,...,n x k x k 1 o seu diâmetro e considermos som f x := f(x k 1 )(x k x k 1 ). P Dizemos que f : [, b] R é Cuchy-integrável se existe um número I tl que pr todo ɛ > 0 existe δ > 0 tl que pr qulquer prtição P com dim P < δ tem-se P f x I < ɛ, e neste cso chmmos I integrl de Cuchy de f e denotmos C f(x) dx := I. Teorem 1.4 (Cuchy, 1823). Se f : [, b] R é contínu, então é Cuchy-integrável. Teorem 1.5. Se f : [, b] R é contínu, então vlem (TFC-P) e (TFC-E) pr integrl de Cuchy. Exemplo (função de Dirichlet, não é Cuchy-integrável). A função f : [0, 1] R { 0 se x [0, 1] \ Q f(x) := 1 se x [0, 1] Q. não é Cuchy-integrável: Tomndo um prtição P com x k Q [0, 1] e um prtição P com x k [0, 1] \ Q (mbs podem ser escolhids com diâmetro rbitrrimente pequens) tem-se f x = 1 > 0 = f x. P P Observmos que Q é enumerável e função de Dirichlet quse sempre"igul 0 (vmos dr um definição e justifictiv mis trde). Portnto (TFC-P) poderi ind fzer sentido. Exemplo (função de Dirichlet modificd, não é Cuchy- -integrável). A função f : [0, 1] R { 0 se x [0, 1] \ Q f(x) := 1 q se x = p. q [0, 1] Q, p, q primos é contínu em todo x ircionl é descontínu em Q. El não é Cuchy-integrável: Tomndo N 1 e um prtição P N com x k = k N Q [0, 1] e um prtição P com [0, 1] \ Q tem-se x k P f x = 0 < 1 1/N 1 x dx 1 N < f x. P N Argumentos similres plicm qui tmbém.

4 4 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO 1.5. Funções Riemnn-integráveis.. Exemplo (função de Dirichlet, não é Riemnn-integrável). A função f : [0, 1] R f(x) := { 0 se x [0, 1] \ Q 1 se x [0, 1] Q. não é Riemnn-integrável. Ddo um prtição P de [, b] = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b (em intervlos) e pontos A = {c k }, c k [x k 1, x k ], k = 1,..., n, e considermos som f x := f(c k )(x k x k 1 ). P,A Dizemos que f : [, b] R é Riemnn-integrável se existe um número I tl que pr todo ɛ > 0 existe δ tl que pr qulquer prtição P com dim P < δ pr qulquer escolh de A tem-se P,A f x I < ɛ, e neste cso chmmos I Riemnn-integrl de f e escrevemos R f(x) dx := I. Teorem Cuchy-integrável Riemnn-integrável. Demonstrção. Óbvio pel própri definição. Teorem 1.7 (Lebesgue). Sej f : [, b] R um função limitd,. Então el é Riemnn-integrável se e somente se el é quse-sempre continu. Demonstrção. Fremos n próxim seção. Vmos definir quse-sempre"mis trde. A função de Dirichlet modificd torn se integrável no sentido de Riemnn que seguirá do teorem cim. Exemplo (função de Dirichlet modificd, é Riemnn-integrável). A função f : [0, 1] R { 0 se x [0, 1] \ Q f(x) := 1 q se x = p. q [0, 1] Q, p, q primos é Riemnn-integrável. 2. Integrl de Riemnn 2.1. Proprieddes básics d integrl. Considermos um espço vetoril de funções reis I R um intervlo fechdo. V := {f : I R} Se f, g V então f + g V Se f V e c R então cf V 0 V Os seguintes proprieddes fundmentis são desejds pr um integrl num espço vetoril de funções f : I R, I R um intervlo fechdo: I (Lineridde) Pr f 1, f 2 V e, b I, c 1, c 2 R tem-se e tmbém c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) dx = c 1 f 1 (x) dx + c 2 f 2 (x) dx. II (Monotonicidde) Se f, g V tis que f(x) g(x) pr todo x I e b então f(x) dx g(x) dx. Em prticulr, se f 0 e b então f(x) dx 0.

5 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO 5 III (Aditividde) Pr f V e, b, c I tem-se c f(x) dx = Em prticulr, f(x) dx = 0 e f(x) dx + c b f(x) dx = f(x) dx. b f(x) dx. IV (Função constnte) Pr f(x) c tem-se f(x) dx = c(b ). V (Conjuntos finitos) Se f(x) = g(x) pr todo x slvo num conjunto finito, então pr qulquer, b I tem-se f(x) dx = g(x) dx. Sem necessidde de entrr em definições mis complicds, pr qulquer função integrl"stisfzendo s proprieddes I e II cim, podemos já mostrr seguinte resultdo. Proposição 2.1 (Vlor bsoluto). Supomos que V é um espço vetoril de funções em I R, [, b] I um intervlo fechdo, e f(x) dx um função integrl stisfzendo I e II. Então pr qulquer f V tl que f V tem-se f(x) dx f(x) dx. Demonstrção. Como pr qulquer x tem-se f(x) f(x) segue (usndo I) f(x) dx Análogo, como f(x) f(x) segue f(x) dx = f(x) dx. f(x) dx f(x) dx. Porém f(x) dx ou é igul f(x) dx ou é igul f(x) dx. Em mbos csos f(x) dx er mior. Portnto segue f(x) dx que termin demonstrção. f(x) dx Remrk 2.2. Se f é contínu, então f tmbém o é. Portnto f Cuchy-integrável implic f Cuchy-integrável. O converso não é verddeiro: se f é um versão d função de Dirichtlet { 1 se x [0, 1] \ Q f(x) := 1 se x [0, 1] Q, então f 1 é Cuchy-integrável, ms f não o é Funções escd e integrl reguld. Um função f : [, b] R é um função escd se existem números x 0 = < x 1 <... < x n 1 < x n = b tl que f (xk 1,x k ) é constnte, k = 1,..., n. Se f : [, b] R é função escd com prtição x 0 = < x 1 <... < x n 1 < x n = b e tl que f(x) = c k pr todo x (x k 1, x k ), k = 1,..., n, então definimos su integrl f(x) dx := c k (x k x k 1 ). Proposição 2.3. A integrl definido cim é únic função rel definido no espço vetoril de funções escd que stisfz s proprieddes I V. Demonstrção. Sej um função integrl qulquer fzendo o desejdo. Sej f função escd com prtição = x 0 < x 1 <... < x n = b e vlores f(x) = c k pr x (x k 1, x k ). Pel ditividde (propriedde I) e propriedde IV tem-se f(x) dx = xk x k 1 f(x) dx = c k (x k x k 1 ). Ms est últim expressão não depende mis d integrl ms pens ds quntificdores d função escd. Lembrmos que um sequênci de funções f n : [, b] R converge pontulmente em [, b] pr um função f se pr todo x [, b] e todo ɛ > 0 existe M = M(ɛ, x) 1 tl que f(x) f n (x) < ɛ se n M. Lembrmos que um sequênci de funções f n : [, b] R converge uniformemente em [, b] pr um função f se pr todo ɛ > 0 existe M = M(ɛ) 1 tl que pr todo x [, b] tem-se f(x) f n (x) < ɛ se n M. Chmmos um função f : [, b] R reguld se existe um sequênci f n : [, b] R de funções escd que convergem uniformemente pr f.

6 6 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO Proposição 2.4. Sejm (f n ) n e (g n ) n dus sequêncis de funções escds em [, b] que mbs convergem uniformemente pr um função reguld f. Então s limites lim f n (x) dx e lim mbs existem e coincidem. g n (x) dx Demonstrção. Sej z n := f n(x) dx. Pr mostrr que o limite lim z n existe, mostrremos que (z n ) n é um sequênci de Cuchy. Sej ɛ > 0. Como pel hipótese (f n ) n convergem uniformemente pr f, existe n 0 1 tl que pr todo x tem-se f n (x) f(x) < ɛ 2(b ) sempre qundo n n 0. Portnto, pr qulquer n, m n 0 segue z n z m = f n (x) dx f m (x) dx Como segue f n (x) f m (x) dx f n (x) f m (x) ɛ f n (x) f(x) + f(x) f m (x) < 2 2(b ) z n z m < ɛ. Portnto (z n ) n é sequênci de Cuchy e portnto o seu limite existe. Pr mostrr que o limite não depende d sequênci de funções escd escolhid, considere (g n ) n um outr que tmbém converge uniformemente pr f. Portnto, ddo ɛ > 0 existe n 0 1 tl que pr todo x e todo n n 0 tem-se Segue então f n (x) f(x) < ɛ, g n (x) f(x) < ɛ. f n (x) g n (x) f n (x) f(x) + f(x) g n (x) < 2ɛ. Usndo Proposição 2.1 do vlor bsoluto e propriedde II, segue f n (x) dx g n (x) dx f n (x) g n (x) dx 2ɛ dx = 2ɛ(b ). Como ɛ > 0 foi rbitrrimente pequeno, podemos concluir lim f n (x) dx g n (x) dx = (f n (x) g n (x)) dx que implic lim = 0 f n (x) dx = lim g n (x) dx. Assim foi mostrdo que os limites coincidem. Com est proposição, seguinte definição está bem feit. Pr qulquer função reguld f em [, b] definimos f(x) dx := lim f n (x) dx, e chmmos el integrl reguld, onde (f n ) n é qulquer sequênci de funções escd convergindo uniformemente pr f. Proposição 2.5. Qulquer função contínu é um função reguld. Demonstrção. Um função contínu definid num intervlo fechdo e limitdo é uniformemente contínu, i.e. pr todo ɛ > 0 existe δ > 0 tl que f(x) f(y) < ɛ sempre se x y < δ. Ddo ε n = 2 n sej δ n o número correspondente. Fix n e escolh um prtição x 0 = < x 1 <... < x m = b tl que x k x k 1 < δ n. Define um função escd f n por f n (x) := f(x k ) se x [x k 1, x k ) e por f n (b) := f(b). Cso x = b tem-se f n (x) = f(x). Pr x [, b] existe k tl que x [x k 1, x k ) e portnto Portnto f n (x) f(x) = f n (x k 1 ) f(x) < ɛ n. sup f(x) f n (x) < ɛ n x [,b] e sequênci de funções escd (f n ) n converge uniformemente pr f e portnto f é um função reguld Teorem fundmentl de Cálculo. Vmos gor nuncir o seguinte teorem fundmentl. Com s ferrments obtids podemos já dr um demonstrção no cso de integrl reguld, integrndo qulquer função contínu (que, pel Proposição 2.5, pode ser integrd dest form). Portnto, no seguinte nuncido integrl é um integrl reguld.

