ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A. TESTE Nº 4 Grupo I

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1 ESOLA SEUNDÁRIA OM º ILO D. DINIS º ANO DE ESOLARIDADE DE MATEMÁTIA A TESTE Nº Grupo I As seis questões deste grupo são de escolh múltipl. Pr cd um dels são idicds qutro ltertivs, ds quis só um está correct. Escrev su folh de resposts letr correspodete à ltertiv que seleccior pr cd questão. Se presetr mis do que um respost, questão será uld, o mesmo cotecedo se letr trscrit for ilegível. Não presete cálculos ou justificções. d respost cert vle 7 potos, cd respost errd vle 0 (zero) potos, cd pergut ão respodid, ou uld, vle 0 (zero) potos... Lçrm-se dois ddos, mbos com s fces umerds de um seis. Sbe-se que som dos úmeros sídos foi qutro. Qul é probbilidde de ter sído o mesmo úmero, em mbos os ddos? (A) (B) () (D). Se escolhermos o cso dois termos do desevolvimeto de ( ) 0 produto dos seus coeficietes ser positivo é:, probbilidde do (A) 9 (B) () (D). Um vriável letóri X tem seguite distribuição de probbiliddes: i 0 p( X i ) = Idique o vlor de (A) 008 (B) () (D) Professor: Ros els

2 . Sej h fução, de domíio IR, defiid por: ( ) h ( e ) l = (l desig logritmo d bse e) Qul ds seguites epressões pode tmbém defiir h? (A) (B) () (D). O vlor do lim é: (A) 0 (B) e () (D) e 6. N figur seguite está represetd prte do gráfico de um fução g, de domíio IR e cotíu em IR \ { }. As rects de equções = e y = são s úics ssímptots de gráfico de g. Sej ( ) um sucessão tl que ( ) lim g = +. + Qul ds epressões seguites pode ser o termo gerl d sucessão ( )? (A) + (B) () + (D) Grupo II Ns questões deste grupo presete o seu rciocíio de form clr, idicdo todos os cálculos que tiver que efectur e tods s justificções ecessáris. Ateção: qudo ão é idicd proimção que se pede pr um resultdo, pretede-se sempre o vlor ecto.. O Diel, resposável por um progrm musicl, dispõe de dez opções de três géeros musicis: cico de músic ligeir, três de rock e dus de músic clássic. Professor: Ros els

3 .. Utilizdo s dez opções, sem repetir, determie o úmero de lihmetos diferetes que o resposável do progrm pode fzer se:... Não tiver qulquer restrição;... omeçr o progrm com rock e cbr com músic clássic... Escolhido, o cso, um dos lihmetos, idique probbilidde de ão ter s três opções de rock cosecutivs... No fil, o Diel, o cso, escolhe simultemete, qutro ds dez opções pr ouvir em cs. lcule probbilidde de s qutro opções hver, ectmete dus de músic rock.. osidere s fuções reis de vriável rel ssim defiids:.. Determie o domíio de f. + f( ) = log ( ) g =.. Dig, justificdo se fução f pode ser defiid por h( ) log ( -) log ( ).. Prtido do gráfico d fução ( ) gráfico de g... rcterize fução ivers de g. = +. j = descrev s trsformções que permitem obter o. Sbe-se que cocetrção,, em miligrms por litro, de um lgésico, circulção sguíe, t hors pós su igestão, é dd por: t t (t) 0(e = e ) Not: N resolução ds questões seguites, sempre que, em cálculos itermédios, proceder rredodmetos, coserve três css decimis... Qul é cocetrção, proimd, do lgésico um hor e trit miutos pós su igestão? Apresete o resultdo rredoddo às cetésims... Sbe-se que o lgésico tem o efeito desejdo qudo su cocetrção é superior 0, miligrms por litro. osidere que o lgésico foi igerido às ove hors. Recorredo às poteciliddes d clculdor gráfic, idique um proimção do itervlo em que ele produz o efeito desejdo. Apresete os resultdos em hors e miutos (com os miutos rredoddos às uiddes) Prove que log = log, IR, IR \ { } FIM Professor: Ros els

4 ESOLA SEUNDÁRIA OM º ILO D. DINIS º ANO DE ESOLARIDADE DE MATEMÁTIA A OTAÇÕES Grupo I... d respost cert... 7 d respost errd, ão respodid ou uld... 0 Grupo II TOTAL Professor: Ros els

