APOSTILA DE CÁLCULO NUMÉRICO

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1 APOSTILA DE CÁLCULO NUMÉRICO Professor: Willim Wger Mtos Lir Moitor: Ricrdo Albuquerque Ferdes

2 ERROS. Itrodução.. Modelgem e Resolução A utilizção de simuldores uméricos pr determição d solução de um problem requer eecução d seguite seqüêci de etps: Etp : Defiir o problem rel ser resolvido Etp : Observr feômeos, levtr efeitos domites e fzer referêci cohecimetos prévios físicos e mtemáticos Etp 3: Crir modelo mtemático Etp 4: Resolver o problem mtemático Modelgem: Fse de obteção de um modelo mtemático que descreve um problem físico em questão. Resolução: Fse de obteção d solução do modelo mtemático trvés d obteção d solução lític ou uméric.

3 .. Cálculo Numérico O cálculo umérico compreede: A álise dos processos que resolvem problems mtemáticos por meio de operções ritmétics; O desevolvimeto de um seqüêci de operções ritmétics que levem às resposts umérics desejds (Desevolvimeto de lgoritmos); O uso de computdores pr obteção ds resposts umérics, o que implic em escrever o método umérico como um progrm de computdor Esper-se, com isso, obter resposts cofiáveis pr problems mtemáticos. No etto, ão é rro cotecer que os resultdos obtidos estejm disttes do que se esperri obter...3 Fotes de erros Supoh que você está dite do seguite problem: você está em cim de um edifício que ão sbe ltur, ms precis determiá-l. Tudo que tem em mãos é um bol de metl e um croômetro. O que fzer? Cohecemos tmbém equção ode: s é posição fil; s 0 é posição iicil; v 0 é velocidde iicil; t é o tempo percorrido; g é celerção grvitciol. A bolih foi solt do topo do edifício e mrcou-se o croômetro que el levou segudos pr tigir o solo. Com isso podemos coclui prtir d equção cim que ltur do edifício é de 9,6 metros. Ess respost é cofiável? Ode estão os erros? Erros de modelgem: Resistêci do r, Velocidde do veto, Form do objeto, etc. Estes erros estão ssocidos, em gerl, à simplificção do modelo mtemático.

4 Erros de resolução: Precisão dos ddos de etrd (E. Precisão leitur do croômetro. p/ t =,3 segudos, h = 5,9 metros, grvidde); Form como os ddos são rmzedos; Operções umérics efetuds; Erro de trucmeto (troc de um série ifiit por um série fiit).. Represetção uméric Motivção: Eemplo : Clculr áre de um circuferêci de rio 00 metros. ) 340 m b) 346 m c) 345,9654 m Eemplo : Clculr 3000 S = pr = 0. 5 e pr = 0. i i i S pr = 0. 5 S pr = 0. Clculdor Computdor ,9969 Por que ds difereçs? No cso do Eemplo form dmitidos três vlores diferetes pr o úmero π : ) π =3,4 b) π =3,46 c) π =3, Depedêci d proimção escolhid pr π. Aumetdo-se o úmero de dígitos umetmos precisão. Nuc coseguiremos um vlor eto. No cso do Eemplo s difereçs podem ter ocorrido em fução d bse utilizd, d form como os úmeros são rmzedos, ou em virtude dos erros cometidos s operções ritmétics. O cojuto dos úmeros represetáveis em qulquer máqui é fiito, e portto, discreto, ou sej ão é possível represetr em um máqui todos os úmeros de um ddo itervlo [,b]. A represetção de um úmero depede d BASE escolhid e do úmero máimo de dígitos usdos su represetção. i i

5 Qul bse utilizd o osso di--di? Bse deciml (Utiliz-se os lgrismos: 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9). Eistem outrs bses: 8 (bse octl),, 60, porém, bse utilizd pel miori dos computdores é bse biári, ode se utiliz os lgrismos 0 e. Os computdores recebem iformção uméric bse deciml, fzem coversão pr su bse ( bse biári) e fzem ov coversão pr eibir os resultdos bse deciml pr o usuário. Eemplos: (000) = (38) 0 (00) = (5) 0.. Represetção de um úmero iteiro Em pricípio, represetção de um úmero iteiro o computdor ão preset qulquer dificuldde. Qulquer computdor trblh itermete com um bse fi β, ode β é um iteiro ; e é escolhido como um potêci de. Assim ddo um úmero iteiro 0, ele possui um úic represetção, = ± ( d d 0... ddd0) = ± ( dβ + d β dβ d0β ) + ode d i é um dígito d bse em questão, o cso de um bse biári d = e d,...,d0 são iguis ou 0 que são os dígitos d bse biári. Eemplos: ) Como seri represetção do úmero 00 um bse β = Portto ( 00) = (00). ( 00) 3 0 = b) Como seri represetção do úmero 997 em um bse β = 0? Logo, 997 = ( 997) =

6 .. Represetção de um úmero rel Se o úmero rel tem prte iteir i, su prte frcioári f = - i pode ser escrit como um som de frções biáris: f = ± ( b b... b b b 0 ( ) ) = ± ( b β + b β d β + d β ) Assim o úmero rel será represetdo jutdo s prtes iteirs e frcioáris, ou sej, ode, possui + lgrismos prte iteir e m+ lgrismos prte frcioári. Eemplo: ) Como seri represetção do úmero 39,8 em um bse deciml? (39,8) 0 0 = ( ) + ( 0 ( 39,8) = (39,8 0 ) ) b) Como seri represetção do úmero ( 4,375) 0 = (?) em um bse biári? ( 4,375) = (0,0 0 ) Precismos sber fzer coversão de bses que é o tópico seguite..3 Coversão etre s bses Coforme dito teriormete, miori dos computdores trblh bse β, ode β é um iteiro ; ormlmete escolhido como um potêci de..3. Biári pr Deciml Eemplos: 3 0 ( 0) = = = (3 ) ) b) ( 00) = = = (5) 0.3. Deciml pr Biári N coversão de um úmero escrito em bse deciml pr um bse biári são utilizdos: o método ds divisões sucessivs pr prte iteir e o método ds multiplicções sucessivs pr coversão d prte frcioári do úmero em questão.

7 - Método ds divisões sucessivs (prte iteir do úmero) ) Divide-se o úmero (iteiro) por ; b) Divide-se por, o quociete d divisão terior; c) Repete-se o processo té o último quociete ser igul. O úmero biário é etão formdo pel cocteção do último quociete com os restos ds divisões, lidos em setido iverso. - Método ds multiplicções sucessivs (prte frcioári do úmero) ) Multiplic-se o úmero (frcioário) por ; b) Do resultdo, prte iteir será o primeiro dígito do úmero bse biári e prte frcioári é ovmete multiplicd por ; c) O processo é repetido té que prte frcioári do último produto sej igul zero Eemplos: ) ( 3) 0 = (?) Quociete Resto 3/ 6 6/ 3 0 3/ Resultdo: ( 3) 0 = (0) b) ( 5) 0 = (?) Quociete Resto 5/ / 6 0 6/ 3 0 3/ Resultdo: ( 5) 0 = (00) c) ( 0,375) 0 = (?) 0,375 0,750 0,750,500 0,500,000 (0,375) 0 =(0,0)

8 c) ( 3,5) 0 = (?) Coverte-se iicilmete prte iteir do úmero: Quociete Resto 3/ 6 7/ 3 0 3/... em seguid coverte-se prte frcioári: ( 0,5) = (0,0 0 ) Resultdo: ( 3,5) 0 = (0,0) 0,5 0,50 0,50,0 Ateção: Nem todo úmero rel bse deciml possui um represetção fiit bse biári. Tete fzer coversão de ( 0,) 0. Est situção ilustr bem o cso de erro de rredodmeto os ddos..3.3 Eercícios Propostos Fç s coversões idicds bio: ) ( 000) = (?) 0 b) ( 000) = (?) 0 c) ( 40,8) 0 = (?) d) ( 0,0) = (?) 0 e) ( 3,8) 0 = (?).4 Arrredodmeto e ritmétic de poto flutute Um úmero é represetdo, itermete, um computdor ou máqui de clculr trvés de um seqüêci de impulsos elétricos que idicm dois estdos: 0 ou, ou sej, os úmeros são represetdos bse biári.

9 De um meir gerl, um úmero é represetdo bse β por: d d d 3 d t e = ± β 3 t β β β β ode: d i - são úmeros iteiros cotidos o itervlo 0 d i β ; i =,,.., t ; e - represet o epoete de β e ssume vlores etre I e S ode I, S - são, respectivmete, limite iferior e superior pr vrição do epoete; d d d 3 d t t é chmd mtiss e é prte do úmero que represet 3 β β β β seus dígitos sigifictivos e t é o úmero de dígitos sigifictivos do sistem de represetção, comumete chmdo de precisão d máqui. Um úmero rel o sistem de ritmétic de poto flutute pode ser escrito tmbém form: e = ± ( 0, ddd3... d t ). β com d 0, pois é o primeiro lgrismo sigifictivo de. Eemplos: ) Escrever os úmeros reis = 0. 35, = 5. 7, = 0. 03, 4 = , e 5 = ode estão todos bse β = 0 em otção de um sistem de ritmétic de poto flutute. Solução: = ( ) 0 = = ( ) 0 = = ( ) 0 0 = = ( ) 0 = = (3 0 ) 0 3 = b) Cosiderdo gor que estmos dite de um máqui que utilize pes três dígitos sigifictivos e que teh como limite iferior e superior pr o epoete, respectivmete, - e, como serim represetdos est máqui os úmeros do eemplo )? Solução: Temos etão pr est máqui t = 3, I = e S =. Dest form e. Sedo ssim temos:

10 = = = = Não pode ser represetdo por est máqui. Erro de overflow == Não pode ser represetdo por est máqui. Erro de uderflow. Um erro de overflow ocorre qudo o úmero é muito grde pr ser represetdo, já um erro de uderflow ocorre codição cotrári, ou sej, qudo um úmero é pequeo demis pr ser represetdo. c) Num máqui de clculr cujo sistem de represetção utilizdo de bse biári, cosiderdo que máqui teh cpcidde pr rmzer um úmero com dez dígitos sigifictivos, com limites iferior e superior pr o epoete de -5 e 5, respectivmete. Como que é represetdo o úmero (5) 0 este sistem?.5 Erros.5. Erros bsoluto, reltivo e percetul Erro bsoluto: Difereç etre o vlor eto de um úmero e seu vlor proimdo obtido prtir de um procedimeto umérico. E = Em gerl pes é cohecido, e o que se fz é ssumir um limitte superior ou um estimtiv pr o módulo do erro bsoluto. Eemplos: ) Sbedo-se que π = (3,4; 3,5) tomremos pr π um vlor detro deste itervlo e teremos, etão, E = π π < b) Sej represetdo por =, 9 de form que E < 0, podemos dizer que (,8; 3,0).

11 c) Sej y represetdo por y = 5, 3 de form que E < 0,, podemos dizer que y (5,; 5,4) Temos que os vlores pr os respectivos erros bsolutos s letrs b e c form idêticos. Podemos firmr que os vlores de e y form represetdos com mesm precisão? O erro bsoluto ão é suficiete pr descrever precisão de um cálculo. Dí mior utilizção do coceito de erro reltivo. Erro reltivo: Erro bsoluto dividido pelo vlor proimdo. y E r = E = Erro percetul: é o erro reltivo em termos percetuis, ou sej: E p = Er 00% Eemplos: ) Sej represetdo por =, 9 de form que E < 0, podemos dizer que (,8; 3,0). E r E = <,, ,7 0 E p = 4, % = 0,0047% b) Sej y represetdo por y = 5, 3 de form que E < 0,, podemos dizer que y (5,; 5,4) y E r y E = y y 0, < 5,3 0,0 E p y = 0,0.00% = Pr vlores próimos de, os erros bsoluto e reltivo, têm vlores muito próimos. Etretto, pr vlores fstdos de, podem ocorrer grdes difereçs, e se deve %