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8 8 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO. Teorem 2.6 (Cuchy 1823). Se f : [, b] R é contínu, função F : [, b] R definid por F (x) := x é diferenciável, tem-se F = f. f(y) dy Demonstrção. Lembrmos que F sendo diferenciável em x 0 signific que o limite F (x 0 + h) F (x 0 ) lim =: F (x 0 ) h 0 h existe. Então bst mostrr que pr qulquer x 0 f(x 0 ) = lim h 0 F (x 0 + h) F (x 0 ) h ou, equivlentemente, que 0 = lim F (x 0 + h) F (x 0 ) h 0 f(x 0 ) h. Observmos, usndo definição de F, F (x 0 + h) F (x 0 ) f(x 0 ) h x0+h x = 0 f(y) dy f(x 0 ) h (2.1) x0+h x = 0 f(y) dy f(x 0 )h h = x 0+h x 0 (f(y) f(x 0 )) dy. h Proposição 2.1 sobre o vlor bsoluto, cso h > 0, implic x0+h x0+h (f(y) f(x 0 )) dy f(y) f(x 0 ) dy x 0 e, cso h < 0, x0+h x 0 x0 = x 0+h x0 = x 0 (f(y) f(x 0 )) dy (f(y) f(x 0 )) dy x 0+h x0+h x 0 f(y) f(x 0 ) dy Em mbos csos, tem-se x0+h (f(y) f(x 0 )) dy x 0 f(y) f(x 0 ) dy. x0+h x 0 f(y) f(x 0 ) dy. Portnto, (2.2) implic F (x 0 + h) F (x 0 ) f(x 0 ) h x 0+h x 0 f(y) f(x 0 ) dy. h Como f é contínu em x 0, pr todo ɛ > 0 existe δ > 0 tl que cso y x 0 < δ segue f(y) f(x 0 ) < ɛ. Portnto, se h < δ então f(y) f(x 0 ) < ɛ pr qulquer y entre x 0 e x 0 + h. Portnto x0+h f(y) f(x 0 ) dy < ɛ h x 0 que por su vez implic F (x 0 + h) F (x 0 ) f(x 0 ) h < ɛ h = ɛ. h Como ɛ foi rbitrário, isto implic existênci do limite e que é = f(x 0 ). Exercício 2.7. Mostre que se f é função reguld então função F definid por F (x) := x f(y) dy é contínu. Chmmos F um primitiv de f se F é diferenciável e F = f. Teorem 2.8 (Cuchy 1823). Se F : [, b] R é um função diferenciável com derivd contínu, então tem-se F (b) F () = F (x) dx Demonstrção. Como F é diferenciável e su derivd F é contínu, pelo Teorem 2.6 F (b) = F (x) dx, F () = e portnto segue o resultdo. F (x) dx = Definição d integrl de Riemnn. Definimos gor um integrl, integrl de Riemnn, que será cpz de integrr não pens funções regulds f. Ms ind espermos que no cso que f é um função reguld integrl definid vi sim coincidir com integrl reguld. Portnto, podemos dizer que el estende integrl reguld pr um espço vetoril de funções mjor. Supomos que V é um espço vetoril de certs funções f : [, b] R que stisfz s proprieddes I V e que contém tods s funções regulds ( su crcterizção como espço de funções Riemnn-integráveis"será feito no finl dest seção, ver Teorem 2.25). Vmos primeiro supor que V pens contém funções limitds. Se f é limitd, existe então M > 0 tl que f(x) M pr todo x. Portnto, existe sempre um função escd u (e.g. x M) tl que f(x) u(x).

9 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO 9 Denotmos por U(f) fmíli de tods s funções escd com est propriedde. Propriedde II implic portnto pr u U(f) f(x) dx u(x) dx. Definimos então { } b I (f) := inf u(x) dx: u U(f). O infimum existe (é finito) pel hipótese que f é limitd (por cim e por bixo). D form nálog considermos fmili L(f) de tods s funções escd v com propriedde que v(x) f(x) pr todo x e definimos { } b I (f) := sup v(x) dx: v L(f). O supremo existe pelo rgumento nálogo. Portnto, se V é um espço vetoril de funções limitds que contém s funções regulds e se foi definid (de um cert form) um integrl que tem propriedde de monotonicidde II, qulquer f V stisfz I (f) f(x) dx I (f) Ms sem ind definir integrl obtemos o seguinte. Proposição 2.9. Pr f um função limitd sempre tem-se I (f) I (f). Definição. Sej f : [, b] R um função limitd. Dizemos que f é Riemnn-integrável se I (f) = I (f). e neste cso chmmos este vlor su integrl de Riemnn e denotmos por R f(x) dx := I (f) = I (f). Teorem Um função f : [, b] R é Riemnn-integrável se e somente se pr todo ɛ > 0 existem funções escd v 0 e u 0 tis que v 0 (x) f(x) u 0 (x) pr todo x [, b] e u 0 (x) dx v 0 (x) dx ɛ. Demonstrção. Ddo ɛ, sejm v 0, u 0 funções escd stisfzendo v 0 (x) f(x) u 0 (x) e u 0 (x) dx Portnto, usndo tmbém v 0 (x) dx ɛ. v 0 (x) dx { } sup u(x) dx: u L(f) { } b inf u(x) dx: u U(f) u 0 (x) dx. Portnto segue { } inf u(x) dx: u U(f) { } b sup u(x) dx: u L(f) ɛ e como ɛ foi rbitrrimente pequen, segue Riemnnintegrbilidde de f. Supondo que f é Riemnn-integrável, pel definição do infimum, segue que existe u 0 U(f) tl que ɛ 2 > = { } b u 0 (x) dx inf u(x) dx: u U(f) u 0 (x) dx f(x) dx. D form nálog, existe u 0 L(f) tl que Portnto, ɛ 2 > u 0 (x) dx f(x) dx u 0 (x) dx. v 0 (x) dx < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Exercício Pr f função de Dirichlet (que é limitd entre 0 e 1), mostre que I (f) = 0 < 1 = I (f) e portnto est função não é Riemnn-integrável. Vmos estbelecer que qulquer função reguld é Riemnn-integrável (e su integrl reguld coincide com integrl de Riemnn). Porém, existem funções que não são regulds e tl que su integrl reguld não existe (não fz sentido de definir-l) ms que são Riemnn-integráveis. Se mbs integris existem, els coincidem).

10 10 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO Exemplo. Considermos função f : [0, 1] R { 1 se x = 1 f(x) := n, n N 0 cso contrário Observmos que f é descontínu em todo x n = 1 n e que lim x n = 0 e que f(0) = 0. Se pode ver que o conjunto ds descontinuiddes é enumerável, pelo Teorem 2.25, f é Riemnn-integrável. Vmos porém verificr Riemnnintegrbilidde diretmente. Ddo n 1, considere função escd { 1 se x [0, 1 u n (x) := n ] f(x) cso contrário e um prtição pr el dd por x 0 = 0 < x 1 = 1 n < x 2 = 1 n 1 <... < x n 1 = 1 2 < x n = 1. Observmos u n (x) f(x). Fácil ver 1 0 u n(x) dx = 1/n. Portnto I (f) = inf 1 u U(f) 0 1 inf n N 0 u(x) dx u n (x) dx = n N 1 n = 0 Como v(x) 0 é um função escd em L(f) e como el tem integrl reguld 0 segue pel Proposição I (f) I (f) = 0 Porém, f não é reguld. Por contrdição, supondo que pr todo 0 < ɛ < 1 3 existe um função escd u: [0, 1] R tl que f(x) u(x) < ε. Como u é função escd, existem números x 0 = 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = 1 tl que u (xk 1,x k ) = c k pr certs constntes c k, k = 1,..., n. Portnto, se n N é tl que 1 n [0, x 1], segue c 1 f(0) + ɛ = 0 + ɛ = ɛ, c 1 f( 1 n ) ɛ = 1 ɛ, contrdição. Proposição Tod função reguld é Riemnnintegrável e su integrl reguld coincide com integrl de Riemnn. Demonstrção. Sej f : I = [, b] R um função reguld. Pel própri definição de função reguld, existe um sequênci de funções escd f n que converge uniformemente pr f. Sej então ɛ n := 2 n e função escd g n tl que sup x f g n < ɛ n. Considermos f(x) dx := lim g(x) dx. Considermos u n (x) := g n (x) n v n (x) := g n (x) 1 2 n e observmos que pr todo x pois tem-se e Como v n (x) f(x) u n (x) u n (x) f(x) = 1 2 n + g n(x) f(x) 0 f(x) v n (x) = 1 2 n + f(x) g n(x) 0. u n (x) v n (x) = g n (x) + 1 ( 2 n g n (x) 1 ) 2 n segue u n (x) dx v n (x) dx = = = 1 2 n 1 u n (x) v n (x) dx 1 2 = b 2 n 1 e portnto f é Riemnn-integrável. Como e lim lim e como v n (x) dx podemos concluir que g n (x) dx = lim = lim g n (x) dx = lim lim = lim f(x) dx g n (x) dx = n 1 dx v n (x) n dx v n (x) dx u n (x) n dx u n (x) dx f(x) dx u n (x) dx integrl reguld é igul integrl de Riemnn. Proposição O conjunto R de tods funções Riemnn-integráveis f : [, b] R é um espço vetoril que contém o espço vetoril de tods s funções regulds.

