Geometria Analítica e Álgebra Linear

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1 Geometri Alític e Álgebr Lier 8. Sistems Lieres Muitos problems ds ciêcis turis e sociis, como tmbém ds egehris e ds ciêcis físics, trtm de equções que relciom dois cojutos de vriáveis. Um equção do tipo, eprimido vriável, em termos d vriável e d costte, é chmd um equção lier. A plvr lier é usd porque o gráfico d equção cim é um lih ret. Semelhte, equção que eprime b em termos ds vriáveis b, (.),,, e ds costtes cohecids,, é chmd um equção lier. Em muits plicções cohecemos b e s, costtes, (.).,,,, e devemos chr os úmeros,,, que stisfem Um solução de um equção lier (.) é um seqüêci de úmeros s,, s, s s que têm propriedde de que (.) é stisfeit qudo femos, em (.),, s,, s. Assim, =, = e = é um solução d equção lier pois () () ( ) Est ão é úic solução d equção lier dd, pois =, =, = - é um outr solução. A epsão de Lplce, embor de mis fácil utilição pr o cálculo de determites e mtries iverss, ão se prest à obteção de determites de grdes mtries, ddo o grde úmero de operções serem efetuds. Imgie-se o cálculo do determite de um mtri de ordem! Mtries dest ordem e mesmo muito miores, são muito comus qudo se empregm métodos uméricos de solução de equções difereciis prciis. Preprdo o cmiho pr s técics computciois de solução de grdes sistems de equções, presetremos s defiições de sistems de equções lieres. de fevereiro de Ale N. Brsil

2 Geometri Alític e Álgebr Lier de fevereiro de Ale N. Brsil Defiição ) Um equção lier em vriáveis,,..., é um equção d form = b, ode,,..., e b são costtes reis; b) Um sistem de m equções lieres com icógits ou simplesmete um sistem lier é um cojuto de m equções lieres cd um com icógits. O sistem de m equções com icógits: b b b m m m ode ij e os b k são costtes reis, pr i, k =,..., m e j =,...,. Usdo s operções mtriciis que defiimos o cpítulo terior, o sistem lier cim pode ser escrito como um equção mtricil A = B, ode m m m A,, b m b b B Um solução de um sistem lier é um mtri S S S S tl que s equções do sistem são stisfeits qudo substituímos = s, = s,..., = s. O cojuto de tods s soluções do sistem é chmdo cojuto solução ou solução gerl do sistem. A mtri A é chmd mtri do sistem lier.

3 Geometri Alític e Álgebr Lier E.. O sistem lier de dus equções e dus icógits pode ser escrito como A solução (gerl) do sistem cim é = -/ e = / ou Defiição Um form de ecotrr s soluções de um sistem lier, é pel técic chmd método de elimição. Isto é, elimimos lgums ds icógits por meio d dição de um múltiplo de um ds equções um outr equção. A miori dos leitores já teve lgum eperiêci com est técic em cursos de álgebr escol secudári. E.. Cosidere o sistem lier 8 (.) Pr elimir, subtrímos dus vees primeir equção d segud, obtedo, um equção que ão tem termo em. coseguimos ssim elimir icógit. Achdo etão,, obtemos e substituido este vlor primeir equção, obtemos Pr verificr se =, = é um solução do (.), verificmos se estes vlores de e stisfem cd equção do sistem lier ddo. Assim, =, = é úic solução de (.). de fevereiro de Ale N. Brsil

4 Geometri Alític e Álgebr Lier E.. Cosidere o sistem lier (.) Mis um ve, resolvemos elimir. Subtrímos dus vees primeir equção d segud, obtedo =, ão f setido, Isto sigific que (.) ão tem solução. E.. Cosidere o sistem lier (.) Pr elimir, subtrímos dus vees primeir equção d segud, obtedo Um solução é em que pode ser qulquer úmero rel. Etão d primeir equção temos, ( ) Assim, um solução pr o sistem lier é qulquer úmero rel isto sigific que o sistem lier tem ifiits soluções. Cd ve que tribuímos um vlor, obtemos um outr solução de (.). Defiição Estes eemplos sugerem que um sistem lier pode ter solução úic, ão ter solução ou ter ifiits soluções. Cosidere um sistem lier de dus equções e dus icógits e : c b b c de fevereiro de Ale N. Brsil

