b 2 = 1: (resp. R2 e ab) 2. Calcule a área da região delimitada pelo eixo x, pelas retas x = B; B > 0; e pelo grá co da função y = x 2 exp x 3 2

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1 8. APLICAÇÕES DA INTEGRAL CÁLCULO Áres Plns Suponh que cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ; x b, como mostr gur 8.1. A áre d região D é denotd por A(D) e clculd com uxilio d fórmul: A(D) = f(x)dx: 1. Clcule áre de um círculo de rio R e d elipse x2 2 + y2 b 2 = 1: (resp. R2 e b) 2. Clcule áre d região delimitd pelo eixo x, pels rets x = B; B > 0; e pelo grá co d função y = x 2 exp x 3 2. Veri que que áre limite, com B! 1, é 2=3: (resp. 3 (1 e B2 )) 3. Considere B > 2 e clcule áre sob curv y = x 1 (ln x) 2, entre s rets x = 2 e x = B. Est áre tem um limite, com B! 1? (resp. 1= ln 2 1= ln B; com áre limite 1= ln 2) 8.2 Comprimento de Curvs FORMA :::::::: ::::::::::::::: CARTESIANA Considere um curv no plno xy, que é representd pelo grá co de um função y = f (x) ; x b, contínu com derivd primeir tmbém contínu no intervlo [; b] (um tl função é dit ser de clsse C 1 ). comprimento L() d curv é clculdo pel integrl: L() = q 1 + f 0 (x) 2 dx: O CALCULANDO O COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA

2 2 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS Se é circunferênci x 2 + y 2 = R 2, considermos o rco y = f (x) = p R 2 x 2 ; R x R; e encontrmos: Z R Z Rdx =2 L () = 2 p R R 2 x = 2 (fç x = Rsen) = 2R =2 d = 2R: FABRICANDO FOLHAS METÁLICAS Um fábric produz, prtir de folhs plns, folhs metálics ondulds como s mostrds n Figur 8.2 bixo. As seções trnsversis desss folhs têm o formto d curv y = sen (3x=20) ; 0 x 20 polegds e s folhs devem ser modulds por um processo que não estique o mteril. Qul deve ser lrgur L d folh originl? De cordo com fórmul do comprimento, deduzimos que folh originl deve medir L = Z 20 0 p cos 2 xdx; sendo = 3=20: O vlor numérico dess integrl será determindo usndo proximção: p 1 + ' , com = 2 cos 2 x. Temos, portnto: L = Z 20 0 = p cos 2 xdx ' Z 20 Z 20 0 cos 2 xdx = x cos 2 x dx = sen 2x x=20 ' 21:09 polegds. 2 x=0 Um vlor mis preciso poderi ser obtido com proximção: p 1 + ' :

3 COMPLEMENTOS 8 APLICAÇÕES DA INTEGRAL 3 FORMA :::::::: ::::::::::::::::: PARAMÉTRICA Nesse cso curv é descrit por um pr de equções: x = x (t) ; y = y (t) ; t b, onde s funções x (t) e y (t) são de clsse C 1 no intervlo [; b] : O comprimento L() d curv é clculdo, gor, pel integrl: L() = s dx 2 + dt dy 2 dt: dt PARAMETRIZANDO A CIRCUNFERÊNCIA Observndo Figur 8.3 observmos que s coordends do ponto P (x; y) d circunferênci são: x = OA e y = AP. Se t represent o ângulo entre o eixo x e o rio OP, obtemos seguinte prmetrizção pr circunferênci: x = R cos(t); y = R sen(t); 0 t 2: Neste cso, o compriment d circunferênci vem ddo por: L () = Z 2 0 p Z 2 R 2 cos 2 t + R 2 sen 2 tdt = R dt = 2R: 0 PARAMETRIZANDO A ELIPSE Observndo gur o ldo, notmos que s coordends do ponto P (x; y) d elipse são: x = OC e y = DB. Se t represent o ângulo entre o eixo x e o eixo OA, obtemos seguinte prmetrizção pr elipse: x = cos(t); y = b sen(t); 0 t 2: PARAMETRIZANDO A HIPÉRBOLE