11 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO 11 Demonstrção. Pel proposição nterior, precismos pens mostrr que f, g Riemnn-integrável e c R implicm que f + g e cf o são. Mostrmos pens o primeiro e deixmos o outro como exercício. Sejm f, g : [, b] R Riemnn-integráveis. Sej ɛ > 0. Pel hipótese d Riemnn-integrbilidde de f e g, existem funções regulds u f U(f), v f L(f), Definição. Um conjunto A R é um conjunto nulo se pr todo ɛ > 0 existe um fmíli {I k = ( k, b k )} k enumerável de intervlos bertos tis que A ( k, b k ), I k = b k k < ɛ. k k k v f (x) f(x) u f (x) pr qulquer x [, b] e u f (x) dx v f (x) dx < ɛ, nálogo pr g pr funções v g, u g. Portnto (u f (x) + u g (x)) dx (v f (x) + v g (x)) dx < 2ɛ. Como óbvimente (v f + v g ) U(f + g) e (u f + u g ) L(f + g), segue inf u U(f+g) u(x) dx Como ɛ foi rbitrário, segue inf u U(f+g) u(x) dx = sup v L(f+g) sup v L(f+g) e portnto f + g é Riemnn-integrável Conjunto nulo Conjuntos enumeráveis.. v(x) dx < 2ɛ. v(x) dx Proposição Todo conjunto enumerável é um conjunto nulo. Demonstrção. Sej {r n } um enumerção do conjunto A considerdo. Sej Observmos que I k := (r k ɛ 2 k+1, r k + ɛ 2 k+1 ). A = {r k } (r k ɛ 2 k+1, r k + ɛ 2 k k Observmos tmbém que I k = 2 ɛ 2 k+1 = ɛ k+1 ). 1 2 k = ɛ. Corolário Q é um conjunto nulo. Proposição Q é enumerável. Demonstrção. (ver [9, Section 2]) Fzer enumerção dos números rcionis em [0, 1]. Mostrr que qulquer união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável. Concluir. Proposição R não é enumerável. Demonstrção. rgumento digonl de Cntor (ver [9, Section 2]) Conjuntos nulos. Um conjunto é um conjunto nulo se pode ser coberto por um fmíli de intervlos bertos tis que som dos seus comprimentos, o comprimento totl", é rbitrrimente pequen. Proposição Um união enumerável de conjuntos k 1 A k é conjunto nulo se e somente se A k é conjunto nulo pr cd k 1. Demonstrção. Segue imeditmente de A A k e que portnto cd cobertur de A cobre tmbém A k. Sejm N 1, N 2,... um fmíli enumerável de conjuntos nulos. Ddo ɛ > 0, como N k, k {1, 2,...}, é conjunto nulo, existe um fmíli de intervlos {I k j } j cuj união cobre N k e que tem comprimento totl ɛ2 k. Arrumndo estes conjuntos k = 1 I 1 1 I 1 2 I k = 2 I 2 1 I 2 2 I como no rgumento digonl de Cntor I 1 1, I 1 2, I 2 1, I 1 3, I 2 2, I 3 1,....

12 12 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO obtemos um cobertur enumerável por intervlos cuj comprimento totl é e segue firmção. ɛ( ) = ɛ Conjunto(s) de Cntor Conjunto de Cntor ternário. Considermos [0, 1], os intervlos C 0 = [0, 1 3 ] e C 2 = [ 2 3, 1], os intervlos C 00 = [0, 1 9 ], C 02 = [ 2 9, 1 3 ], C 20 = [ 2 3, 7 9 ] e C 22 = [ 8 9, 1], etc. obtemos um fmíli encixd de conjuntos D n fechdos e limitdos: D n := i 1...i n C i1...i n sendo que cd n é um união finit de intervlos fechdos e limitdos e que D n D n+1 pr todo n 1, onde tommos união sobre tods s seqêncis finits i 1... i n com elementos i k {0, 2}, k = 1,..., n. Definimos C := n 1 D n Chmmos C O Conjunto de Cntor (ternário). Observmos n 1, os conjuntos C i1...i n são 2-2 disjuntos dim C i1...i n = 1 3 n n 1, k n + 1 tem-se C i1...i n C i1...i k Seguindo o conceito de expnsão deciml de um número rel x = k 10 k +... podemos considerr expnsão ternári x = b b b k 3 k +... =: k... de qulquer x R. Obtemos C = {x [0, 1]: x = k... onde k {0, 2}}. Proposição C é conjunto nulo nãoenumerável. Demonstrção. Pr mostrr que é conjunto nulo, ddo ε > 0 escolher n 1 tl que (2/3) n < ɛ e cobrir D n (e portnto C) por 2 n intervlos de comprimento 3 n cd. Portnto, 2 n 3 n < ɛ. Pr ver que é não enumerável, usr rgumento digonl de Cntor com expnsão ternári de cd elemento x C Conjunto de Cntor gordo. Pr construir contrexemplos, o seguinte é muito útil. Sej C 0 C 2 = [0, 3 8 ] [5 8, 1] C C 22 = [0, 5 32 ]... [27 32, 1] etc. e construindo C d form nálog. Chmmos C um conjunto de Cntor gordo. Verificndo que [0, 1] \ C 0 C 2 = 1 3, e [0, 1] \ Cξ1...ξ 2 = = ξ 1...ξ 2 Portnto [0, 1] \ C é sempre coberto com um fmíli de intervlos com comprimento totl 1/2 e seu complemento C é tmbém coberto com um fmíli de intervlos com comprimento totl 1/2. Dest form, seguem os seguintes ftos. Proposição C é conjunto não-nulo nãoenumerável. Comentário O conjunto C é de fto homeomorf C, i.e. existe um trnsformção T : C C que é bijetor continu com invers contínu. Assim, observmos que ser conjunto nulo"não é um propriedde topológic Integrl de Drboux.. Definição. Ddo um prtição P = {x 0,..., x n } de [, b], os números M k := sup f(x), m k := inf f(x), x [x k 1,x k ] x [x k 1,x k ] e s soms U D (f, P ) := M k (x k x k 1 ) e definimos L D (f, P ) := m k (x k x k 1 ), I,D (f) := inf U D(f, P ), I,D (f) := sup U D (f, P ). P Dizemos que f é Drboux-integrável se I,D (f) = I,D (f) e neste cso chmmos este vlor su integrl de Drboux e denotmos por D f(x) dx := I,D (f) = I,D (f). P

