Thomas Kahl 2008/2009

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1 Análise Mtemátic Thoms Khl 2008/2009 Conteúdo 1 Cálculo diferencil em R Preliminres Subconjuntos de R Funções Exemplos de funções Operções com funções Limites e Continuidde Funções deriváveis Derivds Regrs de derivção Exemplos Teorems fundmentis sobre funções deriváveis Estudo de funções Funções inverss Cálculo integrl em R Primitivs Regrs de primitivção Lineridde Primitivs imedits Primitivção por prtes Primitivção por substituicão Integrl de Riemnn Teorems fundmentis sobre integris Regrs de integrção Lineridde Integrção por prtes Integrção por substituição ou mudnç de vriáveis Equções diferenciis Equções diferenciis lineres Equções diferenciis sepráveis

2 4 Cálculo diferencil no plno O plno R O espço vectoril R Norm e distânci Discos, conjuntos bertos e pontos de cumulção Funções reis de dus vriáveis reis Conceitos básicos Limite de um função num ponto de cumulção Continuidde Derivds prciis e direccionis Derivds direccionis Derivds prciis Grdiente Extremos locis Vocbulário Pontos críticos Derivds prciis de segund ordem Mtriz Hessin Integris duplos Funções integráveis Proprieddes do integrl Coordends polres Áre e volume Tópicos computcionis Polinómio interpoldor Método dos mínimos qudrdos Método de Newton Regr do trpézio

3 1 Cálculo diferencil em R 1.1 Preliminres Subconjuntos de R Os conjuntos dos números reis, rcionis, inteiros e nturis são denotdos por R, Q, Z e N. Tem-se N Z Q R. Sejm e b números reis tis que < b. Aos seguintes subconjuntos de R chm-se intervlos: [, b] = {x R x b}; ], b[= {x R < x < b}; [, b[= {x R x < b}; ], b] = {x R < x b}; [, + [= {x R x}; ], + [= {x R < x}; ], b] = {x R x b}; ], b[= {x R x < b}; ], + [= R. Note-se que + e não são números reis, pens dois símbolos empregues n designção destes conjuntos. Aos intervlos ], b[, ], + [, ], b[ e R chm-se intervlos bertos. Os intervlos [, b], [, + [, ], b] e R são chmdos intervlos fechdos Funções Sejm D e E dois conjuntos. Um função f : D E é um regr que fz corresponder cd elemento x do conjunto D um e só um elemento do conjunto E. Este elemento é denotdo por f(x) e chmdo imgem de x por f. O conjunto D é chmdo o domínio d função f. O conjunto E é chmdo o conjunto de chegd de f. Exemplo. Consideremos função f : R R definid por f(x) = x 2. O domínio de f é R, o conjunto de chegd de f é R. A imgem de um elemento x do domínio R é o elemento x 2 do conjunto de chegd R. Neste exemplo o domínio e o conjunto de chegd d função são subconjuntos de R. Um tl função diz-se um função rel de um vriável rel. No exemplo cim regr d função é dd por um fórmul f(x) =.... Costum-se tmbém definir regr de um função usndo escrit x.... Assim podemos escrever x x 2 em vez de f(x) = x 2 pr definir função do exemplo. 3

4 A imgem de um função f : D E é o subconjunto Imf de E definido por Imf = {f(x) x D}. O gráfico de um função f : D E é o conjunto G f dos pres ordendos (x, f(x)) com x D, G f = {(x, f(x)) x D}. Exemplo. A imgem d função f : R R definid por f(x) = x 2 é o conjunto Imf = {x 2 x R} = [0, + [. O gráfico de f é o conjunto G f = {(x, x 2 ) x R}. No cso de um função f de um vriável rel vlores reis o gráfico de f é um subconjunto do plno R 2 que indicmos, se isto for possível, por um esboço. Um função f de um vriável rel vlores reis define-se às vezes só por um fórmul f(x) =... ou x... sem menção explícit do domínio e do conjunto de chegd. Qundo tl ocorrer, ficrá implícito que o conjunto de chegd é R e o domínio é o mior subconjunto de R pr o qul regr em questão fz sentido. Nestes csos o domínio d função f será designdo por D f. Exemplo. Consideremos função definid por f(x) = 1. O conjunto de chegd de f x é R e domínio de f é o conjunto D f = R\{0}. Até menção em contrário, só trtremos prtir de gor de funções reis de um vriável rel cujos domínios são intervlos ou reuniões finits de intervlos Exemplos de funções 1. Sej n > 0 um número nturl e f função definid por f(x) = x n. Tem-se D f = R e { [0, + [ n pr, Imf = R n ímpr. 2. Sej g função definid por g(x) = x. Tem-se D g = [0, + [ e Img = [0, + [. 3. Sej f função definid por x x. Tem-se D f = R e Imf = [0, + [. 4. Um função f : D E diz-se constnte se existir um elemento c E tl que, pr todo o x D, f(x) = c; imgem de f é o conjunto Imf = {c} e o gráfico de f é rect y = c. 5. Sej n N. Um função f : R R dd por f(x) = n x n + 1 x + 0, onde 0,..., n são números reis fixos tis que n 0, denomin-se função polinomil de gru n. Not-se que o gráfico de um função polinomil de gru 1 é um rect. 4

5 6. Um função rcionl f é um função dd por f(x) = p(x) onde p e q são dus q(x) funções polinomiis; o domínio de f é o conjunto D f = {x R q(x) 0}. 7. As funções trigonométrics seno, co-seno e tngente são denotds por sen, cos e tg. Tem-se D sen = D cos = R e D tg = R \ { π + kπ k Z}. Recorde-se fórmul 2 fundmentl cos 2 x + sen 2 x = 1 (x R). 8. Sej > 0 um número rel. A função f : R R definid por f(x) = x denominse função exponencil de bse. A função exponcil de bse e é prticulrmente importnte. 9. Sejm > 1 e x > 0 números reis. Então existe um único número rel t tl que t = x. Este número t denomin-se logritmo de x n bse e indic-se por log x. A função f : ]0, + [ R definid por x log x é chmd função logrítmic n bse. Us-se brevição ln x = log e x Operções com funções Operções lgébrics Sejm f : D E e g : D E (D, E R) dus funções. () A som de f e g é função f + g : D R dd por (f + g)(x) = f(x) + g(x). (b) Pr um constnte c R, função c f : D R dd por (c f)(x) = c f(x) é o produto de f por c. (c) O produto de f e g é função f g : D R dd por (f g)(x) = f(x) g(x). (d) Se g(x) 0 pr todo o x D, função f g : D R definid por (f f(x) )(x) = g g(x) é o quociente de f e g. Composição Sejm X, Y e Z subconjuntos de R e f : X Y e g : Y Z dus funções. A função g f : X Z definid por (g f)(x) = g(f(x)) denomin-se função compost de g e f. Exemplo. Consideremos função f : R [0, + [ dd por f(x) = x 2 e função g : [0, + [ R dd por g(y) = y. A função compost g f : R R é dd por (g f)(x) = x 2 = x. 5

