1 A Integral de Riemann

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1 Medid e Integrção. Deprtmento de Físic e Mtemátic. USP-RP. Prof. Rfel A. Rosles 22 de mio de 27. As seguintes nots presentm lgums limitções d integrl de Riemnn com o propósito de justificr construção d integrl de Lebesgue estudd o longo do curso. Ests deverão ser lids pós culminção ds uls sobre o Cpitulo 4: Funções Integráveis, em [Br]. λ denot medid de Lebesgue definid sobre σ-álgebr de R. A Integrl de Riemnn Nest seção presentmos brevemente integrl de Riemnn. Sej f : [, b] R um função limitd definid no intervlo [, b], pr < b,, b R. Sej P = {,, 2,..., n } um prtição de [, b], tl que = < < 2 <... < n = b. Definimos som superior Σ e inferior σ de Riemnn como Σ(P, f) = M i i, σ(p, f) = m i i, onde i = i i e M i = i= i= sup i x i f(x), m i = inf i x i f(x), pr cd i n. Observe que M i e m i são números reis, já que f é limitd em qulquer intervlo [ i, i ]. Pr definirmos integrl de Riemnn, primeiro mostrmos que pr um prtição P qulquer temos que σ(p, f) Σ(P, f), e então pr qulquer prtição mis fin P P, temos que σ(p, f) σ(p, f) e Σ(P, f) Σ(P, f). Finlmente observmos que pr quisquer dus prtições P, P 2 temos que P P 2 P e P P 2 P 2, portnto σ(p, f) Σ(Q, f) pr quisquer dus prtições P, Q. O conjunto { σ(p, f) : P é um prtição de [, b] } est limitdo por cim em R, logo o seu supremo é chmdo d integrl inferior de f em [, b], isto é f = sup P σ(p, f). Anlogmente pr o conjunto { Σ(P, f) : P é um prtição de [, b] }, definimos integrl superior como f = inf P Σ(P, f). Definição. A função f é Riemnn integrável em [, b] se sup P σ(p, f) = inf P Σ(P, f). Neste cso integrl de Riemnn é igul qulquer um destes limites, e é denotd por f(x) dx. [Br] Brtle, R. G. The Elements of Integrtion nd Lebesgue Mesure. Wiley Clssics Librry, 995. Wiley & Sons, New York

2 O seguinte resultdo fornece um critério útil pr verificr integrbilidde de funções. Teorem (Critério de Riemnn). A função f : [, b] R é Riemnn-integrável se, e somente se, pr qulquer ε > existe um prtição P ε tl que σ(p ε, f) Σ(P ε, f) < ε. Exemplo. O seguinte exemplo ilustr como é utilizdo o critério de integrbilidde de Riemnn pr clculr x dx. O problem imedito neste cso é que result difícil chr rízes qudrds exceto pr qudrdos perfeitos. Devido esto considermos prtições cujs divisóris são qudrdos perfeitos, mesmo que isto leve considerr intervlos de cumprimentos vriáveis 2. Sej seguinte seqüênci de prtições { ( ) 2, ( 2 ) 2, ( i 2, } P n =,...,..., n n n) Ddo que f é crescente obtemos s seguintes soms de Riemnn ( i ){( i ) 2 ( i ) 2 } Σ(P n, f) = = n n n n 3 (2i 2 i) i= i= ( i ){( i ) 2 ( i ) 2 } σ(p n, f) = = n n n n 3 (2i 2 3i + ) i= i= Logo Σ(P n, f) σ(p n, f) = n 3 i= (2i ) = n 3 { n(n + ) n } = n. Ao escolher n suficientemente grnde, podemos fzer diferenç entre s dus soms rbitrrimente pequen, i.e menor que um ε > ddo, portnto f é integrável. A integrl é 2/3, já que mbos σ(p n, f) e Σ(P n, f) convergem este vlor. Além do critério do Teorem é possível mostrr que tod função monóton limitd é Riemnn integrável, ssim como tmbém qulquer função continu (limitd) f : [, b] R. Estes resultdos são de grnde utilidde ms n prtic o clculo d integrl gerlmente consider em lugr d Definição, o seguinte resultdo (essencil nos cursos de cálculo!). Teorem 2 (Teorem fundmentl do Clculo). Se f : [, b] R é continu e F : [, b] R tem por derivd f, então F (b) F () = f(x) dx. 2 Notmos que nd impede est escolh n construção nterior. 2

3 Este resultdo combin integrl de Riemnn com s derivds sendo que F é função primitiv (ou nti-derivd de f), i.e. F (x) = x f(x) dx, justificndo s técnics elementres d integrção que formm prte de qulquer curso de cálculo. É possível prescindir do requerimento d continuidde, primeirmente o supor que f é limitd e não continu em um número finito de pontos dentro de [, b]. Neste cso f ind é Riemnn integrável. Pr ver isto, dividimos o intervlo ns prtes ns quis f é continu, sendo f integrável em cd um dests prtes. Por exemplo sej f igul pr todo x [, ] exceto nos pontos,..., n onde f é igul. Neste cso f é integrável com integrl igul em [, ]. Se intentmos generlizr este rgumento precisremos d integrl de Lebesgue: f é Riemnn integrável se, e somente se, f é continu em quse todos 3 os pontos de [, b]. Este resultdo, nd trivil (vej o Teorem 4 no finl dests nots), pode ser plicdo seguinte função em [, ] introduzid por K. J. Thome em f(x) = { n se x = m/n Q se x / Q A funçcão de Thome é continu em cd irrcionl ms descontínu nos números rcionis. Neste cso f é continu λ-q.t.p em [, ]: f é descontínu em um número enumerável dos números rcionis em [, ], i.e. em [, ] \ Q c, logo λ([, ] \ Q c ) =. Do Teorem 4(i) temos então que f é Riemnn integrável. A continuidde d função em () é estudd no pêndice. 2 Deficiêncis d Integrl de Riemnn Abrngênci. A integrl de Riemnn não inclui vris funções que precem n prtic como por exemplo s funções reis continus definids sobre domínios não compctos e s funções não limitds. Por exemplo () e x dx, e x dx. A solução em mbos csos é um proximção por integris imprópris definids por um pssgem o limite, n lim e x dx, n lim x dx. ε ε O Teorem de Convergênci Monóton pode ser utilizdo pr justificr ests pro- 3 mis precismente: continu λ-q.t.p 4 Brtle, R. G. nd Schebert, D. R. Introduction to rel nlysis. 3 Edição, 2. John Wiley & Sons, NY. 3

4 ximções 5. Pr primeir função temos prtir do Teorem 2 que e então n e x dx = [ e x ] n = e, e x dx = [e x ] = e, n e x dx = 2 2e. Utilizndo o limite cim, isto sugere o resultdo e x dx = lim n (2 2e ) = 2. De fto, sej f n (x) = { e x se x n, se x > n um seqüênci de funções em L tis que f n (x) e x pontulmente pr todo x R. Mis ind, sejm s integris n f n dλ = e x dx, s quis pr qulquer n estão limitds cim por 2. Temos finlmente que lim f n dλ = lim n n e x [,n] dλ = lim f n dλ = lim e x [,n] dλ n n n = lim e x dx = lim(2 2e ) = 2, n n sendo segund iguldde, o psso critico, consequênci do Teorem de Convergênci Monóton. A qurt iguldde segue do Teorem 4(ii) no finl dests nots. Sigmos gor com o segundo exemplo. A integrl de / x não é limitd pr qulquer intervlo que contem origem. Neste cso considermos integrl Pelo Teorem 2 est integrl é igul /n o qul converge 2. Pr verificrmos que x dx. [2x 2 ] n /n = 2( n 2 ), x dx = 2 5 de fto, est é um ds plicções mis utilizds n prtic. 4