13 D form nálog com Teorem 2.10 temos o seguinte critério. INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO 13

14 14 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO Teorem Um função f : [, b] R limitd é Drboux-integrável se e somente se pr todo ɛ > 0 existe um prtição P de [, b] tl que U D (f, P ) L D (f, P ) ɛ. Rscunho d Demonstrção. Bst observr que sempre L D (f, P ) U D (f, P ) e que pr refinção P = P P de dus prtições P e P tem-se L D (f, P ) L D (f, P ) U D (f, P ) U D (f, P ). Se f é Drboux-integrável, então existe um prtição P tl que L D (f, P ) e U D (f, P ) são próximos. Se existe um prtição P tl que L D (f, P ) e U D (f, P ) são próximos, então pr qulquer outr prtição P e refinção P = P P, e portnto I,D (tomndo ínfimo) e I,D (tomndo supremo) são próximos. Teorem Um função f : [, b] R é Riemnn-integrável se e somente se el é Drbouxintegrável e neste cso tem-se D f(x) dx = R f(x) dx Integrbilidde de Riemnn.. Comentário Porque integrbilidde (no sentido de Riemnn) feito n Seção 2.4 não fz sentido pr funções não-limitds? O seguinte resultdo é o teorem fundmentl d integrbilidde de Riemnn. Teorem Um função f : [, b] R é Riemnn-integrável se, e somente se, el é limitd e o conjunto ds descontinuiddes de f é conjunto nulo. Mostrmos este teorem, considerndo o conjunto dos pontos com grnde oscilção de f. A oscilção de f em x é osc f (x) := lim sup y x f(y) lim inf f(z) z x = lim ɛ 0 dim f([x ɛ, x + ɛ]). Lem f é contínu em x se e somente se osc f (x) = 0 se e somente se x D ε pr lgum ε > 0. Sej D := {x [, b]: f não é contínu em x} o conjunto ds descontinuiddes de f. Sej D κ := {x [, b]: osc f (x) κ} o conjunto de (pelo menos) κ-oscilção de f. Lem Tem-se D = n 1 D 1/n. D é conjunto nulo se e somente se D 1/n é conjunto nulo pr todo n 1. Lem Pr f limitd, pr κ > 0 o conjunto D κ é limitdo e fechdo. Demonstrção. Mostrmos que o complemento é berto. Sej x / D κ e portnto lim sup y x Sej ɛ (0, κ) tl que Sejm lim sup y x M x := lim sup f(y), y x f(y) lim inf f(z) < κ. z x f(y) lim inf f(z) κ ɛ. z x m x := lim inf f(z). z x Existe δ > 0 tl que y x < δ implicm f(y) < M x + ɛ 2, f(y) > m x ɛ 2. Portnto, pr cd y x < δ segue e portnto M y < M x + ɛ 2, m y > m x ɛ 2 M y m y < (M x m x ) + ɛ (κ ɛ) + ɛ = κ. Segue y D κ pr cd y x < δ. Portnto Dκ c é berto e D κ fechdo. Demonstrção do Teorem Sej f Riemnnintegrável. Portnto f é limitd. Portnto f : [, b] [ M, M] pr lgum M > 0. Observmos que osc f (x) sup f(x) y [,b] é limitd. inf z [,b] f(z) 2M < Afirmção. Pr todo n 1, D 1/n é conjunto nulo. Demonstrção. Pelo Teorem 2.10, pel integrbilidde, pr qulquer ɛ > 0 existem funções escd v 0 e u 0 tis que v 0 (x) f(x) u 0 (x) pr todo x [, b] e u 0 (x) dx v 0 (x) dx 1 n ɛ.

15 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO 15 Vmos supor que v 0, u 0 são constntes por prte n prtição { = x 0, x 1,..., x n = b}. Portnto u 0 (x) dx = c k (x k x k 1 ) pr c k (x k 1, x k ), nálogo u 0. Sej M k := sup f(x), m k := inf f(x). x [x k 1,x k ] x [x k 1,x k ] Como v 0 f u 0 segue v 0 (x) m k M k u 0 (x) pr qulquer x [x k 1, x k ]. Portnto (M k m k )(x k x k 1 ) 1 n ɛ. O conjunto dos pontos d prtição P = {x 0,..., x n } é finito e portnto enumerável. Se cobrimos D 1/n \ P k J(x k 1, x k ) por um número de intervlos bertos, onde J {1,..., n}, temos M k m k 1 n pr cd k J e portnto 1 k x k 1 ) n k J(x (M k m k )(x k x k 1 ) k J (M k m k )(x k x k 1 ) 1 n ɛ Segue que D 1/n \ P é conjunto nulo. Portnto D 1/n tmbém o é. Portnto D = n 1 D 1/n é nulo, e segue firmção. Supomos que f : [, b] [ M, M] é limitd e contínu quse sempre (for de um conjunto nulo D). Sej ɛ > 0. Escolh n 1 tl que 1 n < ɛ 4(b ). O conjunto D 1/n sendo nulo pel hipótese, tem cobertur enumerável D 1/n I j com dim I j < ɛ 4M j 1 j 1 por intervlos I j bertos. Por outro ldo, pr cd x E existe um intervlo berto I x contendo x tl que (2.2) sup y I x f(y) inf z I x f(z) < 2 n. A fmíli F := {I j : j 1} {I x : x E} é cobertur por intervlos bertos de todo [, b]. Lem 2.29 (Número de Lebesgue). Pr qulquer cobertur F por intervlos bertos de um intervlo compcto existe L > 0 (o número de Lebesgue de F) tl que pr todo conjunto J com dim J < L tem-se J F pr lgum F F. Demonstrção. Sej F cobertur por intervlos bertos de [, b]. Por contrdição. Suponh que pr qulquer ɛ > 0 existe x [, b] tlque nenhum F F stisfz F (x ɛ, x + ɛ). Pr cd n 1 e ɛ n = 1/n sej x n [, b] um tl ponto correspondente. Como [, b] é compcto, existe um subsequênci (x nk ) k [, b] que converge pr um ponto x [, b]. Como F é cobertur por intervlos bertos de [, b], existe F F com x F. Como F é berto, existe δ > 0 tl que ( x δ, x + δ) F. Pel convergênci, existe k 1 com 1/n k < δ/2 e com x nk x < δ/2 e portnto Contrdição. (x nk ɛ nk, x nk + ɛ nk ) ( x δ, x + δ) F. Sej L número de Lebesgue de F. Sej P = {x 0,..., x n } prtição com dim P < L. Portnto, pr cd k = 1,..., n tem-se e portnto [x k 1, x k ] F F (1) ou [x k 1, x k ] I j pr um j 1 (2) ou [x k 1, x k ] I x pr um x E, e pomos dividir o conjunto dos indices {1,..., n} = J 1 J 2 dependendo se nos estmos no cso (1) ou (2). Estimmos então, U D (f, P ) L D (f, P ) = (M k m k )(x k 1 x k ) k J 1 (M k m k )(x k 1 x k ) + k J 2 (M k m k )(x k 1 x k ), onde tem-se, pois (1) e (2) podem ocorrer simultnemente. Portnto, usndo (2.2), U D (f, P ) L D (f, P ) k J 1 2M(x k 1 x k ) + k J 2 2 n (x k 1 x k ) 2M j < 2M ɛ 4M + dim I j + 2 (b ) n ɛ (b ) = ɛ. 2(b ) Portnto f é Drboux-integrável e portnto f é Riemnnintegrável.

16 16 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO 2.9. Exemplo de Volterr. Sej C [0, 1] um conjunto de Cntor não nulo. Suponh que no néssimo psso d construção de C o intervlo I n,k = (, b) é o késsimo intervlo removido. Sej { ( c := mx x, + b 2 ] : ( (x ) 2 1 sen x Define função (x ) 2 sen 1 x x (, c] f n,k (x) := (c ) 2 sen 1 c x (c, b + c] (x b) 2 sen 1 b x x (b + 1, b). A função f n,k é diferenciável em (, b) e f n,k 3. Tem-se ( f n,k + 1 ) ( = f n,k b 1 ) = ±1. nπ nπ Definimos V : [0, 1] [0, 1] { f n,k (x) x I n,k, n 1, k 1 V (x) := 0 cso contrário Afirmção. V é diferenciável em [0, 1]. Demonstrção. Pr x 0 (, b) = I n,k ok. De fto ( ( )) V 1 (x 0 ) = x 2 0 sen x 0 ( ) ( ) ( ) = x 0 sen x 2 0 cos x 0 3 x 0 Sej x 0 C e x > x 0. Cso x 0 C, então V (x) = V (x 0 ) = 0. Cso x 0 C, existe lgum I n,k = (, b) com x 0 < < x < b. Portnto V (x) V (x 0 ) = V (x) min{(x ) 2, (x b) 2 } (x x 0 ) 2 x 2 0 e portnto V (x) V (x 0 ) x x 0 x x 0 e portnto V (x 0 ) = 0 pr qulquer x 0 C. ) Afirmção. V = 0}. não é contínu em C. Demonstrção. Ddo x 0 C. Cso x 0 é ponto finl de um intervlo I n,k = (, b) com ou x 0 = ou x 0 = b, então há um sequênci de pontos y n {+1/(nπ)} {b 1/(nπ)} convergindo pr x 0 onde V (y n ) = ±1, porém V (x 0 ) = 0. Cso x 0 não é ponto finl de um intervlo I n,k, então existem tis intervlos convergindo pr x 0, e o rgumento nterior plic. Corolário V não é Riemnn-integrável. 3. Definição d medid de Lebesgue 3.1. Proprieddes básics desejds. Vmos primeirmente recolher proprieddes básics desejds de medid generlizndo comprimento. Problem de Conteúdo de Felix Husdorff (1914) (PC): Existe ι: 2 Rn R { } com s seguintes proprieddes?: 1. ι(a) 0 2. ι( ) = 0 3. A B = ι(a B) = ι(a) + ι(b) 4. ι(β(a)) = ι(a) pr qulquer movimento"β 5. ι((0, 1] n ) = 1 Segue imeditmente A B ι(a) ι(b), ι(a B) ι(a) + ι(b) e n ι( A i ) ι(a i ) 3.) A 1,..., A k 2-2 disjuntos n ι( A i ) = ι(a i ) Problem de Medid de Henri Lebesgue (PM) pergunt se existe µ: 2 Rn R { } com s proprieddes nálogs, pens trocndo 3.) por 3.) A 1, A 2, disjuntos ι( A i ) = i 1 i 1 ι(a i ). Certmente, solução de (PM) implicri solução de (PC). Porém, dentro do sistems xiomático de Zermelo- Fränkel, estes problems não são decidble. Ponto importnte qui é o Axiom de Escolh: Sej (A λ ) λ Λ fmíli não-vzi de conjuntos. Então existe um função f : Λ λ Λ A λ tl que f(λ) A λ λ Λ.