6 1.2 Limites e Continuidde Definição. A derênci de um reunião finit de intervlos é reunião dos intervlos fechdos correspondentes. A derênci de D é denotd por D. Definição. Sejm f : D E um função, D e L um número rel. Dizemos que f tende pr L qundo x tende pr se, pr todo o número rel ε > 0 existe um número rel δ > 0 tl que, pr todo o x D \ {}, δ < x < + δ L ε < f(x) < L + ε. O número rel L diz-se limite de f qundo x tende pr e escrevemos lim x f(x) = L. De mneir semelhnte definem-se limites infinitos. Definição. Sejm f : D E um função e D. Dizemos que f é contínu em se lim f(x) = f(). A função f diz-se contínu se f é contínu em todo o ponto do seu x domínio. Proposição. Sejm f : D R e g : D R dus funções contínus e c R um constnte. Então s funções f + g, cf e fg são contínus. Se g(x) 0 pr todo o x D, então função f g é contínu. Proposição. Sejm f : D E e g : E F dus funções contínus. Então função compost g f : D F é contínu. Exemplos 1. Tods s funções d secção são contínus. 2. A função χ Q : R R definid por χ Q (x) = é descontínu em todo o ponto x R. 1.3 Funções deriváveis Derivds { 1 se x Q, 0 se x / Q. Definição. Um função f : D E diz-se diferenciável ou derivável em D se o limite f(x) f() lim x x existe e é finito. Se f é derivável em, o vlor deste limite chám-se derivd de f em e indic-se por f () ou df (). A função f diz-se derivável se é derivável em todos dx os pontos de D. A função f diz-se derivável num subconjunto A D se é derivável em todos os pontos de A. Se f é derivável, então função f : D R, x f (x) é chmd 6

7 derivd de f. Exemplos. () A função f : R R definid por f(x) = x é derivável. (b) A função f(x) = x é derivável em R\{0}. Est função, mesmo que contínu em 0, não é derivável em 0. Teorem. Sejm f : D E um função e D. Se f é derivável em, então f é contínu em. Equção d tngente Sej f : D E um função. Se f é derivável num ponto D, então o gráfico de f tem um rect tngente em cuj equção é Regrs de derivção Regrs lgébrics y = f() + f ()(x ). Sejm f, g : D R dus funções deriváveis em D. Então (i) função f + g é derivável em e (f + g) () = f () + g (); (ii) pr tod constnte k R, função k f é derivável em e (iii) função f g é derivável em e (k f) () = k f (); (f g) () = f () g() + f() g (); (iv) se, pr todo o x D, g(x) 0, então função f g é derivável em e ( ) f () = f () g() f() g (). g g() 2 Regr d cdei Sejm f : D E e g : E F dus funções e D. Se f é derivável em e g é derivável em f(), então função compost g f é derivável em e (g f) () = g (f()) f (). 7

8 1.3.3 Exemplos São válids s seguintes fórmuls de derivção: 1. (x n ) = nx n 1 (n N\{0}, x R); 2. (x n ) = nx n 1 (n N, x R\{0}); 3. (e x ) = e x (x R); 4. (ln x) = 1 x (x > 0); 5. (sen x) = cos x (x R); 6. (cos x) = sen x (x R); 7. (tg x) = 1 cos 2 x = 1 + tg 2 x 8. ( x ) = x ln ( > 0, x R); (x π 2 + kπ, k Z); 9. (x ρ ) = ρx ρ 1 (ρ R, x > 0); 10. ( x) = 1 2 x (x > 0) Teorems fundmentis sobre funções deriváveis Definição. Sejm f : D R um função e c D. f diz-se crescente se, quisquer que sejm x, y D, x < y f(x) f(y). f diz-se estritmente crescente se, quisquer que sejm x, y D, x < y f(x) < f(y). f diz-se decrescente se, quisquer que sejm x, y D, x < y f(x) f(y). f diz-se estritmente decrescente se, quisquer que sejm x, y D, x < y f(x) > f(y). f diz-se monóton se f é crescente ou decrescente. f diz-se estritmente monóton se f é estritmente crescente ou estritmente decrescente. 8

9 Diz-se que f tem um máximo locl em c se existe δ > 0 tl que f(x) f(c) pr todo o x ]c δ, c + δ[ D. Diz-se que f tem um mínimo locl em c se existe δ > 0 tl que f(x) f(c) pr todo o x ]c δ, c + δ[ D. Diz-se f tem um extremo locl em c se f tem um máximo ou um mínimo locl em c. Sej A D um subconjunto do domínio de f. A função f diz se crescente, decrescente, estritmente crescente,... em A se restrição de f A, isto é função f A : A E definid por f A (x) = f(x), é crescente, decrescente, estritmente crescente,... Proposição. Sej f :], b[ E um função derivável. Se f tem um extremo locl em c ], b[, então f (c) = 0. Teorem de Lgrnge. Se f é contínu em [, b] e derivável em ], b[, então existe pelo menos um c ], b[ tl que f f(b) f() (c) =. b Corolário 1. Sej f contínu em [, b] e derivável em ], b[. Se f (x) = 0 pr todo o x ], b[, então f é constnte em [, b]. Corolário 2. (Monotoni ds funções reis) Sej f um função contínu, definid num intervlo I. Sej J o mior intervlo berto contido em I. Suponhmos que f é derivável em J. (i) Se f (x) 0 pr todo o x J, então f é crescente em I. (ii) Se f (x) > 0 pr todo o x J, então f é estritmente crescente em I. (iii) Se f (x) 0 pr todo o x J, então f é decrescente em I. (iv) Se f (x) < 0 pr todo o x J, então f é estritmente decrescente em I Estudo de funções O estudo de um função rel f inclui determinção do domínio de f, discussão ds proprieddes de monotoni e de concvidde de f, determinção dos extremos locis e dos pontos de inflexão de f e o esboço do gráfico de f. Derivds de ordem superior Um função derivável f : D E diz-se derivável té 2 ordem se derivd f for derivável. A derivd de f denomin-se derivd de 2 ordem de f e é indicd por f ou por f (2). De modo nálogo, define-se s derivds de ordens superiores 2 de f. 9

