b 2 = 1: (resp. R2 e ab) 2. Calcule a área da região delimitada pelo eixo x, pelas retas x = B; B > 0; e pelo grá co da função y = x 2 exp x 3 2

Transcrição

1 8. APLICAÇÕES DA INTEGRAL CÁLCULO Áres Plns Suponh que cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ; x b, como mostr gur 8.1. A áre d região D é denotd por A(D) e clculd com uxilio d fórmul: A(D) = f(x)dx: 1. Clcule áre de um círculo de rio R e d elipse x2 2 + y2 b 2 = 1: (resp. R2 e b) 2. Clcule áre d região delimitd pelo eixo x, pels rets x = B; B > 0; e pelo grá co d função y = x 2 exp x 3 2. Veri que que áre limite, com B! 1, é 2=3: (resp. 3 (1 e B2 )) 3. Considere B > 2 e clcule áre sob curv y = x 1 (ln x) 2, entre s rets x = 2 e x = B. Est áre tem um limite, com B! 1? (resp. 1= ln 2 1= ln B; com áre limite 1= ln 2) 8.2 Comprimento de Curvs FORMA :::::::: ::::::::::::::: CARTESIANA Considere um curv no plno xy, que é representd pelo grá co de um função y = f (x) ; x b, contínu com derivd primeir tmbém contínu no intervlo [; b] (um tl função é dit ser de clsse C 1 ). comprimento L() d curv é clculdo pel integrl: L() = q 1 + f 0 (x) 2 dx: O CALCULANDO O COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA

2 2 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS Se é circunferênci x 2 + y 2 = R 2, considermos o rco y = f (x) = p R 2 x 2 ; R x R; e encontrmos: Z R Z Rdx =2 L () = 2 p R R 2 x = 2 (fç x = Rsen) = 2R =2 d = 2R: FABRICANDO FOLHAS METÁLICAS Um fábric produz, prtir de folhs plns, folhs metálics ondulds como s mostrds n Figur 8.2 bixo. As seções trnsversis desss folhs têm o formto d curv y = sen (3x=20) ; 0 x 20 polegds e s folhs devem ser modulds por um processo que não estique o mteril. Qul deve ser lrgur L d folh originl? De cordo com fórmul do comprimento, deduzimos que folh originl deve medir L = Z 20 0 p cos 2 xdx; sendo = 3=20: O vlor numérico dess integrl será determindo usndo proximção: p 1 + ' , com = 2 cos 2 x. Temos, portnto: L = Z 20 0 = p cos 2 xdx ' Z 20 Z 20 0 cos 2 xdx = x cos 2 x dx = sen 2x x=20 ' 21:09 polegds. 2 x=0 Um vlor mis preciso poderi ser obtido com proximção: p 1 + ' :

3 COMPLEMENTOS 8 APLICAÇÕES DA INTEGRAL 3 FORMA :::::::: ::::::::::::::::: PARAMÉTRICA Nesse cso curv é descrit por um pr de equções: x = x (t) ; y = y (t) ; t b, onde s funções x (t) e y (t) são de clsse C 1 no intervlo [; b] : O comprimento L() d curv é clculdo, gor, pel integrl: L() = s dx 2 + dt dy 2 dt: dt PARAMETRIZANDO A CIRCUNFERÊNCIA Observndo Figur 8.3 observmos que s coordends do ponto P (x; y) d circunferênci são: x = OA e y = AP. Se t represent o ângulo entre o eixo x e o rio OP, obtemos seguinte prmetrizção pr circunferênci: x = R cos(t); y = R sen(t); 0 t 2: Neste cso, o compriment d circunferênci vem ddo por: L () = Z 2 0 p Z 2 R 2 cos 2 t + R 2 sen 2 tdt = R dt = 2R: 0 PARAMETRIZANDO A ELIPSE Observndo gur o ldo, notmos que s coordends do ponto P (x; y) d elipse são: x = OC e y = DB. Se t represent o ângulo entre o eixo x e o eixo OA, obtemos seguinte prmetrizção pr elipse: x = cos(t); y = b sen(t); 0 t 2: PARAMETRIZANDO A HIPÉRBOLE