17 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO 17 Ponto interessnte e surpreendente é o Prdoxo de Bnch-Trski. O (PC) tem (não únic) solução pr n = 1 e 2 [Bnch 1923], ms não tem solução pr n 3. O problem (PM) não tem solução pr n = 1 [Vitli 1905]. Ponto chve é conclusão que não podemos ssocir à qulquer tipo de conjunto um medid". Exemplo ilustrtivo e bstnte simples é o seguinte que mostr que no (PM) união não-enumerável de conjuntos é problemátic. Exercício 3.1. Considerndo os conjuntos {x}, x [0, 1], então desejável seri µ({x}) = 0. Ms [0, 1] = x [0,1] {x} e µ([0, 1]) = 1. Depois d introdução d medid de Lebesgue veremos um exemplo de um conjunto Lebesgue não-mensurável σ-álgebrs.. Definição. Um fmíli A de subconjuntos de um conjunto X é um σ-álgebr se X A, A A A c A, A i A i A i A, A i A i A i A. Definição. Se C é um fmíli de subconjuntos de X e A é menor σ-álgebr de subconjuntos de X que contém C chmmos A σ-álgebr gerdo por C. A σ-álgebr gerd pel fmíli de intervlos bertos de R é σ-álgebr de Borel e é denomindo por B. Os elementos de B são chmdos os conjuntos de Borel Medid de Lebesgue.. Definição. A σ-álgebr gerd pel fmíli que contém os intervlos bertos de R e os conjuntos nulos chmmos σ-álgebr de conjuntos Lebesguemensuráveis e denotmos por M. Os elementos de M são chmdos os conjuntos Lebesguemensuráveis ou simplesmente mensuráveis. Ddo um intervlo I R, denotmos por M(I) fmíli dos conjuntos Lebesgue-mensuráveis contidos em I. Comentário 3.3. Tem-se B M 2 R. São consequêncis s seguintes proprieddes A (observndo que = X c ) e A, B A A \ B A (observndo que A \ B = A B c ). Os seguintes são exemplos (triviis) de σ-álgebrs: A 1 = {, X}, A 2 = 2 X := {A: A X}. As exercícios pedem verificr estes ftos e outros mis. Exercício 3.2. Sej X = [0, 1]. Encontre menor σ- álgebr que contém os conjuntos [ 0, 1 ] [ 1, 4 4, 1 [ 1, 2] 2, 3 [ 3 ], 4) 4, 1. Solução: A = {, [0, 1], [0, 1/4], [1/4, 1/2], [1/2, 3/4), [3/4, 1], observndo que etc. (1/4, 1], [0, 1/4), (1/2, 1], [3/4, 1], [0, 3/4), [0, 1/4), (1/4, 1/2), (1/2, 3/4),...} (1/4, 1/2) = [0, 1] \ ([1/2, 3/4] (3/4, 1] [0, 1/4]) Teorem 3.4. Existe um únic função µ: M [0, ) que stisfz s seguintes proprieddes: (L1) µ ( (, b) ) = b pr quisquer < b, (L2) µ(a+c) = µ(a) pr quisquer A M e c R (L3) µ ( A i) µ(a i) pr quisquer A i M, e se ind mis A i A i = pr todo i j então µ ( ) A i = µ(a i ) (L4) µ(a) µ(b) pr quisquer A B, A, B M, (L5) A R é conjunto nulo se e somente se A M e µ(a) = 0. A demonstrção dos itens (L1) (L3) do teorem será dido. Mostrremos pens (L4) e (L5). Proposição 3.5 ((L4)). µ(a) µ(b) pr quisquer A B, A, B M. Demonstrção. A B B = A (B \ A). (L3) µ(b) = µ(a)+µ(b \A). Como µ(b \A) 0 segue µ(a) µ(a) + µ(b \ A) = µ(b).

18 18 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO Proposição 3.6 ((L5)). Se A I é conjunto nulo, então A M(I) e tem-se µ(a) = 0. Demonstrção. Pel definição d σ-álgebr, A M e A I implic A M(I). Pr qulquer ɛ > 0 existe fmíli de intervlos bertos {( i, b i )} i tl que A i 1( i, b i ), (b i i ) < ɛ. i 1 (L1) µ(( i, b i )) = b i i. (L4)+(L3) µ(a) µ i 1( i, b i ) µ(( i, b i )) = b i i < ɛ. i 1 i 1 Como ɛ > 0 foi rbitrário, segue µ(a) = 0. Proposição 3.7 ((L4)).. A M(I) I \ A M(I) e µ(i \ A) = 1 µ(a) A, B M A\B M e µ(a B) = µ(a\b)+µ(b). Demonstrção. A (I \ A) =, A (I \ A) = I µ(a) + µ(i \ A) = µ(a (I \ A)) = µ(i) = 1 A \ B = A B c, (A \ B) B =, (A \ B) B = A B A \ B M µ(a \ B) + µ(b) = µ(a B) Proposição 3.8. Se então Se então A 1 A 2... A n..., A i M, ( µ A i ) = lim i µ(a i ). B 1 B 2... B n..., B i M, ( µ B i ) = lim i µ(b i ). Demonstrção. Sejm C 1 := A 1 e C n := A n \ A n 1 pr n 2. Assim {C i } i 1 são 2-2-disjuntos e mensuráveis. Usndo ditividde enumerável, tem-se ( ) ( ) µ A i = µ C i = µ(c i ) i 1 i 1 = lim i 1 = lim µ(a n). ( µ(c i ) = lim µ n ) C i D form nálog, considermos Z = B 1 e D n = Z \ B n. Assim {D i } i 1 é um fmíli crescente de conjuntos mensuráveis. Tem-se ( ) Z \ B n = Z \ B n = D n. Portnto µ(z) µ( fim ( B n ) = µ Z \ ( = µ ) B n D n ) = lim µ(d n) = lim (µ(z \ B n)) = µ(z) lim µ(b n). 4. Integrl de Lebesgue em R 4.1. Funções simples. Ddo A R, definimos su função chrterístic por { 1 se x A χ A (x) := 0 cso contrário. Ddo A R, dizemos que um fmíli {A k } k de conjuntos é um prtição de A se A i A j = e se A = k A k. Dizemos que um prtição é mensurável se ele é um fmíli de conjuntos todos mensuráveis. Definição. Dizemos que f : [, b] R é um função Lebesgue-simples ou simplesmente um função simples se existe um prtição mensurável finit {A k } n de [, b] e números r k, k = 1,..., n, tis que f = r k χ Ak. Definimos integrl de Lebesgue de um função simples f por L f(x) dx := r k µ(a k ).

19 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO 19 Proposição 4.1. O conjunto de tods s funções simples é um espço vetoril. Demonstrção. f simples cf simples. Bst mostrr f, g simples f + g simples. Sejm então f = n r kχ Ak e g = m l=1 s lχ Bl funções simples, onde {A k } n e {B l} m l=1 são prtições mensuráveis de [0, 1], respectivmente. Observmos que {C k,l },...,n,l=1,...,m, C k,l := A k B l, é prtição mensurável de [0, 1]. Tem-se m n A k = C k,l, B l = C k,l. Portnto χ Ak = l=1 m χ Ck,l, χ Bl = l=1 Segue então f = r k χ Ak = D form nálog r k g = k,l m χ Ck,l. l=1 χ Ck,l = k,l s l χ Ck,l. r k χ Ck,l. Portnto f + g = k,l (r k + s l )χ Ck,l é simples. Proposição 4.2. A integrl de Lebesgue de funções simples stisfz s proprieddes I (lineridde) e II (monotonicidde). Demonstrção. Certmente f simples e R implic f simples e f dµ = f dµ. Pr ver I (lineridde), sejm f e g funções simples. Como n demonstrção d Proposição??, segue L (f + g) dµ = (r k + s l )µ(c k,l ) k,l = r k µ(c k,l ) + s l µ(c k,l ) k,l k,l m m n = µ(c k,l ) + µ(c k,l ) = r k l=1 l=1 s l m r k µ(a k ) + s l µ(b l ) l=1 = L f dµ + L g dµ. Se f e g são funções simples tis que f g, então g f é um função simples não-negtiv. A definição d integrl então implic L (g f) dµ 0. Então, lineridde implic 0 L (g f) dµ = L g dµ+l ( f) dµ = L g dµ L f dµ e portnto firmção. Exercício 4.3. Mostre que pr f e g funções simples, função f g tmbém o é. Em prticulr, se A R é conjunto mensurável, então f χ A é função simples Funções de vlor estendid. Um função f : [, b] R { } { } =: R chmmos um função de vlor rel estendid. Pr R denotmos [, ] := (, ] { } e [, ] := [, ) { }. D form nálog pr conjuntos (semi-)bertos. Proposição 4.4. Se f : [, b] R é um função de vlor rel estendid, então são equivlentes os seguintes ftos: Pr todo R o conjunto f 1 ([, ]) é mensurável. o conjunto f 1 ([, )) é mensurável. o conjunto f 1 ([, ]) é mensurável. o conjunto f 1 ((, ]) é mensurável. Demonstrção. Mostrremos 1) 2) 3) 4). Assumimos 1). Observmos que [, ) = n=1 [, 2 n ] e portnto f 1 ([, )) = f 1 ([, 2 n ]) n=1 que é mensurável. Portnto vle 2). Assumimos 2). Como [, ] = [, ) c, tem-se f 1 ([, ]) = f 1 ([, ) c ) = f 1 ([, ))) c que é mensurável. Portnto vle 3). Assumimos 3). Como (, ] = n=1 [ + 2 n, ], tem-se f 1 ((, ]) = f 1 ([ 2 n, ]) n=1 que é mensurável. Portnto vle 4). Assumimos 3). Como [, ] = (, ] c, segue d form nálog 1). Definição. Um função de vlor rel estendid chmmos Lebesgue-mensurável ou simplesmente mensurável se stisfz um (e portnto tods) s proprieddes d Proposição 4.4.