10 Pontos críticos e extremos locis Sej f : D E um função derivável. Um ponto c D diz-se ponto crítico de f se f (c) = 0. Sbemos d secção que os extremos locis de um função derivãvel num intervlo berto são pontos críticos d função. Proposição. Sejm I um intervlo, f : I E um função derivável té 2 ordem e c I um ponto crítico de f. (i) Se f (c) < 0, então f tem um máximo locl em c. (ii) Se f (c) > 0, então f tem um mínimo locl em c. Proposição. Sejm f : D E um função contínu e c D. Então f tem um mínimo (respectivmente máximo) locl em c se existe um número rel r > 0 tl que f é crescente (resp. decrescente) em D ]c, c + r[ e decrescente (resp. crescente) em D ]c r, c[. Concvidde e pontos de inflexão Definição. Sejm f : D E um função derivável e I D um intervlo. 1. Diz-se que f tem concvidde pr cim em I se x, I f(x) f() + f ()(x ). 2. Diz-se que f tem concvidde pr bixo em I se x, I f(x) f() + f ()(x ). 3. Um ponto c D diz-se ponto de inflexão de f se existe um número rel r > 0 tl que ]c r, c + r[ D e f tem concvidde pr cim ms não pr bixo em ]c r, c[ e concvidde pr bixo ms não pr cim em ]c, c + r[ ou concvidde pr bixo ms não pr cim em ]c r, c[ e concvidde pr cim ms não pr bixo em ]c, c + r[. Teorem. Sejm f : D E um função derivável té 2 ordem e I D um intervlo. Então (i) f tem concvidde pr cim em I se e só se f (x) 0 pr todo o x I; (ii) f tem concvidde pr bixo em I se e só se f (x) 0 pr todo o x I. 10

11 1.3.6 Funções inverss Definição. Um função f : D E diz-se bijectiv se, pr cd y E, equção f(x) = y dmite um únic solução. A função E D que fz corresponder cd y E o único x D tl que f(x) = y é chmd função invers de f e é indicd por f 1. Atenção! A notção f 1 é reservd pel função invers de f. Em gerl, f 1 (x) f(x) 1 (= 1 ). f(x) Observções. (i) Sej f : D E um função. Se existir um função g : E D tl que f(g(y)) = y pr todo o y E e g(f(x)) = x pr todo o x D, então f é bijectiv e g = f 1. (ii) Sej f um função bijectiv. Então os gráficos ds funções f e f 1 são simétricos em relção à rect y = x. Exemplos. (i) A função f : R\{0} R\{0}, f(x) = 1 x é bijectiv e função invers é dd por f 1 (y) = 1 y. Neste exemplo temos f 1 = f. (ii) Pr todo o ρ R\{0}, função f :]0, + [ ]0, + [ definid por f(x) = x ρ é bijectiv e função invers é dd por f 1 (y) = y 1 ρ. (iii) Pr qulquer > 1, função f : R ]0, + [ definid por f(x) = x é bijectiv e função invers é dd por f 1 (y) = log y. Em prticulr, função f(x) = e x é bijectiv e f 1 (y) = ln y. Teorem. Sej f um função bijectiv definid num intervlo I. Se f é derivável em x I e f (x) 0, então função invers f 1 é derivável em y = f(x) e (f 1 ) (y) = 1 f (x) = 1 f (f 1 (y)). Funções trigonométrics inverss 1. A função sen : [ π 2, π ] [ 1, 1] é bijectiv. A função invers é chmd rco-seno 2 e é indicd por rcsen. A função rco-seno é derivável em ] 1, 1[ e rcsen (x) = 1 1 x 2 ( 1 < x < 1). 2. A função cos : [0, π] [ 1, 1] é bijectiv. A função invers é chmd rco-co-seno e é indicd por rccos. A função rco-co-seno é derivável em ] 1, 1[ e rccos 1 (x) = 1 x 2 ( 1 < x < 1). 3. A função tg :] π 2, π [ R é bijectiv. A função invers é chmd rco-tngente 2 e é indicd por rctg. A função rctg : R ] π 2, π 2 [ 11

12 é derivável. A derivd d função rco-tngente é dd por 2 Cálculo integrl em R 2.1 Primitivs rctg (x) = x 2 (x R). Definição. Sej f um função definid num intervlo I. Um função derivável F : I R diz-se primitiv de f se, pr todo o x I, F (x) = f(x). Exemplo. f : R R, f(x) = x. A função F : R R dd por F (x) = 1 2 x2 é um primitiv d função Proposição. Sejm f um função definid num intervlo I e F : I R um primitiv de f. Então um função G : I R é um primitiv de f se e só se existe um constnte C R tl que, pr todo o x I, G(x) = F (x) + C. Exemplo. As primitivs d função f : R R dd por f(x) = x são s funções F : R R, F (x) = 1 2 x2 + C, C R. O símbolo f(x)dx Sejm f um função definid num intervlo I e F : I R um primitiv de f. Vmos exprimir o fcto que s primitivs de f são s funções G : I R d form G(x) = F (x) + C, onde C R é um constnte, escrevendo f(x)dx = F (x) + C, C R. Assim, fórmul x 2 dx = 1 3 x3 + C, C R signific que s s primitivs d função f : R R dd por f(x) = x 2 são s funções G : R R d form G(x) = 1 3 x3 + C, onde C R é um constnte. Primitivs fundmentis São válids s seguintes fórmuls de primitivção em qulquer intervlo contido no domínio ds funções: 1. k dx = kx + C, C R (k R); 2. x α dx = 1 α + 1 xα+1 + C, C R (α 1); 3. 1 x dx = ln x + C, C R; 12

13 4. e x dx = e x + C, C R; 5. cos x dx = sen x + C, C R; 6. sen x dx = cos x + C, C R; 7. 1 dx = tg x + C, C R; cos 2 x 8. 1 dx = rctg x + C, C R. x Regrs de primitivção Lineridde 1. Sejm f e g dus funções definids num intervlo I, F um primitiv de f e G um primitiv de g. Então função F + G : I R é um primitiv d função f + g : I R. Exprimimos este fcto tmbém escrevendo (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx. 2. Sejm f um função definid num intervlo I, F um primitiv de f e k R um constnte. Então função k F : I R é um primitiv d função k f : I R. Exprimimos este fcto tmbém escrevendo k f(x)dx = k f(x)dx. Exemplo. Temos 3x 2 2x 4 dx = 3x 2 dx + 2x 4 dx = 3 x 2 dx 2 x 4 dx = x x5 + C = x x5 + C, C R Primitivs imedits Sejm I ej dois intervlos e f : I J e g : J R dus funções deriváveis. Então g (f(x))f (x)dx = g(f(x)) + C, C R. Exemplos. (i) Temos xe x2 dx = 1 2 e x2 2xdx = 1 2 ex2 + C, C R. 13

