1 Conjuntos Finitos e Infinitos

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1 Conjuntos Finitos e Infinitos. Números Nturis Definição O conjunto N dos nturis é tl que Existe s : N N injetiv tl que Im (s) = N {}; } X N X = N s (X) X Teorem 2 (Princípio d Bo Ordenção) } A N A possui "menor elemento" A.2 Conjuntos Finitos Sej I n = {, 2, 3,..., n} = {i N i n} Definição 3 Um conjunto X é finito se há um bijeção f : X I n (denotremos X I n ). O número n é dito crdinl de X. Fto 4 Pr cd X finito, há um único n. Proposição 5 Se X é finito, então X é limitdo. Tmbém, f : X X é injetiv sse é sobrejetiv. Proposição 6 Se Y X e X é finito, então Y é finito; se tmbém Y X então Y = X..3 Conjuntos Infinitos Proposição 7 Se X é infinito, então existe Y X tl que Y X e Y X. Proposição 8 Se X é infinito, então existe Y X tl que Y N..4 Enumerbilidde Definição 9 X é enumerável se X N ou X é finito. Exemplo 0 N Z Q são enumeráveis. {0, } N = F (N, {0, }) e R não são enumeráveis. Proposição X N X é enumerável. Proposição 2 X e Y enumeráveis X Y é enumerável. Proposição 3 X i enumerável pr todo i N i NX i é enumerável

2 2 Números Reis 2. R é um corpo Definição 4 Um corpo S é um conjunto dotdo de operções bináris +, : S S S que são ssocitivs, comuttivs e possuem elementos neutros distintos 0 e. Além disso, dição tem de ser distributiv com relção à multiplicção e cd elemento não-nulo x S tem de ter inverso ditivo x e multiplictivo x. Dest definição sem tods s proprieddes lgébrics às quis estmos costumdos. 2.2 R é um corpo ordendo Definição 5 Um corpo ordendo S é um corpo que pode ser seprdo em um união disjunt de S + ("positivos"), S ("negtivos") e {0}, de form que { x, y S + x + y S + xy S + x S + x S Definição 6 Ddos x, y S, definimos x < y sempre que y x S +. Fto 7 Num corpo ordendo, relção x < y é trnsitiv, monóton com relção à dição e monóton com relção à multiplicção por números positivos. Tmbém, ddo x y, tem-se pens um dentre x < y ou y < x. Definição 8 A operção vlor bsoluto é dd por { x, se x 0 x = x, se x < 0 Assim, x 0 x S +. Proposição 9 Num corpo ordendo, pr quisquer x, y,, δ tem-se x + y x + y ; xy = x y e 2.3 R é um corpo ordendo completo x < δ δ < x < + δ Definição 20 O número c é dito cot superior do conjunto X qundo x X, x c (e então X é dito limitdo superiormente). O supremo de X é su menor cot inferior, isto é { x X, x b b = sup X ( x X, x c) b c As definições de cot inferior, conjunto limitdo inferiormente e ínfimo são nálogs. superiormente e inferiormente. X é limitdo se o for Definição 2 Dizemos que S é um corpo ordendo completo qundo X é limitdo superiormente X tem supremo Definição 22 R é um corpo ordendo completo (por ssim dizer, o único). 2

3 3 Seqüêncis de Números Reis 3. Limite de um Seqüênci Definição 23 Um seqüênci (x n ) de números reis é um função x : N R. A seqüênci é dit limitd (inferiormente, superiormente) se Im (x) o for. Um subseqüênci (x nk ) de (x n ) é restrição de x um subconjunto infinito N = {n < n 2 <... < n k <...} N (tecnicmente, é composição x f : N R onde f : N N é um função crescente com f (k) = n k ). Definição 24 A seqüênci (x n ) é convergente qundo tem limite L (denot-se lim x n = L ou lim n x n = L ou x n L), isto é, ε > 0, n 0 N tl que n > n 0 L ε < x n < L + ε Fto 25 Se um seqüênci tem limite L, então el é limitd e este limite é único. Tmbém, tods s sus subseqüêncis convergem pr L. Definição 26 Um seqüênci é dit monóton qundo ( n N, x n x n+ ) ou ( n N, x n x n+ ). Proposição 27 Tod seqüênci monóton limitd é convergente. Teorem 28 (Bolzno-Weierstrss) Tod seqüênci limitd possui subseqüênci monóton (e, portnto, convergente). 3.2 Limites e Desigulddes Proposição 29 Se lim x n = > b, então x n > b pr todo n suficientemente grnde. Proposição 30 Se lim x n =, lim y n = b e x n > y n pr todo n suficientemente grnde, então b. Teorem 3 (Snduíche) Se lim x n = lim y n = e x n z n y n pr todo n suficientemente grnde, então lim z n =. 3.3 Operções com Limites Teorem 32 (Anulmento) Se lim x n = 0 e (y n ) é limitd então lim (x n y n ) = 0. Proposição 33 Se lim x n = e lim y n = b então lim (x n ± y n ) = ± b lim (x n y n ) = b ( ) xn lim = (desde que b 0) b y n Exemplo 34 As seqüêncis n = n k= k! e b n = ( + n) n convergem pr o mesmo número, denotdo e 2, Limites Infinitos Definição 35 Diz-se que o limite de (x n ) é mis infinito (denotdo por lim x n = + ) qundo A > 0, n 0 N tl que n > n 0 A < x n A definição pr menos infinito é nálog. Fto 36 Se lim x n = + então (x n ) não é limitd superiormente. Proposição 37 Se lim x n = + e (y n ) é limitd inferiormente então lim (x n + y n ) = +. Proposição 38 Se lim x n = + e y n > c > 0 pr todo n suf..gr., então lim (x n y n ) = +. Proposição 39 Se x n > c > 0 e lim y n = 0 + (isto é, y n > 0 pr todo n suf.gr. e lim y n = 0) então lim (x n /y n ) = +. Proposição 40 Se (x n ) é limitd e lim y n = + então lim (x n /y n ) = 0. 3