4 4 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS Observndo Figur 8.5, deduz que hipérbole x2 y 2 2 b 2 = 1 pode ser prmetrizd d seguinte form: x = sec(t); y = b tn(t); 0 t 2; onde t represent o ângulo entre o eixo x e o eixo OC. 1. Em cd cso, clcule o comprimento do rco indicdo. () y = x ; 1 x 2: (resp. 13=12) x (b) y = x2 3=2 ; 0 x 3: (resp. 21) (c) y = 1 ln (sen x) ; 6 x 4 : (resp. ln[(3 + p 2)( p 2 + 1)) (d) x = y y ; 1 y 3: (resp. p 6(2 + ln 3)) (e) y = p x (1 x=3) ; 0 x 3: (resp. 2 p 3) (f) 8x 2 = 27y 3 ; 1 x 8: (resp. 62=3) (g) y = x 3=2 ; 1 x 4: (resp. 62=5) (h) y + 1 4x + x3 = 0; 2 x 3: (resp. 53=6) 3 (i) (y + 1) 2 = (x 4) 3 ; 5 x 8: (resp. 80 p p 13) p x 2x 3=2 1 (j) y = ; 0 x 1: (resp (30p 3 7)) 2. Clcule o comprimento d hipociclóide de equção x 2=3 + y 2=3 = 2=3 : (resp. 6) 3. Clcule distânci percorrid por um prtícul entre os instntes t = 0 e t = 4, se su posição P (x; y) no instnte t vem dd por: x = 1 2 t2 e y = 1 3 (2t + 1)3=2 : (resp. 12) 4. Em cd cso, clcule o comprimento do rco indicdo: () : x = t 3 ; y = t 2 1 ; 1 t 3: (resp. 27 [(85)3=2 (13) 3=2 ]) (b) : x = e t cos t; y = e t p sen t; 0 t 1: (resp. 2(e 1)) (c) : x = 2 (1 sen t) ; y = 2 (1 cos t) ; 0 t : (resp. 2) (d) : x = t cos t; y = t sen t; 0 t =4: (resp. 2 p ) (e) : x = cos (2t) ; y = sen 2 t; 0 t : (resp. 2 p 5])

5 COMPLEMENTOS 8 APLICAÇÕES DA INTEGRAL 5 (f) : x = 1 2 t2 + t; y = 1 2 t2 t; 0 t 1: (resp. 1 p 2 2 ln(p 2 1)) 5. Sej curv descrit por: x = t 3 3t; y = t 3 5t 1; t 2 R: Veri que que r : 7x 9y = 41 é ret tngente à curv no ponto correspondente t = 2. Em que pontos ret tngente é: () Verticl. (resp. Nos pontos correspondentes t = 1) (b) Horizontl (resp. Nos pontos correspondentes t = p 5=3) 8.3 Coordends Polres 1. Loclize no plno crtesino os seguintes pontos ddos em coordends polres e, em seguid, determine sus coordends crtesins: () (2; =4) (b) (2; 3=2) (c) (3; =6) (d) (1; =4) (e) (2; 5=6) (f) ( 1; =4) (g) ( 2; 7=6) (f) ( 3; 13=6) 2. Determine s coodends polres dos pontos cujs coordends crtesins são: () (1; 1) (b) (2; 0) (c) ( p 2=2; p 2=2) (d) (3; 3 p 3) (e) ( 1; 1) (f) (1; p 3) (g) ( p 7; 3) (h) (0; 4) 3. Psse pr form polr r = f () s seguintes curvs: () xy = 2 (b) x 2 + y 2 3y = 0 (c) 3x 2 + 5y 2 = 15 (d) x + 1 = 0 (e) x 2 y 2 = 1 (f) y 2 4x = 0: 4. Psse pr form crtesin F (x; y) = 0 e esboce o grá co de cd curv bixo: 4 () r = 2 + sen 2 (b) r = sen 2 (c) r = (d) r = cos (e) r = cos (f) r = cos (g) r = 3 sec (h) r = 1 + p 2 cos (i) r = 2 tn (j) r = (k) r 2 = cos (l) r = 1= (m) r = 4 1 cos (n) r = 2 sen (o) = 2 : 5. Sejm (r; ) e (; ') s coordends polres dos pontos P e Q, respectivmente. Use Lei dos co-senos e deduz que distânci entre P e Q pode ser clculd por: dist (P; Q) = p r r cos ( '): (8.1) 6. Use (8.1) e deduz que em coordends polres (r; ) equção de um círculo de rio e centro no ponto (; ') é r r cos ( ') = 2 : Considere = e, sucessivmente, = 0; ; =2; 3=2 pr identi cr s circunferêncis r = 2 cos e r = 2 sen :

