Eletromagnetismo I. Eletromagnetismo I - Eletrostática. Equação de Laplace (Capítulo 6 Páginas 119 a 123) Eq. de Laplace

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1 Eletromgnetismo I Prof. Dniel Orquiz Eletromgnetismo I Prof. Dniel Orquiz de Crvlo Equção de Lplce (Cpítulo 6 Págins ) Eq. de Lplce Solução numéric d Eq. de Lplce Eletromgnetismo I 2 Prof. Dniel Orquiz

2 Equção de Lplce A equção de Lplce permite solucionr prolems onde o potencil V é desconecido em prte ds regiões do prolem. Assim como no cso d Eq. de Poisson, normlmente, o potencil é conecido ns fronteirs do prolem. Eemplo: Cpcitor e prolems envolvendo meios dielétricos n presenç de condutores em potenciis V conecidos. ρ v = 0 ρ v = 0 Equção de Lplce O potencil conecido nos limites do prolem é usdo como Condição de Contorno pr encontrr o potencil em tods s regiões. A equção de Lplce é um cso prticulr d Eq. de Poisson qundo o prolem não possui distriuições continus de crg (densiddes de crg). Tendo o potencil elétrico, é possível clculr E, D e J outrs grndezs. ρ v = 0 ρ v = 0

3 Equção de Lplce Como vimos n ul pssd, equção de Poisson pode ser derivd prtir de Lei de Guss. Se densidde volumétrics de crg for nul no prolem em questão, Eq. de Poisson se reduz à Eq. de Lplce. 2 V = ρ v ε 2 V = 2 V V V z 2 = 0 Pr um ddo prolem, Eq. de Poisson em conjunto com s C.C. permitem encontrr distriuição de potencil elétrico em tods s regiões. Eletromgnetismo I 5 Prof. Dniel Orquiz Equção de Lplce A Eq. de Lplce pode ser epress em outros Sistems de Coordends usndo o operdor Lplcino no sistem em questão. Em Coordends Cilíndrics, o operdor Lplcino fic: 2 V = 1 ρ ρ ρ + 1 ρ ρ 2 φ + 2 V 2 z 2 Em Coordends Esférics, o operdor Lplcino fic: 2 V = 1 r r r2 + senθ + r r 2 senθ θ θ r 2 sen 2 θ φ 2 Eletromgnetismo I 6 Prof. Dniel Orquiz

4 Procedimento pr solução d Eq. Equção de Lplce 1 Resolver equção de Lplce por integrção diret () ou seprção de vriáveis (). A solução gerl é epress trvés de constntes de integrção. ( se V só é função de ) 2 V = 2 V() = Aplicr s condições de contorno ns superfícies onde V é conecido e encontrr solução prticulr. Procedimento pr solução d Equção de Lplce 3 Tendo o potencil em todos os cmpos, clculr E, D e J.! E = V 4 Tendo D n nos condutores determinr ρ s, Q e C = Q/V, etc. ρ S =! D â n S = D n Ns superfícies dos condutores

5 Atulmente métodos numéricos são muito usdos n solução de prolems de eletrostátic e eletromgnetismo. Um eemplo é o Método ds Diferençs Finits. No MDF, s derivds ns Equção Diferenciis são sustituíds por V() equções de diferençs. Considerndo o potencil V() o ldo, derivd no ponto (, V ) é proimd por: V V 1 V 1 /2 /2 A derivd prcil com relção no ponto pode ser clculd por: V V 1 0 A derivd prcil com relção no ponto c pode ser clculd por: V 0

6 A derivd de segund ordem em no ponto 0 pode ser clculd usndo s dus derivds de primeir ordem. 2 0 Sustituindo s equções de diferençs: 2 0 V 1 V 0 (V 0 ) 2 De form similr, derivd de segund ordem em no ponto 0 fic: 2 0 c d Sustituindo s equções de diferençs: d c 2 c V 0 (V 0 ) 2

7 Sustituindo s dus derivds prciis de segund ordem n Eq. de Lplce: + 2 V 2 = V +V +V +V 4V = Pr que equção cim sej stisfeit, o potencil em zero tem que ser médi do potencil em 1, 2, 3 e 4. V 0 = 1 ( 4 V ) d c Est equção pode ser resolvid itertivmente pr encontrr distriuição de V.