12 escolher um critério dequdo pr podermos vlir se o erro que está sedo cometido é grde ou pequeo..5. Eercícios Propostos. Supoh que tehmos um vlor proimdo de pr um vlor eto de Clculr os erros bsoluto, reltivo e percetul pr este cso.. Supoh que tehmos um vlor proimdo de pr um vlor eto de Clculr os erros bsoluto, reltivo e percetul pr este cso. 3. Cosiderdo os dois csos cim, ode se obteve um proimção com mior precisão? Justifique su respost..5.3 Erro de rredodmeto e trucmeto Dr represetção dos úmeros seguir um sistem de ritmétic de poto flutute de três dígitos pr β = 0, I=-4 e S=4 Represetção por rredodmeto Represetção por trucmeto,5 0,50 0,50 0,053 0,00 0,000-38,5-0, ,380 3,788 0,70 0,7.0 0, Ep< -4 (uderflow) Ep < -4 (uderflow) 7835,8 Ep > 4 (overflow) Ep > 4 (overflow) Qudo se utiliz o rredodmeto os erros cometidos são meores que o trucmeto, o etto o rredodmeto requer um mior tempo de eecução e por est rzão o trucmeto é mis utilizdo. A demostrção de que o rredodmeto icorremos em erros meores que o trucmeto pode ser ecotrd o livro de Cálculo Numérico d Márci Ruggiero e Ver Lopes..5.4 Propgção de erros Será mostrdo um eemplo que ilustr como os erros descritos teriormete podem ifluecir o desevolvimeto de um cálculo. Supohmos que s operções idicds os ites ) e b) sejm processds um máqui com 4 dígitos sigifictivos. ) ( + ) b) + ) (

13 4 Fzedo = e 0 = 0,345 temos: 0 ) ( + ) = (0,345.0 = = 0, ,349.0 ) 0, , b) + ( ) = 0,345.0 = (0, , ,349.0 = 0,345 A cus d difereç s operções teriores foi um rredodmeto que foi feito dição ( + ) do item ), cujo resultdo tem oito dígitos. Como máqui só rmze 4 dígitos, os meos sigifictivos form desprezdos. Ao se utilizr um máqui de clculr deve-se está teto esss prticulriddes cusds pelo erro de rredodmeto, ão só dição, ms tmbém s demis operções. 4 )

14 ZEROS DE FUNÇÕES. Crcterizção Mtemátic Cohecid um fução f(). Determir o vlor * tl que f( * )=0. Deomi-se * de zero d fução f() ou riz d equção f()=0. Solução lític: o Equções lgébrics (poliomiis) do o e o grus; o Certos formtos de equções lgébrics do 3 o e 4 o grus; o Algums equções trscedetis (ão poliomiis).. Ilustrção Atrvés de Algus Problems de Egehri.. Equilíbrio de Mecismos Eemplo: Mecâic Vetoril pr Egeheiros Estátic F. P. Beer & E. R. Johsto, Jr. 5 Edição Revisd 994 MAKRON Books do Brsil Editor Ltd Problem 4.60 (Pági 54) Um hste delgd de comprimeto R e peso P está pres um cursor em B e poid em um cilidro de rio R. Sbedo que o cursor pode se deslocr livremete o logo de su gui verticl, determie o vlor de θ correspodete o equilíbrio. Despreze o trito. R B R θ Icógit: Âgulo θ correspodete o equilíbrio. Equção resultte durte o desevolvimeto d solução: cos 3 θ=seθ Reformtção do problem: cos 3 θ-seθ=0 Cosiderdo f(θ)=cos 3 θ-seθ, solução d equção correspode o zero d fução f(θ).

15 .. Equilíbrio de Corpos Rígidos com Apoio Deformável Eemplo: Pórtico em L ivertido com um poio fleível de rotção. L/ P L θ K Icógit: Âgulo θ correspodete o equilíbrio. Equção resultte durte o desevolvimeto d solução: (K/PL).θ=0,5.cosθ+seθ Reformtção do problem: (K/PL).θ-0,5.cosθ-seθ=0 Cosiderdo f(θ)=(k/pl)θ-0,5.cosθ-seθ, solução d equção correspode o zero d fução f(θ)...3 Equção de Mig

16 ..4 Equilíbrio de Corpos Flututes Eemplo: Aplicção do Pricípio de Arquimedes pr determição do cldo de embrcções. Corpo flutute E(h): empuo W: peso do corpo h (cldo) Líquido Icógit: Profudidde h correspodete o equilíbrio. Equção resultte durte o desevolvimeto d solução: γ Sólido.V Sólido = γ Líquido.V Líquido deslocdo (h) Reformtção do problem: γ Sólido.V Sólido - γ Líquido.V Líquido deslocdo (h)=0 Cosiderdo f(h)=γ Sólido.V Sólido - γ Líquido.V Líquido deslocdo (h), solução d equção correspode o zero d fução f(h)..3 Algoritmos de Solução.3. Método Gráfico Utilizr lgum sistemátic pr o trçdo do gráfico d fução estudd. O itervlo iicil de observção pode ser criteriosmete defiido em fução do etedimeto físico do problem evolvido. O zero d fução correspode o poto de cotto do gráfico d fução com o eio ds bscisss. O itervlo de observção pode ser refido té se tigir precisão desejd. > ezplot( cos()^3-si(),[0 pi/]), grid > ezplot( cos()^3-si(),[0.5 ]), grid

17 .3. Métodos Prtir de um Itervlo (Bisseção e Cords) Pré-requisitos: o Cosidere um fução f() cotíu detro de um itervlo [, b]; o Cosidere id que os etremos do itervlo [, b] fução estudd presete siis cotrários, ou sej, f()*f(b)<0. Resultdo: o Grte-se eistêci de pelo meos um zero dess fução detro do itervlo [, b]. Idéi: o Ecotrr um itervlo meor que o itervlo origil e que ted os prérequisitos cim meciodos; o Repetir o procedimeto terior té que se tij o critério de tolerâci de determição do zero d fução. Estrtégi de dimiuição do itervlo: o Nehum cuiddo especil é ecessário pr grtir o primeiro pré-requisito um vez que tod fução cotíu em um itervlo, tmbém será cotíu em qulquer subitervlo meor; o Pr grtir que esse ovo itervlo fução cotiue presetr siis cotrários, deve-se: o Escolher um poto c detro do itervlo origil [, b]; o Redefiir o ovo itervlo substituido o etremo cujo sil d fução é o mesmo que o poto escolhido. Y Y=f(X) Y Y=f(X) f(b) Poto iterior f(b) f(c) f() c z Zero b X f(c) f() Zero z c b Poto iterior X Como f() preset o mesmo sil de f(c) Como f(b) preset o mesmo sil de f(c) Novo itervlo: [c, b] Novo itervlo: [, c]

