REPRESENTAÇÃO GEODÉSICA DA TERRA

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1 REPRESENTAÇÃO GEODÉSICA DA TERRA Modelo mtemático: Elipsoide de Revolução GA116 Sistems de Referênci e Tempo Profª. Éric S. Mtos Deprtmento de Geomátic Setor de Ciêncis d Terr Universidde Federl do Prná -UFPR

2 MODELO DA TERRA Terr chtd nos polos (Hipótese de Newton) CONSEQUÊNCIA Atrção Grvitcionl + Efeito de rotção Modelo mtemático dotdo: Elipsoide de Revolução

3 ELIPSOIDE DE REVOLUÇÃO Elipse de semieixos (, ) rotciond no semieixo menor (). Elipsoide de Revolução Elipse (2D) Sólido (3D) Equção do elipsoide de revolução x 2 + y z2 2 = 1

4 ELIPSOIDE DE REVOLUÇÃO Qulquer seção (corte) que contém o eixo de rotção elipse (meridinos) elipse Qulquer seção (corte) perpendiculr o eixo de rotção círculo (prlelos) Rio vriável em função d ltitude. círculo

5 Norml de P Perpendiculr à tngente o elipsoide, que contém o ponto P n superfície físic. Não tem crcterístic físic, pens geométric. Norml de P Z P S.F. G P λ P φ Equdor Y X P

6 Ltitude Geodésic (φ): É o ângulo formdo entre norml e su projeção no plno do Equdor terrestre. Norml de P Z P S.F. G P λ P φ Equdor Y X P

7 Longitude Geodésic (λ): É o ângulo formdo entre o meridino elipsoidico de Greenwich e o meridino elipsoidico do ponto considerdo. Norml de P Z P S.F. G P λ P φ Equdor Y X P

8 Altitude Elipsoidl ou Geométric (h): É distânci medid sore norml, desde o ponto P, n superfície físic, té superfície do elipsoide. (PP ) Z P Norml de P h S.F. G P λ P φ Equdor Y X P

9 ELIPSOIDE DE REVOLUÇÃO Um elipsoide de revolução é definido por dois prâmetros. Opções: 1ª) semieixo mior () e semieixo menor (); ou 2ª) semieixo mior () e chtmento (f); As demis grndezs são derivds destes prâmetros. Usul em Geodésic é fornecer (2ª opção). GRANDEZAS ASSOCIADAS Achtmento (f) f = sem unidde 1ª excentricidde o qudrdo (e 2 ) e 2 = 2f f 2 = ª excentricidde o qudrdo (e 2 ) e 2 = sem unidde sem unidde

10 GRANDEZAS ASSOCIADAS Rio do prlelo que contém o ponto P (R P ) R P = N. cos φ liner Grnde norml ou Rio de curvtur trnsversl ou 1ª verticl (N) N = 1 e 2 sen 2 φ 1/2 Z Norml de P liner P Pequen norml (N ) N = N(1 e 2 ) liner Equdor R P N P φ P S.F. Y N P

11 GRANDEZAS ASSOCIADAS Rio de curvtur meridin (M) M = (1 e 2 ) 1 e 2 sen 2 φ 3/2 liner Rio médio de curvtur (R M ) R M = MN liner Teorem de Euler Fornece o rio de curvtur o longo de um direção com zimute A: 1 R = cos2 A M + sen2 A N liner

12 GRANDEZAS ASSOCIADAS Ltitude geocêntric (ψ) É o ângulo entre o rio vetor do ponto P e su projeção equtoril. tn ψ = 1 e 2. tn φ rco Z Norml de P P P S.F. Equdor ψ φ P Y P

13 Ltitude reduzid (μ) GRANDEZAS ASSOCIADAS É o ângulo formdo pelo rio vetor (OA ) do ponto imgem sore esfer reduzid e su projeção equtoril. tn μ = 1 e 2 1/2. tn φ rco Z Norml de A A A Equdor μ φ O Y Esfer reduzid: A superfície esféric de rio igul o semieixo mior e tngente o elipsoide o longo d linh equtoril. Est superfície tmém é conhecid por esfer de Jcoi.

14 EXERCÍCIO 1ª excentricidde o qudrdo (e 2 ) e 2 = 2f f 2 = 2 2 Semieixo menor () f = 2ª excentricidde o qudrdo (e 2 ) e 2 = 2 2 Grnde norml ou Rio de curvtur trnsversl ou 1ª verticl (N) N = 2 0, ,314 m 2 0, e 2 sen 2 φ 1/ ,839 m Rio do Prlelo (R P ) R P = N. cos φ ,085 m Pequen Norml (N ) N = N(1 e 2 ) ,897 m Rio de curvtur Meridin (M) M = Elipsoide: GRS80 ( = , 000 m ; f = 1/298, ) Pr um ponto de ltitude geodésic φ = " S, no sistem geodésico SIRGAS2000, clculr os itens: (1 e 2 ) 1 e 2 sen 2 φ 3/ ,606 m Rio médio de curvtur (R M ) R M = MN ,227 m Ltitude Geocêntric (ψ) tn ψ = 1 e 2. tn φ ,02 S Ltitude Reduzid (μ) tn μ = 1 e 2 1/2. tn φ ,24 S

15 Coordends Crtesins Tridimensionis (X, Y, Z) Coordends Geodésics (φ, λ, h) Norml de P X = N + h. cos φ. cos λ Y = N + h. cos φ. sen λ Z = N 1 e 2 + h. sen φ Z h P S.F. f = e 2 = 2f f 2 G λ P φ P Equdor Y N = 1 e 2 sen 2 φ 1/2 X P

16 X = N + h. cos φ. cos λ Y = N + h. cos φ. sen λ Z = N 1 e 2 + h. sen φ f = e 2 = 2f f 2 e 2 = 0, EXERCÍCIO Clcule s coordends crtesins do ponto P, cujs coordends geodésics, em SAD69 são: φ = ,81504" S λ = ,83019" W h = 813,750 m Elipsoide: de Referênci de 1967 ( = , 000 m ; f = 1/298, 25) Solução: X = , 313 m Y = , 786 m Z = , 785 m N = 1 e 2 sen 2 φ 1/2 N = , 631 m

17 Coordends Crtesins Tridimensionis (X, Y, Z) Coordends Geodésics (φ, λ, h) p = X P 2 + Y P 2 θ = rctn Z P. p. tn φ = Z P + e 2.. sen 3 θ p e 2.. cos 3 θ tn λ = Y P X P f = h = p cos φ N e 2 = 2f f 2 e 2 = N = 1 e 2 sen 2 φ 1/2

18 p = X P 2 + Y P 2 p = , 177 m θ = rctn Z P. p. θ = 27, tn φ = Z P + e 2.. sen 3 θ p e 2.. cos 3 θ φ = , 2367" tn λ = Y P X P λ = , 2243" h = p cos φ N h = 744, 240 m Excel / Freemt / Mtl EXERCÍCIO Clcule s coordends geodésics do ponto P, cujs coordends crtesins, em SIRGAS2000 são: X = , 441 m Y = ,664 m Z = ,265 m Elipsoide: GRS80 ( = , 000 m ; f = 1/298, ) f = e 2 = = , 314 m e 2 = 0, e 2 = 0, N = , 339 m e 2 = 2f f 2 N = 1 e 2 sen 2 φ 1/2