6 6 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 7. Considere curv de equção polr r = sen + cos ; =4 3=4. De dus mneirs identi que curv como um rco de circunferênci: primeiro psse equção pr coordends crtesins; depois use o exercício precedente. 8. Deduz que s equções = 0 ; r cos = e r sen = b representm rets e fç um esboço do grá co em cd cso. De form gerl, se N (; ') é o pé d perpendiculr trçd do pólo um ret que não pss pelo pólo, então equção dess ret é: r cos ( ') = ou r = = (A cos + B sen ) ; sendo A = cos ' e b = sen ': 9. Determine, cso exist, interseção entre os seguintes pres de curvs: () r = 2 e r = 4 cos (b) r = 1 + cos e r = 1=3 (1 cos ) (c) r 2 = 4 sen 2 e r = 2 p 2 cos (d) = =4 e r = 2 cos COMPRIMENTO & ÁREA NA FORMA POLAR As curvs em coordends polres qui considerds são descrits por um equção do tipo r = f (), sendo função f e su derivd primeir contínus e o ngulo vri no intervlo [ 1 ; 2 ], como sugere Figur 8.5 bixo. Represent-se por L o comprimento do rco entre 1 e 2 e por A (D) áre d região D correspondente. O comprimento L e áre A (D) são clculdos, respectivmente, pels fórmuls: L = Z 2 1 q f () 2 + f 0 () 2 d e A (D) = 1 2 Z 2 1 f () 2 d: 10. Clcule o comprimento ds seguintes curvs dds n form polr: () r = 3 cos ; 0 2 (b) r = 2 sec ; 0 3 (c) r = 1 cos ; 0 2 (d) r = =3; 0 2 (e) r = jsen j ; 0 2 (f) r = 3 cos 2 ( 2 ); 0 2 (g) r = 2 ; 0 2 (h) r = sen 3 ( 3 ); 0 2 (i) r = sen + cos ; Clcule áre d região interior cd curv dd bixo: () r 2 = 2 cos 2 (b) r = (2 cos ) (c) r = 2 sen (d) r = (1 + cos 2) (e) r 2 = 1 cos (f) r 2 = 2 2 cos 2 (=2)

7 COMPLEMENTOS 8 APLICAÇÕES DA INTEGRAL Em cd cso, esboce gr cmente região D e clcule áre A (D) : () D é interior o círculo r = e exterior à crdióide r = (1 cos ).(resp.: A(D) = 2 (2 =4)) (b) D é delimitd pels curvs r = 2; = =4 e = =2: (resp.: A(D) = =2) (c) D é interior à crdióide r = (1 + sen ) e exterior o círculo r = sen :(resp.: A(D) = 5 2 =4)) (d) D é comum os círculos r = 2 cos e r = 2 sen : (resp.: A(D) = 2 ( 1 + =2)) (e) D é interior à leminisct r 2 = 8 cos 2 e exterior o círculo r = 2: (resp.: A(D) = 4 3 (3p 3 )) (f) D é interior o círculo r = 3 cos e exterior à crdióide r = 1 + cos : (resp.: A(D) = ) (g) D é delimitd pel rosáce de 4 pétls r = jsen 2j (resp.: A(D) = 2 =2) (h) D é interior o círculo r = cos e exterior à crdióide r = 1 + sen : (resp.: A(D) = 1 =4) (i) D é interior o círculo r = sen e exterior à crdióide r = 1 cos : (resp.: A(D) = 1 =4) 8.4 Sólidos de Revolução EQUAÇÃO DE UMA SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO Consideremos um curv no plno xy descrit pel relção F (x; y) = 0; qui denomind gertriz, e denotemos por S superfície obtid pel rotção d curv em torno do eixo x. É clro que cd ponto d curv irá descrever um circunferênci de centro no ponto C (x; 0; 0) e superfície S é crcterizd por CP! = CQ! ; onde P é um ponto genérico d superfície S e Q é o ponto de interseção d curv com o plno que pss por P, perpendiculrmente o eixo x (eixo de rotção), como sugere gur bixo. A equção crtesin de S é, portnto: F (x; p y 2 + z 2 ) = 0 No cso em que curv é descrit pel equção y = f (x) equção crtesin ssume form y 2 + z 2 = [f (x)] 2 VOLUME DE UMA SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO MÉTODO :::::::::: ::::: DAS :::::::: FATIAS Vmos estbelecer um fórmul pr o cálculo do volume do sólido gerdo pel rotção de um região D do plno xy em torno do eixo horizontl y = c. Observndo Figur 8.8 bixo, vemos que o volume in nitesiml dv, isto é, o volume d fti de lrgur dx, vem ddo por: dv = [f (x) c] 2 dx c 2 dx:

8 8 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS O volume do sólido é, portnto: vol () = R 2 c 2 dx: No cso em que o eixo de rotção é o eixo x; temos c = 0 e o volume do sólido é clculdo pel fórmul: vol () = f (x) 2 dx MÉTODO :::::::::: ::::: DAS ::::::::: CASCAS :::::::::::::::: CILÍNDRICAS Aqui o sólido é gerdo pel rotção d região D em torno do eixo (ret verticl) x = c. O volume in nitesiml dv; nesse cso é: h dv = (x + c + dx) 2 (x + c) 2i f (x) = 2 (x + c) f (x) dx: e o volume de é som desses volumes in nitesimis, isto é: vol () = 2 (x + c) f (x) dx: 1. Identi que o eixo e gertriz d superfície de revolução, cuj equção crtesin é: () z = x 2 + y 2 (b) x = y 2 + z 2 (c) y 2 = x 2 + z 2 (d) x 2 + y 2 + z 2 = 2 (e) x 2 + y 2 = 1 (f) 4x 2 + 9y 2 z 2 = 36:

9 COMPLEMENTOS 8 APLICAÇÕES DA INTEGRAL 9 2. Em cd cso bixo, esboce região D delimitd pels curvs dds e em seguid clcule o volume do sólido gerdo pel rotção d região D em torno do eixo indicdo. () y = x 4 2x 2 ; y = 2x 2 ; x 0; eixo y (b) y = x 2 4x; y = 0; eixo x (c) y = p x; y = 0; x = 4; eixo x = 4 (d) x 2 + y 2 = 1; eixo x = 2 (e) y = p x; y = 0; x = 4; eixo y = 2 (f) y = x; y = 0; x = 2; eixo y (g) y = x 2 ; y = 4 x 2 ; eixo x (h) xy = 1; y = 0; x = 1 e x = 2; eixo x: 3. Um região D do plno xy é delimitd pelo triângulo de vértices (0; 0) ; (h; 0) e (h; r), sendo h e r números positivos. Clcule o volume do sólido resultnte d rotção d região D em torno do eixo x(resp. r 2 h=3). E se rotção fosse em torno do eixo y? (resp. 2rh 2 =3)) 4. Qul o volume do sólido obtido pel rotção em torno do eixo x d região do plno xy delimitd pel prábol y = x 2 ; pelo eixo x e pels rets y = 2x 1 e y = x + 2? (resp. 13=6)) 5. Considere curv de equção y 2 = x 3 e s regiões R 1 e R 2 ; exibids n Figur Determine o volume do sólido em cd situção seguir: () R 2 gir em torno do eixo x; (b) R 1 gir em torno do eixo y; (c) R 2 gir emtorno do eixo BC; (d) R 1 gir em torno do eixo AC. 6. É feito um orifício de rio 2 p 3 pelo centro de um sólido esférico de rio R = 4. Clcule o volume d porção retird do sólido. (resp. 224=3) 7. Clcule o volume de um tronco de cone circulr reto de ltur h, rio d bse inferior R e rio d bse superior r: 8. Clcule o volume de um clot determind em um esfer de rio r por um plno cuj distânci o centro d esfer é h, h < r: (resp. 2R 3 =3 + h 3 =3 r 2 h) 9. Clcule pelos dois métodos (Ftimento e Cscs Cilíndrics) o volume do sólido obtido por rotção em torno do eixo y d região delimitd pel curv y = 2x x 2 e o eixo x: 10. Ao girr em torno do eixo y um cert região do plno xy; obteve-se seguinte expressão pr o volume do sólido resultnte: V = 2 Z =4 0 (x cos x x sen x) dx:

10 10 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS Identi que região e clcule o volume V: 11. Observe Figur 8.11 em que o rco do ponto A o ponto B é descrito por y = f (x) ; x b: Identi que o sólido de revolução cujo volume é: () (c) (e) f(x) 2 dx f(x) 2 dx (b) Z d c f 1 (y) 2 dy 1 2 e2 (b c) (d) 2f(x)dx (f) (be 2 d 2 ) 2xf 1 (x)dx f(x) 2 dx: 12. Clcule o volume do sólido gerdo pel rotção d região delimitd pels rets y = 0; x = 2 e x = 2y; em torno d ret y = x (sug. use um rotção de eixos). 13. Clcule o volume do sólido obtido pel rotção em torno do eixo y do disco delimitdo pel circunferênci (x ) 2 + y 2 = b 2 ; 0 < b <. 8.5 Sólidos Geris O Método ds Ftis pode ser utilizdo no cálculo do volume de um sólido qulquer, qundo se conhece áre ds seções trnsversis perpendiculres o eixo x, por exemplo. De fto: suponhmos que um sólido é limitdo pelos plnos x = e x = b e que A (x) represent áre d seção trnversl no ponto x. O volume dv d fti compreendid entre x e x + dx é clculd por dv = A (x) dx, de modo que o volume do sólido ; que é "som"de todos esses volumes elementres, é clculdo por: vol () = A (x) dx: 1. A bse de um sólido é o disco x 2 + y 2 2 e cd seção trnversl do sólido determind por plnos perpendiculres o eixo x é um qudrdo cujo ldo está sobre bse do sólido Qul o volume do sólido? 2. A bse de um sólido é região do plno xy limitd pelo eixo x e pel curv y = sen x; 0 x =2. Tod seção pln do sólido perpendiculr o eixo x é um triângulo equilátero com um dos ldos sobre bse do sólido. Clcule o volume do sólido. 3. De um cilindro circulr reto de rio r cort-se um cunh por meio de um plno pssndo por um diâmetro d bse e formndo um ângulo de 45 o com o plno d bse. Clcule o volume d cunh.

11 COMPLEMENTOS 8 APLICAÇÕES DA INTEGRAL Áre de um Superfície de Revolução Antes de deduzir um fórmul pr áre de um superfície de revolução, vmos clculr de mneir simples s áres de dus superfícies bstnte fmilir: o cilindro e o cone circulr reto. Pr o cilindro de rio R e ltur H, qundo cortdo e berto, su áre lterl é clculd como se ele fosse um retângulo de ltur H e bse 2R, como sugere Figur Pr o cone o procedimento é nálogo. Aqui usremos fórmul básic d áre do setor circulr: A(D) = 1 2Rs, sendo R o rio e s o comprimento do rco, como n gur o ldo. Um cone circulr reto de ltur H, gertriz de comprimento g e rio d bse R pós cortndo e berto se identi c com o setor circulr de rio g e comprimento do rco 2R, como n Figur 8.14 bixo. Em um situção gerl, supõe-se que S sej obtid por rotção em torno do eixo x, do grá co de um função suve y = f (x) ; x b: Por função suve entende-se um função f que é contínu e

12 12 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS tem primeir derivd contínu no intervlo [; b] : A áre in nitesiml ds é proximd pel áre do cilindro de rio f (x) e ltur ds; sendo ds o comprimento do rco sobre o grá co de f, como sugere Figur Temos que ds = 2f (x) ds q e, lembrndo que ds = 1 + f 0 (x) 2 dx, encontrmos por integrção seguinte fórmul pr o cálculo d áre de S : A (S) = 2f (x) ds = 2f (x) 1. Clcule áre de um esfer de rio R: (resp. 4R 2 ) q 1 + f 0 (x) 2 dx: 2. Clcule áre d superfície gerd pel rotção d curv y = p x; 1 x 4; em torno do eixo h x: (resp. 4 3 (17=4) 3=2 (5=4) 3=2i ' 30:85) 3. Clcule áre do cone gerdo pel rotção do segmento de ret y = 3x + 2; 0 x 3, em torno do eixo x. (resp. 39 p 10) 4. A curv 8x = y 4 + 2=y 2 ; 1 y 2, gir em torno do eixo y. Clcule áre d superfície resultnte. (resp. 1179=256) 5. Clcule áre do prbolóide y = x 2 + z 2 ; 0 y 4. (resp. 4 3 h 17 4 i 3=2 1 8 ' 36:18)