4 4 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS Observndo Figur 8.5, deduz que hipérbole x2 y 2 2 b 2 = 1 pode ser prmetrizd d seguinte form: x = sec(t); y = b tn(t); 0 t 2; onde t represent o ângulo entre o eixo x e o eixo OC. 1. Em cd cso, clcule o comprimento do rco indicdo. () y = x ; 1 x 2: (resp. 13=12) x (b) y = x2 3=2 ; 0 x 3: (resp. 21) (c) y = 1 ln (sen x) ; 6 x 4 : (resp. ln[(3 + p 2)( p 2 + 1)) (d) x = y y ; 1 y 3: (resp. p 6(2 + ln 3)) (e) y = p x (1 x=3) ; 0 x 3: (resp. 2 p 3) (f) 8x 2 = 27y 3 ; 1 x 8: (resp. 62=3) (g) y = x 3=2 ; 1 x 4: (resp. 62=5) (h) y + 1 4x + x3 = 0; 2 x 3: (resp. 53=6) 3 (i) (y + 1) 2 = (x 4) 3 ; 5 x 8: (resp. 80 p p 13) p x 2x 3=2 1 (j) y = ; 0 x 1: (resp (30p 3 7)) 2. Clcule o comprimento d hipociclóide de equção x 2=3 + y 2=3 = 2=3 : (resp. 6) 3. Clcule distânci percorrid por um prtícul entre os instntes t = 0 e t = 4, se su posição P (x; y) no instnte t vem dd por: x = 1 2 t2 e y = 1 3 (2t + 1)3=2 : (resp. 12) 4. Em cd cso, clcule o comprimento do rco indicdo: () : x = t 3 ; y = t 2 1 ; 1 t 3: (resp. 27 [(85)3=2 (13) 3=2 ]) (b) : x = e t cos t; y = e t p sen t; 0 t 1: (resp. 2(e 1)) (c) : x = 2 (1 sen t) ; y = 2 (1 cos t) ; 0 t : (resp. 2) (d) : x = t cos t; y = t sen t; 0 t =4: (resp. 2 p ) (e) : x = cos (2t) ; y = sen 2 t; 0 t : (resp. 2 p 5])

5 COMPLEMENTOS 8 APLICAÇÕES DA INTEGRAL 5 (f) : x = 1 2 t2 + t; y = 1 2 t2 t; 0 t 1: (resp. 1 p 2 2 ln(p 2 1)) 5. Sej curv descrit por: x = t 3 3t; y = t 3 5t 1; t 2 R: Veri que que r : 7x 9y = 41 é ret tngente à curv no ponto correspondente t = 2. Em que pontos ret tngente é: () Verticl. (resp. Nos pontos correspondentes t = 1) (b) Horizontl (resp. Nos pontos correspondentes t = p 5=3) 8.3 Coordends Polres 1. Loclize no plno crtesino os seguintes pontos ddos em coordends polres e, em seguid, determine sus coordends crtesins: () (2; =4) (b) (2; 3=2) (c) (3; =6) (d) (1; =4) (e) (2; 5=6) (f) ( 1; =4) (g) ( 2; 7=6) (f) ( 3; 13=6) 2. Determine s coodends polres dos pontos cujs coordends crtesins são: () (1; 1) (b) (2; 0) (c) ( p 2=2; p 2=2) (d) (3; 3 p 3) (e) ( 1; 1) (f) (1; p 3) (g) ( p 7; 3) (h) (0; 4) 3. Psse pr form polr r = f () s seguintes curvs: () xy = 2 (b) x 2 + y 2 3y = 0 (c) 3x 2 + 5y 2 = 15 (d) x + 1 = 0 (e) x 2 y 2 = 1 (f) y 2 4x = 0: 4. Psse pr form crtesin F (x; y) = 0 e esboce o grá co de cd curv bixo: 4 () r = 2 + sen 2 (b) r = sen 2 (c) r = (d) r = cos (e) r = cos (f) r = cos (g) r = 3 sec (h) r = 1 + p 2 cos (i) r = 2 tn (j) r = (k) r 2 = cos (l) r = 1= (m) r = 4 1 cos (n) r = 2 sen (o) = 2 : 5. Sejm (r; ) e (; ') s coordends polres dos pontos P e Q, respectivmente. Use Lei dos co-senos e deduz que distânci entre P e Q pode ser clculd por: dist (P; Q) = p r r cos ( '): (8.1) 6. Use (8.1) e deduz que em coordends polres (r; ) equção de um círculo de rio e centro no ponto (; ') é r r cos ( ') = 2 : Considere = e, sucessivmente, = 0; ; =2; 3=2 pr identi cr s circunferêncis r = 2 cos e r = 2 sen :

