Carga Elétrica e Campo Elétrico

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1 Cpítulo 1 Crg Elétric e Cmpo Elétrico Ainterçãoeletromgnéticentreprtículscrregdseletricmenteéumdsinterções fundmentis d nturez. Nesse cpítulo iremos estudr lgums proprieddes básics d forç eletromgnétic, discutiremos Lei de Coulomb, o conceito de cmpo elétrico, efinlizremoscomoestudodomovimentodeprtículscrregdsnumcmpoelétrico uniforme. 1.1 Proprieddes d Crg Elétric Qundo tritmos um cnet contr o nosso cbelo num di seco, vemos que cnet pss trir pequenos pedços de ppel sobre mes. O mesmo ocorre qundo certos mteriis são tritdos entre si, como um bstão de vidro contr um pno de sed ou plástico contr pele. Isto se deve o fto de que tod mtéri que conhecemos é formd por átomos, que são formdos por um núcleo, onde ficm os prótons e nêutrons e um eletrosfer, onde os elétrons permnecem, em órbit. Os prótons e nêutrons têm mss prticmente igul, ms os elétrons têm mss cerc de 2 mil vezes menor. Se pudéssemos seprr os prótons, nêutrons e elétrons de um átomo, verímos que os prótons serim trídos pelos elétrons enqunto os nêutrons não serim fetdos. Est propriedde de cd um ds prtículs é chmd crg elétric. Os prótons são prtículs com crg positiv, oselétronstemcrgnegtiv eosnêutronstemcrgneutr. 1

2 2 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO Auniddedemediddotdinterncionlmenteprmediddecrgselétricséo coulomb (C). Um próton e um elétron têm vlores bsolutos de crg iguis embor tenhm sinis opostos. O vlor d crg de um próton ou um elétron é chmdo crg elétric elementr esimbolizdopore, sendomenoruniddedecrgelétricconhecidnnturez,com vlor igul e = C (1.1) Portnto, 1 C de crg é proximdmente crg de elétrons ou prótons. Esse número é bem pequeno se comprdo com número de elétrons livres em 1 cm 3 de cobre, que tem d ordem de Corpos Eletrizdos e Processos de Eletrizcão Dizemos que um corpo está eletrizdo negtivmente qundo tem mior número de elétrons do que de prótons, fzendo com que crg elétric desse corpo sej negtiv; E que um corpo está eletrizdo positivmente qundo tem mior número de prótons do que de elétrons, fzendo com que crg elétric desse corpo sej positiv. Por isso, um corpo é chmdo eletricmente neutro se ele tiver número igul de prótons e de elétrons, fzendo com que crg elétric sobre o corpo sej nul. A crg de um corpo eletrizdo deve então ser um múltiplo d crg elementr, de tl form que Q = ±N.e, sendon um número inteiro qulquer. Oprocessoderetirroucrescentrelétronsumcorponeutroprqueestepsse estr crregdo eletricmente denomin-se eletrizção. Alguns dos processos de eletrizção mis comuns são: Eletrizção por Atrito Este processo foi o primeiro de que se tem conhecimento. Foi descoberto por volt do século VI.C. pelo mtemático grego Tles de Mileto, que concluiu que o trito entre certos mteriis er cpz de trir pequenos pedços de plh e pens. Posteriormente o estudo de Tles foi expndido, sendo possível comprovr que dois corpos neutros feitos de mteriis distintos, qundo são tritdos entre si, um deles fic eletrizdo negtivmente (gnh elétrons) e outro positivmente (perde elétrons). Qundo há eletrizção por trito, os dois corpos ficm com crgs de módulo igul, porém com sinis opostos. Por exemplo, o se tritr um brr de vidro num pno de lã, elétrons pssm do vidro pr lã. Em consequênci, brr de vidro dquire crg elétric positiv (perde elétrons) eopnodelãdquirecrgelétricnegtiv(recebeelétrons). Se,emvezdbrrde vidro, tritrmos com lã um brr de resin, hverá trnsferênci de elétrons d lã pr