13 COMPLEMENTOS 8 APLICAÇÕES DA INTEGRAL 13 RESPOSTAS & SUGESTÕES 8.3 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES :::: 1. Como ilustrção, vej o item (). p 2. () ( 2 2 ; =4) (b) (2; 0) (c) (1; 3 4 ) (d) (6; 3 ) (e) (p 2; 5 4 ) (f) 2; 3 (g) (2 p 3; 3 ) (h) (4; 2 ): 3. () r 2 sen 2 = 4 4. () p x 2 + y 2 2xy = 2: 5. Observe gur bixo e use Lei dos cossenos. Lei dos cossenos: jp Qj 2 = jop j 2 + joqj 2 2 jop j joqj cos ( ') : 6. O centro é o ponto Q e o rio é = jp Qj. A prtir d relção jp Qj =, chegmos o resultdo. Considerndo = e = 0, equção (8.1) se reduz : r = 2 cos ; que represent circunferênci de rio e centro no ponto C (; 0) : 7. Em coordends crtesins equção r = sen + cos é equivlente (x 1) 2 + (y 1) 2 = 2. Por outro ldo, considerndo o ponto Q de coordends polres = p 2 e ' = =4, circunferênci do Exercício 6, com R = p 2; torn-se: r 2 = 2 sen cos ;

14 14 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS que é equivlente r = sen + cos. A vrição =4 3=4 corresponde o rco de circunferênci do ponto (1; 1) o ponto ( 1; 1) : 8. A equção polr = 0 represent ret y = (tn 0 ) x. Já equção r cos = represent s rets (verticis) x = ; n form polr s rets (horizontis) y = b são descrits pels equções r sen = b: 9. Os pontos de interseção são presentdos em coordends polres. Vej loclizção no plno xy de cd um deles. () A 1 (2; =3) e A 2 (2; =3) : (b) A 1 (1=2; 2=3) e A 2 (1=2; 4=3): (c) A 1 (0; =2) ; A 2 (0; 3=2) e A 3 (2; =4) : (d) A 1 (1 + p 2=2; =4); A 2 (1 p 2=2; 3=4); A3 (1 p 2=2; 5=4) e A4 (1 + p 2=2; 73=4)g: 10. () 3=2 (b) 2 p 3 (c) 2 p 2 2 (d) 24p ln(p =4 + =4) (e) 2 (f) 3 p 2 (g) =2 8=3 (h) 8 (2 3p 3) (i) p 2=2: 11. Vej ilustrção grá c no nl do cpítulo. () 2 (b) 9 2 =2 (c) 2 (d) 3 2 =2 (e) (f) 2 2 : 12. () 2 (2 =4) (b) 2 =8 (c) 5 2 =4 (d) 2 (=2 1) (e) 3 3 1=3 =3 (f) 2 :

15 COMPLEMENTOS 8 APLICAÇÕES DA INTEGRAL EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES :::: 1. Em gerl, gertriz é determind pel interseção d superfície com um plno coordendo. () gertriz: y = p z; eixo z: (PARABOLOIDE) (b) gertriz: y = p x; eixo x: (PARABOLOIDE) (c) gertriz: y = x; eixo y: (CONE) (d) gertriz: x 2 + y 2 = 2 ; eixo x: (ESFERA) (e) gertriz: x = 1; eixo y: (CILINDRO) (f) gertriz: 9y 2 z ; eixo z: (HIPERBOLOIDE) 2. Em cd gur bixo present-se o grá co d região que irá produzir o sólido. () V = 32=3 (b) V = 512=15 (c) V = 256=15 (d) V = 4 2 (e) V = 40=3 (f) V = 16=3 (g) V = (30:1) =2 (h) V = =2.

16 16 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS ALGUMAS CURVAS ESPECIAIS EM COORDENADAS POLARES As curvs em coordends polres que precem com mis freqüênci são presentds bixo, com s respectivs equções. Acompnhe gur com os vlores de : 0; =6; =4; =3; ; 3=2; e 2:

17 COMPLEMENTOS 8 APLICAÇÕES DA INTEGRAL 17

18 18 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS

8.1 Áreas Planas. 8.2 Comprimento de Curvas

8.1 Áreas Planas. 8.2 Comprimento de Curvas 8.1 Áres Plns Suponh que um cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ; x b, como mostr gur 8.1. A áre d região

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