Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral

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1 Escol Superior de Agricultur Luiz de Queiroz Universidde de São Pulo Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl Teori d Integrção e Aplicções Professor Rent Alcrde Sermrini Nots de ul do professor Idemuro Antonio Rodrigues de Lr Pircicb Jneiro 2016 Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

2 Integrl indefinid Integrl indefinid Definição 4.1 Antiderivd ou função primitiv. Um função F (x) é chmd de ntiderivd d função f (x) em (, b) se F (x) = f (x) x (, b). Se F (x) é um ntiderivd de f (x) em (, b), então su ntiderivd mis gerl é fmíli de funções F (x) + c, com c R. Definição 4.2 Integrl indefinid. Se F (x) é um ntiderivd d função f (x), então fmíli de funções F (x) + c, com c R, é chmd de integrl indefinid d função f (x) e denot-se: f (x)dx = F (x) + c. Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

3 Integrl indefinid Integrl indefinid Definição 4.3 Proprieddes ds integris [ [ (i) f (x)dx] = F (x) + c] = f (x) (ii) df (x) = f (x)dx = F (x) + c (iii) kf (x)dx = k f (x)dx, k R (iv) [f (x) + g(x)]dx = f (x)dx + g(x)dx (este resultdo se estende pr um número finito de funções) Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

4 Integrl indefinid Integrl indefinid Exemplo 4.1 Resolv s integris seguir: () (2x 3 3sen(x) + 5 x)dx ( ) 6 3 x (b) 3 x dx Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

5 Integrl indefinid Integrl por substituição Genericmente, tem-se, que se: x = g(t) dx = g (t)dt Então: f (x)dx = f [g(t)]g (t)dt Exemplo 4.2 Resolver s integris seguir. dx () 3 (x + 1) 2 (b) sen(2x + 1)dx (c) tg(x)dx (d) (e) (f) ln x x dx xdx 1 x 2 x 2 sen(1/x)dx Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

6 Integrl indefinid Integris de funções contendo trinômio Cso 1. Integris n form dx x 2 + bx + c ou dx x 2 + bx + c Neste cso, idei é completr o trinômio do denomindor tornndo-o qudrdo perfeito, de tl form obter um som ou diferenç de dois qudrdos. Exemplo 4.3 Clculr integrl dx x 2 6x Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

7 Integrl indefinid Integris de funções contendo trinômio Cso 2. Integris n form Mx + N x 2 + bx + c dx ou Mx + N x 2 + bx + c dx Exemplo 4.4 Clculr integrl x 3 x 2 2x 5 dx. Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

8 Integrl indefinid Integris por prtes Sejm u = u(x) e v = v(x) dus funções reis d vriável x, integrl por prtes é definid por: udv = uv vdu Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

9 Integrl indefinid Integris por prtes Exemplo 4.5 Clculr s integris seguir. xrcsen(x) () dx 1 x 2 (b) xe x dx (c) x 5 ln xdx (d) x cos xdx (e) ln xdx (f) rctgxdx (g) e x cos xdx Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

10 Integrl indefinid Integris de funções rcionis Integrr função P(x) Q(x), em que P(x) e Q(x) são funções polinomiis, de grus m e n, respectivmente. Se m < n função rcionl é chmd de própri, cso contrário é chmd de imprópri. Tod função rcionl imprópri pode ser decompost num som de um polinômio com um função rcionl própri. A idei dest técnic é escrever frção própri como um som de frções prciis, de tl form que: Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

11 Integrl indefinid Integris de funções rcionis (i) Cd riz () do denomindor d função rcionl própri contribui com um frção do tipo: A x (ii) Se riz () do denomindor d função rcionl própri tem multiplicidde k, então s frções prciis serão do tipo: A 1 (x ) k + A 2 (x ) k A k (x ). (iii) Se função do denomindor presentr rízes complexs, deve-se observr que els precem em pres conjugdos que dão origem polinômios do tipo: x 2 + px + q. Então s rízes complexs conjugds dão origem um frção prcil do tipo: Ax + B x 2 + px + q. Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

12 Integrl indefinid Integris de funções rcionis Exemplo 4.6 Clculr s integris seguir. x 3 () x 1 dx 2x 1 (b) x 2 5x + 6 dx Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

13 Integrl indefinid Integris de funções irrcionis No cso de integris que envolvm funções irrcionis, um substituição do rdicndo por: R(x) = t q em que q = m.m.c {q 1, q 2,..., q n }, em gerl, fornece um função rcionl. Exemplo 4.7 Resolver integrl x 3 + x dx Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