18 .3.3 Método d Bisseção A estimtiv do zero d fução Y=f(X) é feit prtir do poto médio do itervlo lisdo. Se o vlor estimdo ão teder à tolerâci estbelecid pr o problem, ou sej, f(ze) >tol, redefie-se o itervlo de estudo, repetido-se estrtégi té que tolerâci sej verificd. Y Y=f(X) f(b) f(ze) X z ze b f() Zero Zero estimdo Equção de recorrêci: ze + b =.3.4 Método ds Cords O método ds cords fudmet-se o fto de que, gerlmete, o zero d fução vi estr loclizdo o mis próimo do etremo do itervlo ode fução preset o meor vlor em módulo. A estimtiv do zero d fução Y=f(X) é feit prtir d ret secte que ue os pres etremos (,f()) e (b,f(b)) do itervlo lisdo. O poto em que ess ret secte itercept o eio ds bscisss correspode à estimtiv do zero d fução. Se o vlor estimdo ão teder à tolerâci estbelecid pr o problem, ou sej, f(ze) >tol, redefie-se o itervlo de estudo, repetido-se estrtégi té que tolerâci sej verificd. Y Y=f(X) f(b) Zero Ret estimdo secte ze X f(ze) z b f() Zero Equção de recorrêci: Pel semelhç dos triâgulos retâgulos destcdos figur: f () f (b) = ze b ze f (b) b f () ze = f (b) f ()

19 .3.5 Método de Newto A estimtiv do zero d fução Y=f(X) é feit prtir d ret tgete à fução em um poto de prtid. O poto em que ess ret tgete itercept o eio ds bscisss correspode à estimtiv do zero d fução. Se o vlor estimdo ão teder à tolerâci estbelecid pr o problem, ou sej, f(ze) >tol, repete-se o esquem té que mesm sej verificd. Y f() f(ze) z Zero Ret Y=f(X) tgete θ = rct θ X ze Poto de Zero prtid estimdo ( f () ) Equção de recorrêci: Pr o triâgulo retâgulo destcdo figur: f () t( θ ) = f () = ze f () ze = f ()

20 3 SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 3. Crcterizção Mtemátic ode ij são os coeficietes; j são s vriáveis; b i são s costtes, tl que e. 3. Notção Mtricil ode A é mtriz dos coeficietes; é o vetor de icógits; b é o vetor de costtes. 3.3 Clssificção quto à solução

21 3.3. Sistem Possível ou Comptível Admite solução Sistem Possível e Determido Possui um úic solução; O determite de A deve ser diferete de zero; Se b for um vetor ulo (costtes uls), solução do sistem será solução trivil, ou sej, o vetor tmbém será ulo Sistem Possível e Idetermido Possui ifiits soluções; O determite de A deve ser ulo; O vetor de costtes B deve ser ulo ou múltiplo de um colu de A Sistem Impossível ou Icomptível Não possui solução; O determite de A deve ser ulo; O vetor B ão pode ser ulo ou múltiplo de lgum colu de A. 3.4 Ilustrção com Problems de Egehri 3.4. Método d Rigidez

22 3.4. Circuitos Elétricos

23 3.4.3 Iterpolção 3.5 Clssificção dos Métodos de Solução de Sistems de Equções Lieres

24 3.5. Métodos Diretos São queles que coduzem à solução, et meos de erros de rredodmeto itroduzidos pel máqui, pós um úmero fiito de pssos; Pertecem est clsse todos os métodos estuddos o º e º grus. No etto, esses métodos ão são usdos em problems práticos qudo o úmero de equções é elevdo, pois presetm problems de desempeho; Surge etão, ecessidde de utilizr técics mis vçds e eficietes como: Método de Elimição de Guss e Método de Guss-Jord Métodos Idiretos (Itertivos) São queles que se bseim costrução de seqüêcis de proimções. A cd psso, os vlores clculdos teriormete são utilizdos pr reforçr proimção. O resultdo obtido é proimdo; Gerlmete são utilizdos os seguites critérios de prd pr s iterções: Limitção o úmero de iterções e Determição de um tolerâci pr etidão d solução; Podem ão covergir pr solução et; Podem ser iviáveis qudo o sistem é muito grde ou ml-codiciodo; Eemplos de Métodos Itertivos: Métodos de Guss-Jcobi e de Guss-Seidel. 3.6 Métodos Diretos Pr sistems lieres possíveis e determidos de dimesão, o vetor solução,, é ddo por: No etto, clculr eplicitmete ivers de um mtriz ão é coselhável devido à qutidde de operções evolvids.

25 3.6. Método d Elimição de Guss Evit o cálculo d ivers de A; A solução usdo o Método d Elimição de Guss cosiste em dus etps: ) Trsformção do sistem origil um sistem equivlete usdo um mtriz trigulr superior (Esclometo); b) Resolução deste sistem equivlete. Por questões didátics, resolução do sistem equivlete será mostrd tes do esclometo do sistem Resolução do Sistem Equivlete Eemplo: Tedo o sistem esclodo, tor-se simples obteção d solução; Clcul-se iicilmete o 3 pel últim equção; Depois, utiliz-se o vlor de 3 ª equção pr obter o vlor de ; Em seguid, fz-se uso dos vlores já cohecidos de e 3 ª equção pr computr. De form gerl, temos:

26 Algoritmo pr resolução do sistem equivlete Pr i = (-),..., Pr j = (i+),..., Fim Fim Esclometo Percorre-se os elemetos bio d digol pricipl, trsformdo-os, trvés de operções elemetres, em termos ulos, e grtido que os elemetos que já form trsformdos teriormete ão mis sejm modificdos. Operções Elemetres ) Permutr dus equções do sistem; b) Multiplicr um ds equções do sistem por um úmero rel ão ulo;

