Escola Politécnica FGE GABARITO DA P2 15 de maio de 2008

Transcrição

1 P Físic Escol Politécnic FGE 03 - GABARTO DA P 5 de mio de 008 Questão Um cpcitor com plcs prlels de áre A, é preenchido com dielétricos com constntes dielétrics κ e κ, conforme mostr figur. σ σ κ κ _ d / d / y () (,0 ponto) Clcule os cmpos elétricos E e E em cd um dos dielétricos e diferenç de potencil entre s plcs. (b) (,0 ponto) Clculr cpcitânci. (c) (0,5 ponto) Clcule densidde superficil de crg n superfície do dielétrico (expresse su respost em função de σ e κ ).

2 Solução d questão () N presenç de um dielétrico com constnte dielétric κ o cmpo elétrico fic reduzido de um ftor κ. Assim, E = E 0 κ = σ κ ǫ 0 j (dielétrico ), E = E 0 κ = σ κ ǫ 0 j (dielétrico ). A diferenç de potencil é dd por V = E d ( d l = E + E d = + κ κ ) σd ǫ 0 = V = ( κ + κ κ κ ) σd ǫ 0. (b) A cpcitânci é dd por C = Q V = σa ( ) V = κ κ ǫ0 A κ + κ d/. (c) Chmndo σ i densidde de crg induzid n superfície do dielétrico e E i o cmpo produzido por est densidde temos: E = E 0 = σ ( ) κ κ ǫ κ 0 E = E 0 E i = σ σ = σ i = σ. i κ ǫ 0 ǫ 0

3 Questão Usndo lei de Biot-Svrt, () (,0 ponto) clcule o vetor cmpo mngnético B produzido por um fio semi-infinito por onde pss um corrente no ponto P mostrdo n figur ( é o versor que pont n direção positiv do eixo z); P (b) (,5 ponto) clcule o vetor cmpo mgnético B produzido pelos fios semi-infinitos e pelo trecho curvo do condutor (um qurto de círculo) no ponto O (centro do círculo de rio R mostrdo n figur). O R 3

4 Solução d questão () r dl θ P 0 x Usndo lei de Biot-Svrt d B = µ 0 4π Primeir solução: vriáveis n equção () em função de θ r = d l ˆr r senθ, x = cotg θ, dx = cosec θ dθ = d B = µ 0 4π senθ = µ 0 dx sen θ 4πr () = B = µ 0 4π π/ 0 senθ dθ = µ 0 4π cos θ Segund solução: usndo vriável x n equção () π/ 0 = µ 0 4π r = + x, senθ = + x = d B = µ 0 dx 4π ( + x ) 3/ = B = µ 0 4π 0 dx ( + x ) = µ 0 3/ 4π x ( + x ) / 0, B = µ 0 4π. O No trecho circulr d l ˆr d l ˆr = dl e (b) r dl = B = µ 0 4πR lei de Biot-Svrt fornece d B = µ 0 4π dl = µ 0 4πR πr = µ 0 8R d l ˆr r = µ 0 dl 4πR () A contribuição dos fios semi-infinitos é obtid d expressão do item () colocndo = R. O cmpo dos dois fios se som e o resultdo finl é B = µ 0 8R + µ 0 4πR = µ 0 8πR (4 + π). 4

5 Questão 3 Em um bobin retngulr com ldos de comprimento e b e com N espirs, pss um corrente. A bobin é submetid um cmpo mgnético constnte B. O plno d bobin é prlelo à direção do cmpo, conforme mostr figur bixo. j i b 4 3 B () (,0 ponto) Clcule s forçs F, F, F 3 e F 4, que gem sobre os ldos,, 3 e 4 d bobin. (b) (0,5 ponto) Clcule o vetor momento mgnético d bobin. (c) (,0 ponto) Sbendo-se que o módulo do torque sobre bobin é igul τ 0, determine corrente que circul n bobin (dê su respost em função de, b, N, B e τ 0 ). 5

6 Solução d questão 3 () Sobre um fio percorrido por um corrente em um cmpo mgnético B ge um forç F = d l B = l B (pr B constnte) Somente os ldos e 3, perpendiculres o cmpo mgnético, sofrem forç devido o cmpo mgnético. F = F 4 = 0 e F = F 3 = NB (b) O momento mgnético µ d espir é µ = N A = Nb. (c) O torque que je sobre espir é τ = µ B = NbB j = NbB ı, ou, lterntivmente, clculndo o torque ds forçs em relção o centro d espir (como F e F 3 formm um binário podemos clculr o torque em relção qulquer ponto) obtemos: τ = ( b F + b ) F 3 ı = NbB ı Se o módulo do torque é τ 0, obtemos pr corrente = τ 0 NbB. 6

7 Questão 4 Por um cilindro reto, oco, muito longo de rio interno e rio externo b, pss um corrente, uniformemente distribuid sobre su seção ret. b z () (0.5 ponto) Clcule o vetor densidde de corrente J. (b) (,0 ponto) Clcule o cmpo mgnético B ns regiões r < e r > b. (c) (,0 ponto) Clcule o cmpo mgnético B n região < r < b. 7

8 Solução d questão 4 () A densidde de corrente é dd por J = π(b ) pr < r < b b z Como o cilindro é muito longo, s linhs de B são circulres. Além disto, els têm o sen- B tido indicdo n figur. Usmos como curvs mperins círculos centrdos no eixo do cilindro. (b) Pr r > b, Pr r <, B d l = Bπr = µ0 = B = µ 0 πr Bπr = 0 = B = 0 (c) Pr < r < b, B d l = Bπr = µ0 Jπ(r ) = µ 0 (r ) = B = µ 0 r π(b ) r b 8

9 Formulário Φ E = E da, E d A = q int ǫ 0, C = Q/V, C eq = C + C +..., C eq = C + C +..., E = σ ǫ, u = ǫ E, U = Q C = CV ǫ 0 κe da = q int liv, = QV, ǫ ǫ 0 = κ, u = ǫ 0 E, E = E 0 κ, = dq dt = n q v da, J = n q vd, ρ(t) = ρ 0 [+α(t T 0 )], dr = ρ dl A, V = R, V = E r, P = V = R = V R, F = qe + q v B, Φ B = B da, B da = 0, df = d l B, µ = A, τ = µ B, U = µ B, d B = µ 0 4π d l ˆr r, F l = µ 0 πr, B d l = µ0 int. Algums integris dx (c + x ) / = log(x + c + x ), xdx (c + x ) / = c + x, dx + x = tn ( x ), dx (c + x ) = x 3/ c (c + x ) /, xdx (c + x ) = 3/ (c + x ) /, xdx + x = log( + x ). 9