6 6 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 7. Considere curv de equção polr r = sen + cos ; =4 3=4. De dus mneirs identi que curv como um rco de circunferênci: primeiro psse equção pr coordends crtesins; depois use o exercício precedente. 8. Deduz que s equções = 0 ; r cos = e r sen = b representm rets e fç um esboço do grá co em cd cso. De form gerl, se N (; ') é o pé d perpendiculr trçd do pólo um ret que não pss pelo pólo, então equção dess ret é: r cos ( ') = ou r = = (A cos + B sen ) ; sendo A = cos ' e b = sen ': 9. Determine, cso exist, interseção entre os seguintes pres de curvs: () r = 2 e r = 4 cos (b) r = 1 + cos e r = 1=3 (1 cos ) (c) r 2 = 4 sen 2 e r = 2 p 2 cos (d) = =4 e r = 2 cos COMPRIMENTO & ÁREA NA FORMA POLAR As curvs em coordends polres qui considerds são descrits por um equção do tipo r = f (), sendo função f e su derivd primeir contínus e o ngulo vri no intervlo [ 1 ; 2 ], como sugere Figur 8.5 bixo. Represent-se por L o comprimento do rco entre 1 e 2 e por A (D) áre d região D correspondente. O comprimento L e áre A (D) são clculdos, respectivmente, pels fórmuls: L = Z 2 1 q f () 2 + f 0 () 2 d e A (D) = 1 2 Z 2 1 f () 2 d: 10. Clcule o comprimento ds seguintes curvs dds n form polr: () r = 3 cos ; 0 2 (b) r = 2 sec ; 0 3 (c) r = 1 cos ; 0 2 (d) r = =3; 0 2 (e) r = jsen j ; 0 2 (f) r = 3 cos 2 ( 2 ); 0 2 (g) r = 2 ; 0 2 (h) r = sen 3 ( 3 ); 0 2 (i) r = sen + cos ; Clcule áre d região interior cd curv dd bixo: () r 2 = 2 cos 2 (b) r = (2 cos ) (c) r = 2 sen (d) r = (1 + cos 2) (e) r 2 = 1 cos (f) r 2 = 2 2 cos 2 (=2)

7 COMPLEMENTOS 8 APLICAÇÕES DA INTEGRAL Em cd cso, esboce gr cmente região D e clcule áre A (D) : () D é interior o círculo r = e exterior à crdióide r = (1 cos ).(resp.: A(D) = 2 (2 =4)) (b) D é delimitd pels curvs r = 2; = =4 e = =2: (resp.: A(D) = =2) (c) D é interior à crdióide r = (1 + sen ) e exterior o círculo r = sen :(resp.: A(D) = 5 2 =4)) (d) D é comum os círculos r = 2 cos e r = 2 sen : (resp.: A(D) = 2 ( 1 + =2)) (e) D é interior à leminisct r 2 = 8 cos 2 e exterior o círculo r = 2: (resp.: A(D) = 4 3 (3p 3 )) (f) D é interior o círculo r = 3 cos e exterior à crdióide r = 1 + cos : (resp.: A(D) = ) (g) D é delimitd pel rosáce de 4 pétls r = jsen 2j (resp.: A(D) = 2 =2) (h) D é interior o círculo r = cos e exterior à crdióide r = 1 + sen : (resp.: A(D) = 1 =4) (i) D é interior o círculo r = sen e exterior à crdióide r = 1 cos : (resp.: A(D) = 1 =4) 8.4 Sólidos de Revolução EQUAÇÃO DE UMA SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO Consideremos um curv no plno xy descrit pel relção F (x; y) = 0; qui denomind gertriz, e denotemos por S superfície obtid pel rotção d curv em torno do eixo x. É clro que cd ponto d curv irá descrever um circunferênci de centro no ponto C (x; 0; 0) e superfície S é crcterizd por CP! = CQ! ; onde P é um ponto genérico d superfície S e Q é o ponto de interseção d curv com o plno que pss por P, perpendiculrmente o eixo x (eixo de rotção), como sugere gur bixo. A equção crtesin de S é, portnto: F (x; p y 2 + z 2 ) = 0 No cso em que curv é descrit pel equção y = f (x) equção crtesin ssume form y 2 + z 2 = [f (x)] 2 VOLUME DE UMA SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO MÉTODO :::::::::: ::::: DAS :::::::: FATIAS Vmos estbelecer um fórmul pr o cálculo do volume do sólido gerdo pel rotção de um região D do plno xy em torno do eixo horizontl y = c. Observndo Figur 8.8 bixo, vemos que o volume in nitesiml dv, isto é, o volume d fti de lrgur dx, vem ddo por: dv = [f (x) c] 2 dx c 2 dx:

8 8 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS O volume do sólido é, portnto: vol () = R 2 c 2 dx: No cso em que o eixo de rotção é o eixo x; temos c = 0 e o volume do sólido é clculdo pel fórmul: vol () = f (x) 2 dx MÉTODO :::::::::: ::::: DAS ::::::::: CASCAS :::::::::::::::: CILÍNDRICAS Aqui o sólido é gerdo pel rotção d região D em torno do eixo (ret verticl) x = c. O volume in nitesiml dv; nesse cso é: h dv = (x + c + dx) 2 (x + c) 2i f (x) = 2 (x + c) f (x) dx: e o volume de é som desses volumes in nitesimis, isto é: vol () = 2 (x + c) f (x) dx: 1. Identi que o eixo e gertriz d superfície de revolução, cuj equção crtesin é: () z = x 2 + y 2 (b) x = y 2 + z 2 (c) y 2 = x 2 + z 2 (d) x 2 + y 2 + z 2 = 2 (e) x 2 + y 2 = 1 (f) 4x 2 + 9y 2 z 2 = 36:

9 COMPLEMENTOS 8 APLICAÇÕES DA INTEGRAL 9 2. Em cd cso bixo, esboce região D delimitd pels curvs dds e em seguid clcule o volume do sólido gerdo pel rotção d região D em torno do eixo indicdo. () y = x 4 2x 2 ; y = 2x 2 ; x 0; eixo y (b) y = x 2 4x; y = 0; eixo x (c) y = p x; y = 0; x = 4; eixo x = 4 (d) x 2 + y 2 = 1; eixo x = 2 (e) y = p x; y = 0; x = 4; eixo y = 2 (f) y = x; y = 0; x = 2; eixo y (g) y = x 2 ; y = 4 x 2 ; eixo x (h) xy = 1; y = 0; x = 1 e x = 2; eixo x: 3. Um região D do plno xy é delimitd pelo triângulo de vértices (0; 0) ; (h; 0) e (h; r), sendo h e r números positivos. Clcule o volume do sólido resultnte d rotção d região D em torno do eixo x(resp. r 2 h=3). E se rotção fosse em torno do eixo y? (resp. 2rh 2 =3)) 4. Qul o volume do sólido obtido pel rotção em torno do eixo x d região do plno xy delimitd pel prábol y = x 2 ; pelo eixo x e pels rets y = 2x 1 e y = x + 2? (resp. 13=6)) 5. Considere curv de equção y 2 = x 3 e s regiões R 1 e R 2 ; exibids n Figur Determine o volume do sólido em cd situção seguir: () R 2 gir em torno do eixo x; (b) R 1 gir em torno do eixo y; (c) R 2 gir emtorno do eixo BC; (d) R 1 gir em torno do eixo AC. 6. É feito um orifício de rio 2 p 3 pelo centro de um sólido esférico de rio R = 4. Clcule o volume d porção retird do sólido. (resp. 224=3) 7. Clcule o volume de um tronco de cone circulr reto de ltur h, rio d bse inferior R e rio d bse superior r: 8. Clcule o volume de um clot determind em um esfer de rio r por um plno cuj distânci o centro d esfer é h, h < r: (resp. 2R 3 =3 + h 3 =3 r 2 h) 9. Clcule pelos dois métodos (Ftimento e Cscs Cilíndrics) o volume do sólido obtido por rotção em torno do eixo y d região delimitd pel curv y = 2x x 2 e o eixo x: 10. Ao girr em torno do eixo y um cert região do plno xy; obteve-se seguinte expressão pr o volume do sólido resultnte: V = 2 Z =4 0 (x cos x x sen x) dx:

10 10 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS Identi que região e clcule o volume V: 11. Observe Figur 8.11 em que o rco do ponto A o ponto B é descrito por y = f (x) ; x b: Identi que o sólido de revolução cujo volume é: () (c) (e) f(x) 2 dx f(x) 2 dx (b) Z d c f 1 (y) 2 dy 1 2 e2 (b c) (d) 2f(x)dx (f) (be 2 d 2 ) 2xf 1 (x)dx f(x) 2 dx: 12. Clcule o volume do sólido gerdo pel rotção d região delimitd pels rets y = 0; x = 2 e x = 2y; em torno d ret y = x (sug. use um rotção de eixos). 13. Clcule o volume do sólido obtido pel rotção em torno do eixo y do disco delimitdo pel circunferênci (x ) 2 + y 2 = b 2 ; 0 < b <. 8.5 Sólidos Geris O Método ds Ftis pode ser utilizdo no cálculo do volume de um sólido qulquer, qundo se conhece áre ds seções trnsversis perpendiculres o eixo x, por exemplo. De fto: suponhmos que um sólido é limitdo pelos plnos x = e x = b e que A (x) represent áre d seção trnversl no ponto x. O volume dv d fti compreendid entre x e x + dx é clculd por dv = A (x) dx, de modo que o volume do sólido ; que é "som"de todos esses volumes elementres, é clculdo por: vol () = A (x) dx: 1. A bse de um sólido é o disco x 2 + y 2 2 e cd seção trnversl do sólido determind por plnos perpendiculres o eixo x é um qudrdo cujo ldo está sobre bse do sólido Qul o volume do sólido? 2. A bse de um sólido é região do plno xy limitd pelo eixo x e pel curv y = sen x; 0 x =2. Tod seção pln do sólido perpendiculr o eixo x é um triângulo equilátero com um dos ldos sobre bse do sólido. Clcule o volume do sólido. 3. De um cilindro circulr reto de rio r cort-se um cunh por meio de um plno pssndo por um diâmetro d bse e formndo um ângulo de 45 o com o plno d bse. Clcule o volume d cunh.

11 COMPLEMENTOS 8 APLICAÇÕES DA INTEGRAL Áre de um Superfície de Revolução Antes de deduzir um fórmul pr áre de um superfície de revolução, vmos clculr de mneir simples s áres de dus superfícies bstnte fmilir: o cilindro e o cone circulr reto. Pr o cilindro de rio R e ltur H, qundo cortdo e berto, su áre lterl é clculd como se ele fosse um retângulo de ltur H e bse 2R, como sugere Figur Pr o cone o procedimento é nálogo. Aqui usremos fórmul básic d áre do setor circulr: A(D) = 1 2Rs, sendo R o rio e s o comprimento do rco, como n gur o ldo. Um cone circulr reto de ltur H, gertriz de comprimento g e rio d bse R pós cortndo e berto se identi c com o setor circulr de rio g e comprimento do rco 2R, como n Figur 8.14 bixo. Em um situção gerl, supõe-se que S sej obtid por rotção em torno do eixo x, do grá co de um função suve y = f (x) ; x b: Por função suve entende-se um função f que é contínu e

12 12 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS tem primeir derivd contínu no intervlo [; b] : A áre in nitesiml ds é proximd pel áre do cilindro de rio f (x) e ltur ds; sendo ds o comprimento do rco sobre o grá co de f, como sugere Figur Temos que ds = 2f (x) ds q e, lembrndo que ds = 1 + f 0 (x) 2 dx, encontrmos por integrção seguinte fórmul pr o cálculo d áre de S : A (S) = 2f (x) ds = 2f (x) 1. Clcule áre de um esfer de rio R: (resp. 4R 2 ) q 1 + f 0 (x) 2 dx: 2. Clcule áre d superfície gerd pel rotção d curv y = p x; 1 x 4; em torno do eixo h x: (resp. 4 3 (17=4) 3=2 (5=4) 3=2i ' 30:85) 3. Clcule áre do cone gerdo pel rotção do segmento de ret y = 3x + 2; 0 x 3, em torno do eixo x. (resp. 39 p 10) 4. A curv 8x = y 4 + 2=y 2 ; 1 y 2, gir em torno do eixo y. Clcule áre d superfície resultnte. (resp. 1179=256) 5. Clcule áre do prbolóide y = x 2 + z 2 ; 0 y 4. (resp. 4 3 h 17 4 i 3=2 1 8 ' 36:18)