27 c) Somr um ds equções do sistem um outr equção desse sistem multiplicd por um úmero rel; A plicção de operções elemetres o sistem em questão grte que o ovo sistem será equivlete o origil Esclometo sem pivotemeto Eemplo:

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30 Algoritmo pr esclometo do sistem Pr j =,...,(-) Pr i = (j+),..., Pr k =,..., Fim Fim Fim Esclometo com pivotemeto Evitr que os pivôs usdos o esclometo sejm ulos. Eemplo:

31 Critério: buscr lih com mior coeficiete em módulo. Trocr segud pel terceir lih: Cotiur esclodo... Observção: O pivotemeto pode ser empregdo com o objetivo de miimizr os erros de rredodmeto e trucmeto qudo mtriz dos coeficietes A ão for digolmete predomite. Ates do esclometo de um dd colu, procur-se colocr como pivô o mior elemeto em módulo de todos queles d digol pricipl pr bio.

32 Resumido: Esclometo sem pivotemeto Repetir d primeir té peúltim colu; Repetir pr s lihs bio d digol pricipl; Aplicr operção elemetr com o objetivo de zerr o elemeto d lih correte bio d digol pricipl; Alterr lih d mtriz dos coeficietes; Alterr lih do vetor ds costtes. Esclometo com pivotemeto Repetir d primeir té peúltim colu; Verificr ecessidde de se fzer o pivotemeto; Procurr um lih dequd; No cso de ecotrr, fzer permut ds lihs; Verificr ecessidde de se fzer o esclometo d colu correte; Repetir pr s lihs bio d digol pricipl; Aplicr operção elemetr com o objetivo de zerr o elemeto d lih correte bio d digol pricipl; Alterr lih d mtriz dos coeficietes; Alterr lih do vetor ds costtes. 3.7 Métodos Itertivos Germ um seqüêci de vetores {} k, prtir de um proimção iicil {} 0. Sob certs codições ess seqüêci coverge pr solução, cso el eist. Sej o sistem lier A=b, ode: A: mtriz dos coeficietes, ; b: vetor de termos costtes, ; : vetor de icógits,. Esse sistem é covertido, de lgum form, em um sistem do tipo = C + g, ode: C é um mtriz ; g é um vetor. Prtido de um proimção iicil 0, costruímos cosecutivmete os vetores: = C 0 + g = C + g 3 = C + g k+ =C k + g

33 Costum-se dotr como critério de prd pr os métodos itertivos os seguites testes: k sej suficiete próimo de k- (ou sej, distâci etre k e k- sej meor que um dd tolerâci); Número máimo de iterções Método de Guss-Jcobi Idéi pricipl: Cd coorded do vetor correspodete à ov proimção é clculd prtir d respectiv equção do sistem, utilizdo-se s demis coordeds do vetor proimção d iterção terior. De form geéric tem-se o sistem bio: ode. Pode-se etão, isolr os termos do vetor de icógits, d seguite form: Dest form, podemos motr mtriz C e o vetor g: = + = + + = = b b b b L M M O M M M L L L = L M O M M L L C = b b b g M

34 Etão, pode-se clculr o vetor solução pr cd iterção k, como sedo: Ou geerlizdo pr os termos i do vetor solução de um iterção k: Eemplo: Clculdo mtriz C e o vetor g, obtém-se: Pode-se etão clculr o vetor pr s iterções: pr i b ii i j j k j ij i k i,,, ) ( ) ( K = = = = C = 3 7 g

35 Os resultdos obtidos pr s iterções estão dispostos tbel seguir: Iterção {} (k) Solução et Observ-se que quto mis iterções forem relizds, mis próimo estrá o vetor d solução et do sistem lier. Algoritmo Equto dist > tolerâci ite < úmero máimo de iterções. etão: ite = ite + Pr i =,..., s = b i Pr j =,..., Se i for diferete de j s = s ij * 0 j Fim Fim i = s/ ii Fim dist = orm(-0) 0= Fim

36 3.7. Método de Guss-Seidel Idéi pricipl: Cd coorded do vetor correspodete à ov proimção é clculd prtir d respectiv equção do sistem, utilizdo-se s coordeds do vetor proimção d iterção terior, qudo esss id ão form clculds iterção correte, e s coordeds do vetor proimção d iterção correte, o cso cotrário. De form geéric tem-se o sistem bio: ode. Isoldo, trvés d seprção pel digol, coforme foi feito o método terior: Num dd iterção (k), o clculr-se, id ão se tem posse dos demis vlores do vetor solução do sistem (, 3,.., ). Por esse motivo, utiliz-se vlores do vetor solução d iterção (k-). Já pr os outros elemetos de (k), pode-se fzer uso de vlores já clculdos iterção correte, por eemplo, o clculr-se já se cohece previmete o vlor de, e o clculr-se 3, já se cohece os vlores de e. Este fto costitui pricipl difereç etre os métodos de Guss-Jcobi e Guss-Seidel. Geerlizdo, pr um iterção (k) qulquer, um elemeto i do vetor do vetor solução pode ser represetdo d seguite form: = + = + + = = b b b b L M M O M M M L L L pr i b ii i j k j ij i j k j ij i k i,,, ) ( ) ( ) ( K = = + = =

37 Eemplo: Estimtivs pr primeir iterção: 3 () () () = 3 = 4 = ( 7 3 ) 0 ( 4 3 ) ( 5 0 ) 7 = 3 5 = 5 = 6 Os resultdos obtidos pr s iterções estão dispostos tbel seguir. Note que pr o mesmo sistem lier e pr um mesmo chute iicil, o método de Guss-Seidel tede covergir pr respost et do sistem um qutidde meor de iterções que o método de Guss-Jcobi. Isto ocorre porque como vimos, o método de Guss-Seidel fz uso de elemetos do próprio vetor solução d iterção correte pr tulizr su estimtiv. Iterção {} (k) Solução et Observ-se tmbém que quto mis iterções forem relizds, mis próimo estrá o vetor d solução et do sistem lier em questão.