20 20 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO Proposição 4.5. Se um função tem o vlor 0 em todos os pontos excepto em um conjunto de pontos de medid nulo, então el é mensurável. Demonstrção. Sej f(x) = 0 pr todo x A, onde A [0, 1] tem medid 0. Portnto é um conjunto nulo. Cso < 0 tem-se A = f 1 ([, 0)) f 1 ((0, ]) U := f 1 ([, ]) A e portnto U é conjunto nulo e portnto mensurável. Cso 0 tem-se U := f 1 ([, ]) = (f 1 ((, ])) c e portnto U é mensurável. Portnto f é mensurável. Teorem 4.7. O conjunto ds funções mensuráveis f : [0, 1] R é um espço vetoril. O conjunto ds funções mensuráveis e limitds f : [0, 1] R é um subespço vetoril. Aind mis, se f e g são mensuráveis, então f g tmbém o é. Demonstrção. f mensurável cf mensurável. Bst mostrr f, g mensuráveis f + g mensurável. Afirmção. Pr qulquer R, é mensurável. U := {x: f(x) + g(x) > } Demonstrção. Sej {r i } i enumerção dos rcionis. x U f(x) + g(x) > f(x) > g(x) r j tl que f(x) > r j > g(x) Teorem 4.6. Sej (f n ) n um sequênci de funções mensuráveis. Então tods s funções de vlor rel estendid g 1 (x) := sup f n (x) n N g 2 (x) := inf f n(x) n N g 3 (x) := lim sup f n (x) g 4 (x) := lim inf f n(x). tods são mensuráveis. x V j := {x: f(x) > r j } {x: g(x) > r j } Segue que qulquer x U está em um V j. Por outro ldo y V j f(y) > g(y) f(y) + g(y) > y U. Segue que qulquer y V j está em U. Portnto U = j 1 V j. Como V j são mensuráveis, segue que U é mensurável. Portnto segue f + g é mensurável. Pr ver f g: exercício. Demonstrção. Pr [, ] tem-se g1 1 ((, ]) = {x: g 1(x) > } = {x: f n (x) > }, n=1 que portnto é um conjunto mensurável. Assim, g 1 é mensurável. Finlmente os truques g 2 (x) = inf f n(x) = sup( f n (x)) n N g 3 (x) = lim sup n N f n (x) = inf m N sup n m f n (x) g 4 (x) = lim inf f n(x) = lim sup( f n (x)) implicm o desejdo. Pr ver estrutur de um espço vetoril, restringimos funções de vlor rel (não estendid), pois se por exemplo f e g são funções tis que f(x) = e g(x) =, (f + g)(x) não estej bem definid. Proposição 4.8. f : [, b] R é mensurável se e somente se pr cd conjunto berto U R o conjunto f 1 (U) é mensurável. Demonstrção. Pelo Teorem 4.9, existe um fmili de intervlos bertos 2-2 disjuntos {( i, b i )} i tl que U =... completr... Teorem 4.9. Pr qulquer conjunto U R berto existe um mneir únic de escrever ele como união enumerável de intervlos bertos, os pontos finis destes intervlos não pertencendo U.

21 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO 21 Demonstrção. Ddo x U definimos x := inf{: (, x) U} b x := sup{b: (x, b) U}. Observmos que I x := ( x, b x ) é berto (possivelmente não limitdo) x I x U. I x é o intervlo mximl com ests proprieddes. Se b x estivesse em U, como U é berto, existiri J intervlos berto tl que Teorem Sej f : [0, 1] R um função limitd. São equivlentes os seguintes ftos: 1) f é Lebesgue-mensurável, 2) existe um sequênci de funções simples que converge uniformemente pr f, 3) Denotndo por U(f) o conjunto de tods s funções simples u: [0, 1] R tis que f u e por L(f) o conjunto de tods s funções simples v : [0, 1] R tis que v f, então tem-se sup L v L(f) v dµ = inf L u U(f) u dµ. b x J U. Ai, I x J seri um intervlo berto mjor, contido em U, contendo x. Contrdição com mximlidde. Portnto b x U. Sej y U, y x. Cso I y I x, I y I x é intervlo berto contido em U, contendo x e y. Pel mximlidde segue I x = I x I y = I y. Assim, concluímos que pr x, y U, dois intervlos I x e I y ou coincidem, ou são disjuntos. Assim segue que U é união de tis intervlos mximis bertos e 2-2 disjuntos. Podem existir no máximo um número enumerável de tis intervlos. De fto, ddo um coleção dest, escolhe um número rcionl em cd um deles. Como os intervlos são 2-2 disjuntos, segue que os números rcionis escolhidos são distints. Portnto escolhemos pens enumeráveis números dests. Portnto há pens enumeráveis intervlos destes. Exercícios: mostrr que est decomposição (prtição) de U é únic A integrl de Lebesgue de funções limitds. No cso d integrl reguld, funções integráveis são queles que são limites uniformes de funções escd. No cso d integrl de Riemnn, funções integráveis são queles cujo ínfimo de integris de funções escd é mior ou igul do supremo de funções escd. Tentndo trocr funções escd por funções simples, se considerr funções limitds result n mesm clsse de funções. Aind mis, est clsse é exctmente de funções limitds Lebesgue-mensuráveis. Demonstrção. Sej f limitd Lebesgue-mensurável, digmos f b pr lguns, b R. Mostrremos 1) 2) 3) 1). 1) 2): Supomos 1). Sej ɛ n := (b )/n. Considermos prtição de [, b] definido por = c 0 < c 1 <... < c n = b, c i = + iɛ n. Considermos prtição de [0, 1] definido por Obvimente A i := f 1 ([c i 1, c i )), é função simples. f n := A n := f 1 ([c n 1, b]). c i χ Ai Afirmção. sup x [0,1] f(x) f n (x) ɛ n. Demonstrção. Como f b, pr cd x [0, 1] existe i tl que x A i. Portnto f n (x) = c i e f(x) [c i 1, c i ). Portnto f(x) f n (x) c i c i 1 = ɛ n. Assim, segue 2). 2) 3): Supomos 2), f sendo limite uniforme de sequênci de funções simples (f n ) n δ n := sup f n (x) f(x) 0. x [0,1] Definimos que são funções simples v n (x) := f n (x) δ n, u n (x) := f n (x) + δ n

22 22 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO e ssim v n (x) < f n (x) < u n (x). Então inf u dµ = lim inf L u n dµ u U(f) n = lim inf L (f n + δ n ) dµ n = lim inf L f n dµ n lim sup L f n dµ n = lim sup L (f n δ n ) dµ n lim sup L v n dµ sup v L(f) L v dµ Por outro ldo, como pr qulquer v L(f) e qulquer u U(f) tem-se L v dµ L u dµ, segue sup L v L(f) v dµ inf u U(f) u dµ. 3) 1): Supomos 3), então pr todo n 1 existem funções simples v n e u n tis que v n f u n e que L u n dµ L v n dµ < 2 n. Pelo Teorem 4.6, s funções g 1 := sup v n, n g 2 := inf u n n são mensuráveis. Como f é limitd, segue que g 1 e g 2 são limitds e g 1 f g 2. Afirmção. g 1 (x) = g 2 (x) pr todo x for de um conjunto de medid nul. Demonstrção. Por contrdição, supondo que não. Sej B := {x: g 1 (x) < g 2 (x)} e supomos que µ(b) > 0. Observmos primeiro que B é mensurável, pois Temos B = (g 1 g 2 ) 1 ((, 0)). B = k 1 B k, B k := {x: g 1 (x) < g 2 (x) 1 k }. Observmos que todo B k é tmbém mensurável e que B k B l se k < l. Portnto 0 < µ(b) k 1 µ(b k ) segue que existe k 0 1 tl que µ(b k0 ) > 0. Portnto µ(b k ) > 0 pr todo k k 0. Portnto v n (x) g 1 (x) < g 2 (x) 1 k 0 u n (x) 1 k 0 Portnto pr todo x B k0 e pr todo x u k (x) v k (x) > 1 k 0 u n (x) v n (x) 1 k k χ Bk0 Portnto, monoticidde de L implicri L u n dµ v n dµ = L (u n v n ) dµ 1 k 0 χ Bk0 dµ = 1 k 0 µ(b k0 ) > 0 contrdição. Portnto µ(b) = 0 e g 1 = g 2 µ-quse sempre. Como g 1 (x) f(x) g 2 (x) segue que h(x) := f(x) g 1 (x) é 0 exceito num subconjunto de B. Portnto, pel Proposição 4.5, h é mensurável. Portnto f = g 1 +h é mensurável. Segue 1). Definição. Pr f : [, b] R mensurável limitd, definimos su integrl de Lebesgue por L f dµ := sup L v dµ = inf L v dµ v L(f) u U(f) Proposição Sej (f n ) n um sequênci de funções simples convergente uniformemente pr um função mensurável limitd f. Então L f dµ = lim L f n dµ. Demonstrção. Sendo δ n := segue lim δ n = 0 e sup f n (x) f(x) 0. x [0,1] f n (x) δ n f(x) f n (x) + δ n.