13 COMPLEMENTOS 8 APLICAÇÕES DA INTEGRAL 13 RESPOSTAS & SUGESTÕES 8.3 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES :::: 1. Como ilustrção, vej o item (). p 2. () ( 2 2 ; =4) (b) (2; 0) (c) (1; 3 4 ) (d) (6; 3 ) (e) (p 2; 5 4 ) (f) 2; 3 (g) (2 p 3; 3 ) (h) (4; 2 ): 3. () r 2 sen 2 = 4 4. () p x 2 + y 2 2xy = 2: 5. Observe gur bixo e use Lei dos cossenos. Lei dos cossenos: jp Qj 2 = jop j 2 + joqj 2 2 jop j joqj cos ( ') : 6. O centro é o ponto Q e o rio é = jp Qj. A prtir d relção jp Qj =, chegmos o resultdo. Considerndo = e = 0, equção (8.1) se reduz : r = 2 cos ; que represent circunferênci de rio e centro no ponto C (; 0) : 7. Em coordends crtesins equção r = sen + cos é equivlente (x 1) 2 + (y 1) 2 = 2. Por outro ldo, considerndo o ponto Q de coordends polres = p 2 e ' = =4, circunferênci do Exercício 6, com R = p 2; torn-se: r 2 = 2 sen cos ;

14 14 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS que é equivlente r = sen + cos. A vrição =4 3=4 corresponde o rco de circunferênci do ponto (1; 1) o ponto ( 1; 1) : 8. A equção polr = 0 represent ret y = (tn 0 ) x. Já equção r cos = represent s rets (verticis) x = ; n form polr s rets (horizontis) y = b são descrits pels equções r sen = b: 9. Os pontos de interseção são presentdos em coordends polres. Vej loclizção no plno xy de cd um deles. () A 1 (2; =3) e A 2 (2; =3) : (b) A 1 (1=2; 2=3) e A 2 (1=2; 4=3): (c) A 1 (0; =2) ; A 2 (0; 3=2) e A 3 (2; =4) : (d) A 1 (1 + p 2=2; =4); A 2 (1 p 2=2; 3=4); A3 (1 p 2=2; 5=4) e A4 (1 + p 2=2; 73=4)g: 10. () 3=2 (b) 2 p 3 (c) 2 p 2 2 (d) 24p ln(p =4 + =4) (e) 2 (f) 3 p 2 (g) =2 8=3 (h) 8 (2 3p 3) (i) p 2=2: 11. Vej ilustrção grá c no nl do cpítulo. () 2 (b) 9 2 =2 (c) 2 (d) 3 2 =2 (e) (f) 2 2 : 12. () 2 (2 =4) (b) 2 =8 (c) 5 2 =4 (d) 2 (=2 1) (e) 3 3 1=3 =3 (f) 2 :

15 COMPLEMENTOS 8 APLICAÇÕES DA INTEGRAL EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES :::: 1. Em gerl, gertriz é determind pel interseção d superfície com um plno coordendo. () gertriz: y = p z; eixo z: (PARABOLOIDE) (b) gertriz: y = p x; eixo x: (PARABOLOIDE) (c) gertriz: y = x; eixo y: (CONE) (d) gertriz: x 2 + y 2 = 2 ; eixo x: (ESFERA) (e) gertriz: x = 1; eixo y: (CILINDRO) (f) gertriz: 9y 2 z ; eixo z: (HIPERBOLOIDE) 2. Em cd gur bixo present-se o grá co d região que irá produzir o sólido. () V = 32=3 (b) V = 512=15 (c) V = 256=15 (d) V = 4 2 (e) V = 40=3 (f) V = 16=3 (g) V = (30:1) =2 (h) V = =2.

16 16 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS ALGUMAS CURVAS ESPECIAIS EM COORDENADAS POLARES As curvs em coordends polres que precem com mis freqüênci são presentds bixo, com s respectivs equções. Acompnhe gur com os vlores de : 0; =6; =4; =3; ; 3=2; e 2:

17 COMPLEMENTOS 8 APLICAÇÕES DA INTEGRAL 17

18 18 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS