Marcelo José Dias Nascimento. Marcelo Nascimento / UFSCar

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1 Cálculo Mrcelo José Dis Nscimento Mrcelo Nscimento / UFSCr

2 Mrcelo Nscimento / UFSCr

3 Sumário Integris 5. Primitivs Integrl de Riemnn Cálculo de Áres Substituição de Vriáveis Integrção por prtes Integris Trigonométrics Primitivs de Funções Rcionis; Frções Prciis Denomindores Redutíveis do Gru Denomindores Redutíveis do 3 Gru Denomindores Irredutíveis do Gru Substituições Trigonométrics Aplicções d Integrl Volume Comprimento de Curv Integris Imprópris Testes de Convergênci Integrndos Descontínuos Mrcelo Nscimento / UFSCr 3

4 4 SUMÁRIO Mrcelo Nscimento / UFSCr

5 Cpítulo Integris. Primitivs Sbemos que derivd de um função constnte é zero. Além disso, um função pode ter derivd zero em todos os pontos do seu domínio e não ser constnte. Vej o eemplo bio. Eemplo.. Considere função f() =. Observe que f () = em todo ponto de seu domínio, ms f não é constnte. Proposição.. Sej f contínu em [, b] e diferenciável em (, b) e f () =, pr todo (, b), então f é constnte em [, b]. Mrcelo Nscimento / UFSCr Demonstrção. Sej [, b] fido. Pr todo [, b],, segue do Teorem do Vlor Médio, que eiste c no intervlo berto de etremos e tl que f() f( ) = f (c)( ). Como f () =, pr todo (, b), temos que f (c) = e portnto f() f( ) = = f() = f( ), [, b]. Portnto, f é constnte em [, b]. Pergunt: Porquê o Eemplo. não contrdiz Proposição nterior? Corolário.3. Se dus funções definids em um intervlo berto I tiverem mesm derivd em todo ponto de I, então els vão diferir por um constnte. 5

6 6 CAPÍTULO. INTEGRAIS Demonstrção. Idei d prov: Defin função h() = f() g(). Disto segue que, h () = f () g (), ou sej, h () =, pr todo I e d Proposição nterior h() = k. Segue que f() = g() + k. Definição.4 (Primitiv). Sej f : [, b] R. Um primitiv (ou ntiderivd) de f em [, b] é um função derivável F : [, b] R tl que pr todo [, b]. F () = f() Observção.5. Se F for um primitiv de f, então F será contínu, pois é diferenciável. Eemplo.6. A função F () = 3 3 é um primitiv de f() = em R, pois F () =, pr todo R. Se F () é um primitiv de f() então F () + k tmbém será um primitiv de f(). Por outro ldo, se houver um outr função G() que é primitiv de f, pelo visto nteriormente, F e G diferem, neste intervlo, por um constnte. Segue que s primitivs de f são d form Denotmos por F () + k, k = constnte. f()d = F () + k fmíli de primitivs de f e chmmos f()d de integrl indefinid de f. N notção f()d, função f denomin-se integrndo. Observção.7. Qundo estmos trtndo integris indefinids, nunc podemos esquecer constnte k, pois eistem infinits primitivs pr um função f e se suprimirmos constnte, teremos encontrdo pens um ds infinits possibiliddes. Eemplo.8. Mrcelo Nscimento / UFSCr d = k. Ds fórmuls de derivção já vists, seguem s seguintes primitivs imedits: () cd = c + k (b) e de + k (c) α d = α+ α+ + k, α (d) cos d = sin + k (e) sin d = cos + k (f) d = ln + k, > (g) d = ln( ) + k, < (h) sec d = tn + k (i) d = rcsin + k

7 .. INTEGRAL DE RIEMANN 7. Integrl de Riemnn Definição.9. Sej [, b] R um intervlo limitdo e fechdo. Dizemos que P : = < < <... < n = b n, n N, é um prtição de [, b]. Neste cso, escrevemos P = {,,..., n }. Um prtição P de [, b] divide o intervlo em n intervlos. =... i i... n n = b Observe que os intervlos [ i, i ] d prtição P não precism ter mesm mplitude. Pr cd i =,..., n, definimos i = i i mplitude do intervlo [ i, i ]. Definimos, tmbém P = m i, i n mplitude máim que um intervlo [ i, i ] pode ter. Sejm f : [, b] R e P : = < < <... < n = b um prtição de [, b]. Pr cd índice i, sej c i um número em [ i, i ] escolhido rbitrrimente. c c c i c n =... i i... n n = b Definição.. O número Mrcelo Nscimento / UFSCr f(c i ) i = f(c ) + f(c ) f(c n ) n i= denomin-se som de Riemnn de f, reltiv à prtição P e os números c i. Geometricmente, podemos interpretr som de Riemnn f(c i ) i i= como diferenç entre som ds áres dos retângulos R i que estão cim do eio e

8 8 CAPÍTULO. INTEGRAIS som ds áres que estão bio do eio. f(c ) f(c ) f(c 3 ) f(c 4 ) c c c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 Definição.. Diremos que um função f : [, b] R é Riemnn integrável ou simplesmente integrável, se eistir um número L R tl que lim P i= f(c 5 ) f(c i ) i = L onde P : = < < <... < n = b é um prtição de [, b] e c i [ i, i ]. f(c 6 ) f(c 7 ) Trduzindo definição cim pr definição de limite, temos: Definição.. Um função f : [, b] R é dit integrável, se eiste um número L R tl que ddo ɛ > eiste δ > de modo que f(c i ) i L < ɛ i= pr tod prtição P : = < < <... < n = b de [, b] com P < δ, qulquer que sej escolh de c i [ i, i ]. Neste cso, escrevemos Mrcelo Nscimento / UFSCr L = b f()d que é chmd integrl definid ou simplesmente integrl de f em relção à no intervlo [, b]. Proposição.3. Se f for contínu em [, b] então f é integrável em [, b]. Observção.4. Por definição: f()d = e b f()d = b f()d( < b). A seguir, vmos ilustrr definição de integrl, clculndo um integrl pel definição.

9 .. INTEGRAL DE RIEMANN 9 Eemplo.5. Considere função f() = k definid no intervlo [, b]. Mostre que b f()d = k(b ). Demonstrção. Sej P = {,,,..., n } um prtição qulquer do intervlo [, b]. Além disso, pr qulquer escolh de c i [ i, i ], temos que f(c i ) = k pr todo i =,..., n. Agor, observe que = = Segue que. n = n n, f(c i ) i = k i= i = k(b ), tomndo o limite n epressão cim qundo P, obtemos que lim P i= f(c i ) i = lim i= P Segue d definição de integrl de Riemnn que b f()d = k(b ). k(b ) = k(b ). Proposição.6. Sejm f, g dus funções integráveis em [, b] e k um constnte qulquer. Então: () f ± g é integrável em [, b] e b (f ± g)()d = b Mrcelo Nscimento / UFSCr f()d ± b g()d. (b) kf é integrável em [, b] e (c) Se f() em [, b] então b kf()d = k b b f()d. f(d). (d) Sejm, b, c R e suponh que f é integrável em (, b) em (, c) e em (c, b) então b f()d = c f()d + b c f()d.

10 CAPÍTULO. INTEGRAIS Demonstrção. () Pr tod prtição P de [, b] e qulquer que sej escolh dos c is em [ i, i ], temos [ b b [f(c i ) + g(c i )] i f()d + g()d] i= b f(c i ) i f()d + b g(c i ) i g()d. i= i= D integrbilidde de f e g, segue que ddo ɛ > eiste δ > tl que b f(c i ) i f()d < ɛ e i= g(c i ) i i= b g()d < ɛ, pr tod prtição P de [, b] com P < δ. Logo [ b [f(c i ) + g(c i )] i f()d + i= pr tod prtição P de [, b] com P < δ. Assim lim P [f(c i ) + g(c i )] i = i= Ou sej, f + g é integrável e vle (b) Eercício. b [f() + g()]d = b b b Mrcelo Nscimento / UFSCr f()d + f()d + b g()d] b g()d. < ɛ g()d (c) Como f() em [, b], pr tod prtição P de [, b] e qulquer que sej escolh dos c is, f(c i ) i. Suponh por bsurdo que Nesse cso, tomndo-se ɛ > tl que b f()d ɛ < i= b b f()d <. f()d + ɛ <, eistiri um δ > tl que f(c i ) i < i= b f()d + ɛ,

11 .. INTEGRAL DE RIEMANN pr tod prtição P de [, b] com P < δ. Assim, pr lgum prtição P terímos f(c i ) i <, i= bsurdo. Portnto, b f()d. (d) Pr tod prtição P de [, b], com c P, temos que c c c m c m+ c n = m c = m m+ n n = b [ c f(c i ) i f()d + i= f(c i ) i i= c b c f()d + f()d] f(c i ) i i= b Mrcelo Nscimento / UFSCr c f()d Como, por hipótese, f é integrável em [, c] e em [c, d], ddo ɛ >, eiste δ > tl que pr todo prtição P em [, b], com c P e P < δ c f(c i ) i f()d < ɛ e e, portnto Isso conclui prov. i= f(c i ) i i= b [ c f(c i ) i f()d + i= c f()d < ɛ, b c f()d] < ɛ. Eemplo.7. Suponh que f, g : [, b] R sejm funções integráveis. Se f() g() em [, b] então b f()d b g()d. Demonstrção. Bst usr o item (c) do teorem nterior. De fto, como f() g() em [, b], então f() g() = f() g(), então b [f() g()]d,

12 CAPÍTULO. INTEGRAIS use o item () pr concluir que disto concluimos o resultdo. b f()d b g()dd, É clro que não queremos clculr integris usndo sempre definição, então precismos de um mneir de clculr integris sem usr definição. Isso será possível grçs o Teorem Fundmentl do Cálculo, que surpreendentemente relcion integris e derivds. O próimo teorem é usdo pr demonstrr o que chmremos de Primeiro Teorem Fundmentl do Cálculo. Teorem.8. Sej f um função contínu em [, b] e defin função g() = f(t)dt, Então g é diferenciável em (, b) e g () = f(). Demonstrção. Se e + h estão em (, b), então g( + h) g() = Pr h, temos que = +h f(t)dt f(t)dt + +h g( + h) g() = h h f(t)dt f(t)dt [, b]. +h Mrcelo Nscimento / UFSCr f(t)dt. f(t)dt = +h f(t)dt. Suponh que h >. Como f é contínu em [, + h], segue do Teorem de Weierstrss que eistem, [, + h] tis que Logo ou sej, f( ) f(t) f( ), f( )h f( ) h +h +h t [ + + h]. f(t)dt f( )h, f(t)dt f( ), ou o que é equivlente g( + h) g() f( ) f( ). h A desiguldde nterior, pode ser provd de form similr pr h <. Agor, se h, e, logo lim f( ) = lim f( h ) = f()

13 .. INTEGRAL DE RIEMANN 3 e lim f( ) = lim f( h ) = f(), pois f é contínu e do Teorem do Confronto, obtemos que g () = lim h g( + h) g() h = f(). Teorem Fundmentl do Cálculo Teorem.9. Sej f um função contínu em [, b] e suponh que F sej um primitiv de f, então Demonstrção. Sej b f()d = F (b) F () = F () b. g() = f(t)dt. Do Teorem nterior, g () = f(), ou sej, g é um primitiv de f. Sbemos que dus primitivs só podem diferir por um constnte e como F tmbém é primitiv de f, segue que F () g() = k, k R. Fzendo = n iguldde cim, obtemos que F () = k (lembre que g() = ) e fzendo = b obtemos F (b) g(b) = k = F (). Logo, F (b) F () = g(b) = b Mrcelo Nscimento / UFSCr f(t)dt. Observção.. A diferenç F (b) F () será denotd por F () b ssim, b f()d = F () b = F (b) F (). Qundo estivermos ns condições do T.F.C. Eemplo.. Clcule d. Demonstrção. Note que f() = é contínu em [, ] e F () = 3 3 é um primitiv de f, então do T.F.C., obtemos que d = 3 3 = = 7 3.

14 4 CAPÍTULO. INTEGRAIS Portnto, d = 7 3. Eemplo.. Clcule d. Demonstrção. Temos do T.F.C. que Eemplo.3. Clcule d = π 8 sin()d. Demonstrção. Temos do T.F.C. que π 8 sin()d = cos().3 Cálculo de Áres d = = + =. π 8 = cos(π 4 ) + cos() =. 4 Nest seção queremos determinr áre de diferentes regiões plns. Ess é um ds muits plicções de integris. Vejmos como fic: Cso : Sej f um função contínu em [, b], com f() em [, b]. Queremos definir áre do conjunto A do plno limitdo pels rets =, = b e pelo gráfico de = f(). Mrcelo Nscimento / UFSCr = f() A b Sej P um prtição de [, b] e sejm c i e c i em [ i, i ] tis que f( c i ) = f( c i ) = min {f()} c [ i, i ] m {f()}. c [ i, i ]

15 .3. CÁLCULO DE ÁREAS 5 Então, s soms de Riemnn correspondentes, stisfzem f( c i ) i áre de A f( c i ) i. i= i= Pr efeito de ilustrção, vej figur bio. = f() b Mrcelo Nscimento / UFSCr = f() Isso signific que som de Riemnn n i= f( c i) i se proim d áre de A por flt e som de Riemnn n i= f( c i ) i se proim d áre de A por sobr. Assim, fzendo m i n i, temos lim m i n i ou sej, Portnto, f( c i ) i i= b lim m i n i f()d áre de A áre de A = áre de A lim b b f()d. m i n i f()d. Eemplo.4. Clcule áre d região A dd n figur bio. = b f( c i ) i. i= A Demonstrção. Note que, por definição de áre, temos áre de A = d = 3 3 = 3.

16 6 CAPÍTULO. INTEGRAIS Cso : Se f é um função contínu em [, b] tl que f(), então b f()d. Nesse cso, definimos áre d região A, como A b áre de A = = f() b f()d. Mrcelo Nscimento / UFSCr A b = f() Eemplo.5. Clcule áre d região limitd pels rets =, =, = e pelo gráfico d função f() = 3. Demonstrção. A Sbemos que áre de A = ( 3 )d = = 5 4.