38 Algoritmo Equto dist > tolerâci ite < úmero máimo de iterções. etão: ite = ite + Pr i =,..., s 0 = b i s = 0; Pr j =,...,(i-) s 0 = s 0 ij * j Fim Pr j = (i+),..., s = s ij *0 j Fim i = (s 0 +s )/ ii Fim dist = orm(-0) 0= Fim Codição de suficiêci pr covergêci dos métodos itertivos Ao se utilizr um método itertivo pr solucior um sistem de equções lieres deve tomr cuiddo pois, depededo do sistem em questão, e d estimtiv iicil escolhid, o método pode ão covergir pr solução do sistem. Eistem, porém, lgus critérios pr verificr covergêci de um método itertivo. Bst teder pelo meos um deles pr que covergêci ocorr idepedetemete d proimção iicil escolhid. Nesses critérios são clculdos vlores α s, ode é que o vlor máimo de todos os α s deve ser iferior.. A codição de covergêci Critério ds lihs Os vlores de α s são clculdos coforme equção bio: α = s j= j s sj ss

39 Critério ds colus Os vlores de α s são clculdos coforme equção bio: α = s j= j s js ss Critério de Sssefeld Ode o vlor de α é clculdo d mesm form que o α do critério ds lihs: α = E os demis α s são clculdos utilizdo os vlores já clculdos de α s : + K+ α = s s α + K ss α s + ss+ + K+ ss Eemplo: Utilizdo o critério ds lihs, verificr se o sistem com mtriz dos coeficietes A bio grte codição de covergêci pr os métodos itertivos. 0 A = Verific-se etão que idepedetemete do chute iicil pr o vetor solução 0, o utilizr um método itertivo pr resolver um sistem lier com mtriz dos coeficietes igul presetd cim, irá se covergir pr solução et do sistem.

40 4 INTERPOLAÇÃO Iterpolr um fução f() cosiste em proimr ess fução por um outr fução p() que stisfç lgums proprieddes. Em gerl, iterpolção de fuções é usd s seguites situções: São cohecidos vlores uméricos d fução f() em lgus potos discretos de e desej-se obter vlores de f() em potos descohecidos, ms detro do limite vlido; Qudo um determid fução f() possui os operdores de diferecição e itegrção muito compleos; N solução uméric de equções difereciis usdo o método ds difereçs fiits e o método dos elemetos fiitos. Cosidere potos distitos (,f()), (,f()),..., (,f()). O objetivo é ecotrr um fução iterpolte p(), tl que: As pricipis técics de iterpolção utilizds tulmete são bseds em poliômios (ou sej, p() é um fução poliomil). O gráfico bio represet um fução iterpoldor pr os potos (,), (,3), (3,5) e (4,3). Note que curv itercept todos os potos forecidos.

41 4. Métodos Numéricos pr Iterpolção Ddos potos distitos (,f()), (,f()),..., (,f()), desej-se proimr f() por um poliômio p() de gru meor ou igul (-). Supoh que você teh dois potos distitos (=), etão, o melhor poliômio que iterpol esses dois potos será um ret, ou sej, um poliômio de gru. D mesm form, ddos 3 potos distitos, o melhor poliômio será um prábol. Cso você foreç, por eemplo, 3 potos (=3) que perteçm um ret, o poliômio iterpoldor id sim será terá gru, ou sej, gru meor que (-). 4.. Método de Vdermode Cosiderdo codição básic pr iterpolção: e o fto de que o poliômio iterpoldor terá, o máimo, gru (-), temos que o poliômio iterpoldor ssumirá seguite form: Etão, obter o poliômio p(), sigific ecotrr os coeficietes p(k) = f(k), pr k=,...,. de form que Desse modo: Obtém um sistem de equções lieres, com equções e icógits. Escrevedo o sistem cim otção mtricil, tem-se:

42 A mtriz A é chmd mtriz de Vdermode e desde que os vlores de,,..., sejm distitos, o determite de A é diferete de zero, e etão, o sistem preset solução úic. Etão, pr ecotrr o poliômio iterpoldor de um série de potos distitos cohecidos, bst ecotrr solução do sistem lier cim, ssuto trtdo o cpítulo terior. Eemplo: Ecotrr o poliômio de gru que iterpol os potos d tbel bio: Solução: f() Resolvedo o sistem: ** Obs: A mtriz dos coeficietes A (Mtriz de Vdermode) pode estr ml codiciod, este cso, tl método ão é recomeddo. Algoritmo: Pr i =,..., Pr j =,..., Aij = i^(j-) Fim Fim = A -. {y}

43 4.. Método de Lgrge Sej p() um poliômio com gru (-) que iterpol f em,,...,. Etão, podemos represetr p() form: ou A equção mostrd cim é o chmdo Poliômio de Lgrge, ode Vmos tomr como eemplo um poliômio qudrático (=3), etão: E desse modo: Eemplo: Ecotre o poliômio de gru que iterpole o seguite cojuto de potos f()

44 Solução: Poliômio dotdo de gru, etão =3, logo: Etão, o poliômio iterpoldor de Lgrge é: Algoritmo: p = 0 Pr i =,..., s = Pr k =,..., Se k for diferete de i s = s * (-k)/(i-k) Fim Fim p = p + f(i)*s Fim

45 4..3 Método de Newto A fórmul de Newto é dd por: ode d k são os operdores difereçs dividids etre os potos (,f()),...,(,f()). Esses operdores são ddos por: Desse modo: Eemplo: Ecotrr o poliômio de gru que iterpole o seguite cojuto de potos: f()

46 Solução: Gru do poliômio =, logo =3 Poliômio dotdo: Clculdo os operdores difereçs divids: Etão, tem-se o Poliômio de Newto: Algoritmo: D = mtriz ul ª colu de D = {y} Pr j =,..., Pr i = j,..., di,j = (di,j- di-,j-)/(i i-j+) Fim Fim p=0 Pr i =,..., s = Pr j =,...,(i-) s = s * (-j) Fim p = p + s*di,i

