b a f(x) dx a f(x)dx = 0 f(x)dx a f(x)dx = - b f(x)dx b f(x)dx = c f(x)dx + b f(x)dx ou - f(x)dx ou - f(x)dx f (x) y f (x) 1 DEFINIÇÃO DE INTEGRAL

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2 DEFINIÇÃO DE INTEGRAL Dentro do conceito do cálculo, temos que integrl foi crid pr delimitr áre A loclizd sob um curv f() em um plno crtesino. A f () b A notção mtemátic d integrl cim é: A = b f() d 2 INTEGRAL DEFINIDA A integrl cim é chmd de definid, pois possui limites de integrção [,b]. Assim, poderemos determinr um vlor pr áre bio d curv, e não pens um equção genéric! PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA Bsicmente, temos s mesms proprieddes ds integris indefinids. Ms há proprieddes etrs devido os limites de integrção: Qundo os limites de integrção forem iguis, signific que estmos integrndo um região nul, logo, nosso resultdo será 0! Qundo os limites estão invertidos: f()d = 0 f()d = - b f()d b Isto quer dizer que só precismos invertermos os limites e colocr um sinl negtivo pr fzer o cálculo! Um integrl pode ser reescrit como som de dus integris, reescrevendo os limites: f () c b b f()d = c f()d + b f()d c INTEGRAL IMPRÓPRIA Dizemos que um integrl é imprópri qundo lgum dos limites (ou mbos) é infinito, isto é: b f()d ou - f()d ou - f()d Pr resolver este tipo de integrl, substituímos o limite impróprio por um vriável e clculmos o

3 limite qundo el tende o limite impróprio, de cordo com s situções bio: f()d = lim b f()d b - f()d = lim b f()d - - f()d = lim b f()d + lim b f()d b - Se temos um descontinuidde no ponto c, dentro do intervlo d função f() que está sendo integrd, temos por definição: b f()d = lim t f()d + lim b f()d t t c- t c+ Ou sej, seprmos em dois intervlos n descontinuidde c: b f()d = c f()d + b f()d c TEOREMA DA COMPARAÇÃO Podemos nlisr convergênci de um integrl pelo Teorem d Comprção: Se f() g() no intervlo nlisdo,então: se f()d é convergente, então g()d tmbém será convergente. se g()d é divergente, então f()d tmbém será divergente. 3 INTEGRAL INDEFINIDA A integrl indefinid é tmbém ntiderivd. El não tem limites de integrção, gerndo um função genéric. f() = d d [F()] f()d = F() + C LEMBRETE!! Não esqueç de somr constnte C pr integris indefinids! Nós temos que fzer isso porque derivd de um constnte result em 0 e, como integrl é o inverso d derivd, precismos dicionr C! FÓRMULAS DE INTEGRAÇÃO Vmos ver um tbelinh com s integris básics que devemos sber! d = + C cossec cotg d = cossec + C r d = r + ¹ r + + C (r - ) e d = e + C cos d = sen + C b d = b + C (0<b, b ) ln b sen d = cos + C d = ln + C sec² d = tg + C + ² d = rctg + C cossec² d = - cotg + C d = rc sen + C + ² sec tg d = sec + C d = rcsec + C ²-

4 PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA Sempre que tivermos um constnte multiplicndo tod função que está sendo integrd, el pode estr dentro ou for d integrl, que dá n mesm! c f()d = c f()d A integrl de um som é som ds integris. [f() + g()]d = f()d + g()d A integrl de um diferenç é diferenç ds integris. SUBSTITUIÇÃO U [f() - g()]d = f()d - g()d Utilizmos este método pr simplificr integrção, gerndo um integrl que sbemos como resolver. Considerndo: du d u = g() = g'() du = g'()d Substituindo n equção bio, temos: Eemplo: f(g()) g'()d = F(g()) + C f(u)du = F(u) + C Clcule seguinte integrl: (-3)¹²d =? Vmos definir u=-3, então noss derivd será du= du Substituindo n integrl, temos: (-3)¹²d = u¹²du u¹³ (-3)¹³ = +C = +C TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO Como o próprio nome já diz, este teorem é fundmentl pr os nossos estudos de Cálculo! Ele estbelece um relção entre os conceitos de derivd e integrl e nos mostr como resolver integris definids. PARTE I - CÁLCULO DE UMA INTEGRAL DEFINIDA Ess primeir prte do Teorem nos diz que podemos clculr um integrl definid integrndo função f() e subtrindo o vlor d integrl do limite inferior () do vlor d integrl do limite superior (b). Vmos ver isso no gráfico pr entender melhor! f () b b f()d = F(b) - F() ou b f()d = F()]b