17 .3. CÁLCULO DE ÁREAS 7 Cso 3: Sej f um função definid em [, b], cujo gráfico é ddo bio: = f() Sej A conjunto hchurdo. Então, áre de A = c f()d d c c f()d + Mrcelo Nscimento / UFSCr d b d b f()d = b f() d. Eemplo.6. Clcule áre do conjunto limitdo pels rets =, =, = e pelo gráfico de f() =. Demonstrção. Temos áre de A = f() d = d + d = + = + =.

18 8 CAPÍTULO. INTEGRAIS Cso 4: Sejm f, g funções definids em [, b], como bio: = f() = g() Então A é o conjunto de pontos (, ) R limitdo pels rets =, = b e pelos gráficos ds funções f e g, onde f() g(), [, b]. Segue que áre de A = b [f() g()]d = b Mrcelo Nscimento / UFSCr b f()d b g()d. Observção.7. Em gerl, áre entre dus curvs = f() e = g(), com [, b] é b f() g() d. Eemplo.8. Clcule áre d região formd por todos os pontos (, ) tis que. Demonstrção. A região é dd pel figur bio: = = áre de A = [ ]d = = 3. Eemplo.9. Clcule áre de um triângulo retângulo de bse e ltur b (, b > ).

19 .4. SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS 9.4 Substituição de Vriáveis No cálculo de integris, seri ótimo se qundo olhássemos pr o integrndo pudéssemos reconhecer um primitiv imedit pr o integrndo. Infelizmente, em muits situções (quse tods!) s primitivs não são imedits. Entretnto, fzendo um mudnç de vriáveis, podemos simplificr um integrl tl ponto que n nov vriável podemos reconhecer um primitiv imedit e isso nos permite resolver integrl n nov vriável e portnto resolver integrl originl. Pr ilustrr o que foi dito cim, vej se nesse psso você consegue reconhecer um primitiv imedit pr função Testndo f() = +. Sejm f e g funções tis que Im(g) D f. Suponh que F é um primitiv pr f. Então F (g()) é um primitiv pr f(g())g (). De fto, pel regr d cdei, Portnto, [F (g())] = F (g())g () = f(g())g (). f(g())g ()d = F (g()) + k, com k constnte. Assim, se fizermos mudnç de vriáveis segue que f(g())g ()d = u = g() = du = g ()d, Mrcelo Nscimento / UFSCr f(u)du = F (u) + k = F (g()) + k. Eemplo.3. Clcule + d. Demonstrção. Fçmos seguinte mudnç de vriáveis: u = + = du = d. Assim, ud + d = + d = = u du u3 + k = ( + ) k. = 3

20 CAPÍTULO. INTEGRAIS Eemplo.3. Clcule 3 cos( 4 + )d. Demonstrção. Sej u = 4 + = du = 4 3 d. Logo 3 cos( 4 + )d = cos udu 4 = 4 sin u + k = 4 (4 + ) + k. Eemplo.3. Clcule tn d. Demonstrção. Sej u = cos, logo du = sin d, portnto sin tn d = cos d = du = ln u + k u = ln cos + k = ln sec + k. O que contece se fizermos mudnç de vriáveis u = sin? Vej se é possível clculr integrl com ess mudnç de vriáveis. Eemplo.33. Clcule + d. Fzendo u = +, segue que du = d. Mrcelo Nscimento / UFSCr = = u = f = = u = 3 Logo, 3 + d = udu = 3 u 3 3 = Eistem dus mneirs pr clculr um integrl definid por substituição de vriáveis. Um consiste em clculr integrl indefinid e então usr o T.F.C. Por eemplo: já vimos que + d = 3 ( + ) 3 + k.

21 .4. SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS Ou sej, F () = ( + 3 ) 3 é um primitiv pr função que está no integrndo. Logo do T.F.C. segue que + d = 3 ( + ) 3 = = 3 ( 5 3 ). A outr mneir consiste em se mudr os limites de integrção o fzer mudnç de vriáveis. Vmos ilustrr esse procedimento bio. Se g for contínu em [, b] e f for contínu n vrição de u = g(), então b f(g())g ()d = g(b) g() f(u)du. Demonstrção. Sej F um primitiv de f. Então F (g()) é um primitiv de f(g())g (), logo do T.F.C., temos que b f(g())g ()d = F (g()) b = F (g(b)) F (g()). Por outro ldo, ind do T.F.C., temos que Isto conclui prov. g(b) g() Eemplo.34. Clcule f(u)du = F (u) g(b) g() d. = F (g(b)) F (g()). Demonstrção. Vmos usr seguinte mudnç de vriáveis: u = = du = d. Mrcelo Nscimento / UFSCr Assim, por ess mudnç de vriáveis { = = u = = = u =. Logo, d = udu = 3 u 3 = 3. Eemplo.35. Clcule e ln d.

22 CAPÍTULO. INTEGRAIS Demonstrção. Vmos usr seguinte mudnç de vriáveis: u = ln = du = d. Assim, por ess mudnç de vriáveis { = = u = = e = u =. Assim Eercícios e ln d = udu = u =. Eercício.36. Clcule () 3 cos 4 d (b) sin 5 cos d sec ( 5 (d) d (e) 3 + tn + ) d (g) ln d (h) cos(ln )d. Mrcelo Nscimento / UFSCr (c) (f) tn sec d + d (Resposts: () 4 sen 4 +k (b) 6 sen6 +k (c) tg +k (d) ln 3+ tn +k (e) 5 ln + ln + k (f) rctn + k (g) ln ln + k (h) sen(ln ) + k.) Eercício.37. Clcule () (c) (e) (g) (i) π π 6 π π 6 (3s + s )ds (b) (cos + sin 5)d e d ( + ) (d) (f) 5 d (h) sin ( cos )d (j) π 3 ( ) d 4 + u du ( + ) 5 d 4 ( 5 + 3) 3 d sin 3 d (Resposts: ( ) (b) 33 + ln (c) 3 3 (d) 4 rctn (e) 8 e (g) 5 (h) (i) (j) )) (f) Eercício.38. Nos itens bio, desenhe o conjunto A ddo e clcule su áre:

23 .5. INTEGRAÇÃO POR PARTES 3 () A = {(, ) R ; }. (b) A = {(, ) R ; sen, π}. (c) A é região delimitd pelos gráficos de + = 6 e + 3 =. (d) A é região delimitd pelos gráficos de = 6, 3 = e + =. (Resposts: () 4 3 (b) 4 (c) 3 3 (d) ) Eercício.39. Sbendo-se que função 7 f() = + 5 8, 7, = 7. π/ é contínu em = 7 e que b = cos sin 4 d, o vlor de b é: 7 () (b) 7 (c) 6 7 (d) (Respost: (c)) Eercício.4. () A equção d ret tngente o gráfico de = f() no ponto (, 3) é = +. Se em qulquer ponto (, f()) do gráfico de f temos f () = 6, encontre epressão de f. (b) Em qulquer ponto (, f()) do gráfico de = f() temos f () =. Encontre epressão d função f, sbendo-se que o ponto (, 3) é um ponto do gráfico no qul o coeficiente ngulr d ret tngente é. (Resposts: () f() = (b) f() = 4 + 6) Eercício.4. Suponh f contínu em [, ]. Clcule f(u)du =. (Respost: 5) Mrcelo Nscimento / UFSCr f( )d sbendo que (e) Integrção por prtes A Regr d Substituição pr integrção corresponde à Regr d Cdei pr diferencição. A Regr do Produto pr diferencição corresponde um regr chmd de integrção por prtes. Sejm f, g : [, b] R diferenciáveis em (, b). Então, pr cd (, b), [f()g()] = f ()g() + f()g (), ou sej, f()g () = [f()g()] f ()g().