5 Geometri Alític e Álgebr Lier O gráfico de cd um dests equções é um lih ret, que represetremos por r e r. Temos etão três possibiliddes meciods seguir:. O sistem tem solução úic, ou sej, s rets r e r se crum em etmete em um poto.. O sistem ão tem solução, ou sej, s r e r ão se crum.. O sistem tem ifiits soluções, ou sej, s rets r e r coicidem. r r r r r r ) Um solução úic b) Sem solução c) Ifiits soluções Defiição Um outr form de resolver um sistem lier é substituir o sistem iicil por outro que teh o mesmo cojuto solução do primeiro, ms que sej mis fácil de resolver. O outro sistem é obtido depois de plicr sucessivmete um série de operções sobre s equções. As operções que são usds são: Troc de posição etre dus equções do sistem; Multiplicção de um equção por um esclr diferete de ero; Somr um equção um múltiplo de outr equção. Ests operções são chmds de operções elemetres. Qudo plicmos operções elemetres sobre s equções de um sistem lier somete os coeficietes do sistem são lterdos, ssim podemos plicr s operções sobre mtri de coeficietes do sistem, que chmmos de mtri umetd, ou sej, mtri A B m m m b b b m Defiição Um operção elemetr sobre s lihs de um mtri é um ds seguites operções: ) Troc d posição de dus lihs; b) Multiplicção de um lih d mtri por um esclr (úmero) diferete de ero; c) Somr um lih d mtri um múltiplo de outr lih. de fevereiro de Ale N. Brsil

6 Geometri Alític e Álgebr Lier Método de Guss - Jord O método que vmos usr pr resolver sistems lieres cosiste plicção de operções elemetres às lihs d mtri umetd do sistem té que el estej um form em que o sistem ssocido est mtri sej de fácil resolução. Vmos procurr obter um mtri um form em que tods s lihs uls estejm bio ds lihs ão uls, tods s lihs ão uls possum como primeiro elemeto ão ulo o úmero (chmdo de pivô). Além disso, se um colu cotém um pivô, etão todos os seus outros elemetos terão que ser iguis ero. Vmos ver o eemplo seguite como coseguimos isso. E.. Cosidere o seguite sistem A su mtri umetd é () elimição: Vmos procurr pr pivô d lih um elemeto ão ulo d primeir colu (podemos usr troc de lihs pr trê-lo pr primeir lih). Como temos que fer o pivô igul um, escolhemos pr pivô o elemeto de posição. Precismos colocá-lo primeir lih, pr isto, trocmos lih com. ª lih ª lih () Agor, precismos err os outros elemetos d colu, que é colu do pivô, pr isto, diciomos à lih, - vees lih e diciomos à lih, - vees lih. - ª lih + ª lih ª lih - ª lih + ª lih ª lih () de fevereiro de Ale N. Brsil

7 Geometri Alític e Álgebr Lier elimição: Olhmos pr sub-mtri obtid elimido-se lih. Escolhemos pr pivô um elemeto diferete de ero colu ão ul dest sub-mtri. Pel mesm rão que elimição vmos escolher o elemeto de posição. Precismos colocá-lo lih, pr isto, trocmos lih com. ª lih ª lih () Agor, precismos err os outros elemetos d colu, que é colu do pivô, pr isto, sommos à lih, - vees e sommos à lih, - vees. - ª lih + ª lih ª lih - ª lih + ª lih ª lih Portto o sistem ddo é equivlete o sistem que possui solução gerl dd por A últim mtri que obtivemos está form que chmmos de esclod reduid. Defiição Um mtri A = ( ij ) m está form esclod reduid qudo stisf s seguites codições: ) Tods s lihs uls (formds iteirmete por eros) ocorrem bio ds lihs ão uls; b) O primeiro elemeto ão ulo de cd lih ão ul é igul (chmdo de pivô); c) O pivô d lih i + ocorre à direit do pivô d lih i, pr i =,..., m ; d) Se um colu cotém um pivô, etão todos os seus outros elemetos são iguis ero. de fevereiro de Ale N. Brsil