23 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO 23 Assim f n (x) δ n L(f) e f n (x) + δ n U(f). L f dµ = inf L u dµ u lim inf L (f n + δ n ) dµ n = lim inf L f n dµ lim sup L f n dµ = lim sup L (f n δ n ) dµ sup L v dµ v = L f dµ. Assim segue L f dµ = lim L f n dµ (existênci do limite e coincidênci com integrl de f).

24 24 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO Teorem Ddo f e g funções mensuráveis limitds definid em [, b]. Então s sus integris de Lebesgue stisfzem 1) Pr todo c 1, c 2 R tem-se L (c 1 f + c 2 g) dµ = c 1 L f dµ + c 2 L g dµ. 2) Se f g então L f dµ L g dµ. Tem-se L f dµ L f dµ. 3) Se f é mensurável, então f tmbém o é. 4) Se f(x) = g(x) exceito num conjunto de medid nulo, então L f dµ = L g dµ. Demonstrção. 1) Pelo Teorem 4.10, existem sequêncis (f n ) n e (g n ) n de funções simples convergindo uniformemente pr f e pr g, respectivmente. Portnto sequênci (h n ) n de funções h n = c 1 f n +c 2 g n converge uniformemente pr função mensurável limitd c 1 f + c 2 g. Pel Proposição 4.11, segue L (c 1 f + c 2 g) dµ = lim L (c 1 f n d + c 2 g n ) dµ = c 1 lim L f n dµ + c 2 lim L g n dµ = c 1 L f dµ + c 2 L g dµ e portnto 1). 2) Se f g, então pelo Teorem 4.10 segue L f dµ = sup L v dµ inf L u dµ = L v L(f) u L(g) g dµ, onde usmos que v f g u. 3) Se f 1 ((, ]) é mensurável pr qulquer, então se 0 ( f ) 1 ((, ]) = é mensurável e se > 0 ( f ) 1 ((, ]) = ( f ) 1 ([0, ]) = ( f 1 ([0, )) f 1 ((, ])) ) ( f 1 ((, 0]) f 1 ([, ))) ) é mensurável. Observmos que L f dµ = lim L f n dµ = lim L f n dµ lim L f n dµ = L f dµ 4) Sej h := f g. Portnto, h é mensurável e limitd. Sendo B := {x: h(x) 0}, tem-se µ(b) = 0. Portnto, usndo itens 1) e 3), segue L f dµ L g dµ = L h dµ L h dµ. Como h é limitd, h M pr lgum M. Observmos que B é mensurável. Segue 0 h Mχ B Usndo item 2), segue L h dµ Mχ B dµ = Mµ(B) = 0. Assim, segue firmção. Como foi mostrdo (ver Exercícios) que f e g mensuráveis implic que f g mensurável, seguinte definição é justificd. Definição. Pr E [, b] mensurável e f : [, b] R mensurável definimos L f dµ := L f χ B dµ. E A seguinte fto é imedito com Teorem 4.12 item 1). Proposição Se {E i } n é coleção finit de 2-2 disjuntos mensuráveis subconjuntos de [, b] e f : [, b] R função mensurável e limitd, então n L f dµ = L f dµ, E = B i. E i B Finlmente vemos que integrl de Lebesgue estende"quele de Riemnn. Proposição Tod função Riemnn-integrável (e portnto limitd) f : [, b] R é mensurável e Lebesgue-integrável e os vlores ds sus integris coincidem. Demonstrção. Denotndo por U sim (f) o conjunto de tods s funções simples u: [0, 1] R tis que f u e por U esc (f) o conjunto de tods s funções escd u: [0, 1] R tis que f u segue U sim (f) U esc (f). D form nálog L sim (f) L esc (f). Pr um função escd, pels sus definições, su integrl de Riemnn

25 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO 25 coincide com su integrl de Lebesgue. Portnto sup R f dµ = sup L f dµ sup L v L esc(f) v L esc(f) v L sim(f) inf L f dµ inf L v U sim(f) v U esc(f) = inf R f dµ. v U esc(f) f dµ f dµ Pel Riemnn-integrbilidde o primeiro termo coincide com o último. Portnto tem igulidde em todos. Assim, o seguinte é um consequênci; que tmbém pode ser mostrd diretmente. Lem Cd função contínu f : [, b] R é Lebesgue mensurável. Demonstrção. Pel continuidde, preimgens de bertos são bertos e portnto mensuráveis. Lem Se f : [, b] R é Lebesgue mensurável e g : f([, b]) R contínu, então g f é mensurável. Demonstrção. Como g é contínu, U = g 1 ((, )) é bert e portnto mensurável e portnto (g f) 1 ((, )) = (f 1 g 1 )((, )) = f 1 (U) é mensurável. Comentário Observmos que se f : [, b] R é Lebesgue mensurável e g : f([, b]) R contínu, então f g pode ser não-mensurável. Ver List dos Excercícios mis pr frente.

26 26 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO 4.4. O teorem de convergênci limitd. O comportmento d(s) integr(i)l(s) de Lebesgue qundo um sequênci de funções converge uniformemente foi estuddo n seção nterior. O seguinte ilustr que convergênci uniforme não pode ser trocd pel convergênci pontul. Exemplo. Considermos sequênci de funções escd { n se x [ 1 f n (x) = n, ] 2 n 0 cso contrário cuj integrl é ([ 1 L f n dµ = nµ n, 2 ]) = n 1 n n = 1. Observmos que lim f n (x) = 0 pr cd x [0, 1], i.e. sequênci converge pontulmente pr função f 0. Portnto L ( lim n) dµ = 0 ms lim f n dµ = 1. Teorem 4.18 (Teorem de Convergênci Limitd). Sej (f n ) n um sequênci de funções mensuráveis limitds definids em [, b] que converge pontulmente pr f e suponh que existe um constnte M > 0 tl que f n M pr todo n e x [, b]. Então f é mensurável e limitd e tem-se lim L f n dµ = L f dµ. Demonstrção. É clro que f M. Pelo Teorem 4.6, f é mensurável. Usndo tmbém Teorem 4.12, lim L f n dµ L f dµ = lim L (f n f) dµ (4.1) lim L f n f dµ Bst estimr integrl de f n f. Ddo ɛ > 0, pr cd n 1 E n := {x: f m (x) f(x) < ɛ 2 Afirmção. E n é mensurável. Demonstrção. Tem-se x E n ɛ 2 < (f m f)(x) < ɛ 2 m n pr todo m n}. x (f m f) 1 ((, ɛ 2 )) (f m f) 1 (( ɛ 2, )) m n x fim. m n (f m f) 1 ((, ɛ 2 )) (f m f) 1 (( ɛ 2, )) Cd x [0, 1] eventulmente ci em um conjunto E n pr um n = n(x) suficientemente grnde, pel convergênci pontul, i.e. E n = [, b]. n 1 Observmos que E n E n+1. Pel Proposição 3.8 segue 1 = µ([0, 1]) = µ( n 1 E n ) = lim µ(e n). Portnto existe n 0 tl que µ(e n0 ) > 1 1 4M e portnto µ(en c 0 ) < 1 4M. Pel monotonicidde d medid, tmbém µ(b n ) < 1 4M pr todo n n 0. Segue 1 L f n f dµ = L f n f dµ + L f n f dµ 0 E n En C ɛ L 2 dµ + L 2M dµ E n E n = µ(e n ) ɛ 2 + µ(ec n) ɛ 2 ɛ 2 + 2M ɛ 4M = ɛ. Assim, segue L 1 0 f n f dµ 0 que implic lim L f n dµ L f dµ. fim Definição. Um propriedde vle quse sempre se el vle pr todos os pontos for de um conjunto de medid nul. Vmos usr este conceito por exemplo no cso que dus funções f e g coincidem quse sempre um sequênci de funções f n converge quse sempre pr um função f Exemplo. Sej C o conjunto de Cntor ternário. Sej f = χ C. Então f(x) = 0 quse sempre. A sequênci de funções f n : [0, 1] R, f n (x) = x 1/n, converge pr função f = χ (0,1] quse sempre. Teorem 4.19 (Teorem de Convergênci Limitd q.s.). Sejm (f n ) n um sequênci de funções mensuráveis limitds definids em [, b] que converge quse sempre pr f e suponh que existe um constnte M > 0 tl que f n M quse sempre pr todo n. Então f é mensurável e limitd e tem-se lim L f n dµ = L f dµ. Demonstrção. Ver List 9 dos Excercícios

27 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO A integrl de Lebesgue de funções não-limitds 5.1. Integrl de funções não-negtivs.. Definição. Sendo f : [, b] R um função mensurável não-negtiv, então f n (x) := min{f(x), n} define um sequênci de funções mensuráveis limitds. Definimos L f dµ := lim L f n dµ. Cso que este limite existe (é < ), dizemos que f é Lebesgue-integrável. Observmos que, (f n ) n sendo um sequênci monoticmente crescente, ou o limite existe ou é +. Este integrl tem s seguintes proprieddes que nuncimos sem dr su demonstrção. Exemplo. Considermos seguinte função não-negtiv de vlor estendid { + se x = 0 f(x) = 1 x se x (0, 1]. tem-se Segue L e f é integrável. f n (x) = { n se x [0, 1 1 1/n 2 f n dµ = L 0 n 2 ] x se x [ 1 n 2, 1]. 1 f n dµ + L 1 = nµ([0, n 2 ]) + L 1 = n 1 n n = 2 1/n 2 f n dµ 1/n 2 1 x dx Teorem 5.1. Ddo f e g funções mensuráveis definid em [, b]. Então s sus integris de Lebesgue stisfzem 1) Pr todo c 1, c 2 R tem-se L (c 1 f + c 2 g) dµ = c 1 L f dµ + c 2 L g dµ. 2) Se 0 f g então L f dµ L g dµ e se g é integrável, então f tmbém o é. 5) Se L g dµ = 0, então g(x) = 0 quse sempre. Proposição 5.2. Pr cd função f mensurável não-negtiv (possivelmente de vlor estendid) que é integrável tem-se µ(a) = 0, onde A := {x: f(x) = + }. Demonstrção. Pr x A tem-se f n (x) = n e portnto f n nχ A pr todo n 1. Pel monotonicidde L f n dµ L nχ A dµ = nµ(a). Cso contrário, se µ(a) > 0, teri L f dµ = lim L f n dµ lim nµ(a) > A e f não seri integrável. Contrdição.