14 (ii) Sej u : I J um função derivável com J ]0, + [ ou J ], 0[. Então função x u(x) é derivável em I e u (x) ( u(x) ) u(x) dx = dx u(x) = ln ( u(x) ) ( u(x) ) dx = ln u(x) + C, C R. Assim temos tg xdx = sen x dx = ln cos x + C, cos x C em qulquer intervlo contido no domínio d função tg. R Primitivção por prtes Sejm f e g deriváveis num intervlo I e H um primitiv d função f g : I R. Então função f g H é um primitiv d função f g : I R. Exprimimos este fcto tmbém escrevendo f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx. Exemplo. Temos xsen x dx = x( cos x) 1 ( cos x) dx = xcos x + sen x + C, C R Primitivção por substituicão Teorem. Sej f um função definid num intervlo I. Sejm J um intervlo, g : J I um função bijectiv derivável cuj derivd nunc se nul e H : J R um primitiv d função (f g) g. Então função F : I R definid por F (x) = H(g 1 (x)) é um primitiv de f, breve : [ f(x)dx = ] f(g(t))g (t)dt. t=g 1 (x) O teorem permite determinr s primitivs de f fzendo em f(x)dx substituição x = g(t) e dx = g (t)dt e clculndo portnto f(g(t))g (t)dt em vez de f(x)dx; voltndo no resultdo à vriável x com substituição t = g 1 (x) obtemos s primitivs de f. Exemplo. Pretende-se determinr s primitivs d função f : ]1, + [ R dd por f(x) = ln x 1. 14

15 A função g : ]0, + [ ]1, + [, t t 2 +1, é bijectiv e derivável e, pr todo o t ]0, + [, g (t) = 2t > 0. Podemos então fzer substituição x = t 2 + 1, dx = 2t dt. Temos ln( t )2t dt = 2t ln t dt = t 2 ln t t 2 1 t dt = t 2 ln t t dt = t 2 ln t t2 2 + C, C R. Voltndo à vriável x com substituição t = x 1 obtemos ln x 1 = (x 1) ln x 1 x 1 + C, C R Integrl de Riemnn Sucessões. Um sucessão é um função n n, vlores reis, cuj domínio é um subconjunto de N d form {n N n q} onde q N é um número nturl fixo. Costum-se definir um sucessão dizendo, por exemplo, Sej ( n ) n 3 sucessão de termo gerl n =.... Dizemos que um sucessão ( n ) n q converge pr R se, pr todo o ε > 0, existe N N tl que pr todo o n N, ε < n < + ε. Um sucessão diz-se convergente se existe R tl que sucessão converge pr. Este número diz-se o limite d sucessão e escrevemos lim n =. n + Um sucessão que não é convergente diz-se divergente. Notção. Sejm ( n ) n q um sucessão e l, k N tis que q l k. Definimos k i = l + l k. i=l Assim, por exemplo, e 7 i=3 1 i = k i = k = i=1 15 k(k + 1). 2

16 Teorem. Sej f contínu em [, b]. Então sucessão (s n ) n 1 de termo gerl n 1 s n = f( + i b n ) b n i=0 é convergente. Definição. Sej f contínu em [, b]. O integrl (de Riemnn) de f é o número rel Exemplo Pr qulquer constnte c R, b b n 1 f(x)dx = lim f( + i b n n ) b n. i=0 n 1 cdx = lim c b n n i=0 = lim (c b n n + + c b n ) = lim (c n b n n ) = lim (c (b )) n = c (b ). 2.4 Teorems fundmentis sobre integris Sejm f contínu num intervlo I e, b I tis que < b. Definimos b f(x)dx = f(x)dx e f(x)dx = 0. b Teorem. Sejm f contínu num intervlo I e, b, c I. Então b c b f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. c Teorem do vlor médio do cálculo integrl. existe c [, b] tl que b f(x)dx = f(c)(b ). Sej f contínu em [, b]. Então Teorem fundmentl do Cálculo. Sejm f contínu num intervlo I e, b I. Então 16

17 (i) função F : I R definid por x F (x) = f(t)dt é um primitiv de f; (ii) pr qulquer primitiv G de f, Exemplo. b π sen xdx = cos π + cos 0 = 2. 0 f(x)dx = G(b) G(). Notção. Pr um função F e, b D F escrevemos tmbém [F (x)] b em vez de F (b) F (). Do mesmo modo exprimimos prte (ii) do Teorem fundmentl do Cálculo escrevendo b [ ] b f(x)dx = f(x)dx. 2.5 Regrs de integrção Lineridde 1. Sejm f e g contínus em [, b]. Então b (f(x) + g(x))dx = b f(x)dx + b g(x)dx. 2. Sejm f contínu em [, b] e k R um constnte. Então b b k f(x)dx = k f(x)dx Integrção por prtes Definição. Sej n 1 um número nturl. Um função f : D E diz-se de clsse C n se el é derivável té ordem n e se n-ésim derivd de f é contínu. Um função f : D E diz-se de clsse C se el dmite derivds de tods s ordens. Proposição. Sejm f e g de clsse C 1 em [, b]. Então b f (x)g(x)dx = [f(x)g(x)] b 17 b f(x)g (x)dx.

18 Exemplo. Pretende-se determinr π e x cos x dx. As funções e x e cos x são de clsse C 0 em R e então de clsse C 1 em [0, π]. Fzendo s dus integrções por prtes possíveis obtemos π π e x cos x dx = [e x cos x] π 0 + e x sen x dx e Logo ou sej 0 π 0 2 π e x cos x dx = [e x sen x] π 0 π e x sen x dx. e x cos x dx = [e x cos x] π 0 + [ex sen x] π 0 π e x cos x dx = 1 2 (eπ cos π e 0 cos 0 0 +e π sen π e 0 sen 0) = 1 2 ( eπ 1) = 1 2 (eπ + 1) Integrção por substituição ou mudnç de vriáveis Teorem. Sejm f contínu em [, b], I um intervlo, g : I [, b] de clsse C 1 e α, β I tis que g(α) = e g(β) = b. Então b β f(x)dx = f(g(t))g (t)dt. α Not. Se comprrmos s hipóteses do teorem cim e quels do teorem de primitivção por substituição (6.2.4) podemos observr seguinte diferenç: Num primitivção por substituição mudnç de vriáveis g tem de ser um função derivável bijectiv cuj derivd nunc se nul; no teorem cim função g tem de ser de clsse C 1. Exemplo. por Pretende-se clculr 1 1 rcsen x dx. A função g : [ π 2, π ] [ 1, 1] definid 2 g(t) = sen t é de clsse C 1 e temos g( π 2 ) = 1 e g(π ) = 1. Podemos então fzer substituição 2 x = sen t, dx = cos t dt. 18

19 (Not-se que g é bijectiv e derivável ms g ( π 2 ) = g ( π ) = 0.) Temos rcsen x dx = = π 2 π 2 π 2 rcsen (sen t)cos t dt tcos t dt π 2 = [tsen t] π 2 π 2 π 2 π 2 sen t dt = [tsen t] π 2 π 2 + [cos t] π 2 π 2 = [tsen t + cos t] π 2 π 2 = π (π 2 + 0) = 0. 19