4 4 Séries Numérics 4. Séries Convergentes Definição 4 Definimos su série prtir de um seqüênci ( n ) (o termo gerl d série) como um nov seqüênci (s n ) onde cd elemento é um som prcil ou som reduzid d série, sber, n s n = Denot-se série por n. A série é dit convergente ou divergente se seqüênci (s n ) o for. Proposição 42 Se n converge, então n 0. Em outrs plvrs, se n 0, então n diverge. Proposição 43 (Critério d Comprção pr Séries) Suponh que 0 n cb n pr todo n suf. grnde. Então bn converge n converge i= i Exemplo 44 A série geométric n é convergente com limite se <, e divergente cso contrário. Exemplo 45 A série-p n é convergente se p > e divergente se p <. No cso p =, série p n é chmd série hrmônic. 4.2 Séries Absolutmente Convergentes Definição 46 A série n é bsolutmente convergente qundo n for convergente. Se n é convergente ms não é bsolutmente convergente (isto é, n converge ms n diverge), série n é dit condicionlmente convergente. Teorem 47 (Leibniz) Se ( n ) é monóton decrescente e lim n = 0 então ( ) n+ n converge. Exemplo 48 ( ) n n e ( ) n ln ( + n) são condicionlmente convergentes. Proposição 49 Tod série bsolutmente convergente é convergente. 4.3 Testes de Convergênci Proposição 50 Se b n converge bsolutmente com b n 0 pr todo n e n b n é limitd, então n converge.bsolutmente. Proposição 5 (Teste de d Alembert) Se n 0 pr todo n e n+ n c < pr todo n suf. grnde, então n converge bsolutmente.. Corolário 52 (Teste d Rzão) Suponh que existe L = lim n+ n Se L >, série n diverge; se L <, série n converge. Se L =, este teste é inconclusivo. Proposição 53 (Teste de Cuchy) Se n n c < pr todo n suf. grnde, então n converge bsolutmente. Corolário 54 (Teste d Riz) Suponh que existe L = n n. Se L >, série n diverge; se L <, série n converge. Se L =, este teste é inconclusivo. Proposição 55 Se n 0 pr todo n então lim n+ n = L lim n n = L 4.4 Comuttividde Definição 56 A série n é dit comuttivmente convergente se qulquer permutção b n = ϕ(n) fz com que bn sej convergente. Teorem 57 Se n é bsolutmente convergente então qulquer permutção b n = ϕ(n) é bsolutmente convergente com o mesmo limite. Teorem 58 (Riemnn) Sej n condicionlmente convergente. Então, ddo c R qulquer, existe um permutção b n = ϕ(n) tl que b n = c. Conclusão 59 Um série é comuttivmente convergente se, e somente se, é bsolutmente convergente. 4