5 Eemplo: Clcule integrl: ³ (9-²)d =? 0 Só precismos integrr função, substituir os limites superior e inferior e subtrir os vlores! = 9 - ³ ]³ 3³ 0³ 3 = 0 = (9.3 - ) - (9.0 - ) 3 3 = (27-9) - 0 = 8 PARTE II - LIMITE DE INTEGRAÇÃO VARIÁVEL A segund prte nos jud clculr um integrl definid com um limite superior de integrção vriável, por eemplo. F()= d f(t)dt f()= [ d f(t)dt] Ou sej, se integrrmos função f(t), de té, e depois fizermos derivd em relção, vmos obter um função f(). Eemplo: b Resolv seguinte integrl: Vmos primeiro resolver integrl: Agor vmos derivr em relção : d d [ t³dt] =? [ t⁴ t³dt = ] = 4³ d ⁴ ⁴ [ - ] = - 0 = ³ d CÁLCULO DE DEFINIDAS POR SUBSTITUIÇÃO Devemos levr em cont os efeitos d substituição nos limites de cim e de bio. Podemos fzer por dois métodos: MÉTODO I Determinmos primeiro integrl indefinid por substituição e, prtir disso, clculmos integrl definid. Eemplo: ² 0 (² + )³ d =? Resolv seguinte integrl: Sendo u = ² + du = 2.d 0 ² (² + )³ d = ½ ² 0 u³du = u⁴ (²+)⁴ = ]² = ² 0 (² + )³ d = 78

6 MÉTODO II Usmos u=g() pr substituir os vlores dos limites de integrção. Eemplo: Vmos clculr mesm integrl do eemplo nterior: ² 0 (² + )³ d Definindo u=²+ du=2.d e clculndo o novo limite superior pr =2 2²+=5 e o limite inferior pr =0 0+=. Substituindo os vlores n integrl, temos: ½ ⁵ u³du = u⁴ ] ⁵ 625 = ÁREA ENTRE DUAS CURVAS ÁREA INTEGRANDO EM X Relembrndo s proprieddes d integrl definid (subtrção de integris), nd mis é do que integrl de um função menos outr. A f () g () b A = b [f() - g()]d ÁREA INTEGRANDO EM Y Aqui vmos flr sobre funções dependentes d vriável. O que mud é que temos linhs vrindo n verticl, e não n horizontl, como estmos costumdos! Vmos conferir o desenho bio: b = g() = f() A A = b [f() - g()]d 7 VOLUME POR DISCOS E ARRUELAS EM X E Y MÉTODO DO DISCO Vmos imginr que temos um função f(), como n figur bio. Qundo girmos ess função o redor do eio, formmos um sólido, chmdo sólido de revolução.

7 f() b E divinh? Podemos clculr o volume V desse sólido usndo integris! V = b π[f()]²d Ms de onde siu ess equção? Como estmos rotcionndo função f(), bse do sólido formdo é um círculo de áre πr2, sendo o nosso rio própri função f() e o comprimento do sólido d. Podemos fzer o mesmo qundo um função f() é gird em torno do eio. b f() V = b π[f()]²d IMPORTANTE: Neste cso, como estmos girndo em torno do eio, precismos d função dependente de. Por eemplo: = = vmos reescrever como =2. MÉTODO DAS ARRUELAS Utilizmos este método pr clculr o volume de um sólido prtir d diferenç do volume de outros dois. Pr isso, bst seguirmos o mesm idei d áre entre dus curvs. f() g() OCA! V = b π[f()]²d - b π[g()]²d 8 INTEGRAÇÃO POR PARTES Chegmos em um dos csos mis temidos pelos estudntes, ms que fic mis trnquilo qundo resolvemos com clm e tenção! O que nós vmos fzer qui é epressr de outr form integrl de um produto de funções, fcilitndo o nosso cálculo.