5 utilizmos o Teorem de Convergênci Monóton pr seqüênci (f n ) definid por { x 2 se /n x, f n (x) = cso contrrio. sendo f n (x) / x pontulmente pr todo x (, ], e neste cso tods s integris fn estm limitds por cim por 2. Finlmente x dx = lim n f n dλ = 2. Dominio d integrl. A integrl de Riemnn est definid qundo o domínio de integrção é um subconjunto simples de R. Considere, por exemplo, s soms superiores e inferiores de Riemnn pr função indicdor dos rcionis em [, ], isto é, f = Q [,]. (2) Pr qulquer prtição P de [, ] cd sub-intervlo contem pontos rcionis e irrcionis, vej o pêndice, logo σ(p, f) = e Σ(P, f) =. Portnto não é possível clculr integrl de Riemnn de est função, de fto f é descontínu em um conjunto não enumerável de pontos de [, ] 6. Ms, diretmente d definição d integrl de Lebesgue temos que Q [,] dλ = λ([, ] Q) + λ([, ] \ Q) = já que Q é um conjunto nulo e portnto o seu cumprimento é. Vej s nots sobre conjuntos nulos em rrosles/uls. Anlogmente integrl de f = C, onde C é o conjunto de Cntor, é pois C tmbém é um conjunto nulo. Este conjunto e descrito em detlhe ns nots sobre conjuntos nulos. Limites de funções. É de se esperr que se f n é um seqüênci de funções Riemnn integráveis tis que f n converge em certo sentido f, então deverímos ter que n f n dx f dx. Apresentmos continução lguns exemplos onde (f n) converge pontulmente f, i.e. f n (x) f(x) pr todo x R, ms integrl de Riemnn não est definid. Tmbém presentmos um exemplo onde convergênci é uniforme.. Suponhmos que o limite não é Riemnn integrável, portnto questão d convergênci não fz sentido lgum. Sej f = Q, f n = An onde A n = {q, q 2,..., q n }, sendo (q n ), n, um enumerção dos números rcionis de form que f n é monótonmente crescente. 2. O limite é Riemnn integrável, ms s integris de Riemnn não convergem. Sejm f =, [, b] = [, /2] e escolh 4n 2 x, se x < /(2n) f n (x) = 4n 4n 2 x, se /(2n) x < /n se /n x. Est função é continu e tem integrl igul pr qulquer n N. Ms, seqüênci f n (x) converge pontulmente f = ddo que pr todo x [, /2], f n (x) = se n é o suficientemente grnde. 6 os irrcionis de [,] 5

6 8 f 5 f 4 6 f 3 4 f Figur : exemplo de convergênci não uniforme. Outros exemplos deste mesmo tipo são os seguintes. Sej f n (x) = n (, )(x) definid n em (, ). Temos então que pr qulquer x, f n (x) (pontulmente), i.e., f n f =. Porém pr todo n N ( ) f n (x) dx = n n =. A convergênci uniforme de (f n ) f tmpouco permite firmr convergênci ds integris de Riemnn, como é mostrdo no seguinte exemplo. Sej f n = n [,n]. Segue-se imeditmente d definição que f n f, i.e. convergênci ocorre uniformemente (fç um desenho!), e tmbém que f =. Entretnto, pr todo n N f n (x) dx = (n ) =. n Os dois últimos exemplos mostrm que tmpouco é suficiente que f n f (i.e. que f n sej monótonmente crescente e com limite f), ou que f n f. Respectivmente: (i). Sej f n = n R. Neste cso f n f onde f =, ms n N integrl de Riemnn de f n é. (ii). Sej f n = [n, ), então f n f e f =. Porém pr todo n N integrl de Riemnn de f n é +. 3 Integris de Lebesgue e Riemnn A integrl de Lebesgue é introduzid com o propósito de desenvolver um noção generlizd d integrl. Como um consequênci do Teorem de Convergênci Monóton, est integrl present proprieddes de limite superiores integrl de Riemnn. Porém, igulmente integrl de Riemnn, o cálculo especifico ds integris pode ser lborioso. Pr relcionr teori com lgums técnics convenientes do cálculo elementr que permitem resolver integris, nest seção provremos um versão do Teorem 2, ssim como tmbém coincidênci d integrl de Lebesgue e de Riemnn no cso que est ultim exist (Teorem 4(ii)). Neste processo encontrremos condições necessáris e suficientes pr existênci d integrl de Riemnn (Teorem 4(i)). 6