28 28 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO 5.2. Convergênci domind e monóton. Considermos nest seção vrições d convergênci limitd, ssumindo gor que função estej limitd por um função integrável. Ms ntes disso, dremos um resultdo bstnte gerl. Lem 5.3 (Lem de Ftou). Sej (f n ) n um sequênci de funções não-negtivs mensuráveis em [, b]. Cso lim f n = f quse sempre, tem-se L f dµ lim inf L f n dµ. nt Demonstrção. Sej g mensurável limitd tl que 0 g f. Sendo g n := min{g, f n } s funções g n são mensuráveis e lim g n = g quse sempre. Pelo Teorem de Convergênci Limitd, segue lim L g n dµ = L g dµ. Como g n f n, segue tmbém L g n dµ L f n dµ L g dµ lim inf L n f n dµ. Agor tommos o supremo sobre todos tis funções g. Teorem 5.4. Sej (f n ) n um sequênci de funções não-negtivs mensuráveis e g integrável tl que f n g quse sempre pr todo n e lim f n = f quse sempre, então L f dµ = lim L f n dµ. nt Demonstrção. Fremos demonstrção no cso g f. O cso gerl é um pouco mis longo. Como f n f quse sempre, segue L f n dµ L f dµ Teorem 5.5 (Teorem de Convergênci Monóton). Sejm (f n ) n um sequênci de funções não-negtivs mensuráveis definids em [, b] tis que f n f. Então f é mensurável e tem-se lim L f n dµ = L f dµ. Em prticulr, f é integrável se e somente se lim L f n dµ < +. Demonstrção. Como f pel hipotese pr todo x stisfz f(x) = lim f n(x) = sup f n (x), n 1 segue que f é mensurável, pel Teorem 4.6. Cso que f é integrável, firmção será consequênci imedit do Teorem de Convergênci Domind 5.4. Bst considerr o outro cso qundo Leb f dµ +. Neste cso, pr todo N > 0 existe n 0 1 tl que L min{f, n 0 } dµ > N. Quse sempre tem-se lim min{f n(x), n 0 } = min{f(x), n 0 }. Como cd um dels é um função mensurável limitd (por n 0 e 0), segue pelo Teorem 5.5 lim L min{f n (x), n 0 } dµ = L min{f(x), n 0 } dµ > N e portnto lim L f n dµ > N. Como N foi rbitrário, segue firmção. Um plicção principl deste resultdo são séries. Corolário 5.6 (Trocr somtório e integrl). Sejm f(x) = k(x) um série infinit com coeficientes k 0 mensuráveis. Então L k dµ = L k dµ. Aind mis, se f é integrável, então série k(x) converge quse sempre. pr todo n e portnto lim sup L f n dµ L f dµ. Assim, segue firmção logo com o Lem de Ftou. Pr o nuncido do seguinte, escrevemos f n f se f n f n+1 q.s., n 1 e D form nálog f n f. lim f n = f q.s.. Demonstrção. Sendo f n f n+1 e lim f n = f. Como pr cd n L f n dµ = = n k(x), tem-se f n L k dµ, pelo Teorem de Convergênci Domind, segue formul. Aind mis, cso k dµ <, isto implic que f é integrável. Assim segue firmção.

29 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO Integrl de funções geris.. Definição. Chmmos um função mensurável f : [, b] R Lebesgue-integrável se f é Lebesgueintegrável. Lem 5.8. Se f : [, b] R é Lebesgue-integrável, então função F (x) := x f(t) dt é contínu. De fto, é Lipschitz cso f é limitd. Definimos f + (x) := mx{f(x), 0}, f (x) := mx{ f(x), 0}. Assim, f + e f são não-negtivs, f = f + f, f ± f. Definição. Pr f : [, b] R Lebesgue-integrável definimos su integrl de Lebesgue por L f dµ := L f + dµ L f dµ. Este integrl tmbém stisfz s proprieddes de Lineridde, Monotonicidde e Aditividde. Teorem 5.7 (Teorem de Convergênci de Lebesgue). Sejm (f n ) n um sequênci de funções mensuráveis e g um função integrável tl que pr todo n 1 tem-se f n g quse sempre e lim f n =: f quse sempre, então f é integrável e lim f n dµ = lim f n dµ. Demonstrção. Pr f ± n tem-se lim f n ± = f ± quse sempre. Tem-se f n ± g quse sempre. Portnto, plicndo o Teorem?? os funções f n + e fn, respectivmente, segue f ± dµ = lim f n ± dµ, respectivmente. Portnto, f = f + f é Lebesgueintegrável e f dµ = (f + f ) dµ = f + dµ f dµ = lim f n + dµ lim f n + dµ = lim f n dµ Proprieddes d integrl de Lebesgue.. Demonstrção. Fremos demonstrção no cso qundo f é limitd (ver list 9 de exercícios pr demonstrção no cso gerl). Cso f M, pr x < y b tem-se F (y) F (x) = L y x f(t) dt M y x é, de fto, F é Lipschitz. Teorem 5.9 (continuidde bsolut). Se f : [, b] R é Lebesgue-integrável, então pr cd ɛ > 0 existe δ > 0 tis que µ(a) < δ L f dµ < ε. Demonstrção. Cso f M, segue firmção imeditmente de L f(t) dt L f(t) dt Mµ(A) A A tomndo δ < ɛ/m. Cso f é não-negtiv, considerndo segue L A fdµ = L L A f n := min{f, n} A (f f n ) dµ + L A (f f n ) dµ + L A f n dµ f n dµ. Como n 1 foi rbitrário e como f f n 0, pelo Teorem de Convergênci Monóton 5.5, ddo ɛ > 0 existe n 0 1 tl que lim L (f f n0 ) dµ < ɛ 2 Tomndo δ < ɛ/2n 0, usndo f n0 n 0, segue L f n0 dµ n 0 µ(a) < ɛ A 2 e ssim firmção. Deixmos o cso gerl (qundo f pode ser negtiv) como exercício.

30 30 INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO Lem Se f : [, b] R é Lebesgue-integrável e não-negtiv, então x L f(t) dt = 0 f = 0 quse sempre. Demonstrção. ver P Lem Se f : [, b] R é Lebesgue-integrável tl que x L f(t) dt = 0 pr todo x [, b], então f = 0 quse sempre TFC-E.. Respondemos questão qundo, pr integrl de Lebesgue, vle o resultdo que corresponde o TFC-E F (x) F () = L x F (x) dx? Exemplo (Função de Cntor). A função de Cntor F : [0, 1] [0, 1] (ver Exercício 5 n list 8) stisfz F = 0 quse sempre. Tem-se portnto 0 = L 1 0 F dµ < F (1) F (0) = 1 0 = 1. Demonstrção. ver list 9 dos exercícios 5.5. TFC-P.. Teorem 5.12 (Lebesgue 1904). Se f : [, b] R é Lebesgue-integrável, então ( x L f(t) dt) = f(x) quse sempre. Demonstrção. [Property 7 nd Theorem 6.4.1, Burk] Exemplo. Sej f : [0, 1] R { x se x [0, 1] \ Q f(x) := 0 se x [0, 1] Q. f é limitd não-negtiv. Tem-se f 1 ((, 0]) = [0, 1] Q enumerável e portnto mensurável. Pr todo (0, 1] f 1 ((, ]) = [0, 1] (Q ([0, x] \ Q)) mensurável. Pr > 1 tem-se f 1 ((, ]) = [0, 1] mensurável. Portnto f é Lebesgue-integrável. Como f é descontinu em todo x Q, f não é Riemnnintegrável. Considermos g(x) = x. Tem-se g = f quse sempre. 1 L 0 Tem-se f dµ = L quse sempre. 1 0 g dµ + L 1 0 ( x f dµ) = f(x) = x 0 (f g) dµ = x = 1. Teorem Sej F : [, b] R um função diferenciável com derivd F limitd, então F é Lebesgue-integrável e pr todo x [, b] tem-se F (x) F () = L x F (x) dx. Exemplo (Função de Volterr). A função de Volterr V : [0, 1] [0, 1] stisfz V 3. El que pode ser obtid como limite (convergênci pontul) d sequênci ds funções m g m := f n,k χ In,k. n=1 Observndo que, pel construção do exemplo como som infinit de funções não-nuls em intervlos 2-2 disjuntos, tem-se m g m = f n,k χ In,k n=1 segue que V = lim m g m é integrável. Portnto V é Lebesgue-integrável. Assim, chegmos n conclusão que