5 5 Algums Noções Topológics 5. Conjuntos Abertos Definição 60 Diz-se que é interior X (ou X é um vizinhnç de ) qundo há intervlo ( ε, + ε) X. O interior do conjunto X (int X) é o conjunto dos pontos interiores X. O conjunto X é berto se intx = X. Teorem 6 Um interseção finit de bertos é bert. Um união qulquer de bertos é bert. 5.2 Conjuntos Fechdos Definição 62 Diz-se que é derente X qundo há seqüênci x n X com lim x n =. O fecho de X é o conjunto X dos pontos derentes X. Se F = F, o conjunto F é fechdo. Se X Y X, diz-se que X é denso em Y. Teorem 63 O ponto é derente X se, e somente se, tod vizinhnç de intersect X. Teorem 64 O conjunto X é fechdo. Teorem 65 F é fechdo se, e somente se, A = R F é berto. Teorem 66 Um união finit de fechdos é fechd. Um interseção qulquer de fechdos é fechd. Definição 67 Um cisão de um conjunto X R é um decomposição X = A B tl que A B = Ā B =. Teorem 68 Um intervlo I d ret só dmite cisão trivil I = I. Portnto, os únicos subconjuntos de R que são simultnemente bertos e fechdos são R e. 5.3 Pontos de Acumulção Definição 69 Sejm R e X R. Diz-se que é ponto de cumulção de X qundo tod vizinhnç V de stisfz V X {} =. O conjunto dos pontos de cumulção de X é denotdo X. Um ponto isoldo de X é um ponto X que não é ponto de cumulção. O conjunto X é discreto se todos os seus pontos são isoldos. Teorem 70 Ddos R e X R, são equivlentes: (i) é ponto de cumulção de X; (ii) = lim x n onde x n X {}; (iii) Tod vizinhnç de contém infinitos pontos de X. Proposição 7 Todo conjunto infinito limitdo de reis dmite pelo menos um ponto de cumulção. 5.4 Conjuntos Compctos Definição 72 Um conjunto X R é compcto qundo for limitdo e fechdo. Teorem 73 X é compcto tod seqüênci (x n ) com x n X possui um subseqüênci (y n ) com lim y n X. Teorem 74 Se X X 2... X n... é um seqüênci de compctos não-vzios, então i NX i. Definição 75 Um cobertur (finit) de um conjunto X é um fmíli (finit) C de conjuntos C λ (com λ L) tl que X C λ. Num cobertur bert, cd C λ é um conjunto berto. Se L L é tl que X λ, então fmíli λ L λ L C C λ com λ L é um subcobertur de C. Teorem 76 (Borel-Lebesgue) Tod cobertur bert de um compcto possui subcobertur finit. 5.5 Conjunto de Cntor Definição 77 O conjunto K dos números que podem ser escritos em bse 3 usndo pens os dígitos 0 e 2: { } i K = x R x = 3 i onde i {0, 2} é chmdo conjunto de Cntor. Ele pode tmbém ser obtido por pssos: i) Retire o terço médio berto do intervlo K 0 = [0, ], sobrndo K = [ [ 0, 3] 2 3, ]. ii) Retire o terço médio berto de cd intervlo restnte, sobrndo K 2 = [ [ 0, 9] 2 9, [ 9] 3 6 9, [ 9] 7 8 9, ]. iii) Repit o psso nterior: K 3 = [ [ 0, 27] 2 27, [ 27] , [ 27] , [ 27] 9 8 iv) Continue este processo "indefinidmente", isto é, K = K K 2 K 3... i= 27, 9 27 ] [ 20 27, 2 27 ] [ 24 27, Proposição 78 K é compcto e intk =, ms K é não-enumerável e não tem pontos isoldos. 5 ] [ 26 27, ].

6 6 Limites de Funções 6. Definição e Primeirs Proprieddes Definição 79 Sej f : X R e X. Dizemos que lim x f (x) = L qundo ε > 0, δ > 0; x ((X {}) ( δ, + δ)) f (x) (L ε, L + ε) Notção 80 Sendo X, denotremos Vδ () = (X {}) ( δ, + δ) (um vizinhnç furd de em X). Proposição 8 Se lim x f (x) = L então f (x) é limitd em lgum V δ (). Teorem 82 Tem-se lim x f (x) = L se, e somente se, tod seqüênci de pontos x n X {} com lim n x n = stisfz lim n f (x n ) = L. Corolário 83 Se o limite de um função existir, ele é único. Teorem 84 Se lim x f (x) = L < M = lim x g (x) então existe Vδ () onde f (x) g (x). lim x f (x) < M, então f (x) < M em um Vδ (). Corolário 85 Se f (x) g (x) em V δ (), então lim x f (x) lim x g (x) (desde que os limites existm). Em prticulr, se Teorem 86 (Snduíche) Se f (x) g (x) h (x) e lim x f (x) = lim x h (x) = L, então lim x g (x) = L. Proposição 87 Se f, g : X R, lim x f (x) = L e lim x g (x) = M então lim (f (x) ± g (x)) = L ± M x lim x (f (x) g (x)) = LM ( ) f (x) = L (desde que M 0) g (x) M lim x Corolário 88 Se f (x) é um função rcionl (frção de polinômios) e Domf então lim x f (x) = f (). Proposição 89 Se f, g : X R, lim x f (x) = 0 e g (x) é limitd em V δ (), então lim x f (x).g (x) = Limites Lteris Definição 90 é ponto de cumulção de X à direit ( X +) qundo δ > 0, V + δ () = (, + δ) X. Definição 9 Sej X +. Dizemos que lim x + f (x) = L qundo ε > 0, δ > 0; x X (, + δ) f (x) (L ε, L + ε) Proposição 92 As proprieddes dos limites lteris são s mesms dos limites devidmente dptds. Por exemplo: lim f (x) = L (x n) X, se x n > e x n, então f (x n ) L x + Teorem 93 lim x + f (x) = lim x f (x) = L lim x f (x) = L. Se X + X, vle tmbém volt. Definição 94 Diz-se que f (x) é monóton não-decrescente qundo x, x 2 Domf, x < x 2 f (x ) f (x 2 ). As definições de monóton decrescente, monóton crescente e monóton não-crescente são nálogs. Teorem 95 Existem sempre os limites lteris (que fizerem sentido) de um função monóton limitd. 6.3 Limites Infinitos e no Infinito Definição 96 (Limite em ) Sej Domf = X R ilimitdo superiormente. Dizemos que lim x + f (x) = L qundo ε > 0, A > 0; x X (A, + ) f (x) (L ε, L + ε) Definição 97 (Limite ) Dd f : X R e X, dizemos que lim x f (x) = + qundo A > 0, V δ () onde f (x) (A, + ) Comentário 98 Pode-se definir: lim x f (x) = b signific que, pr tod vizinhnç V (b), existe um vizinhnç V () (lterl pr limites lteris) tl que f (V ()) V (b). Fç V (+ ) = V (+ ) = V (+ ) = (A, + ) e tome V ( ) = V ( ) = V+ ( ) = (, A) e definição vle com R {± } e b R {± }. Teorem 99 Existem sempre (ou são ± ) os limites lteris (incluindo em + e + ) de um função monóton. Proposição 00 As expressões 0 0,, 0.,, 00, 0 e são indeterminds (ms lim f (x) g(x) = 0 0 = sempre que f (x) e g (x) forem nlítics com f (x) não-nul!). 6