8 Geometri Alític e Álgebr Lier de fevereiro de Ale N. Brsil Se um mtri stisf s proprieddes () e (c), ms ão ecessrimete (b) e (d), diemos que el é um mtri esclod. E.. As mtries, e são esclods reduids, equto, e são esclods, ms ão são esclods reduids. Este método de resolução de sistems, que cosiste em plicr operções elemetres às lihs d mtri umetd té que el estej form esclod reduid, é cohecido como método de Guss-Jord. E.. Cosidere o seguite sistem A su mtri umetd é () elimição: Como temos que fer o pivô igul um, escolhemos pr pivô o elemeto de posição,. Precismos colocá-lo primeir lih, pr isto, trocmos lih com. () ª lih ª lih

9 Geometri Alític e Álgebr Lier de fevereiro de Ale N. Brsil Agor, precismos err os outros elemetos d colu, que é colu do pivô, pr isto, diciomos à lih, - vees e diciomos à lih, - vees. ) ( elimição: Olhmos pr sub-mtri obtid elimido-se lih. Escolhemos pr pivô um elemeto diferete de ero colu ão ul dest sub-mtri. Escolhemos o elemeto. Como temos que fer o pivô igul, multiplicmos lih por -/. () $-( Agor, precismos err os outros elemetos d colu, que é colu do pivô, pr isto, diciomos à lih, diciomos à lih, - vees e à lih, - vees. Est mtri é esclod reduid. Portto o sistem ddo é equivlete o sistem seguite A mtri deste sistem possui dus colus sem pivô. As vriáveis que ão estão ssocids pivôs podem ser cosiderds vriáveis livres, isto é, podem ssumir vlores rbitrários. Vmos cosiderr s vriáveis e vriáveis livres. Sejm = e =. As vriáveis ssocids os pivôs terão os seus vlores depedetes ds vriáveis livres, = +, = Assim, solução gerl do sistem é pr todos os vlores de e reis. - ª lih + ª lih ª lih - ª lih + ª lih ª lih -(/) ª lih ª lih ª lih + ª lih ª lih - ª lih + ª lih ª lih - ª lih + ª lih ª lih

10 Geometri Alític e Álgebr Lier E..8 Cosidere o seguite sistem 8 A su mtri umetd é () 8 elimição: Como o pivô d lih é igul e os outros elemetos d colu são iguis ero, ão há d o que fer elimição. () 8 elimição: Olhmos pr sub-mtri obtid elimido-se lih. Escolhemos pr pivô um elemeto ão ulo d colu ão ul d sub-mtri. Escolhemos o elemeto de posição. Como ele é igul, precismos, gor, err os outros elemetos d colu do pivô. Pr isto sommos à lih, - vees e sommos à lih, vees. - ª lih + ª lih ª lih ª lih + ª lih ª lih Portto o sistem ddo é equivlete o sistem que ão possui solução. Em gerl, um sistem lier ão tem solução se, e somete se, últim lih ão ul d form esclod reduid d su mtri umetd for d form [... b m ], com b m. de fevereiro de Ale N. Brsil

11 Geometri Alític e Álgebr Lier 8 Obs.: Pr se ecotrr solução de um sistem lier ão é ecessário trsformr mtri umetd do sistem su form esclod reduid, ms se mtri está est form, o sistem ssocido é o mis simples possível. Um outro método de resolver sistems lieres cosiste em, trvés d plicção de operções elemetres à mtri umetd do sistem, se chegr um mtri que é somete esclod (isto é, um mtri que stisf s codições () e (c), ms ão ecessrimete (b) e (d) d defiição vist teriormete. Este método é cohecido como método de Guss. Proposição Sejm A um mtri m e B um mtri m. Se o sistem lier A = B possui dus soluções distits, etão ele tem ifiits soluções. Demostrção Sej = ( - ) +, pr. Vmos mostrr que é solução do sistem A = B, pr qulquer. Pr isto vmos mostrr que A = B. Aplicdo s proprieddes (i), (j) ds operções mtriciis obtemos A = A[( - ) + ] = A( - ) + A = ( - )A + A Como e são soluções de A = B, etão A = B e A = B, portto A = ( - )B + B = [( - ) + ]B = B, pel propriedde distributividde, de mtries. Assim o sistem A = B tem ifiits soluções, pois pr qulquer vlor de., é solução. Observe que pr =, =, pr =, =, pr = /, = ½ + ½, pr =, = - + e pr = -, = -. Pr resolver sistems lieres vimos plicdo operções elemetres à mtri umetd do sistem lier. Isto pode ser feito com quisquer mtries. Mtries Equivletes por Lihs Defiição Um mtri A = ( ij ) m é equivlete por lihs um mtri B = (b ij ) m, se B pode ser obtid de A plicdo-se um seqüêci de operções elemetres sobre s sus lihs. de fevereiro de Ale N. Brsil