7 Teorem 3. Se f : [, b] R é continu então f é integrável e função F dd por F (x) = x é diferenciável em (, b), e tem derivd F = f. Demonstrção. As funções continus são mensuráveis logo f L[, b] 7. Fixemos < x < x + h < b, então F (x + h) F (x) = fdλ x+h x f dλ, o qul segue ds proprieddes d integrl desde que f (x,x+h] = f [,x+h] f [,x]. Pel propriedde do vlor médio, o vlor d integrl est contido no intervlo [Ah, Bh], onde A = inf{f(t) : t [x, x + h]} e B = sup{f(t) : t [x, x + h]}. Os dois números existem, sendo f continu. Neste cso podemos chr t, t 2 tis que A = f(t ) e B = f(t 2 ) em [x, x + h]. Logo f(t ) h x+h x f dλ f(t 2 ). O Teorem do vlor médio fornece um θ [, ] tl que f(x + θh) = h x+h x f dλ = F (x + h) F (x), h e então no limite h, continuidde de f grnte que F (x) = f(x). O próximo Teorem mostr como integrl de Lebesgue é um generlizção d integrl de Riemnn. Teorem 4. Sej f : [, b] R. um função limitd. (i) f é Riemnn integrável se, e somente se f é continu em λ-quse tods prtes em [, b]. (ii) As funções Riemnn integráveis em [, b] são Lebesgue integráveis em [, b]. Ambs integris são iguis. Demonstrção. Sej P um prtição de [, b] e i = i i, i =, 2,..., n, com M i e m i o sup e o inf de f respectivmente em I = [ i, i ]. Sejm Σ(P, f) e σ(p, f) s soms de Riemnn superiores e inferiores ssocids P. Observe que ests soms são s integris de Lebesgue ds funções simples u P = M i Ii, l P = i= m i Ii. i= Escolhmos gor um seqüênci (P n ) tl que P n+ P n e o cumprimento do mior subintervlo em P n se proxime de. Escrevendo u n pr u Pn e l n pr l Pn temos que l n f u n pr todo n. Consideremos gor o espço mensurável ([, b], A [,b], λ [,b] ) 7 este buso d notção indic que f é integrável no domínio [, b] 7

8 pr λ [,b] = λ medid de Lebesgue no intervlo [, b]. Temos que s funções u = inf u n e l = sup l n são mensuráveis e monótons desde que, l l 2 f u 2 u. () Neste cso lim u n = u e lim l n = l pontulmente, e tods s funções em () são limitds em [, b] por M = sup{f(x) : x [, b]}, o qul é integrável em [, b]. Agor, pelo Teorem de Convergênci Domind concluímos que lim Σ(P n, f) = lim lim σ(p n, f) = lim u n dλ = l n dλ = u dλ, e funções limite u e l são Lebesgue integráveis. Suponhmos gor que x não é um ponto do limite de qulquer um dos intervlos ds prtições (P n ), o qul exclui unicmente um conjunto enumerável dos pontos de [, b]. Segue-se imeditmente disto que l dλ, f é continu em x u(x) = f(x) = l(x). Est firmção segue d definição de continuidde, ddo que o cumprimento de cd subintervlo se proxim de e portnto vrição de f sobre os intervlos que contem x se proximm de se, e somente se f é continu em x. A integrl de Riemnn de f é definid como o vlor comum do limite lim Σ(P n, f) e lim σ(p n, f), sempre e qundo os limites sejm iguis. Pr demonstrr (i), suponh primeiro que f é Riemnn integrável, portnto u dλ = Ms l f u, logo (u l)dλ =, o qul implic que u = l = f λ-em quse tods prtes pelo Teorem Dest form f é continu em λ-q.t.p. pel crcterizção d continuidde de f em x introduzid nest demonstrção, qul unicmente exclui um conjunto nulo 9 dos pontos d prtição. No sentido contrrio, pr mostrr equivlênci, se f é λ-em q.t.p. continu, então u = f = l, λ-q.t.p., portnto u e l são Lebesgue mensuráveis e então tmbém f. Além disto, se por hipótese f tmbém é limitd, então f é Lebesgue integrável em [, b], um vez que s integris são iguis λ-q.t.p, então s integris (de Lebesgue) de l, f e u coincidem, l dλ = f dλ = u dλ. (b) Ddo que s integris de l e u são iguis, isto mostr que por definição, f é Riemnn integrável. Finlmente, pr provrmos (ii), observmos que se f é Riemnn integrável então (i) mostr que f é λ-q.t.p. continu, portnto mensurável e então de (b) su integrl de Lebesgue coincide com s integris de l e u, e portnto tmbém com integrl de Riemnn. 8 write 9 N B é nulo se λ(n) = l dλ. 8

9 4 Apêndice Mostrmos neste pêndice que função de Thome é continu nos irrcionis. 9