7 7 Funções Contínus 7. Definição e Primeirs Proprieddes Definição 0 Diz-se que f : X R é contínu no ponto X qundo ε > 0, δ > 0; x V δ () = X ( δ, + δ) f (x) (f () ε, f () + ε) Diz-se que f é contínu se f for contínu em todos os pontos de X. Comentário 02 Com est definição, f (x) é contínu em X se, e somente se, lim x f (x) = f () ou / X. Teorem 03 Se f, g : X R são contínus e f () < g (), então f (x) < g (x) em lgum V δ (). Em prticulr, se f () 0, f (x) terá o sinl de f () em lgum V δ (). Corolário 04 Se f, g : X R são contínus, então Y = {x X f (x) < g (x)} é berto em X (isto é, Y = X A pr lgum berto A) e Z = {x X f (x) g (x)} é fechdo em X (Z = X F pr lgum fechdo F ). Em prticulr, se X é berto então Y é berto, e se X é fechdo então Z é fechdo. Teorem 05 Tem-se f (x) contínu em se, e somente se, (x n ) X e x n f (x n ) f (). Corolário 06 Se f, g : X R são contínus em, então f ± g, f.g e f/g tmbém o são (est últim desde que g () 0). Em prticulr, todo polinômio é contínuo e tod função rcionl é contínu (em seu domínio). Teorem 07 Se f : X R é contínu em e g : Y R é contínu em b = f () (e f (X) Y pr que compost g f fç sentido) então g f é contínu em. Em sum: compost de funções contínus é contínu. 7.2 Funções Contínus num Intervlo Teorem 08 (do Vlor Intermediário) Se f : [, b] R é contínu e f () < d < f (b), então existe c (, b) tl que f (c) = d. Isto é, se f é contínu e I é um intervlo, então f (I) é um intervlo. Teorem 09 (Ponto Fixo) Se f : [.b] R é contínu e f () e f (b) b, então existe c [, b] tl que f (c) = c. Teorem 0 Se I é um intervlo e f : I R é contínu e injetiv, então f é monóton e é um homeomorfismo entre I e J = f (I) (isto é, bijeção contínu com invers contínu). Corolário A função g : [0, + ) [0, + ) dd por g (x) = n x é contínu pr n N. 7.3 Funções Contínus em Conjuntos Compctos Teorem 2 Se X é compcto e f:x R é contínu então f (X) é compcto. Teorem 3 (Weierstrss) Se X é compcto e f : X R é contínu, então f ssume mínimo e máximo em X. Corolário 4 Se X é compcto e f : X R é contínu em X, então f é limitd. Teorem 5 Se X é compcto e f : X Y R é um bijeção contínu então f é um homeomorfismo entre X e Y. 7.4 Continuidde Uniforme Definição 6 Diz-se que f : X R é uniformemente contínu qundo ε > 0, δ > 0; X, x V δ () = X ( δ, + δ) f (x) (f () ε, f () + ε) (note que qui o δ não pode depender de ). Em outrs plvrs: ε > 0, δ > 0; x, y X, x y < δ f (x) f (y) < ε Definição 7 Diz-se que f : X R é de Lipschitz qundo k > 0; x, y X f (x) f (y) k x y Comentário 8 Tod função de Lipschitz é uniformemente contínu. Teorem 9 f : X R é uniformemente contínu se, e somente se, pr quisquer (x n ), (y n ) X tem-se lim (y n x n ) = 0 lim (f (y n ) f (x n )) = 0 Teorem 20 Se X é compcto e f : X R é contínu então f é uniformemente contínu. Teorem 2 Se X é limitdo e f : X R é uniformemente contínu então f é limitd. Teorem 22 Se f : X R é uniformemente contínu e X então existe lim x f (x). 7

8 8 Derivds 8. A Noção de Derivd Definição 23 Sejm f : X R e X X. A derivd de f em é f f (x) f () f ( + h) f () () = lim = lim x x h 0 h Se f () existir, função é derivável em. Se f for derivável em cd ponto de X X, f é derivável em X e função f : X X R é função derivd de f. Se f for contínu, f é de clsse C. Teorem 24 Ddo X X, derivd f () existe se e somente se f ( + h) = f () + c.h + r (h) onde lim h 0 r (h) h = 0 Corolário 25 Se f é derivável em, então f é contínu em. Definição 26 Sej X X +. A derivd à direit de f no ponto é f + () = lim h 0 + Proposição 27 Sej X + X. A função f é derivável em se, e somente se, f + () = f (). f(+h) f() h. Exemplo 28 Há funções deriváveis que não são de clsse C, como g (x) = x 2 sin (/x) (tome g (0) = 0). g (x) = 2x sin (/x) cos (/x) se x 0 ms g (0) = 0, isto é, g é descontínu em x = Regrs Opercionis Proposição 29 Vlem s Regrs d Som, do Produto e do Quociente. Teorem 30 (Regr d Cdei) Sejm f : X R e g : Y R tis que f (X) Y. Se f é derivável em e g é derivável em b = f () então (g f) () = g (f ()).f () Corolário 3 Se f : X Y é um bijeção derivável em e g = f é contínu em b = f (), então No cso f () 0, tem-se g (b) = /f (). 8.3 Derivd e Crescimento Locl g é derivável em b f () 0 Teorem 32 Se f + () > 0 então δ > 0 tl que x (, + δ) f (x) > f (). Anlogmente, se f () > 0 então δ > 0 tl que x ( δ, ) f (x) < f (). Corolário 33 Se f é não-decrescente, então f + () 0 ou f (), e tmbém f () 0 ou.f (). Definição 34 Se f (x) f () em V δ () então f tem um máximo locl em. Se f (x) < f () em Vδ () então f tem um máximo locl estrito em. Se f (x) f () em X então é ponto de máximo bsoluto de f. Corolário 35 Suponh que f tem um máximo locl em. Se X + então f + () 0 (ou não existe). Se f é derivável em X + X, então f () = 0. Exemplo 36 f () > 0 não implic f monóton num vizinhnç de. Por exemplo, g (x) = x 2 sin (/x) + x/2 (com g (0) = 0) stisfz g (x) = 2x sin (/x) cos (/x) + /2 pr x 0 e g (0) = 2 > 0. Como g ( ) 2Kπ = 2, g não pode ser crescente em intervlo lgum perto de x = 0. Definição 37 Se f () = 0 então é um ponto crítico de f. 8.4 Funções Deriváveis num Intervlo Teorem 38 (Drboux) Se f : [, b] R é derivável então f (x) tem propriedde do vlor intermediário em (, b). Teorem 39 (Rolle) Se f é contínu em [, b], derivável em (, b) e f () = f (b) então c (, b) tl que f (c) = 0. Teorem 40 (TVM) Se f é contínu em [, b] e derivável em (, b), então c (, b) tl que f (c) = f(b) f() b Corolário 4 Se f (x) = 0 num intervlo I, f é constnte em I. Se f (x) = g (x) em I, g = f + c em I. Corolário 42 Se f (x) k num intervlo, então f (y) f (x) k y x neste intervlo. Corolário 43 Sej f derivável no intervlo I. Tem-se f (x) 0 em I se, e somente se, f é não-decrescente em I. Corolário 44 Sej f derivável no intervlo I. Se f (x) > 0 em I, então f é bijeção crescente com invers derivável. 8 Então

9 9 Fórmul de Tylor e Aplicções d Derivd 9. Fórmul de Tylor Definição 45 Sej I um intervlo. Um função f : I R é de clsse C n qundo su n-ésim derivd f (n) : I R é contínu. Se f é de clsse C n pr todo n N, diz-se que f é de clsse C. Definição 46 Sej f um função n vezes derivável em. O polinômio de Tylor de ordem n d função f no ponto é o único polinômio p (h) de gru menor ou igul n que stisfz p (i) (0) = f (i) () pr i = 0,, 2,.., n: p (h) = f () + f ().h + f () 2! h f (n) () h n n! Em outrs plvrs, r (h) = f ( + h) p (h) stisfz r (0) = r (0) =... = r (n) (0) = 0. Lem 47 Sej r : J R n vezes derivável em 0 J. Então r (0) = r (0) =... = r (n) (0) = 0 lim h 0 r(h) h n = 0. Teorem 48 (Tylor Infinitesiml) Sej f : I R n vezes diferenciável em I. Então lim h 0 r(h) h n f ( + h) = f () + f ().h f (n) () h n + r (h) n! = 0, onde Teorem 49 (L Hôpitl) Se f, g são n vezes deriváveis em e f (i) () = g (i) () = 0 g (n) () pr i = 0,,..., n, f(x) então lim x g(x) = f (n) () g (n) (). Corolário 50 Sej f : [, + h] R de clsse C n e n vezes diferenciável em (, + h). Então c (, + h) tl que 9.2 Funções Convexs e Côncvs f ( + h) = f () + f ().h f (n ) () (n )! Definição 5 A função f : I R é convex qundo x (, b) I f (x) f () + f (b) f () b (x ) = f (b) + h n + f (n) (c) h n n! f (b) f () b (x b) = b x b f () + x b f (b) Teorem 52 Se f é convex em I e c I então existem s derivds lteris f + (c) e f (c), e f é contínu em inti. Teorem 53 Sej f : I R derivável. São equivlentes: i) f é convex; ii) f é não-decrescente; iii) f (x) f () + f () (x ) pr quisquer x, I. Corolário 54 Se c é um ponto crítico d função convex f, então c é um mínimo bsoluto de f. Corolário 55 Sej f : I R dus vezes derivável. Então f é convex se, e somente se, f (x) 0 em I. Proposição 56 Se f é convex, então ddos, 2,..., n I e t, t 2,..., t n [0, ] com t i = tem-se f (t + t t n n ) t f ( ) + t 2 f ( 2 ) t n f ( n ) 9.3 Aproximções Sucessivs e Método de Newton Definição 57 A função f : X R é um contrção se é Lipschitzin com constnte de Lipschitz k <. Teorem 58 Se X é fechdo e f : X X é um contrção, então f tem um único ponto fixo = f (), que pode ser obtido prtindo de x 0 X qulquer e tomndo o limite d seqüênci x n+ = f (x n ). Teorem 59 Sej f : I R de clsse C. A prtir de x 0 I qulquer, monte seqüênci x n+ = x n f (x n) f (x n ) = N (x n) Se x n, então f () = 0. Em prticulr, se f é de clsse C 2 e não se nul em I, então tod riz d equção f (x) = 0 tem um vizinhnç V δ () prtir d qul o método de Newton converge pr. Teorem 60 Mis explicitmente, se f (x) A e f (x) B em I, o método de Newton nos dá x n+ A 2B x n 2 9

10 0 A Integrl de Riemnn 0. Revisão sobre sup e inf Lem 6 Ddos A, B R e f, g : X R limitdos, tem-se sup (A + B) = sup A + sup B e sup (f + g) sup f + sup g. Se c 0, tem-se sup (ca) = c sup A e sup (cf) = c sup f. Enfim, sup x,y X { f (x) f (y) } = sup x X f inf x X f. 0.2 Integrl de Riemnn Definição 62 A som inferior e som superior d função limitd f : [, b] R reltivmente à prtição P = {t 0, t,..., t n } são respectivmente s (f; P ) = n m i (t i t i ) e S (f; P ) = i= n M i (t i t i ) onde m i = inf [ti,t i] f e M i = sup [ti,t i] f. A integrl inferior e integrl superior de f são f (x) dx = sup s (f; P ) e Teorem 63 P Q s (f; P ) s (f; Q) e S (f; Q) S (f; Q). P i= f (x) dx = inf S (f; P ) P Corolário 64 Dds P e Q quisquer, s (f; P ) S (f; Q). Portnto, se m = inf f e M = sup f m (b ) f (x) dx f (x) dx M (b ) Corolário 65 Podemos considerr pens prtições que refinem P 0 pr definir integris inferior e superior. Definição 66 Um função limitd f : [, b] R é integrável qundo sus integris inferior e superior coincidem. Este vlor é chmdo integrl de f em [, b]. Teorem 67 Sej f : [, b] R limitd. São equivlentes: i) f é integrável; ii) Pr todo ε > 0 existem prtições P e Q tis que S (f; Q) s (f; P ) < ε. iii) Pr todo ε > 0 existe prtição P tl que S (f; P ) s (f; P ) = n i= w i (t i t i ) < ε (onde w i = M i m i ). 0.3 Proprieddes d Integrl Teorem 68 Sej < c < b. A função limitd f : [, b] R é integrável se, e somente se, sus restrições [, c] e [b, c] o forem. Neste cso: f (x) dx = c f (x) dx + c f (x) dx Definição 69 Convencion-se f (x) dx = 0 e, se < b, b f (x) dx = Teorem 70 Se f, g : [, b] R são integráveis: i) f + g é integrável e [f (x) + g (x)] dx = f (x) dx + g (x) dx; ii) f.g é integrável; se c R, cf (x) dx = c f (x) dx. iii) Se g (x) k > 0 em [, b], então f/g é integrável; iv) Se f (x) g (x) em [, b], então f (x) dx g (x) dx; v) f é integrável e b f (x) dx f (x) dx. 0.4 Condições Suficientes de Integrbilidde Teorem 7 Se f é contínu então f é integrável. Teorem 72 Se f é monóton, então f é integrável. f (x) dx. Definição 73 X tem medid nul qundo, pr todo ε > 0, existe um cobertur enumerável X I k por intervlos bertos I k tl que I k < ε. Teorem 74 f é integrável se, e somente se, o conjunto dos seus pontos de descontinuidde tem medid nul. 0