12 Geometri Alític e Álgebr Lier E.. Observdo os eemplos.,. e.8, vemos que s mtries,, 8 são equivletes por lihs às mtries,, respectivmete. Mtries ests que são esclods reduids. Cuiddo: els são equivletes por lihs, ão são iguis! A relção ser equivlete por lih stisf s seguites proprieddes, cuj verificção deimos como eercício pr o leitor: Tod mtri é equivlete por lihs el mesm (refleividde); Se A é equivlete por lihs B, etão B é equivlete por lihs A (simetri); Se A é equivlete por lihs B e B é equivlete por lihs C, etão A é equivlete por lihs C (trsitividde). Em gerl, qulquer mtri é equivlete por lihs um mtri esclod reduid e demostrção, que omitiremos, pode ser feit d mesm form que fiemos o cso prticulr ds mtries umetds dos Eemplos.,. e.8. Além disso, form esclod reduid de um mtri é úic, pois se eistissem dus, pels proprieddes d equivlêci por lihs presetds cim, s dus serim equivletes por lih, ou sej, poderímos obter um d outr plicdo-se operções elemetres. Ms, se plicrmos qulquer operção elemetr, que modifique um mtri esclod reduid, mtri obtid ão será mis esclod reduid. Portto, form esclod reduid é úic. Teorem Tod mtri A = ( ij ) m é equivlete por lihs um úic mtri esclod reduid R = (r ij ) m. Proposição Sej R um mtri, form esclod reduid. Se R I, etão R tem um lih ul. Demostrção Observe que o pivô de um lih i está sempre um colu j com j i. Portto, ou últim lih de R é ul ou o pivô d lih está posição,. Ms, este cso tods s lihs teriores são uls e os pivôs de cd lih i está colu i, ou sej, R = I. de fevereiro de Ale N. Brsil

13 Geometri Alític e Álgebr Lier Sistems Lieres Homogêeos Um sistem lier d form m m m (.) é chmdo sistem homogêeo. O sistem (.) pode ser escrito como A =. Todo sistem homogêeo dmite pelo meos solução solução trivil. chmd de Portto, todo sistem homogêeo tem solução. Obs.: Pr resolver um sistem lier homogêeo A =, bst esclormos mtri A do sistem, já que sob ção de um operção elemetr colu de eros ão é lterd. Ms, é preciso ficr teto qudo se escreve o sistem lier ssocido à mtri resultte ds operções elemetres, pr se levr em cosiderção est colu de eros que ão vimos escrevedo. Teorem Se A = ( ij ) m, é tl que m <, etão o sistem homogêeo A = tem solução diferete d solução trivil, ou sej, todo sistem homogêeo com meos equções do que icógits tem ifiits soluções. Demostrção Como o sistem tem meos equções do que icógits (m < ), o úmero de lihs ão uls r d form esclod reduid d mtri umetd do sistem tmbém é tl que r <. Assim, temos pelo meos - r icógits livres, que podem ssumir qulquer vlor. Logo, o sistem dmite solução ão trivil. Portto, temos dus possibiliddes: ) r =. Etão, o sistem tem somete solução ero (trivil); b) r <. Etão, o sistem tem um solução ão-ul. Se prtirmos de meos equções do que icógits, etão, form esclod, r < e, portto, o sistem tem um solução ão-ul. Isto é, um sistem homogêeo de equções lieres com mis icógits do que equções tem um solução ão-ul. de fevereiro de Ale N. Brsil