3 1.2. CORPOS ELETRIZADOS E PROCESSOS DE ELETRIZACÃO 3 resin. Então, brr de resin dquire crg elétric negtiv (recebe elétrons) e o pno de lã dquire crg elétric positiv (perde elétrons) Eletrizção por Contto Se dois corpos condutores, sendo pelo menos um deles eletrizdo, são postos em contto, crgelétrictendeseestbilizr,sendoredistribuídentreosdois,fzendocomque mbos tenhm crg com mesmo sinl Eletrizção por Indução Este processo de eletrizção é totlmente bsedo no princípio d trção e repulsão, já que eletrizção ocorre pens com proximção de um corpo eletrizdo (indutor) um corpo neutro (induzido). Oprocessoédivididoemtrêsetps: 1. Primeirmente um bstão eletrizdo é proximdo de um condutor inicilmente neutro, pelo princípio de trção e repulsão, os elétrons livres do induzido são trídos/repelidos dependendo do sinl d crg do indutor. 2. OpróximopssoéligroinduzidoàTerrporumfiocondutor,indnpresençdo indutor. 3. Deslig-se o induzido d Terr, fzendo com que su crg sej de sinl oposto àquel do indutor. Por fim, retir-se o indutor ds proximiddes do induzido que fic eletrizdo com sinl oposto à crg do indutor, e com crg distribuíd por todo o corpo.

4 4 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO Terr 1.3 Lei de Coulomb A prtir de lguns experimentos, Coulomb pode generlizr s seguintes proprieddes d forç elétric entre dus crgs puntiformes em repouso. A forç elétric éinversmenteproporcionloqudrdoddistâncir entre s crgs e dirigid o longo d linh que lig um outr. éproporcionloprodutodscrgsdsdusprtículs; étrtivsescrgssãodesinisopostoserepulsivsescrgstemomesmosinl. Aleiexpressnformvetorilprforçelétricexercidporumcrgq 1 num outr crg q 2,dit ~F 2(1),é ~F 2(1) = k q 1q 2 r 2 ˆr = ~F 1(2) (1.2) onde k éconstntechmdconstnte de Coulomb e ˆr éovetorunitáriodirigidod crg q 1 pr crg q 2,conformefigur. r F 2(1) q 2 q 2 rˆ F 2(1) F 1(2) q 1 F 1(2) q 1 A constnte de Coulomb é tmbém escrit como k =1/4 0,eseuvlornoSIé k = N.m 2 /C N.m 2 /C 2 (1.3) Como forç elétric obedece à Terceir Lei de Newton, forç elétric exercid pel crg q 2 em q 1 éigulemintensiddeforçexercidporq 1 em q 2,nmesmdireçãoms em sentido oposto, de modo que ~F 1(2) = ~F 2(1) Qundo mis que dus crgs estão presentes, forç entre qulquer pr dels é dd pel Lei de Coulomb. Portnto, resultnte ds forçs sobre qulquer um dels é igul

5 1.3. LEI DE COULOMB 5 som vetoril ds forçs exercids pels outrs crgs. ~F i = X i6=j ~F i(j) = X i6=j k q iq j r 2 j ˆr j (1.4) Exemplo 1.1. Átomo de Hidrogênio Um átomo de hidrogênio é composto por um elétron, de mss m e = kg, eumpróton,demssm p = kg, seprdos por um distânci de proximdmente d = m. A intensidde d forç elétric é dd pel Lei de Coulomb F e = k e2 d 2 =( ) ( ) 2 ( ) 2 = N Já intensidde d forç grvitcionl é dd pel Lei d Grvitção Universl de Newton F g = G m em p d 2 =( ) ( )( ) ( ) 2 = N ArzãoF e /F g Então, forç grvitcionl entre esss prtículs subtômics é desprezível se comprd com forç elétric. Exemplo 1.2. Forç Resultnte Consideremos três crgs q, q e p 2q disposts nos vértices de um triângulo retângulo, como mostr figur. y F 3(1) Aforç ~F 3(1) exercid pel crg p 2q sobre crgq é -q F 3(2) q p 2q 2 ~F 3(1) = k ( p 2) ˆr 1, 2 2 q 2 x onde ˆr 1 éovetorposiçãoreltivquesid crg p 2q epontndireçãodeq, sendo escrito fcilmente como ˆr 1 = cos45 oˆx sen 45 o ŷ,demodoque ~F 3(1) = 1 2 k q2 (ˆx ŷ), 2

6 6 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO Aforç ~F 3(2) exercid pel crg q sobre crg q é ~F 3(2) = k q2 2 ˆr 2, onde ˆr 2 éovetorposiçãoreltivquesidcrg escrito n form ˆr 2 = ˆx, demodoque q epontndireçãodeq, sendo ~F 3(2) = k q2 2 ˆx Aforçresultnte ~F 3 sobre crg q éentãoclculdcomosomdsforçs ~F 3(1) e ~F 3(2) sendo ~F 3 = ~F 3(1) ~F 3(2) = 1 2 k q2 ( ˆx ŷ) Cmpo Elétrico O conceito de cmpo foi desenvolvido por Michel Frdy no contexto de forçs elétrics. Nesse contexto, um cmpo elétrico existe n região do espço o redor de um objeto crregdo, crg fonte. Qundo outro objeto crregdo, crg teste, entrnessecmpo elétrico, um forç elétric ge sobre ele. Sendo ssim, o cmpo elétrico produzido pel crg fonte é definido como forç elétric por unidde de crg situdo num ddo ponto do espço F ~E = ~ e = k q 1 ˆr (1.5) q 2 r2 Ovetor ~E tem no SI unidde de N/C. Adireçãode~E, comomostrfigur,édireção d forç que um crg teste positiv sentiri qundo colocd nesse cmpo. Dizemos que um cmpo elétrico existe num ponto se um crg teste nesse ponto experiment um forç elétric, dd por ~F e = q ~E (1.6) E P E P q rˆ r q r rˆ O cmpo elétrico num ponto P devido um conjunto de crgs puntiformes pode ser

7 1.4. CAMPO ELÉTRICO 7 obtido, trvés do princípio d superposição, comosomvetorildoscmposelétricos devido, individulmente, cd crg do conjunto no mesmo ponto P. ~E = X i ~E i = X i k q i ˆr ri 2 i (1.7) Exemplo 1.3. Cmpo Elétrico de um Dipolo Um dipolo elétrico édefinidocomoumcrgpositivq eumnegtiv q seprds por um distânci 2. Vmos obter o cmpo elétrico ~E devido o dipolo num ponto P situdo um distânci y do centro do dipolo. y No ponto P,oscmpos ~E 1 e ~E 2 devido às dus crgs são iguis em intensiddes, pois opontop éequidistntedscrgs,sendo ssim E 1 q E 1 = E 2 = k (y 2 2 ). P E As componentes y de ~E 1 e ~E 2 se cncelm, escomponentesx são mbs positivs e de mesm intensidde, de modo que r y E 2 q E =2E 1 cos =2k (y 2 2 ) (y 2 2 ) 1/2 Portnto, ~E éumvetorprlelooeixox q x q escrito n form 2q ~E = k (y 2 2 ) 3/2 ˆx No limite em que o ponto P está muito distnte do dipolo, dito y desprezr 2 comprdo com y 2 no denomindor e escrever, podemos ~E k 2q y ˆx 3 Obs: Em lguns livros é comum precer o vetor momento de dipolo elétrico definido como ~ d = 2qˆx, queéumvetordeintensiddeigulcrgpositivq vezes distânci entre s crgs 2 epontndireçãodcrgnegtivprpositiv,demodoque

8 8 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO ~E k ~ d y 3 Então, muito distnte do dipolo elétrico, o cmpo elétrico vri com 1/r 3 que ci mis rpidmente que o cmpo de um crg que vri com 1/r 2. Isso se deve o fto que os cmpos ds crgs positiv e negtiv vão se nulndo o longo d distânci, diminuindo intensidde do cmpo elétrico totl. Exercício 1.1. Mostre que pr um ponto P 0 situdo o longo do eixo x, porémmuito distnte do dipolo (de tl form que x ) tem-se ~E k ~ d x Cmpo Elétrico de um Distribuição de Crgs Todo corpo é composto de crgs elétrics (vinds d nturez tómic d mtéri), cujs distâncis reltivs são muito curts se comprds com os tmnhos típicos dos objetos. Sendo ssim, pr clculr o cmpo elétrico crido por um distribuição de crgs, usremos o seguinte procedimento: primeiro, dividimos distribuição de crgs em pequenos elementos de crg, cd um de crg infinitesiml dq (infinitesiml, porém mior que crg elementr). Depois, usmos o cmpo elétrico devido um crg puntiforme pr clculr o cmpo elétrico devido esse elemento dq no ponto P. E por último, sommos s contribuições de todos elementos de crgs e obtemos o cmpo elétrico totl no ponto P devido à distribuição de crgs (de cordo com o princípio de superposição dos cmpos). OcmpoelétriconopontoP devido um elemento de crg dq é d ~E = k dq r 2 ˆr onde r édistâncidoelementodecrgtéo ponto P e ˆr ovetorunitárioquesidcrge pont n direção de P. OcmpoelétricototlemP devido todos os elementos n distribuição de crg é Z ~E = V Z d ~E = V k dq ˆr (1.8) r2

9 1.5. CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS 9 eintegrlpreceporqueocorpoémodeldocomoumdistribuiçãocontínudecrg. De fto, podemos ssocir sempre um distribuição de crgs o conceito de densidde de crg. No cso de um crg distribuíd o longo de um volume tem-se dq = dv,onde é densidde volumétric de crgs. No cso de um crg distribuíd o longo de um áre tem-se dq = da, onde é densidde superficil de crgs. No cso de um crg distribuíd o longo de um linh tem-se dq = dl, onde é densidde liner de crgs. Exemplo 1.4. Fio Crregdo Uniformemente Vmos estudr o cso de um fio de comprimento L e crg Q distribuíd uniformemente o longo dele, como mostr figur. OcmpoelétriconopontoP devido um elemento de crg dq do fio é, por definição, ddo por d ~E = k dq r 2 ˆr, onde ~r éovetorposiçãoreltivquesido elemento de crg e pont n direção de P ddo por ~r = xˆx ŷ, onde seu módulo e o correspondente vetor unitário são r = p x 2 2 e ˆr = ~r r = ( xˆx ŷ) (x 2 2 ) 1/2. Além disso, o elemento de crg dq pode ser escrito em termos do elemento de linh do fio dl = dx, nesse sistem de coordends. Com isso temos dq = dx = Q dx (1.9) L OcmpoelétricototlproduzidopelofionopontoP éentãoclculdocomoum integrl do cmpo produzido por cd elemento de crg que compõe o fio, indo de

10 10 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO x = L/2 té x = L/2, essimtem-se Z ~E(P )= d ~E = Z L/2 fio L/2 k dx ( xˆx ŷ). (x 2 2 ) 3/2 e clculndo-se s integris (Exercício 1.2), tem-se ~E(P )= kq (L 2 /4 2 ) 1/2 ŷ. Exercício 1.2. Mostre que s integris necessáris resultm em Z L/2 L/2 Z L/2 L/2 xdx =0, (x 2 2 ) 3/2 dx (x 2 2 ) = L 3/2 [(L/2) 2 2 ]. 1/2 Exercício 1.3. Mostre que no cso em que o fio é muito pequeno, ou o ponto P está muito distnte do fio tem-se lim ~E(P )= kq L ŷ 2 que é o cmpo de um crg puntiforme um distânci do ponto P. Ess contribuição é muito relevnte pr corpos que possuem crg totl Q 6= 0,ou sej corpos crregdos, e é conhecid como contribuição de monopólo elétrico. Secrg totl do corpo for nul, próxim contribuição deveri ser de um dipólo elétrico. Exercício 1.4. Mostre que no cso em que o fio é muito grnde, ou o ponto P está muito próximo do fio tem-se lim ~E(P )= 2k L ŷ que ci lentmente com distânci do ponto P. Exemplo 1.5. Aro Crregdo Uniformemente Consideremos um ro de rio R crregdo uniformemente com um crg positiv Q. Vmos determinr o cmpo elétrico num ponto P situdo um distânci do centro do ro e o longo do eixo perpendiculr o plno do mesmo, conforme figur.

11 1.5. CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS 11 OcmpoelétriconopontoP devido um elemento de crg dq do ro é ddo por R dq r P de de x de d ~E = k dq r 2 ˆr, onde ~r éovetorposiçãoreltivqueside um elemento de crg e pont n direção de P. Esse cmpo tem um componente de x = de cos o longo do eixo x eumcomponente de? perpendiculr o eixo x. Sbemos que o cmpo resultnte no ponto P deve estr o longo do eixo x pois componente perpendiculr de todos os elementos de crg somdos se nul. Isto é, componente perpendiculr do cmpo crido por qulquer elemento de crg é cnceld pel componente perpendiculr crid por um elemento de crg no ldo oposto do nel (dig-se dimetrlmente oposto). Como r =( 2 R 2 ) 1/2 e cos = /r pr qulquer elemento de crg, temos que de x =decos = k dq r 2 r = k ( 2 R 2 ) 3/2 dq Todos os elementos do ro fzem mesm contribuição pr o cmpo elétrico no ponto P porque todos são equidistntes desse ponto. Então, integrndo esse resultdo obtemos Z E x = Z de x = Z k ( 2 R 2 ) dq = k 3/2 ( 2 R 2 ) 3/2 Sendo Q crgtotldoro,ocmpoelétricototlproduzidoporesteronoponto P éentãoescritonformvetorilcomo Q ~E(P )=k ( 2 R 2 ) 3/2 ˆx dq Exercício 1.5. Mostre que se o ro é muito pequeno, ou o ponto P está muito distnte desse ro tem-se lim ~E(P )=k Q R ˆx 2 que é o cmpo de um crg puntiforme um distânci do ponto P. Exercício 1.6. Mostre que se o ro é muito grnde, ou o ponto P está muito próximo

12 12 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO dele tem-se lim ~E(P )=k Q R R ˆx 3 que pss ser um cmpo liner com distânci do ponto P. Exemplo 1.6. Disco Crregdo Uniformemente Consideremos um disco de rio R crregdo uniformemente com um densidde superficil de crg. Vmos determinr o cmpo elétrico num ponto P situdo um distânci do centro desse disco e o longo do eixo perpendiculr o plno do mesmo, conforme figur. r R dr dq P Se considerrmos o disco como um conjunto de ros concêntricos, podemos usr o resultdo do exemplo nterior (o cmpo de um ro crregdo uniformemente) e sommos s contribuições de todos ros formndo o disco. Oroderior eespessurdr, conformefigur,temáreigul2 r dr. A crg dq desse ro é igul dq =2 r dr. Usndo o resultdo do ro crregdo, temos que o cmpo elétrico no ponto P devido um elemento de crg dq desse ro é ddo por de x = k (2 r dr). ( 2 r 2 ) 3/2 Então, integrndo esse resultdo sobre os limites r =0té r = R, notndoque é constnte, obtemos de modo que E x = k Z R 0 2r dr = k ( 2 r 2 ) 3/2 Z R 0 ( 2 r 2 ) 3/2 d(r 2 ), E x = k pple ( 2 r 2 ) 1/2 1/2 R 0 =2 k 1. ( 2 R 2 ) 1/2 Sendo ssim o cmpo elétrico totl produzido por este disco no ponto P é então escrito n form vetoril como ~E(P )=2 k 1 ˆx ( 2 R 2 ) 1/2

13 1.6. LINHAS DE CAMPO ELÉTRICO 13 Exercício 1.7. Mostre que se o disco é muito pequeno, ou o ponto P está muito distnte tem-se lim ~E(P )=k Q R ˆx, 2 que é o cmpo de um crg puntiforme um distânci do ponto P. Exercício 1.8. Mostre que se o disco é muito grnde, ou o ponto P está muito próximo dele tem-se lim ~E(P )=2 k ˆx = ˆx, R 2 0 que é um cmpo constnte ns proximiddes do disco, sendo 0 permissividdeelétric do vácuo. Dest form, um plno infinito tem módulo do cmpo elétrico igul E = sus proximiddes. /2 0 ns 1.6 Linhs de Cmpo Elétrico Vmos gor explorr um mneir de representr o cmpo elétrico pictoricmente. Um mneir conveniente de visulizr pdrões de cmpo elétrico é desenhr linhs curvs prlels o vetor cmpo elétrico em qulquer ponto do espço. Ovetorcmpoelétrico ~E étngentelinhdecmpoelétricoemcdponto. Alinh tem um direção, indicd por um set, que é mesm do vetor cmpo elétrico. Onúmerodelinhsporuniddedeárequetrvessumsuperfícieperpendiculrs linhs é proporcionl intensidde do cmpo elétrico nesse região. Então, s linhs de cmpo estão mis próxims onde o cmpo elétrico é forte e mis distntes onde o cmpo é frco. q q As regrs pr desenhr s linhs de cmpo elétrico são s seguintes: As linhs de cmpo começm em crgs positivs e terminm em crgs negtivs. Onúmerodelinhsdesenhdséproporcionlintensiddedcrg.

14 14 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO Dus linhs de cmpo nunc se cruzm. Pr um dipolo elétrico, s linhs de cmpo elétrico surgem n crg positiv e evnescem n crg negtiv. 1.7 Movimento num Cmpo Elétrico Uniforme Qundo um crg q emssm está loclizd num cmpo elétrico ~E, forçelétric exercid ness crg é ~F = q ~E = m~ (1.10) Se o cmpo elétrico ~E é uniforme (isso é, constnte n intensidde e direção), então celerção permnece constnte durnte todo movimento. Exemplo 1.7. Elétron num Cmpo Elétrico Uniforme Consideremos dus plcs metálics crregds com crgs oposts e disposts prlelmente onde um elétron de crg e élnçdohorizontlmentecomvelocidde~v 0 = v 0ˆx dentro d região de cmpo elétrico uniforme que se estbelece entre s plcs, conforme figur. y v 0 xˆ (0, 0) x (x,y) E v Sbe-se que o cmpo elétrico ~E = Eŷ éuniforme,demodoqueomovimentodo elétron é uniformemente celerdo. Su celerção sendo portnto ~ = ee m ŷ

15 1.7. MOVIMENTO NUM CAMPO ELÉTRICO UNIFORME 15 ecomisso,suvelociddeesuposiçãocomofunçãodotemposerão ~v = v 0ˆx ee m tŷ e ~r = ~r 0 v 0 tˆx 1 ee 2 m t2 ŷ

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