11 Cálculo com Integris. Teorems Clássicos do Cálculo Integrl Teorem 75 (TFC) Sej f : I R contínu e I. Então F (x) = x f (t) dt é derivável em I e d dx x Reciprocmente, se F : I R é de clsse C, tem-se x f (t) dt = f (x), isto é, F (x) = f (x) F (t) dt = F (x) F (), isto é, F (x) = F () + x F (t) dt Teorem 76 (Mudnç de vriável) Sejm f : [, b] R contínu e g : [c, d] R de clsse C tis que g ([c, d]) [, b]. Então f (g (t)).g (t) dt = g(d) g(c) f (x) dx Teorem 77 (Integrção por Prtes) Sejm f, g : [, b] R de clsse C. Então f (x).g (x) dx = (f.g] b f (x).g (x) dx Teorem 78 (TVM pr Integris) Sej f : [, b] R contínu e p : [, b] R integrável com p (x) 0. Então existe c [, b] tl que f (x) p (x) dx = f (c) Em prticulr, existe c [, b] tl que f (x) dx = f (c). (b ). Lem 79 Sej ϕ : [0, ] R de clsse C n. Então ϕ () = ϕ (0) + ϕ (0) + ϕ (0) 2! ϕ(n ) (0) (n )! p (x) dx + 0 ( t) n ϕ (n) (t) dt (n )! Teorem 80 (Fórmul de Tylor com Resto Integrl) Sej f : I R de clsse C n em [, + h] (ou [ + h, ]). Então: [ ] f ( + h) = f () + f () h + f () h f (n ) () h n ( t) n + f (n) ( + th) dt.h n 2! (n )! 0 (n )!.2 A Integrl como limite de soms de Riemnn Teorem 8 Sej f : [, b] R limitd. Pr todo ε > 0, existe δ > 0 tl que Portnto, lim P 0 S (f; P ) = f (x) dx. P < δ S (f; P ) < f (x) dx + ε Definição 82 Um prtição pontilhd P é definid por P = {t 0, t,..., t n } e ξ = {ξ,..., ξ n } com t i ξ i t i. Um som de Riemnn é n (f; P ) = f (ξ i ) (t i t i ) i= Teorem 83 f : [, b] R é integrável se, e somente se existir lim P 0 (f; P ), que será o vlor de su integrl.

12 .3 Logritmos e Exponenciis Definição 84 A função logritmo nturl é definid em R + por ln x = x Proposição 85 A função ln x é monóton crescente (logo um bijeção entre,r + e R), côncv, de clsse C. Além disso, se x, y > 0, e r Q temos ln (xy) = ln x + ln y e ln (x r ) = r ln x. Note que ln (x) = /x. Definição 86 A função exponencil nturl exp : R R + é função invers de ln x. Proposição 87 A função exp (x) é monóton crescente, convex de clsse C. Além disso, exp (x + y) = exp (x). exp (y) e, denotndo exp () = e, temos exp (r) = e r pr r Q. Tmbém, exp (x) = exp (x). Definição 88 Sejm x R e > 0. Definimos e x = exp (x) e, em gerl, x = exp (x ln ). Note que est definição coincide com usul pr x Q. ln x Proposição 89 Tem-se lim x + x = 0; lim x 0 ex x um polinômio qulquer. Em prticulr, lim ( + n) n = e. t dt = ; lim x 0 ( + x) /x = e; e lim x + p(x) e x Proposição 90 Se f : I R é derivável e f (x) = kf (x) então f (x) = f (x 0 ) e k(x x0) pr todo x, x 0 I..4 Integris Imprópris = 0 onde p (x) é Proposição 9 Sej f : (, b] R limitd tl que restrição de f [c, b] é integrável pr qulquer c (, b]. Então tribuindo qulquer vlor pr f (), nov função f : [, b] R é integrável e f (x) dx = lim c 0 f (x) dx. Definição 92 (Tipo I) Sej f : (, b] R ilimitd e contínu. Su integrl imprópri (se convergir) é definid por f (x) dx = lim c + El é dit bsolutmente convergente se f (x) dx convergir. c f (x) dx Definição 93 Se tem-se pens f : (, b) R contínu, escolhe-se c (, b) e define-se f (x) dx = onde mbs s integris do ldo direito têm de convergir. c f (x) dx + c f (x) dx Definição 94 (Tipo II) Sej f : [, + ) R contínu. Su integrl imprópri (se convergir) é definid por + f (x) dx = c lim c + El é dit bsolutmente convergente se + f (x) dx convergir. Definição 95 Se f : (, + ) R é contínu, define-se + f (x) dx = 0 onde mbs s integris do ldo direito têm de convergir. f (x) dx + f (x) dx + 0 f (x) dx Proposição 96 Se um integrl é bsolutmente convergente então é convergente. Se f, g : I R são contínus e f (x) kg (x) pr todo x I então g (x) dx converge f (x) dx converge bsolutmente Exemplo 97 (Função Gm) Define-se Γ : (0, + ) R por I Γ (x) = I + 0 e x x t dx È possível ver que Γ (n) = (n )! se n N e, em gerl, Γ (x + ) = xγ (x) pr x 0. Teorem 98 Sejm f : [, + ) R contínu e decrescente e n = f (n). Então n converge se, e somente se, + f (x) dx converge. 2 c