14 Integrl Definid Integrl Definid Temos que f (x)dx = F (x) + c é um função d vriável x e, portnto, é clssificd como integrl indefinid. Entretnto, sendo f (x) integrável, se selecionrmos dois pontos e b do domínio d função ( < b) e efeturmos: [F (b) + c] [F () + c] = F (b) F () obtém-se um vlor que independe d constnte c. Este vlor é chmdo de integrl definid d função f (x) no intervlo de té b. Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

15 Integrl Definid Integrl Definid Teorem 4.1 Se y = f (x) é um função contínu em [, b] então el é integrável no intervlo [, b]. Definição 4.4 Sej y = f (x) um função rel definid no intervlo [, b], integrl definid de y = f (x) de té b é definid por: b f (x)dx se est integrl existe dizemos que f (x) é integrável em [, b]. Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

16 Integrl Definid Interpretção geométric Definição 4.5 Se f é um função contínu definid em x b, dividimos o intervlo [, b] em n subintervlos de comprimentos iguis x = (b )/n. Sejm x 0 (= ), x 1, x 2,..., x n (= b), s extremiddes desses subintervlos, escolhemos os pontos mostris x1, x 2,..., x n nesses subintervlos, de form que xi estej no i-ésimo subintervlo [x i 1, x i ]. Então integrl definid de f de b é b f (x)dx = lim n n f (xi ) x, desde que este limite exist. Se ele existir, dizemos que f é integrável em [, b]. i=1 Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

17 Integrl Definid Interpretção geométric Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

18 Integrl Definid Interpretção geométric Observção: Geometricmente, o vlor de b f (x)dx represent áre d região situd entre o gráfico d função e o eixo x, sendo que est áre é contd positivmente ou negtivmente, conforme ess região estej situd cim ou bixo do eixo x. Por exemplo, sej f definid pelo gráfico bixo: Então, b f (x)dx = A 1 + A A 2. Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

19 Integrl Definid Proprieddes Definição 4.6 Sejm f (x) e g(x) dus funções reis integráveis em [, b], são definids e válids s seguintes proprieddes: P1. P2. P3. P4. b b b f (x) dx = 0 f (x) dx = kf (x) dx = k. f (x) dx b b b f (x) dx f (x) dx, com k R g(x) dx, se f (x) g(x) Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

20 Integrl Definid Proprieddes P5. P6. b b f (x) dx f (x) dx = b c f (x) dx f (x) dx + b c f (x) dx, < c < b Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

21 Integrl Definid Teorem Fundmentl do Cálculo Teorem 4.2 Fundmentl do Cálculo. Sej y = f (x) um função contínu no intervlo [, b] e, F (x) um primitiv (ntiderivd) de f (x) no intervlo [, b], então: b f (x) dx = F (b) F () Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

22 Integrl Definid Integrl definid Exemplo 4.8 Clculr áre limitd pel prábol d função y = x 2 5x + 6 e s rets x = 0 e y = 0. Exemplo 4.9 Clculr áre limitd pel prábol d função y = 4 + x 2 e o eixo Ox. Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

23 Integrl Definid Integrl definid Exemplo 4.10 Clculr s integris () (b) (c) x(1 + x 2 ) dx (x 3 4x 2 + 1) dx x 1 + x 2 dx Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

24 Integrl Definid Áre entre curvs Teorem 4.3 Áre entre curvs. Sejm f (x) e g(x) dus funções contínus e positivs no intervlo [, b] tl que f (x) > g(x), x [, b] então áre A limitd entre s curvs ds dus funções é dd por: Exemplo 4.11 A = b [f (x) g(x)]dx Clculr áre d região do plno crtesino em que f (x) > g(x), sendo f (x) = x e g(x) = x + 2. Exemplo 4.12 Clculr áre d região do primeiro qudrnte do plno crtesino, limitd pels curvs ds funções f (x) = x, g(x) = 1 x e h(x) = 1 4 x. Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

25 Integrl Definid Volume Sej y = f (x) um função definid no intervlo [, b]. Vmos considerr rotção d região pln A o redor do eixo x, como consequênci obtemos um sólido de revolução. Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

26 Integrl Definid Volume Pr obter o volume V procedemos de modo nálogo o cálculo d áre, ou sej, dividimos o intervlo [, b] em n prtes: x }{{} 0 < x 1 < x 2 <... < x n 2 < x n 1 < x }{{} n b Sej x i = x i x i 1 mplitude de cd subintervlo. Tomemos um ponto rbitrário, x i, em cd um dos subintervlos. O volume V é ddo pels soms dos volumes dos n cilindros: V = n π[f ( x i ] 2 x i i=1 Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

27 Integrl Definid Volume Fçmos n. Se à medid que n V se proxim de um número I, dizemos que est som (1) é Riemnn integrável e o limite I é o volume do sólido de revolução delimitdo pelo intervlo [, b], ou sej: V = lim n n π[f ( x i ] 2 x i = π i=1 b [f (x)] 2 dx (1) Exemplo 4.13 Clculr o volume do sólido de revolução obtido pel rotção d região A limitd pelo gráfico d função y = x 2 e pels rets x = 1 e x = 4 o redor do eixo x. Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