20 3 Equções diferenciis Um equção diferencil ordinári (EDO) de 1 ordem é um equção cuj incógnit é um função rel de um vriável rel e que se escreve em termos d vriável (denotd, por exemplo, por x), d função incógnit (denotd, por exemplo, por y) e d su derivd (denotd por y ). 3.1 Equções diferenciis lineres Definição. Sej I R um intervlo berto. Um equção diferencil (ordinári) liner de 1 ordem em I é um equção diferencil d form ( ) (x)y (x) + b(x)y(x) = c(x) onde, b e c são funções (conhecids) contínus em I tis que pr todo o x I, (x) 0. Costum-se indicr o domínio I d equção diferencil n própri equção escrevendo (x)y (x) + b(x)y(x) = c(x), x I. Se não se dizer nd sobre o domínio d equção diferencil supõe-se I = R. Um função derivável y definid em I que stizfz condição ( ) diz-se solução d equção diferencil ( ). A equção diferencil liner ( ) diz-se homogéne se função c(x) é constnte igul 0. Um equção diferencil liner com coeficientes constntes é um equção diferencil liner d form ( ) em que s funções (x) e b(x) são constntes. Resolução ds equções diferenciis lineres de 1 ordem Um mneir de resolver um equção diferencil liner consiste no seguintes pssos: ( ) (x)y (x) + b(x)y(x) = c(x), x I Trnsformr equção ( ) n equção ( ) y (x) + p(x)y(x) = q(x) em que p(x) = b(x) c(x) e q(x) =. As dus equções diferenciis são equivlentes, (x) (x) isto é, têm s mesms soluções. Determinr um primitiv P de p. Multiplicr equção ( ) por e P (x). Obtem-se um equção equivlente em que o ldo esquerdo é e P (x) y (x) + e P (x) p(x)y(x) = (y(x)e P (x) ). Determinr um primitiv Q d função do ldo direito d equção obtid no psso nterior, isto é d função e P (x) q(x). A equção diferencil é então equivlente à equção e P (x) y(x) = Q(x) + C, C R que já não é um equção diferencil. 20

21 Resolver últim equção em ordem y(x). Obtem-se ssim solução gerl de ( ): Exemplo. y(x) = e P (x) Q(x) + Ce P (x), C R, x I. Indic-se qui novmente o domínio I. Pretende-se resolver equção diferencil liner No domínio d equção ( ) temos ( ) x 2 y (x) + y(x) = x 3 e 1 x, x ]0, + [. x 2 y (x) + y(x) = x 3 e 1 x y (x) + 1 x 2 y(x) = xe 1 x e 1 x y (x) + e 1 1 x x y(x) = xe 1 2 x e 1 x (e 1 x y(x)) = x e 1 x y(x) = x2 2 + C, C R y(x) = x2 2 e 1 x + Ce 1 x, C R, x ]0, + [. As soluções d equção diferencil liner ( ) são s funções y :]0, + [ R d form y(x) = x2 2 e 1 x + Ce 1 x, C R. Teorem. Sejm I R um intervlo berto e, b e c funções contínus em I tis que pr todo o x I, (x) 0. Então pr quisquer números x 0 I e y 0 R, equção diferencil liner (x)y (x) + b(x)y(x) = c(x), x I dmite um únic solução y que stizfz condição inicil y(x 0 ) = y 0. Exemplo. Temos Or, Pretende-se resolver o problem com condição inicil { y ( ) (x) + y(x) = 0 y(0) = 2. y (x) + y(x) = 0 e x y (x) + e x y(x) = 0 (e x y(x)) = 0 e x y(x) = C, C R y(x) = Ce x, C R. y(0) = 2 C = 2. A solução do problem com condição inicil ( ) é função y : R R dd por y(x) = 2e x. 21

22 3.2 Equções diferenciis sepráveis Definição. Um equção diferencil seprável é um equção diferencil d form ( ) y (x) = g(x)h(y(x)), x I, y J em que I e J são intervlos bertos, g é um função contínu definid em I e h é um função contínu definid em J que nunc se nul. Se não se dizer nd sobre um dos intervlos I e J supõe-se que este intervlo é R. Um função derivável y : I J definid num intervlo berto I I que stizfz condição ( ) diz-se solução d equção diferencil ( ). Um solução y : I J de ( ) diz-se mximl se não existe nenhum solução ỹ : Ĩ J de ( ) com I Ĩ e tl que pr todo o x I, ỹ(x) = y(x). Resolução ds equções diferenciis sepráveis A resolução de um equção diferencil seprável consiste nos seguintes pssos: ( ) y (x) = g(x)h(y(x)), x I, y J Como h nunc se nul, é possível seprr s vriáveis x e y e trnsformr equção ( ) n equção diferencil equivlente ( ) y (x) h(y(x)) = g(x). Determinr um primitiv H d função 1 h ( ) por (H(y(x)). e substituir o ldo esquerdo d equção Determinr um primitiv G de g. A equção diferencil é então equivlente à equção H(y(x)) = G(x) + C, C R que já não é um equção diferencil. Como su derivd nunc se nul, função H : J ImH é estritmente monóton e então bijectiv. Podemos então substituir últim equção por y(x) = H 1 (G(x) + C), C R. Determinr os vlores possíveis pr constnte C e, em função disso, o mior domínio possível d solução encontrd. Indic-se solução (mximl) gerl de ( ) sob form y(x) = H 1 (G(x) + C), C..., x... 22

23 Exemplo. Pretende-se resolver equção diferencil No domínio d equção ( ) temos ( ) y (x) = xy(x) 3, x R, y > 0. y (x) = xy(x) 3 y (x)y(x) 3 = x ( 1 ) 2 y(x) 2 = x 1 2 y(x) 2 = 1 2 x2 + C, C R y(x) 2 = x 2 + K, K R y(x) 2 1 = x 2 + K, K R 1 y(x) = x2 + K, K R. Tem-se x 2 + K > 0 K > x 2 K > 0 e x ] K, K[. A solução gerl de ( ) é dd por y(x) = 1 x2 + K, K > 0, x ] K, K[. Teorem. Sejm I e J intervlos bertos, g um função contínu definid em I e h um função contínu definid em J que nunc se nul. Então pr quisquer números x 0 I e y 0 J, equção diferencil seprável y (x) = g(x)h(y(x)), x I, y J dmite um únic solução mximl y que stizfz condição inicil y(x 0 ) = y 0. Exemplo. Pretende-se determinr solução mximl do problem com condição inicil ( ) { y (x) = xy(x) 3, x R, y > 0, y(0) = 1. Pelo exemplo precedente solução gerl d equção diferencil dd é y(x) = 1 x2 + C, C > 0, x ] C, C[. 23