24 4 CAPÍTULO. INTEGRAIS Como f()g() é um primitiv de [f()g()], se eistir um primitiv de f ()g(), então tmbém eistirá um primitiv de f()g () e temos chmd fórmul de integrção por prtes: f()g () d = f()g() f ()g()d (.5.) Notção lterntiv. Tomndo u = f() e v = g(), temos e podemos reescrever (.5.) como du = f () d e dv = g () d u dv = uv Observção.4. Eiste lgum mneir de escolher u e dv? A respost é mis ou menos. Em gerl, escolhermos u como função mis fácil de derivr e como dv função mis fácil de integrr. Em lgums situções escolh é óbvi. Em outrs você deve utilizr dic cim. Eemplo.43. Clcule sen d. Demonstrção. Suponh f() = e g () = sin(). Então, f () = e g() = cos. Assim sen d = ( cos ) ( cos ) d = cos + sin() + k. Eemplo.44. Clcule rctn()d. vdu Mrcelo Nscimento / UFSCr Demonstrção. Usndo notção lterntiv, temos que rctn()d = uv vdu Sej { u = rctn() = du = + d dv = d = v =. Portnto, rctn()d = rctn() + d = rctn() ln( + ) + k.

25 .5. INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Combinndo fórmul de integrção por prtes com o T.F.C., podemos vlir integris definids por prtes. Sejm f e g dus funções com derivds contínus em [, b], então b b b f()g () d = f()g() f ()g()d. Eemplo.45. Clcule Demonstrção. Sej Assim, t t ln d. ln()d = ln() f() = ln() = f () = g () = = g() =. = t ln t t t t d = t ln(t) = t ln t 4 t + 4. O próimo eemplo não envolve integrção por prtes, entretnto ess integrl é usd pr resolver um integrl muito importnte como veremos seguir. Eemplo.46. Clcule Demonstrção. Primeiro observe que sec()d. sec() = sec() tn() + sec (). sec() + tn() Mrcelo Nscimento / UFSCr t d Sej u = sec() + tn() então du = (sec() tn() + sec ())d. Assim sec() tn() + sec () sec()d = d = sec() + tn() du = ln u + k, u ou sej, sec()d = ln( sec() + tn() ) + k. Eemplo.47. Clcule sec 3 ()d.

26 6 CAPÍTULO. INTEGRAIS Demonstrção. Vmos usr integrção por prtes: note que sec 3 ()d = sec() sec ()d. Vmos usr seguinte integrção por prtes; { u = sec() = du = sec() tn()d Portnto, dv = sec () = v = tn(). sec() sec ()d = sec() tn() = sec() tn() sec() tn() tn()d sec() tn ()d Agor, lembre-se que tn () = sec () e ssim podemos escrever sec 3 ()d = sec() tn() sec()[sec () ]d = sec() tn() sec 3 ()d + sec ()d e, portnto sec 3 ()d = sec() tn() + sec ()d Disto e do eemplo nterior, obtemos que sec 3 ()d = sec() tn() + ln( sec() + tn() ) + k. Eemplo.48. Clcule e cos()d. Demonstrção. Sej { u = cos() = du = sin()d Mrcelo Nscimento / UFSCr dv = e = v = e. Logo, integrndo por prtes, segue que e cos()d = e cos() e ( sin())d. (.5.) Observe que e sin()d present mesm dificuldde que e cos()d. Então prece que não vle pen usr integrção por prtes. A dic é: não desist. Se integrrmos por prtes novmente: { u = sin() = du = cos()d dv = e = v = e,

27 .5. INTEGRAÇÃO POR PARTES 7 obtemos que e sin()d = e sin() e cos()d, substituindo em (.5.), segue que e cos()d = e cos() + e sin()d = e cos() + e sin() e cos()d Disto, obtemos que e cos()d = e cos() + e sin() Portnto, Eemplo.49. Clcule Demonstrção. Temos que e cos()d = e [cos() + sin()] + k. cos ()d = cos ()d. cos() cos()d. Um mneir de resolver ess integrl é usr integrção por prtes: sejm { u = cos() = du = sin()d Logo, ou sej, dv = cos() = u = sin()d. cos ()d = cos() cos()d = sin() cos() + = sin() cos() + ( cos ())d, cos ()d = sin() cos() + = Mrcelo Nscimento / UFSCr sin ()d cos ()d = [sin() cos() + ] + k. Lembre que sin() cos() = sin(), logo cos ()d = + sin() + k. 4 Observção.5. Pr integrl nterior é mis interessnte usr identidde trigonométric cos () = [ + cos()].

28 8 CAPÍTULO. INTEGRAIS Eercício: Clcule s integris () rcsen d; (d) e cos d; (b) (e) ln d; rctg d; (c) (f) sen d; 4 e d..6 Integris Trigonométrics Estmos interessdos em clculr integris cujos integrndos são funções trigonométrics. Pr isso usremos identiddes e relções trigonométrics. Recorde que: Disto segue que Eemplo.5. Clcule Demonstrção. Observe que sin( + b) = sin cos b + sin b cos sin( b) = sin cos b sin b cos cos( + b) = cos cos b sin sin b cos( + b) = cos cos b sin sin b. sin sin b = [sin( + b) + sin( b)] cos cos b = [cos( + b) + cos( b)] sin sin b = [cos( b) cos( + b)] sin = [ cos()] cos = [ + cos()]. cos 3 ()d. Mrcelo Nscimento / UFSCr cos 3 () = cos () cos() = ( sin ()) cos(). Fzendo u = sin() obtemos que du = cos()d e então cos 3 ()d = ( u )du = u u3 3 + k u=sin() = sin() sin() + k. 3 Eemplo.5. Clcule sin(3) cos()d.

29 .6. INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS 9 Demonstrção. Observe que sin(3) cos() = [sin(5) + sin()], logo sin(3) cos()d = [sin(5) + sin()]d = cos(5) cos() + k. Eemplo.53. Clcule sin 4 ()d. Demonstrção. Temos que ssim sin () = sin() sin() = cos() [cos() cos()] =, sin 4 () = 4 ( cos()) = 4 [ cos()+cos ()] = 4 [ cos()+ + cos(4)] pois cos () = [ + cos()]. Logo, sin 4 ()d = [ cos() cos(4)]d = sin() + 3 Eemplo.54. Clcule Demonstrção. Observe que sin 5 () cos ()d. sin 5 () cos () = (sin ()) cos () sin() = ( cos ()) cos () sin(). Fzendo u = cos(), temos que du = sin()d e ssim sin 5 () cos ()d = ( cos ()) cos () sin()d = ( u )u du = ( u + u 4 )u du (u u 4 + u 6 )du Mrcelo Nscimento / UFSCr sin(4) + k. = [ u3 3 u5 5 + u7 7 ] + k = cos3 () cos5 () 7 cos7 () + k.

30 3 CAPÍTULO. INTEGRAIS.7 Primitivs de Funções Rcionis; Frções Prciis Nest seção estmos interessdos em clculr integris de funções rcionis, ou sej, de quocientes de polinômios. Considere seguinte função f() = P () Q(), onde P e Q são polinômios. O método que será empregdo qui, consiste em escrever função rcionl como som de frções mis simples, este método é conhecido como frções prciis. Frções mis simples, signific frções cujs primitivs são imedits ou podem ser encontrds fzendo um mudnç de vriáveis. A nálise é bsed no gru dos polinômios P e Q. Se o gru de P é menor que o gru de Q, então podemos escrever função rcionl como um função mis simples. Logo dinte descrevemos como fzer isso. Se o gru do polinômio P é mior ou igul o gru do polinômio Q, então primeiro fzemos divisão dos polinômios e em seguid usmos frções prciis. Observe que, procedemos ssim P () Q() S() R() onde S, P são polinômios e prmos o processo qundo o gru de R for menor que o gru de Q. Segue que P () R() = S() + Q() Q(). Agor, S é um polinômio, logo sbemos integrr e usmos frções prciis pr R() Q(). O próimo eemplo ilustr como se divide polinômios. Eemplo.55. Considere os polinômios P () = e Q() = +. Encontre P () Q(). Demonstrção. Temos que Mrcelo Nscimento / UFSCr P () Q() = , pois

31 .7. PRIMITIVAS DE FUNÇÕES RACIONAIS; FRAÇÕES PARCIAIS 3.7. Denomindores Redutíveis do Gru Teorem.56. Sejm α, β, m, n R, com α β. Então eistem constntes A, B R tis que m + n. ( α)( β) = A α + B β.. m + n ( α) = A α + B ( α). Demonstrção. () Observe que m + n ( α)( β) = A α + B β (A + B) Aβ αb =. ( α)( β) Como os denomindores são iguis, pr ocorrer iguldde cim devemos ter que os numerdores sejm iguis. Ou sej, devemos ter m + n = (A + B) Aβ αb. Pr que dois polinômios sejm iguis devemos ter que os coeficientes são iguis. Logo, { A + B = m βa + αb = n. Que é um sistem de dus equções e dus incógnits (A e B). Esse sistem tem solução únic pois o determinnte d mtriz dos coeficientes é diferente de zero (= α β). As soluções são: A = mα + n B = mβ + n α β α β. (b) Pr esse item, note que m + n m mα = ( α) ( α) + mα + n m( α) = ( α) ( α) + mα + n ( α). Tomndo-se A = m e B = mα + n, segue o resultdo. P () Procedimento pr clculr d, P polinômio com gru P <. ( α)( β) Se α β, do teorem nterior, eistem A e B reis tis que Logo, P () ( α)( β) d = Mrcelo Nscimento / UFSCr P () ( α)( β) = A ( α) + B ( β). A ( α) d + Se α = β, do teorem nterior, eistem A, B R tis que B d = A ln α + B ln β + k. ( β) P () ( α) = A α + B ( α). Logo, P () ( α) d = A α d + B B d = A ln α ( α) α + k.

32 3 Observção.57. Pr integris do tipo mudnç de vriáveis u = α. Eemplo.58. Clcule d. Mrcelo Nscimento / UFSCr CAPÍTULO. INTEGRAIS P () d é mis conveniente fzer ( α) Demonstrção. Observe que 3 + = ( )( ). O método ds frções prciis no retorn = A + B = A( ) + B( ) ( )( ) Portnto, devemos resolver o sistem: { A + B = A B = 3 cuj solução é A = 4 e B = 5. Disto, obtemos que Logo, d = = d + Eemplo.59. Clcule 3 + ( ) d. = (A + B) A B. ( )( ) 5 d = 4 ln + 5 ln + k. Demonstrção. Não podemos plicr frções prciis diretmente. Primeiro divid o numerdor pelo denomindor pr obter 3 + ( ) = ( ). Usndo frções prciis, eistem A, B R tis que donde obtemos que A = 3 e B = 3 ou sej, Logo, 3 + ( ) d = ( + )d 3 ( ) = A + B ( ), 3 ( ) = ( ). 3 3 d = ln ( ) + k.

33 .7. PRIMITIVAS DE FUNÇÕES RACIONAIS; FRAÇÕES PARCIAIS 33 Eemplo.6. Clcule integrl 4 9 d. Vmos reescrever 4 9 como ( 3)( + 3) e em seguid fç mudnç de vriáveis u = 3. D mudnç de vriáveis, segue que du = 3d. Logo 4 9 d = ( 3)( + 3) d = 3 u(u 4) du Nesse psso, vmos usr frções prciis: u(u 4) = A u + B A(u 4) + Bu = u 4 u(u 4) Pr que iguldde fç sentido, devemos ter { A + B = 4A = De onde obtemos que A = e portnto B =. Segue que u(u 4) du = u du + u 4 du = ln u + ln u 4 + k Disto, como u = 3, obtemos que 4 9 d = ln 3 + = ln k. ln k.7. Denomindores Redutíveis do 3 Gru Mrcelo Nscimento / UFSCr Teorem.6. Sejm α, β, γ, m, n, p R, com α, β, γ distintos entre si. Então eistem constntes A, B, C R tis que. m + n + p ( α)( β)( γ) = A α + B β + C γ.. m + n + p ( α)( β) = A α + Demonstrção. Fç você. B β + C ( β). Eemplo.6. Clcule d.

34 34 CAPÍTULO. INTEGRAIS Demonstrção. Observe que 3 + = ( ) ( + ). Verifique! A decomposição em frções prciis é dd por Resolvendo, obtemos = A + + B + A = 4, B = 4, C = 3. C ( ). Assim, d = 4 + d + 4 d + 3 ( ) d 4 ln ln 3 + k..7.3 Denomindores Irredutíveis do Gru Eemplo.63. Clcule áre d região delimitd pelo gráfico d função = pels rets = e =. Demonstrção. Primeiro observe que áre d região pedid é dd por Observe que podemos escrever logo áre A = + d. = + Mrcelo Nscimento / UFSCr + = +, + d = ( ) d + = rctn e + = rctn = π 4.

35 .8. SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 35.8 Substituições Trigonométrics Como resolver integrl + d, R fio, usndo substituição? A idei qui é encontrr um substituição de vriáveis que elimine riz do integrndo. Com esse objetivo, procedemos d seguinte form: Sej < θ < π e considere o seguinte triângulo retângulo: + D figur, segue que Logo cos θ = sin θ = tn θ = Mrcelo Nscimento / UFSCr θ + (.8.) +. (.8.) = = tn θ. De (.8.), obtemos que + = cos θ = sec θ. Disto, fzendo mudnç de vriáveis = tn θ, obtemos que d = sec θdθ sec θ>, pois <θ< π + d = (tn θ + ) sec θdθ sec θ sec θdθ = = sec 3 θdθ = [sec θ tn θ + ln sec θ + tn θ ] + k [ = + + ln + + ] + k. Observção.64. Não é indispensável usr figur do eemplo nterior, el é mermente um objeto uilir n resolução d integrl e é especilmente útil pr fcilitr o retorno à vriável originl de integrção. Esse trblho pode ser relizdo, utilizndo-se conts lgébrics. A seguir, de mneir nálog podemos resolver s integris d e d. Eemplo.65. Clcule integrl d. Demonstrção. Considere figur: ( < θ < π )

36 36 CAPÍTULO. INTEGRAIS θ Temos que sin θ = = = sin θ cos θ = = = cos θ. Logo, fzendo mudnç de vriáveis temos = sin θ = d = cos θdθ, d = sin θ cos θdθ cos θ>,<θ< π = ( = + ) ( θ cos(θ) dθ = + ) 4 sin(θ) = = = ( ) θ + sin θ cos θ + k [ ( rcsin + ) ] + k [ ( rcsin + ) ] + k. Mrcelo Nscimento / UFSCr cos θdθ Observção.66. A idei pr resolver s integris dest seção é fzer um mudnç de vriáveis que elimin riz do integrndo. No eemplo nterior, mudnç de vriáveis = sin θ resolve o problem. Observe que mudnç de vriáveis = cos θ tmbém elimin riz do integrndo e portnto inicilmente prece que tmbém funcion. Será que podemos usá-l? Vej o próimo eemplo. Eemplo.67. Clcule d, usndo mudnç de vriáveis = cos θ. Demonstrção. Se = cos θ, então d = sin θdθ, logo ( < θ < π) d = cos θ sin θdθ sin θ>,<θ< π = = ( cos(θ) ) dθ = ( θ 4 sin(θ) ) ( ) = θ + sin θ cos θ [ = = + k ( rccos + ) ] + k [ ( rccos + ) ] + k. sin θdθ

37 .8. SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 37 Compre com respost do eemplo nterior. ( Eercício.68. Sej >. Mostre que rcsin constnte. Eemplo.69. Clcule d. ) ( e rccos ) diferem por um Demonstrção. Considere o triângulo retângulo: ( < θ < π ) Temos que ou sej, sin θ = cos θ = = = = sec θ, cos θ tn θ =. Assim, fzendo mudnç de vriáveis = sec θ, obtemos que d = sec θ tn θdθ e d = sec θ sec θ tn θdθ = tn θ sec θdθ = sec 3 θdθ +tn θ=sec θ Mrcelo Nscimento / UFSCr = sec θdθ θ [ sec θ tn θ = ] ln sec θ + tn θ + k [ = ( ln + )] + k [ = ln + )] + k. (sec θ ) sec θdθ Eemplo.7. Clcule áre A do círculo de rio. Demonstrção.

38 38 CAPÍTULO. INTEGRAIS Note que equção do círculo com centro n origem e de rio é dd por + = 4, ssim = 4 e podemos ver que áre A é dd por: A = 4 d = 4 4 d. Vmos fzer seguinte mudnç de vriáveis: sin θ = = = sin θ de onde obtemos que d = cos θdθ e { = = θ = Logo, Portnto, 4 d = Eemplo.7. Clcule = 4 π π = = θ = π. cos θ cos θdθ = 4 Mrcelo Nscimento / UFSCr π cos θdθ [ ( + cos(θ))dθ = θ + sin θ A = 4π (= πr ). + d. ] π = π. Demonstrção. Sej { = tn θ, < θ < π, Segue que + d = = d = sec θdθ. tn θ + tn θ sec θdθ = tn θ sec θ sec θdθ sec θ tn θ dθ = cos θ cos θ cos θ sin θ dθ = sin θ dθ

39 .8. SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 39 Agor n últim integrl cim, sej u = sin θ, logo du = cos θdθ, ssim cos θ sin θ dθ = u du = u + k = sin θ + k. Neste psso, devemos voltr pr vriável originl. Como não construímos o triângulo pr nos uilir, procedemos d seguinte form: lembre que = tn θ, logo cos θ = sin θ, result então d identiddde sin θ + cos θ = que Result que sin θ + sin θ = = sin θ ( + ) ( = = sin + ) θ = sin θ = + Eemplo.7. Clcule integrl = sin θ = Mrcelo Nscimento / UFSCr +. + d = + + k. u 5 du. Inicilmente, vmos resolver est integrl d mneir que prece form mis nturl, usndo frções prciis. Observe que u + 5 pode ser escrito como o produto (u 5)(u + 5). Assim podemos escrever u 5 = A u 5 + B A(u + 5) + B(u 5) =. u + 5 (u 5)(u + 5) Pr que iguldde cim sej válid, devemos ter que { A + B = 5A + 5B =. Disto obtemos que B = e consequentemente A =. Então u 5 du = u 5 du + u + 5 du = ln u 5 + ln u k = ln u + 5 u 5 + k. Agor, vmos resolver integrl usndo substituição trigonométric. Pr isso, fç seguinte mudnç de vriáveis: sej < θ < π e sej u = 5 sec θ. Então temos que du = 5 sec θ tn θdθ. Então u 5 du = 5 sec θ tn θ 5 sec θ 5 dθ = sec θ tn θ dθ 5 tn θ = sec θ 5 tn θ dθ = 5 sin θ dθ

40 4 CAPÍTULO. INTEGRAIS Vmos resolver últim integrl. De fto: 5 sin θ dθ = csc θ(csc θ + coth θ) dθ 5 csc θ + coth θ Sej v = csc θ + coth θ, logo dv = ( csc θ csc θ coth θ)dθ, ssim 5 csc θ(csc θ + coth θ) dθ = csc θ + coth θ 5 v dv = ln v + k 5 = ln csc θ + coth θ + k. 5 Agor, vmos voltr pr vriável originl u. Pr isso considere seguinte figur. D figur, obtemos que De onde obtemos que u 5 sin θ = cos θ = 5 u u 5 u coth θ = 5 u = u = 5 sec θ, = = csc θ = 5 u 5. Mrcelo Nscimento / UFSCr θ u u 5 Voltndo pr integrl, obtemos que u 5 du = 5 ln csc θ + coth θ + k = 5 ln u u u 5 + k = 5 ln u + 5 u 5 + k. Compre est solução com solução obtid vi frções prciis. Neste psso, vmos presentr outr mneir de resolver integris do tipo d, + d, d, sem usr substituição trigonométric. Por comodidde fremos =. Eemplo.73. Clcule + d.

41 .8. SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 4 Demonstrção. Inicilmente, multiplique o integrndo por + +. Obtemos + d = + d = + d d. Vmos integrr seprdmente s integris cim. Primeiro, vmos integrr + d. Integrndo por prtes, obtemos que { u = Logo dv = d = = { du = v = + d = + + d. + Agor, pr + d, procedemos d seguinte form: d = ( + + ) d. Vmos fzer mudnç de vriáveis u = + +, segue que du = ( + Portnto, d = + u du = ln u + k = ln k. Disto segue que + d = e, portnto d d = ln d + k + d = ln k. Mrcelo Nscimento / UFSCr + )d. Então + d = ( + + ln + ) + + k. Eemplo.74. Clcule d. Demonstrção. Inicilmente, multiplique o integrndo por. Obtemos d = d = d d.

42 4 CAPÍTULO. INTEGRAIS Vmos integrr seprdmente s integris cim. Primeiro, vmos integrr + d. Integrndo por prtes, obtemos que { u = dv = = { du = v = Logo d = d = d. Além disso, Segue que e, portnto d = rcsin + k. d = rcsin + d + k, d = rcsin + + k. Então d = ( rcsin + ) + k. Eemplo.75. Clcule d. Demonstrção. Multiplique o integrndo por. Obtemos d = d = d + Mrcelo Nscimento / UFSCr d. Vmos integrr seprdmente s integris cim. Primeiro, vmos integrr d. Integrndo por prtes, obtemos que { { u = du = dv = = v = Logo d = d = d. Agor, pr d, procedemos d seguinte form: d = + ( + ) d.

43 .9. APLICAÇÕES DA INTEGRAL 43 Vmos fzer mudnç de vriáveis u = +, segue que du = ( + Portnto, d = u du = ln u + k = ln + + k. )d. Disto segue que d = d + d e, portnto = ln + + d + k d = ln k. Então d = ( + ln + ) + k. Eercício.76. Indique, em cd cso, qul mudnç de vriáveis que elimin riz do integrndo.. 4 d. 5 4 d d 4. ( ) d.9 Aplicções d Integrl Nest seção, vmos presentr lgums plicções pr integrl. Vimos nteriormente que integrl pode ser interpretd como um áre. Mrcelo Nscimento / UFSCr.9. Volume Vmos rotcionr região d figur B = {(, ) R : b, f() g()} em torno do eio, dndo um volt complet. Neste cso, obtemos um sólido, chmdo sólido de revolução. Sej f um função contínu em [, b], com f() em [, b]. Sej B o conjunto obtido pel rotção em torno do eio, do conjunto A do plno limitdo pels rets = e = b, pelo eio e pelo gráfico d função = f(). Estmos interessdos em definir o volume V de B.

44 44 CAPÍTULO. INTEGRAIS = Sej P : = < < < n = b um prtição de [, b] e c i = min f() e c i = m f(). [ i, i ] [ i, i ] Sej i = i i o comprimento do intervlo [ i, i ]. Considere figur: Temos π[f( c i )] i = volume do cilindro de ltur i e bse de rio f( c i ) (cilindro de dentro ). Mrcelo Nscimento / UFSCr π[f( c i )] i = volume do cilindro de ltur i e bse de rio f( c i ) (cilindro de for ). Um bo definição pr o volume V de B, deve implicr π[f( c i )] i V π[f( c i )] i i= i= pr todo prtição P de [, b]. Pr m i, s soms de Riemnn que precem ns desigulddes, tendem pr π Então definimos o volume V de B por b V = π (f()) d. b (f()) d.

45 .9. APLICAÇÕES DA INTEGRAL 45 Eemplo.77. Encontre o volume do sólido obtido pel rotção em torno do eio d região sob curv = de té. Demonstrção. Primeiro, vmos desenhr região: Sbemos que V = π = [f()] d = π Mrcelo Nscimento / UFSCr d = π = π. Eemplo.78. Clcule o volume do sólido obtido pel rotção, em torno do eio, do conjunto {(, ) :, }. Demonstrção. Considere figur: = = Queremos o volume do sólido obtido pel rotção, em torno do eio, do conjunto hchurdo. O volume pedido é igul V V, onde V e V são, respectivmente, os volumes obtidos pel rotção, em torno do eio, dos conjuntos A e A. = A A = Temos que V = π V = π d = π 3 3 = π 8 3 π 3 = 7π 3, d = π = π + π = π.

46 46 CAPÍTULO. INTEGRAIS Deste modo, o volume V é ddo por V = V V = 7π 3 π = π 6. Eemplo.79. Clcule o volume de um esfer de rio r. Demonstrção. Observe que esfer de rio r pode ser obtid pel rotção em torno do eio d semi-circunferênci superior. Vej figur bio. r r Mrcelo Nscimento / UFSCr r = r Logo, o vlume V d esfer de rio r é ddo por V = π r ( r ) d = π r r r (r )d = π [r 3 3 ] r r = π(r 3 π3 3 ) = 4 3 πr3..9. Comprimento de Curv Sej f contínu e com derivd contínu em [, b]. Queremos clculr o comprimento C d curv L determind pelo gráfico de f, qundo [, b].

47 .9. APLICAÇÕES DA INTEGRAL 47 = f() = n = b Sej P = {,,..., n } um prtição do intervlo [, b] e i = i i. Usndo o teorem de Pitágors, obtemos que C(P ) = [f( ) f( )] + ( ) = C(P ) = [f( ) f( )] + ( ) isto é, ( f( ) f( ) ) C(P ) = ( ) + Aind, pr cd i =,..., n, temos ( f(i ) f( i ) ) i C(P i ) = +. i i Além disso, como f é contínu em [ i, i ] e diferenciável em ( i, i ), i =,..., n, segue do Teorem do Vlor Médio que pr cd i =,..., n, eiste i ( i, i ) tl que f( i ) f( i ) i i = f ( i ), i =,..., n. Logo, pr cd i, temos C(P i ) = + (f ( i )) i. Note tmbém que n i= C(P i) é um proimção pr C(L) e qunto menor for m i n i, melhor será tl proimção. Assim, devemos ter C(L) = Mrcelo Nscimento / UFSCr lim m i + (f ( i )) i. i= Como f () é contínu em [, b] então função + (f ()) é contínu em [, b] e portnto integrável em [, b]. Logo, epressão à direit d iguldde cim coincide com integrl definid de té b d função + (f ()). Assim, b C(L) = + (f ()) d. Eemplo.8. Clcule o comprimento C d circunferênci de rio r >. Demonstrção.

48 48 CAPÍTULO. INTEGRAIS r r Observe que = f() = r, ssim f () = e r r r C = + (f ()) d = + r r r d r r r r = r d = 4 r d. Temos Considere figur bio r r r r> r d = r r r r e fç seguinte mudnç de vriáveis: { = r sin θ D figur cim, obtemos que Assim, Logo cos θ = d = r cos θdθ r d Mrcelo Nscimento / UFSCr r r r r d = r r π = r = sec θ r. π r cos θdθ = r dθ = rπ r cos θ. C = 4( rπ ) = πr. θ Eemplo.8. Clcule o comprimento d curv =,.

49 .. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 49. Integris Imprópris Qundo definimos integrl definid b f()d, estávmos definindo função f no intervlo fechdo e limitdo [, b]. Agor, estmos interessdos em dr significdo pr os símbolos + f()d, f()d Mrcelo Nscimento / UFSCr e + f()d, ou sej, queremos estender o conceito de integrl pr funções definids em intervlos d form [, ), (, ] e (, + ). Definição.8. Sej f integrável em [, t], pr todo t >. Definimos + f()d = lim t + t f()d se o limite eistir e for finito. Tl limite denomin-se integrl imprópri de f. Neste cso, diremos que integrl imprópri é convergente. t Observção.83. Se lim t + f()d for ±, continuremos nos referir + f()d como um integrl imprópri e escreveremos + f()d = ou + f()d = +. Se ocorrer um destes csos ou se o limite não eistir, diremos que integrl imprópri é divergente. Observção.84. As integris imprópris podem ser interpretds como um áre, desde que f sej um função positiv. Eemplo.85. Determine se integrl Demonstrção. t d = lim d = lim ln t t Como o limite é infinito, integrl é divergente. Eemplo.86. Determine se integrl Demonstrção. t d = lim d = lim 3 t 3 t Como o limite é finito, integrl é convergente. d é convergente ou divergente. t = lim t ln t =. d é convergente ou divergente. 3 t = lim t t + =. Definição.87. Sej f integrável [t, ] pr todo t <. Definimos f()d = lim t t f()d.

50 5 CAPÍTULO. INTEGRAIS Definição.88. Se s integris então definimos f() d = f() d, f() d + Mrcelo Nscimento / UFSCr f() d eistem e são convergentes, f() d. Observção.89. Com relção à últim definição, se s dus integris que ocorrem no membro forem divergentes, ou se um dels for convergente e outr divergente, diremos que tmbém será divergente. Eemplo.9. Determine se integrl e d = lim t t e d = lim t ( f() d e Como o limite é finito, integrl é convergente. Eercício: Clcule s integris imprópris t e d é convergente ou divergente. t e d 3 d (), [R : /6]; (b) e d, (9 ) ) = lim t ( tet +e t ) =. [R : Diverge]. Eercício: Determine áre A d região do primeiro qudrnte limitdo pel curv =, o eio e o eio. [R : / ln ]. Eercício: Converge p > ]. Eemplo.9. Avlie Determine convergênci ou não d integrl + d. É conveniente escolher = n definição: Clculemos s integris. Portnto, Eercício: Clcule + d = d = lim + t d = lim + t t e d. [R : ]. t + d + d = lim + d = lim + + d = π + π = π. + d. t rctg t = π. rctg t = π. d, p R. [R : p t

51 .. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 5.. Testes de Convergênci Algums vezes não é possível encontrr um vlor eto pr um integrl imprópri, ms podemos sber se el é convergente ou divergente usndo outrs integris conhecids. Teorem.9 (Teste d Comprção). Sejm f e g funções contínus stisfzendo f() g() pr todo. Então, (i) Se f() d é convergente, então g() d tmbém é convergente. (ii) Se g() d é divergente, então Eemplo.93. Mostre que e d é convergente. f() d tmbém é divergente. Não podemos vlir diretmente integrl pois primitiv de e não é um função elementr. Observe que se, então, ssim e como eponencil é crescente e e. Assim, e d e d = lim t t Logo pelo Teste d Comprção integrl é convergente. Eemplo.94. Anlise convergênci de e d = lim t (e e t ) = e. sin d. Observe que sin, pr todo [, ). Como integrl sin pelo Teste d Comprção integrl d é convergente. Eemplo.95. Anlise convergênci d + e d. Mrcelo Nscimento / UFSCr d converge, Observe que + e e d diverge, então pelo Teste d Comprção integrl + e d é divergente. Teorem.96 (Teste d Comprção no Limite). Sejm f, g : [, + ) R + funções contínus. Se f() lim = L, < L <, g() então f() d e Eemplo.97. Anlise convergênci de g() d serão mbs convergentes ou mbs divergentes. + d.

52 5 CAPÍTULO. INTEGRAIS As funções f() = e g() = são positivs e contínus em [, + ) e + f() lim g() = lim / /( + ) = lim + =. Portnto, como integrl d converge, d tmbém é convergente. + Entretnto, s integris convergem pr vlores diferentes. t ( d = lim d = lim ) t = lim t t t t =. t d = lim + t d = lim + rctg t Eemplo.98. Anlise convergênci de As funções f() = e e g() = 3 e 5 Mrcelo Nscimento / UFSCr t 3 e 5 d. = lim t (rctg t rctg ) = π 4. são positivs e contínus em [, ) e f() lim g() = lim /e 3/(e 5) = lim e 5 = lim 3e 3 5 3e = 3. Portnto, como integrl converge. e d =.. Integrndos Descontínuos e d converge, 3 d tmbém e 5 Vmos estender o conceito de integrl pr funções definids e não-limitd em um intervlo de etremos e b,, b R. Definição.99.. Sej f um função contínu em [, b) e descontínu em b, definimos se esse limite eistir. b f() d = lim t b t f() d,. Sej f um função contínu em (, b] e descontínu em, definimos se esse limite eistir. A integrl imprópri b b f() d = lim t + finito, cso contrário será dit divergente. b t f() d, f() d é chmd convergente se o limite eistir e for

53 .. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS Se f tiver um descontinuidde em c, onde < c < b, e mbos b c f() d forem convergentes, então definimos c f() d e b f() d = c f() d + b c f() d. Eemplo.. Clcule Observe que f() = 5 5 d = lim t + t 5 Eemplo.. Determine se Como o plstle pois π/ d. não é contínu em =. Então, d = lim ( )/ t + π/ sec d converge ou diverge. lim sec = + integrl é imprópri. Então t π/ sec d = lim t π/ π/ sec d = Mrcelo Nscimento / UFSCr 5 t ( = lim ) 3 t = 3. t + lim ln sec + tg t π/ lim sec = lim tg = +. Portnto integrl é divergente. t π/ t π/ Eemplo.. Clcule 3 Observemos que f() = 3 d. não é contínu em =. Então, d = 3 d + d. t =, Agor, t d = lim t d = lim t ln pois lim t ( t) =. Portnto integrl é divergente. t = lim (ln t ln ) =, t Observção: Se não tivéssemos notdo ssíntot = no eemplo nterior e tivéssemos confundido integrl com um integrl definid, poderímos ter clculdo erronemente. De gor em dinte devemos prestr tenção no integrndo pr decidir se integrl é imprópri ou não.

54 54 CAPÍTULO. INTEGRAIS Se c (, b) e f : [, b] \ {c} R. Nests condições, integrl deverá ser trtd como um integrl imprópri. Dí, se convergentes, então b c f() d e b c f() d tmbém será convergente e teremos b f() d = c f() d + b c f() d. b f() d f() d forem Se pelo menos um ds integris será divergente. Eercício: Clcule () c f() d ou b d, [R : ]; (b) ( + ) /3 c f() d for divergente, então π Mrcelo Nscimento / UFSCr tg d, [R : Diverge]. b f() d Eercício: Esboce o gráfico de f() = e clcule áre A d região sob o ( 3) /3 gráfico d função f, cim do eio e entre s rets = e = 5. [R : 3 ]. Eercício: Clcule 4 ( () ) 3 d, [R : Diverge]; (b) 3/ Eercício: Anlise convergênci ds integris () (c) π π sin π d, [R : Converge]; (b) t + sin t dt, [R : Converge]; (d) π/ cos sin d, [R : ]. d, [R : Diverge]; e d, [R : Converge].

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