8 Vmos ter integris do tipo: E idei é trnsformá-ls em: f().g()d u dv = u.v - v du Então nosso objetivo é escolher um função pr ser o u e outr pr ser o dv, obtendo um nov integrl. Bom, ms como fzemos ess escolh? Um dic legl, que gerlmente funcion bem, é escolher pelo digrm LIATE: Escolher u qui Logrítimics Inverss de trigonométrics Algébrics Trigonométrics Eponenciis Escolher dv qui Agor ficou mis fácil de escolher u e dv né? Aí o que vmos ter que fzer é derivr função escolhid como u e integrr função dv. Vmos fzer um eemplo pr deir mis clro. Eemplo: Resolv seguinte integrl: cos d =? Temos um função lgébric () e um função trigonométric (cos ), logo, escolhemos u= du=d e dv = cos d v = dv = cos d = sen Agor, precismos fzer substituição n equção gerl que definimos lá em cim u dv = u.v - v du: cos d = sen - sen d = sen - (-cos ) + C = sen + cos + C 9 TRIGONOMÉTRICAS PRODUTOS DE SENOS E COSSENOS Se m e n forem números inteiros positivos, podemos clculr integrl cim trvés ds relções trigonométrics: n ímpr m ímpr m e n pres Seprr cos Seprr sen Reduzir potêncis de sen e cos Aplicr cos² = - sen² u = sen Aplicr sen² = - cos² u = cos Aplicr sen² = ½ ( - cos 2) cos² = ½ ( + cos 2)

9 Eemplo: sen⁴. cos⁴ d = (sen² )² (cos² )² d Sendo sen² = ½ ( - cos 2) e cos² = ½ (+ cos 2), temos: = [½ ( - cos 2)]² [½ ( + cos 2)]² d = ( - cos² 2)²d 6 Lembrndo que sen² = - cos² = sen⁴ 2 d 6 A prtir dqui, nós utilizmos o método de substituição u.du, sendo u = 2 du = 2d (- cos² 2)² d = (⅜u - ¼ sen 2u + /32 sen 4u) + C 32 3 = - sen 4 + sen 8 + C PRODUTOS DE TANGENTES E SECANTES tgm. secn d n pr m ímpr m pr e n ímpr Seprr sec² Seprr sec tg Reduzir potêncis de sec Aplicr sec² = tg² + u = tg Aplicr tg² = sec² - u = sec Aplicr tg² = sec² - SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Podemos relizr este método em três pssos: escolher substituição corret, resolver integrl e retornr vriável inicil. Epressão ² - ² ² + ² ² - ² Substituição = sen Θ = tg Θ = sec Θ Eemplo: Resolv integrl: d ² 4 - ² =? Pensndo ns substituições trigonométrics, você deve lembrr que:

10 ² - ² = 2 sen Θ d = 2 cos Θ dθ, logo: d 2 cos Θ dθ 2 cos Θ dθ = = ² 4 - ² (2 cos Θ)² 4-4 sen² Θ (2 sen Θ)² (2 cos Θ) dθ sen² Θ = Então, devemos epressr cotngente em função de : ¼ cossec² Θ dθ = ¼ cotg Θ + C 2 cotg = 4 - ² 4 - ² Substituindo n integrl já resolvid, temos: d ² 4 - ² 4 - ² = ¼. + C 0 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS É um método utilizdo pr seprr um divisão de polinômios em termos fáceis de integrr. Eemplo: Resolv integrl: d ² + -2 =? Lembrndo que ² + -2 A = = + (-)(+2) - B +2 Se multiplicrmos equção cim por (-)(+2), obtemos: = A(+2)+B(-) = = A(+2)+B(-) A = ⅓ = -2 = A(-2+2)+B(-2-) B= -⅓ Substituindo A e B ⅓ = - (-)(+2) - d ² + -2 = ⅓ d - = - ⅓ ⅓ +2 d +2 = ⅓ = ⅓ ln - - ⅓ +2 + C = ⅓ - + C +2

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