24 Temos y(0) = 1 1 C = 1 C = 1 C = 1. A solução mximl do problem com condição inicil ( ) é função y : ] 1, 1[ ]0 + [ dd por 1 y(x) = x

25 4 Cálculo diferencil no plno 4.1 O plno R 2 Indicmos por R 2 o conjunto dos pres ordendos (x, y) em que x e y são números reis. Os elementos de R 2 são chmdos pontos ou vectores do plno R 2. Ddo um ponto (x, y) em R 2, os números reis x e y são s componentes ou coordends de (x, y) O espço vectoril R 2 Ddos (x, y), (x, y ) R 2 e um número rel λ definimos som (x, y)+(x, y ) e o produto λ (x, y) pondo (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ), λ (x, y) = (λx, λy). Ests operções fzem de R 2 um R-espço vectoril de dimensão 2 no qul o elemento neutro pr dição é (0, 0) e o simétrico de (x, y) é (x, y) = ( x, y). Os vectores e 1 = (1, 0) e e 2 = (0, 1) formm um bse de R 2 à qul chmremos bse cnónic de R Norm e distânci A norm de um vector (x, y) R 2 é definid por (x, y) = x 2 + y 2. Geometricmente norm de um vector (x, y) de R 2 é o comprimento deste vector, isto é, distânci de (x, y) à origem (0, 0). A distânci de dois pontos (x, y), (x, y ) R 2 é dd pel norm (x, y) (x, y ) = (x x ) 2 + (y y ) Discos, conjuntos bertos e pontos de cumulção O disco (ou bol fechd) de centro (, b) R 2 e rio r > 0 é o conjunto B r (, b) = {(x, y) R 2 (x ) 2 + (y b) 2 r 2 }. Assim, o disco de centro (, b) e rio r é o conjunto dos pontos de R 2 cuj distânci o ponto (, b) é menor ou igul r. Um subconjunto D R 2 diz-se berto se pr cd ponto (, b) D existe um número rel r > 0 tl que B r (, b) D. Um ponto (, b) R 2 diz-se ponto de cumulção de um conjunto D R 2 se pr todo o número rel r > 0, D B r (, b) \ {(, b)}. 25

26 4.2 Funções reis de dus vriáveis reis Conceitos básicos Um função rel de dus vriáveis reis é um função f : D E em que o domínio D é um subconjunto de R 2 e o conjunto de chegd E é um subconjunto de R. Assim, f ssoci cd elemento (x, y) de D um (e só um) número rel f(x, y). Um função f de dus vriáveis vlores reis defin-se às vezes só por um fórmul f(x, y) =... sem menção explícit do domínio e do conjunto de chegd. Qundo tl ocorrer, ficrá implícito que o conjunto de chgd é R e o domínio é o mior subconjunto de R 2 pr o qul regr em questão fz sentido. Nestes csos o domínio d função f será designdo por D f. Pr um função f : D E de dus vriáveis (D R 2, E R) podemos considerr os seguintes conjuntos: imgem de f, que é um subconjunto de R: Imf = {f(x, y) (x, y) D}; o gráfico de f, que é um subconjunto do espço R 3 = {(x, y, z) x, y, z R}: G f = {(x, y, f(x, y)) (x, y) D}; curv de nível k R, que é um subconjunto de R 2 : f 1 ({k}) = {(x, y) D f(x, y) = k} Limite de um função num ponto de cumulção Sejm f : D E um função rel de dus vriáveis (D R 2 e E R), (, b) um ponto de cumulção de D e L R. Dizemos que f tende pr L qundo (x, y) tende pr (, b) se pr todo o número rel ε > 0 existe um número rel δ > 0 tl que pr todo o (x, y) D \ {(, b)}, (x, y) B δ (, b) f(x, y) L < ε. O número rel L diz-se limite de f qundo (x, y) tende pr (, b) e escrevemos lim f(x, y) = L. (x,y) (,b) Exemplo. e Pr qulquer ponto (, b) R 2 tem-se lim x = (x,y) (,b) lim (x,y) (,b) y = b. 26

27 4.2.3 Continuidde Nest secção considermos um conjunto D R 2 tl que todos os pontos de D são pontos de cumulção de D. Definição. em (, b) se Sejm f : D E um função rel e (, b) D. Dizemos que f é contínu lim f(x, y) = f(, b). (x,y) (,b) A função f diz-se contínu se é contínu em todos os pontos de D. Proposição. Sejm f e g dus funções contínus definids em D e c R um constnte. Então s funções f +g, cf, fg : D R (definids de mneir óbvi) são contínus. Se em cd ponto (x, y) D, g(x, y) 0, então função f g óbvi) é contínu. : D R (definid de mneir Proposição. Se f : D E e g : E F (E, F R) são dus funções contínus então função compost g f : D F definid por é contínu. g f(x, y) = g(f(x, y)) Exemplo. A função f : R 2 R definid por f(x, y) = sen (xy) + e 3x y é contínu. 4.3 Derivds prciis e direccionis Nest secção considermos um conjunto berto D R 2 e um ponto (, b) de D Derivds direccionis Definição. Sejm f um função rel definid em D e (v, w) um vector de R 2. A derivd direccionl de f em (, b) n direcção do vector (v, w) é, se existir, o limite Exemplo. f((, b) + t(v, w)) f(, b) D (v,w) (, b) = lim. t 0 t Sej f : R 2 R função dd por f(x, y) = x 2 + y 2. 27

28 A derivd direccionl de f em (0, 1) n direcção do vector (1, 2) é Derivds prciis D (1,2) f(0, 1) = lim t 0 f((0, 1) + t(1, 2)) f(0, 1) t = lim t 0 f(0 + 1t, 1 + 2t) f(0, 1) t t 2 + (1 + 2t) 2 1 = lim t 0 t t t + 4t 2 1 = lim t 0 = lim t 0 5t + 4 = 4. Sej f : D E um função rel de dus vriáveis x, y. A derivd direccionl de f em (, b) n direcção do vector e 1 = (1, 0) é chmd derivd prcil de f em ordem x em (, b) e é denotd por f (, b). Assim, x f x (, b) = lim t 0 t f( + t, b) f(, b). t Do mesmo modo, derivd direccionl de f em (, b) n direcção do vector e 2 = (0, 1) é chmd derivd prcil de f em ordem y em (, b) e é denotd por f (, b). y Assim, f f(, b + t) f(, b) (, b) = lim. y t 0 t Se derivd prcil em ordem x existe em cd ponto de D então função rel definid em D por (x, y) f (x, y) é chmd derivd prcil de f em ordem x e é x denotd por f f. De mneir nálog define-se derivd prcil de f em ordem y, x y. Not. A derivd prcil de f em ordem x em (, b) coincide com derivd em d função de um vriável dd por x f(x, b). Assim, derivd prcil de f em ordem x obtém-se derivndo f em ordem à vriável x, mntendo vriável y constnte. Anlogmente derivd prcil de f em ordem y obtém-se derivndo f em ordem à vriável y, considerndo vriável x constnte. Exemplo. Sej f : R 2 R função dd por f(x, y) = x 2 + xy 2. As derivds prciis de f são dds por f (x, y) = 2x + y2 e x 28 f (x, y) = 2xy. y