14 Geometri Alític e Álgebr Lier de fevereiro de Ale N. Brsil E.. O sistem homogêeo tem um solução ão-ul, pois há qutro icógits ms somete três equções. E.. Reduimos o seguite sistem à form esclod: O sistem tem um solução ão-ul, pois obtivemos somete dus equções em três icógits form esclod. Por eemplo, sej = ; etão, = e =. Em outrs plvrs -upl (,, ) é um solução prticulr ão-ul. E.. Reduimos o seguite sistem à form esclod: Como, form esclod, há três equções em três icógits, o sistem tem somete solução ero (,, ). E.. O cojuto solução de um sistem lier homogêeo stisf dus proprieddes importtes: ) Se e Y são soluções do sistem homogêeo A =, etão A = e AY = e portto + Y tmbém é solução pois, A( + Y) = A + AY = + = ; b) Se é solução do sistem homogêeo A =, etão tmbém o é, pois A() = A = =. Portto, se e Y são soluções de um sistem homogêeo, etão + Y e tmbém o são. Ests proprieddes ão são válids pr sistems lieres em gerl. Por eemplo, cosidere o sistem lier A = B, ode A = [] e B = []. A solução deste sistem é = []. Ms, + = =, ão é solução do sistem.

15 Geometri Alític e Álgebr Lier de fevereiro de Ale N. Brsil Eercícios Numéricos. Quis ds seguites mtries estão form esclod reduid: A, B, C, D.. Em cd item supoh que mtri umetd de um sistem foi trsformd usdo operções elemetres mtri esclod reduid dd. Resolv o sistem. () 8, R.: 8 (b) 8, R.: 8 k (c), R.: (d) 8. R.: 8 k pr todos os vlores de reis. pr todos os vlores de e reis. pr todos os vlores de reis. pr todos os vlores de e reis.

16 Geometri Alític e Álgebr Lier de fevereiro de Ale N. Brsil. Resolv, usdo o método de Guss-Jord, os seguites sistems: () ; R.: (b) 8 8 R.: (c) R.:. Resolv os sistems lieres cujs mtries umetds são: () 8 R.:, pr qulquer rel (b) R.: (c) R.:, pr qulquer rel (d) R.: Este sistem ão tem solução! pr quisquer e reis

17 Geometri Alític e Álgebr Lier. Sej A. () Ecotre solução gerl do sistem (- I - A) = ; R.:...pr todos os vlores de reis. (b) Ecotre solução gerl do sistem (I - A) = ; R.:. Pr cd sistem lier ddo, ecotre todos os vlores de pr os quis o sistem ão tem solução, tem solução úic e tem ifiits soluções: () ( ) R.:. Se = e =, etão o sistem tem ifiits soluções. Neste cso, = ; b. Se = e, etão o sistem ão tem solução. Neste cso, = ; c. Se, etão o sistem tem solução úic. Neste cso, ±. (b) ( ) R.:. Se = e =, etão o sistem tem ifiits soluções. Este cso ão pode ocorrer; b. Se = e, etão o sistem ão tem solução. Neste cso, ; c. Se, etão o sistem tem solução úic. Neste cso,. (c) ( ) R.:. Se = e =, etão o sistem tem ifiits soluções. Este cso ão pode ocorrer; b. Se = e, etão o sistem ão tem solução. Neste cso, ; c. Se, etão o sistem tem solução úic. Neste cso,. de fevereiro de Ale N. Brsil

18 Geometri Alític e Álgebr Lier Eercícios usdo o MATLAB >> sms di o MATLAB que s vriáveis e são simbólics. >> I=ee() cri mtri idetidde por e rme um vriável I; >> O=eros(m,) cri mtri m por formd por eros e rme um vriável O; >> A=[,,...,;,,...;...,m] cri um mtri, m por, usdo os elemetos,,..., m e rme um vriável A; >> A=[A,...,A] cri um mtri A formd pels mtries, defiids teriormete, A,..., A colocds um o ldo d outr; >> formt rt mud eibição dos úmeros pr o formto rciol. O comdo help formt mostr outrs possibiliddes. >> solve(epr) determi solução d equção epr=. Por eemplo, >> solve(-) determi s soluções d equção - = ; Comdos do pcote GAAL: >> B=opel(lph,i,A) ou >> oe(lph,i,a)f operção elemetr lph*lih i ==> lih i d mtri A e rme mtri resultte em B. >> B=opel(lph,i,j,A) ou >> oe(lph,i,j,a) f operção elemetr lph*lih i + lih j ==> lih j d mtri A e rme em B. >> B=opel(A,i,j) ou >> oe(a,i,j) f troc d lih i com lih j d mtri A e rme mtri resultte em B. >> B=esclo(A) clcul psso psso form esclod reduid d mtri A e rme mtri resultte vriável B. Use o MATLAB pr resolver os Eercícios Numéricos prtir do Eercício.. de fevereiro de Ale N. Brsil

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