47 Fim ** Obs: Note que pr cd método umérico de iterpolção presetdo utilizou-se o mesmo eemplo e como respost pr todos os csos foi obtido o mesmo poliômio iterpoldor. 5 AJUSTE Ddo um cojuto de potos, o juste ou proimção tet-se ecotrr um fução p() que melhor proime esses potos. Aqui, ão eiste ecessidde d fução pssr pelos potos cohecidos. Em gerl, us-se proimção de fuções s seguites situções: Qudo se desejr etrpolr ou fzer previsões em regiões for do itervlo cosiderdo; Qudo os ddos tbeldos são resultdos de eperimetos, ode erros obteção destes resultdos podem ifluecir su qulidde. Cosidere um tbel de m potos (, f()), (, f()),..., (m, f()) com,,..., m pertecetes um itervlo [,b]. Desej-se ecotrr um fução q() = g() + g() g() que melhor juste esses potos. Ou sej, determir fução q() que mis se proime de f(). Diz-se que este é um modelo mtemático lier porque os coeficietes determir precem liermete, embor s fuções g(), g(),..., g() possm ser fuções ão lieres de como, por eemplo, g() = e, g() = +, etc. Problem: Como escolher s fuções g(), g(),..., g()? A escolh ds fuções pode ser feit observdo o gráfico dos potos tbeldos ou bsedo-se em fudmetos teóricos dos eperimetos que foreceu tbel.

48 Eemplo: Eperiêci ode form medidos vlores de correte elétric que pss por um resistêci submetid váris tesões. 5. Método dos Míimos Qudrdos O Método dos Míimos Qudrdos é um método bstte utilizdo pr justr um determid qutidde de potos. Su dedução será mostrd seguir. Cosidere ddos m potos (, f()), (, f()),..., (m, f(m)) e s fuções g(), g(),..., g() escolhids de lgum form. Cosidere que o úmero de potos tbeldos m é sempre mior ou igul o úmero de fuções escolhids (ou o úmero de coeficietes determir i). O objetivo é ecotrr os coeficietes,,..., tis que fução q() = g() + g() g() se proime o máimo de f(). Sej dk = f(k) q(k) o desvio em k. Um coceito de proimidde é que dk sej míimo pr todo k =,,..., m. O Método dos Míimos Qudrdos cosiste em escolher os i s de tl form que som dos qudrdos dos desvios sej míim. Usdo cálculo diferecil, sbe-se que pr ecotrr um poto de míimo de F(,,..., ), é ecessário chr iicilmete os potos críticos (ou sej, todos os i s).

49 5.. Ajuste Lier Cosidere fução de juste dd por: ode e são os coeficietes serem determidos pelo método dos míimos qudrdos. A codição de miimizção é stisfeit se:

50 Com isso, obtém um sistem de equções lieres: Tmbém podedo ser represetdo form mtricil: Eemplo: Ecotrr melhor ret que just os vlores d tbel bio: 0,00 0,5 0,5 0,75,00 f(),0000,840,6487,70,783

51 Logo, fução de juste é dd por: e seu gráfico é mostrdo bio. 5.. Ajuste Poliomil O processo usdo cim pr cálculo d fução pr juste lier pode ser estedido pr juste poliomil. Assim, um fução poliomil de gru (-) é dd por: ode os coeficietes i podem ser obtidos trvés d epsão do sistem utilizdo o juste lier trvés do cálculo de gor pr i =,...,.

52 Ess epsão irá resultr o seguite sistem de equções ( equções, icógits): ou em otção mtricil: Note que mtriz A é simétric, ou sej, A = A T. Eemplo: Ecotrr melhor prábol que just os vlores d tbel bio: 0,00 0,5 0,5 0,75,00 f(),0000,840,6487,70,783 Poliômio dotdo: (=3)

53 Clculdo os termos d mtriz A e do vetor b: Motdo o sistem lier, ecotr-se o seguite sistem mtricil: Resolvedo o sistem cim, ecotr-se seguite solução pr o problem:

54 Ou sej, prábol que melhor just os potos forecidos tem equção: 5..3 Lierizção Algums fuções de dus costtes podem ser lierizds tes d plicção do método dos míimos qudrdos, com o objetivo de obter o sistem de equções visto teriormete. O procedimeto vri de cordo com o tipo de fução: Fução Epoecil Aplicdo logritmo em mbos os ldos, tem-se:

55 Etão, se fizermos: Ecotr-se seguite epressão: que d mis é seão um ret. Dí o ome lierizção Fução Logrítmic A fução pode ser epdid pr: Logo, se fizermos: ecotrmos lierizção: Fução Potecil Aplicdo logritmo em mbos os ldos: Com s seguites hipóteses: ecotr-se epressão:

56 Fução Hiperbólic Fzedo: Tem-se tmbém: Eemplo: Ecotrr melhor fução que just os vlores d tbel bio: - -0,7-0,4-0, 0, 0,5 0,8,0 y 36,547 7,64 8,55 3,85,8 0,86 0,406 0,46 Sugestão: Utilizr um fução epoecil. Solução: Como vmos justr os potos por um fução epoecil precismos fzer seguite dptção: Ou sej, coorded y de cd poto deverá ser substituíd por seu logritmo, logo: y' 3,5986,8486,0986,3486 0,5988-0,508-0,904 -,404 Etão fz-se um juste lier dos potos de bsciss e orded y, obtedo-se os seguites vlores pr os coeficietes d ret:

57 Pr dptr esses vlores, coeficietes d ret, pr fução epoecil, id bst fzer s seguites dptções: Logo, E etão, clcul-se os vlores de e b: Etão, fução epoecil que melhor just os potos forecidos o eemplo é: 5..4 Qulidde do Ajuste Um form de vlir qulidde do juste é trvés do coeficiete de correlção de Perso r. Este coeficiete pode ser clculdo pel seguite epressão: ode, Este coeficiete, ssume pes vlores etre - e. r=, sigific um correlção perfeit positiv etre s dus vriáveis; r= -, sigific um correlção egtiv perfeit etre s dus vriáveis, isto é, se um umet, outr sempre dimiui;