29 Definição. Um função f definid em D diz-se de clsse C 1 se s derivds prciis f x e f existem e são contínus. x Proposição. Sejm f um função de clsse C 1 em D e (v, w) R 2 um vector. Então D (v,w) f(, b) = f f (, b) v + (, b) w. x y Grdiente Sej f um função definid em D tl que s derivds prciis de f em (, b) existem. O grdiente de f em (, b) é o vector ( ) f f f(, b) = (, b), (, b). x y Teorem. Sejm f um função de clsse C 1 em D e (v, w) R 2 um vector. Suponhmos que f(, b) (0, 0) e que (v, w) = 1. Então: (i) O vlor máximo de D (v,w) f(, b) é igul f(, b) e é tingido qundo (v, w) = f(, b) f(, b). (ii) O vlor mínimo de D (v,w) f(, b) é igul f(, b) e é tingido qundo f(, b) (v, w) = f(, b). Not. Se (v, w) = 1, derivd direccionl D (v,w) f(, b) mede vrição d função em (, b) n direcção do vector (v, w). O teorem cim signific então que (i) o vector f(, b) pont n direcção e no sentido em que f cresce mis rpidmente; (ii) o vector f(, b) pont n direcção e no sentido em que f decresce mis rpidmente. 4.4 Extremos locis Vocbulário Sejm f um função rel de dus vriáveis (D R 2, E R) e (, b) um ponto de D. Dizemos que f tem um máximo locl em (, b) (ou que (, b) é um ponto de máximo locl de f) se existe um disco B r (, b) (de centro (, b) e rio r > 0) tl que pr todo o ponto (x, y) B r (, b) D, f(x, y) f(, b). 29

30 Dizemos que f tem um mínimo locl em (, b) (ou que (, b) é um ponto de mínimo locl de f) se existe um disco B r (, b) (de centro (, b) e rio r > 0) tl que pr todo o ponto (x, y) B r (, b) D, f(x, y) f(, b). Se f tiver um máximo ou um mínimo locl em (, b) dizemos que f tem um extremo locl em (, b) e que (, b) é um ponto de extremo locl de f Pontos críticos Sej f um função definid num berto D R 2. Proposição. então Se f tem um extremo locl em (, b) D e o grdiente f(, b) existe f(, b) = (0, 0). Um ponto (, b) em que o vector grdiente é nulo é chmdo ponto crítico de f. Existem pontos críticos que não são pontos de extremo locl (por exemplo o ponto (0, 0) pr função f(x, y) = x 2 y 2 ). Tis pontos são chmdos pontos de sel Derivds prciis de segund ordem Sej f um função rel definid num berto D R 2. Se existirem, s derivds prciis f x e f são funções de dus vriáveis (definids em D) e podemos considerr s sus y derivds prciis, cso existm. Ests funções são s derivds prciis de f de ordem 2. Notção: 2 f x y = ( f y ) x, 2 f x = ( f 2 x x ) e 2 f y x = ( f x ) y, 2 f y = ( f 2 y Dizemos que f é um função de clsse C 2 em D se s sus derivds prciis de ordem 2 existem e são contínus. Teorem de Schwrz. Sej f um função de clsse C 2 definid num berto D R 2. Então 2 f x y = 2 f y x. y ) 30

31 4.4.4 Mtriz Hessin Sej f um função de clsse C 2 definid num berto D R 2. Definimos mtriz Hessin de f em (, b) D por 2 f 2 f (, b) (, b) x2 y x Hf(, b) = Pelo Teorem de Schwrz temos 2 f (, b) x y 2 f (, b) y2 2 f y x (, b) = 2 f (, b), x y ou sej, mtriz é simétric em relção à digonl. O determinnte d mtriz Hessin é então dd por det Hf(, b) = 2 f x (, b) 2 f (, b) 2 y2 ( ) 2 2 f (, b). x y Teorem. Sejm f um função de clsse C 2 definid num berto D R 2 e (, b) D um ponto crítico de f. (i) Se det Hf(, b) > 0 e 2 f (, b) > 0 então (, b) é um ponto de mínimo locl. x2 (ii) Se det Hf(, b) > 0 e 2 f (, b) < 0 então (, b) é um ponto de máximo locl. x2 (iii) Se det Hf(, b) < 0 então (, b) é um ponto de sel. (iv) Se det Hf(, b) = 0 então nd se pode dizer. 31

32 5 Integris duplos 5.1 Funções integráveis Sejm R = [, b] [c, d] = {(x, y) R 2 x b, c y d} um rectângulo e f : R R um função. A um prtição = x 0 < x 1 <...x i 1 < x i <... < x n = b do intervlo [, b] em n intervlos e um prtição c = y 0 < y 1 <...y j 1 < y j <... < y m = d do intervlo [c, d] em m intervlos ssocimos um prtição P do rectângulo R em nm rectângulos R ij = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] = {(x, y) R 2 x i 1 x x i, y j 1 y y j }. A áre do rectângulo R ij é o produto x i y j onde x i = x i x i 1 e y j = y j y j 1. Pr cd pr (i, j) de índices escolhemos um elemento (x ij, y ij ) R ij. O número n m f(x ij, y ij ) x i y j i=1 j=1 é chmdo som de Riemnn de f reltiv à prtição P e à escolh dos pontos (x ij, y ij ). Dd um tl prtição P do rectângulo R, designrá o mior dos números x 1,..., x n, y 1,..., y m. Sej L R um número rel. Diremos que som de Riemnn n m f(x ij, y ij ) x i y j i=1 j=1 tende pr L qundo tende pr 0 se pr todo o ε > 0 existe δ > 0 tl que quisquer que sejm prtição P e os pontos (x ij, y ij ), n m < δ f(x ij, y ij ) x i y j L < ε. i=1 j=1 Se existir, tl número L é único. Este número é chmdo integrl duplo de f em B e é indicdo por f(x, y) dxdy. Se o integrl duplo de f em R existe, dizemos que f é integrável em R. R Teorem. Se f é contínu então f é integrável. 32

33 5.2 Proprieddes do integrl Proposição. Sejm f e g dus funções reis comntínus definids num rectângulo R = [, b] [c, d] de R 2 e λ R. Então: () (f(x, y) + g(x, y)) dxdy = f(x, y) dxdy + g(x, y) dxdy R (b) λf(x, y) dxdy = λ f(x, y) dxdy R R (c) f 0 f(x, y) dxdy 0 (d) f g R R f(x, y) dxdy R R g(x, y) dxdy. Teorem de Fubini. Sej f um função rel contínu definid num rectângulo R = [, b] [c, d]. Então s funções [, b] R, x b f(x, y)dx são contínus e R f(x, y) dxdy = = b d c d b c d c R f(x, y)dy e [c, d] R, f(x, y) dy dx f(x, y) dx dy. y 5.3 Coordends polres Sej (x, y) R 2 \ {(0, 0)} um ponto. Este ponto encontr-se n circunferênci de rio r = x 2 + y 2 e de centro (0, 0). Existe então θ R tl que (x, y) = (rcos θ, rsen θ). Aos números r, θ chm-se coordends polres de (x, y). Not-se que r é único ms θ não. Sejm r 1, r 2, θ 1, θ 2 R tis que 0 r 1 < r 2 e θ 1 < θ 2 θ 1 + 2π e sej f um função rel contínu definid no conjunto B = {(rcos θ, rsen θ) r 1 r r 2, θ 1 θ θ 2 }. Sej R = [ r 2, r 2 ] [ r 2, r 2 ] e sej g : R R função definid por { f(x, y) se (x, y) B, g(x, y) = 0 se (x, y) / B. 33

34 Então g é integrável e define-se o integrl de f em B por f(x, y) dxdy = g(x, y) dxdy. B R Teorem. Sejm r 1, r 2, θ 1, θ 2 R tis que 0 r 1 < r 2 e θ 1 < θ 2 θ 1 + 2π e sej f um função rel contínu definid no conjunto B = {(rcos θ, rsen θ) r 1 r r 2, θ 1 θ θ 2 }. Sej R = [r 1, r 2 ] [θ 1, θ 2 ]. Então função R R, (r, θ) f(rcos θ, rsen θ)r é contínu e f(x, y) dxdy = f(rcos θ, rsen θ)r drdθ. B R 5.4 Áre e volume Nest secção B design ou um rectângulo [, b] [c, d] ou um conjunto d form {(rcos θ, rsen θ) r 1 r r 2, θ 1 θ θ 2 } em que r 1, r 2, θ 1, θ 2 são números reis tis que 0 r 1 < r 2 e θ 1 < θ 2 θ 1 + 2π. Definição. (1) A áre de B é o integrl duplo áre(b) = 1dxdy. B (2) Sejm f, g : B R dus funções contínus tis que f(x, y) g(x, y) pr todo o (x, y) B. O volume do conjunto E = {(x, y, z) R 3 (x, y) B, f(x, y) z g(x, y)} é definido por vol(e) = g(x, y) f(x, y)dxdy. B 34

35 6 Tópicos computcionis 6.1 Polinómio interpoldor Consideremos n + 1 pontos (x 0, y 0 ),..., (x n, y n ) de R 2 tis que s bcisss x 0,..., x n são tods diferentes. Então existe um único polinómio p de gru n tl que p(x i ) = y i pr i = 0,..., n. Este polinómio é chmdo polinómio interpoldor de Lgrnge pr os pontos (x 0, y 0 ),..., (x n, y n ) e é ddo por p(x) = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) + + y n L n (x) onde L k (x) = (x x 0) (x x k 1 )(x x k+1 ) (x x n ) (x k x 0 ) (x k x k 1 )(x k x k+1 ) (x k x n ). 6.2 Método dos mínimos qudrdos Consideremos n + 1 pontos (x 0, y 0 ),... (x n, y n ) de R 2. Existe um únic rect que minimiz som r(x) = x + b n (x i + b y i ) 2. Os coeficientes dest rect dos mínimos qudrdos são ddos por = b = i=0 n n y i (n + 1) n x i y i i=0 ( n ) 2, x i (n + 1) n x i i=0 i=0 i=0 1 n + 1 ( n y i i=0 x 2 i i=0 ) n x i. i=0 Not. rects. O método dos mínimos qudrdos estende-se outros tipos de funções lém de 6.3 Método de Newton Sej f : [, b] R um função de clsse C 2 tl que f()f(b) < 0; f nunc se nul; f 0 ou f 0. Então equção f(x) = 0 35

36 dmite um únic solução ξ [, b]. A solução é dd por onde (x n ) n N é sucessão definid por e Pr todo o n N tem-se ξ = lim n x n x n+1 = x n f(x n) f (x n ) se f() < 0, f(b) > 0, f 0 x 0 = ou f() > 0, f(b) < 0, f 0, b cso contrário. x n ξ f(x n) min f (x). x [,b] Exemplo. Pretende-se determinr um vlor proximdo x de 2 tl que o erro x 2 é menor do que 0, 001. Consideremos função f : [1, 2] R definid por Então f é de clsse C 2. Temos f(1)f(2) = ( 1)2 = 2 < 0; f (x) = 2x > 0 pr todo o x [1, 2]; f (x) = 2 > 0 pr todo o x [1, 2]. f(x) = x 2 2. Logo 2 = lim n x n onde (x n ) n N é sucessão definid por x 0 = 2 e Tem-se min x [1,2] f (x) = 2 e logo x n+1 = x n x2 n 2 2x n = x2 n + 2 2x n. x n 2 x2 n 2. 2 Or, x 2 n 2 < 0, 001 1, 998 < x 2 n < 2, Bst então clculr os termos d sucessão té se verificr condição 1, 998 < x 2 n < 2, 002. Temos x 0 = 2 e x 2 0 = 4 > 2, 002. Temos x 1 = x = x = 3 2

37 e x 2 1 = 9 > 2, 002. Temos 4 x 2 = x = 17 2x 1 12 e x 2 2 = > 2, 002. Temos x 3 = x = 577 2x e e portnto x 2 3 = = = , 998 < 2 < x 2 3 < = 2, Assim x = é um vlor proximdo de 2 com x 2 < 0, Regr do trpézio Sej f : [, b] R um função de clsse C 2. Sej M R tl que f (x) M pr todo o x [, b]. Tem-se b n 1 f(x)dx = lim T n,i n onde T n,i = Tem-se pr qulquer n 1 i=0 ( ( f + i b ) ( + f + (i + 1) b )) b n n 2n. b Assim, pr um ddo ε > 0 som n 1 que M(b ) 3 desde que n >. 8ε n 1 f(x)dx T n,i b i=0 i=0 M(b )3 8n 2. T n,i é um proximção do integrl n 1 f(x)dx T n,i < ε i=0 b f(x)dx tl 37