28 Integrl Definid Volume Observções: (i) O resultdo permnece válido mesmo que f (x) ssum vlores negtivos. b V = π = π b f (x) 2 dx [f (x)] 2 dx Figur: Sólido de revolução d função f (x) = x o redor do eixo Ox, no intervlo [-3,3] Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

29 Integrl Definid Volume Observções: (ii) Volume de um sólido de revolução gerdo pel rotção de um região pln A limitd entre dus curvs: V = π b [(f (x)) 2 (g(x)) 2 ]dx. Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

30 Integrl Definid Volume Observções: (iii) Volume de um sólido de revolução gerdo pel rotção de um região pln A o redor do eixo Oy: V = π b [f (y)] 2 dy. Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 2 20 de Jneiro de / 41

31 Integrl Definid Volume Observções: (iv) Volume de um sólido de revolução gerdo pel rotção de um região pln A o redor de um ret prlel o eixo Ox: V = π. b [f (x) L] 2 dx Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

32 Integrl Definid Volume Observções: (v) Volume de um sólido de revolução gerdo pel rotção de um região pln A o redor de um ret prlel o eixo Oy: V = π. b [f (y) M] 2 dy Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

33 Integris imprópris Integris com limites de integrção infinitos Definição 4.7 As integris dos tipos: I 1 = b f (x)dx ou I 2 = são chmds de imprópris. Se existe limite finito I 1 = + b lim f (x)dx f (x)dx ou I 3 = + f (x)dx então ele será integrl imprópri d função f (x) no intervlo (, b]. Neste cso, dizemos que integrl I 1 é convergente, cso contrário dizemos que el é divergente. De modo nálogo pr integrl I 2. Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

34 Integris imprópris Integris com limites de integrção infinitos Pr solução d integrl imprópri I 3 podemos usr propriedde d ditividde finit ds integris, ou sej: I 3 = + f (x)dx = b lim f (x)dx + lim c + c b f (x)dx, b R. Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

35 Integris imprópris Integris com limites de integrção infinitos Exemplo 4.14 Avlie integrl + 0 dx x Exemplo 4.15 Avlie integrl + te t2 dt Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

36 Integris com integrndos infinitos Integris com integrndos infinitos Definição 4.8 Suponh que y = f (x) estej definid no intervlo (, b] ms sej integrável somente em [ + c, b]. Então o limite: b lim f (x)dx c 0 + +c é um integrl imprópri d função y = f (x) em (, b]. Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

37 Integris com integrndos infinitos Integris com integrndos infinitos Exemplo 4.16 Avlie integrl 3 2 dx x 2 Exemplo 4.17 Avlie integrl Exemplo 4.18 Avlie integrl (1 + ln x)dx dx 3 (x + 1) 2 Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

38 Integris com integrndos infinitos Funções eulerins: Gm Definição 4.9 Função Gm. Sej α > 0, integrl imprópri convergente: Γ(α) = + 0 x α 1 e x dx é denomind função gm de prâmetro α. Proprieddes d função Gm: P1. Γ(1) = 1 P2. Γ(α + 1) = αγ(α) P3. Γ(n + 1) = n!, n N P4. Γ(1/2) = π Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

39 Integris com integrndos infinitos Funções eulerins: Gm Exemplo 4.19 Clculr integrl + 0 x 5 e x dx Exemplo 4.20 Clculr integrl Exemplo 4.21 Clculr integrl (ln x) 3/2 x 2 dx 1 2π e 1 2 x2 dx Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

40 Integris com integrndos infinitos Funções eulerins: Bet Definição 4.10 Função Bet. A integrl de prâmetros m > 0 e n > 0 definid por: β(m, n) = 1 0 x m 1 (1 x) n 1 dx, se m 1 e n 1 est integrl é própri, porém se 0 < m < 1 ou 0 < n < 1, est integrl é imprópri convergente. Se fizermos seguinte reprmetrizção x = sen 2 t, obtém-se: β(m, n) = 2 π/2 0 (sen t) 2m 1 (cos t) 2n 1 dt (2) Propriedde fundmentl d função bet (relciond à função gm) β(m, n) = Γ(m)Γ(n) Γ(m + n). Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41

41 Integris com integrndos infinitos Funções eulerins: Bet Exemplo 4.22 Clculr integrl Exemplo 4.23 Clculr integrl 1 0 π/6 0 x(1 x) 3 dx. sen(3x)dx. Rent Alcrde Sermrini Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl 20 de Jneiro de / 41