58 r= 0, sigific que s dus vriáveis ão depedem liermete um d outr. No etto, pode eistir um outr depedêci que sej "ão lier". Assim, o resultdo r=0 deve ser ivestigdo por outros meios. Algoritmo Verific tipo_de_juste; Cso tipo_de_juste sej Epoecil Pr i =,...,m yi = l Yi Fim Fzer Ajuste Lier com,y retordo coeficietes s e s = e s b = s Cso tipo_de_juste sej Logrítmico Pr i =,...,m i = l i Fim Fzer Ajuste Lier com,y retordo coeficietes s e s = s b = e s / Cso tipo_de_juste sej Potecil Pr i =,...,m yi = l yi i = l i Fim Fzer Ajuste Lier com,y retordo coeficietes s e s = e s b= s Cso tipo_de_juste sej Hiperbólico Pr i =,...,m i = /i Fim Fzer Ajuste Lier com,y retordo coeficietes s e s = s b = s Cso tipo_de_juste sej Poliomil (poliômio de gru -) Pr i =,..., Pr j = i,..., Aij = 0 Pr k =,...,m Aij = Aij + k^(i+j-) Fim Aji = Aij

59 Fim Fim bi = 0 Pr k =,...,m bi = bi + yk*k^(i-) Fim Fim s = (A^-). b 6 SISTEMA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES Dd um fução ão lier o objetivo é ecotrr s soluções pr ou sej, Por eemplo: Este sistem ão lier dmite qutro soluções, represetds pelos potos ode s curvs se iterceptm. 6. Notção Utilizd

60 Cd fução f i (X) é um fução ão lier em em X e portto F(X) tmbém é um fução ão lier em X. Pr sistems lieres, tíhmos: 6. Cosiderções F(X) tem derivds cotíus o domíio; Eiste pelo meos um poto X * D, tl que F(X * ) = 0. O vetor ds derivds prciis d fução f i (X) é deomido vetor grdiete de f i (X) e é deotdo por: A mtriz ds derivds prciis de F(X) é chmd mtriz Jcobi J(X): Eemplo: Determir mtriz Jcobi do sistem ão lier bio:

61 6.3 Crcterístics dos Métodos pr Resolução dos Sistems de Equções ão Lieres Itertividde A prtir de um poto iicil, germ sequêcis. N situção de covergêci, é um ds soluções do sistem qudo: Eistêci de critérios de covergêci Verificr se F( ) tem módulo pequeo. Ou sej: Verificr se está próimo de zero. Ou sej: Limitr o úmero de iterções K por um úmero máimo de iterções. 6.4 Métodos Numéricos Veremos qui bsicmete três tipos de métodos uméricos pr resolução de sistems de equções ão lieres. Os métodos serão descritos e crcterizdos seguir Método de Newto-Rphso Este é o método mis mplmete utilizdo pr resolver sistems de equções lieres. O método combi dus idéis básics comus s proimções umérics: Lierizção Procur-se substituir, um cert vizihç, um problem complicdo por su proimção lier. Ess proimção pode ser obtid, por eemplo, tomdo-se os primeiros termos de um epsão usdo Série de Tylor.

62 Iterção Devido à repetição do procedimeto, té que se grt covergêci pr solução do sistem ou o fim desejdo Cso Esclr Pr ilustrr mis fcilmete o uso do método de Newto pr solução de sistems de equções ão lieres, cosidere um sistem com um icógit e um úic equção: Epdido ess equção usdo série de Tylor próimo um poto iicil (,f()) e tomdo-se pes os primeiros termos dest epsão (lierizção), tem-se: ode é primeir derivd de f em. Iguldo equção terior zero e desevolvedo-, tem-se: Pesdo o processo itertivo: Grficmete, temos:

63 Tomdo tgete à curv em, tem-se que: E pr um iterção k qulquer: Cso Vetoril Cosidere gor o sistem mostrdo iicilmete. Usdo o mesmo rciocíio do cso esclr, tem-se que: ode o ídice superior o vetor X idic iterção: Rerrjdo o sistem, colocdo-o form mtricil, tem-se:

64 Reescrevedo, Multiplicdo equção cim pelo iverso d mtriz Jcobi, tem-se: Geerlizdo pr um iterção k qulquer, temos: Porém, como o processo de iversão é muito cro computciolmete, opt-se por resolver o sistem de equções lieres bio pr obter su solução. Eemplo: Aplicr o método de Newto à resolução do sistem ão lier F(X) = 0, ode: cosiderdo tolerâci chute iicil., úmero máimo de iterções k(m) = e Solução: Pr k = (Primeir iterção)

65 Pr k = (Segud iterção) Solução et: Algoritmo: Equto ( F( k = k + Clculr D = X K+ = < ) e (k<k(m)) e Fim 6.4. Métodos Qusi-Newto O método de Newto preset três crcterístics importtes que ifluecim velocidde de covergêci: Escolh do poto iicil (chute iicil); Cálculo do Jcobio (derivds); Solução do Sistem Lier. Vários métodos ecotrdos litertur presetm ltertivs pr o cálculo do Jcobio, tordo-os úteis pr solução dos sistems de equções ão lieres. Esses métodos são cohecidos como Métodos Qusi-Newto. Etre esses métodos estão o Método de Newto-Rphso modificdo e o Método d Secte, que serão descritos seguir.

66 6.4.. Método de Newto-Rphso Modificdo Este método cosiste em tomr, em cd iterção k, mesm mtriz Jcobi computd o psso iicil. Desse modo, Apesr d redução do custo computciol, este método pode ser mis sesível à covergêci, ou sej, o úmero de iterções ecessáris gerlmete é mior que qudo se us o método de Newto-Rphso. Eemplo: Aplicr o método de Newto Modificdo à resolução do sistem ão lier F(X) = 0, ode: cosiderdo tolerâci chute iicil., úmero máimo de iterções k(m) = e Pr k = (Primeir iterção) Pr k = (Segud iterção)

67 6.4.. Método Secte Este método cosiste em clculr s derivds d mtriz Jcobi de form proimd: Pr o cso esclr, tem-se grficmete: Por semelhç de triâgulos: Estededo pr um iterção qulquer k: ou id, utilizdo epsão por série de Tylor:

68 Note que equção cim é bstte semelhte de Newto Rphso: se fizermos proimção d secte pr mtriz Jcobi Outros Métodos Outros métodos bstte cohecidos pr solução uméric de sistems de equções ão lieres são: BFGS, DFT, Grdiete Cojuddo, Máimo Declive e Flecher-Rivers.