13 2 Seqüêncis e Séries de Funções 2. Convergênci simples e convergênci uniforme Definição 99 Um seqüênci de funções f n : X R converge simplesmente pr f : X R se, pr cd x X, tem-se f n (x) f (x), isto é x X, ε > 0, N 0 > 0 tl que n N 0 f n (x) f (x) < ε Definição 200 Um seqüênci de funções f n : X R converge uniformemente pr f : X R se é possível escolher N cim sem depender de x, isto é ε > 0, N 0 > 0 tl que x X, n N 0 f n (x) f (x) < ε 2.2 Proprieddes d Convergênci Uniforme Teorem 20 Se f n f uniformemente e cd f n é contínu em então f é contínu em. Definição 202 Um seqüênci de funções f n : X R converge monotonicmente pr f : X R se pr cd x fixo seqüênci f n (x) é monóton e converge pr f (x). Teorem 203 Se X é compcto, f n f monotonicmente e f n e f são contínus, então f n f uniformemente. Teorem 204 Se f n f uniformemente e cd f n é integrável, então f é integrável e lim n f n (x) dx = f (x) dx Teorem 205 Sej (f n ) um seqüênci de funções de clsse C em [, b]. Suponh que, pr lgum c [, b] fixo, seqüênci f n (c) converge e que f n g uniformemente. Então f n f uniformemente onde f = g. Teorem 206 Sej f n : X R com f n (x) n pr todo n N e todo x X. Se n converge, então f n e fn convergem uniformemente. 2.3 Séries de Potêncis Teorem 207 Um série de potêncis é um série de funções d form n (x x 0 ) n = 0 + (x x 0 ) + 2 (x x 0 ) n (x x 0 ) n +... n=0 Teorem 208 A série de potêncis converge sse x pertence um intervlo de centro x 0 e rio de convergênci r = ( n lim sup n ) (pode ser r = 0 ou r = + ). De fto, série converge bsolutmente em (x 0 r, x 0 + r) e diverge for de [x 0 r, x 0 + r]. Comentário 209 Em prticulr, se lim n+ n = L R, então r = L. Teorem 20 Se 0 < ρ < r então série n (x x 0 ) n converge uniformemente em [x 0 ρ, x 0 + ρ]. Assim, função f (x) = n (x x 0 ) n é contínu em (x 0 r, x 0 + r). Teorem 2 Sej f (x) = n x n. Se [α, β] ( r, r) então β α f (x) dx = n ( β n+ α n+) n + Teorem 22 Sej f (x) = n x n definid no intervlo ( r, r). Então f é de clsse C e tem rio de convergênci r tmbém. f (x) = n n x n Corolário 23 Em prticulr, k = f (k) (0) k! e 0 + x n x n é o polinômio de Tylor de ordem n de f (x) em x = 0. Corolário 24 Sej X ( r, r) tendo 0 como ponto de cumulção. Se n x n e b n x n convergem em ( r, r) e são iguis pr todo x X então n = b n pr todo n N. 3

14 2.4 Funções Trigonométrics Definição 25 As funções seno e cosseno são definids pels séries de rio de convergênci infinito bixo cos (x) = sin (x) = n=0 n=0 ( ) n (2n)! x2n = x2 2 + x4 4! x6 6! +... ( ) n (2n + )! x2n+ = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... Proposição 26 As funções seno e cosseno são C, com cos (x) = sin x e sin (x) = cos x. Vlem: cos 2 (x)+sin 2 (x) = ; cos (x + y) = cos x cos y sin x sin y e sin (x + y) = sin x cos y + sin y cos x. Proposição 27 Definimos π como menor riz d equção cos ( x 2 ) = 0. Então cos e sin são periódics de período 2π. 2.5 Séries de Tylor Exemplo 28 Temos s seguintes séries de Tylor x = x n = + x + x 2 + x pr x (, ) n=0 + x 2 = ( ) n x 2n = x 2 + x 4 x pr x (, ) n=0 e x x n = n! = + x + x2 2! + x pr x R 3! n=0 ln ( + x) = ( ) n+ x n n! = x x2 2 + x3 3 x pr x (, ] 4 n= rctn x = ( ) n x 2n+ 2n + = x x3 3 + x5 5 x pr x [, ] 7 n=0 4

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