5 ESOLA SEUNDÁRIA OM º ILO D. DINIS º ANO DE ESOLARIDADE DE MATEMÁTIA A TESTE Nº Propost de correcção.. (B) TESTE Nº Grupo I Lçrm-se dois ddos, mbos com s fces umerds de um seis. Sbe-se que som dos úmeros sídos foi qutro. A som é qudo si (,;,e, ) ( ) ( ) Qul é probbilidde de ter sído o mesmo úmero, em mbos os ddos é por isso p =. (D). Se escolhermos o cso dois termos do desevolvimeto de ( ) 0 probbilidde do produto dos seus coeficietes ser positivo é ddo por P = = =, porque o desevolvimeto tem termos sedo 6 positivos e 0 0 egtivos e o produto só é positivo se os dois termos escolhidos forem positivos ou se forem mbos egtivos.,. (B) Um vriável letóri X tem seguite distribuição de probbiliddes: i 0 p( X i ) = O vlor de result de + + = = + = trduzir um propriedde do Triâgulo de Pscl, " som de dois elemetos cosecutivos de um lih é igul o termo d lih seguite situdo etre os dois elemetos cosiderdos". Etão 008 = 00. () Sej h fução, de domíio IR, defiid por: Professor: Ros els

6 ( ) h ( e ) l = (l desig logritmo d bse e) A epressão pode tmbém defiir h result de h( ) l e l( e ) l e = = = =. (). O vlor do lim lim lim = + = + = 0 lim lim + = e e = e = 6. (B). N figur seguite está represetd prte do gráfico de um fução g, de domíio IR e cotíu em IR \ { }. As rects de equções = e y = são s úics ssímptots de gráfico de g. Sej ( ) um sucessão tl que ( ) lim g = +. + Procurmos o termo gerl d sucessão ( ) que ted pr + ou pr por vlores iferiores logo terá de ser = Grupo II. O Diel, resposável por um progrm musicl, dispõe de dez opções de três géeros musicis: cico de músic ligeir, três de rock e dus de músic clássic... Utilizdo s dez opções, sem repetir, determiemos o úmero de lihmetos diferetes que o resposável do progrm pode fzer.... Se ão tiver qulquer restrição o úmero de lihmetos é 0! = Professor: Ros els 6

7 ... Se começr o progrm com rock e cbr com músic clássic, vmos começr por escolher um ds músics de rock e um ds dus músics clássics o que fremos de = 6meirs diferetes e em seguid dispomos s resttes 8 músics tedo em cot ordem de 8! Meirs diferetes. Filmete o úmero de lihmetos diferetes que o resposável do progrm pode fzer se começr o progrm com rock e cbr com músic clássic será de 6 8! = 90.. Escolhido, o cso, um dos lihmetos, clculemos probbilidde de ão ter s três opções de rock cosecutivs, utilizdo probbilidde do cotecimeto cotrário "ter s três opções de rock cosecutivs" Assim cosiderdo que há 8 posições pr colocr s músics rock juts e esss músics podem lterr etre si de! meirs e s resttes 7 músics podem, 8! 7! tmbém, permutr etre si de 7! meirs pelo que P= =. 0!.. No fil, o Diel, o cso, escolhe simultemete, qutro ds dez opções pr ouvir em cs. lculemos probbilidde de s qutro opções hver, ectmete dus de músic rock: O úmero de csos possíveis é 0 = 0 pois ds 0 músics o Diel vi escolher pr levr (ão iteress ordem). O úmero de csos fvoráveis é 7 = 6 pois ds músics de rock o Diel deve escolher dus e ds resttes 7 músics escolher s outrs dus de meir levr s músics que quer. 6 A probbilidde pedid é P = = osidere s fuções reis de vriável rel ssim defiids: + f( ) = log ( ) g = +.. O domíio de f é D= IR: > = ], [ ], + [.. D { IR: 0 0} ], [ h = > + > = +. A fução f ão pode ser defiid por ( ) = ( ) ( + ) porque pesr de f( ) h( ), ], [ h log - log domíio... Prtido do gráfico d fução ( ) obter o gráfico de g. = + ão têm o mesmo j = vmos descrever s trsformções que permitem O gráfico de j trsform-se, por um simetri em relção Oy, o de y = e este por um simetri em relção O trsform-se o gráfico de y =. Fzedo filmete Professor: Ros els 7

8 um trslção deste último gráfico ssocid o vector de coordeds ( 0, ) obtemos o gráfico de g... rcterizemos fução ivers de g: Dg = IR y = = y = log ( y) = log ( y) g ( ) = log ( ) D = ],[ g A crcterizção de g :IR, g ] [ ( ) = ( ) g log. Sbe-se que cocetrção,, em miligrms por litro, de um lgésico, circulção sguíe, t hors pós su igestão, é dd por: t t (t) 0(e = e ) Not: N resolução ds questões seguites, sempre que, em cálculos itermédios, proceder rredodmetos, coserve três css decimis., = 0e e =,7mg/l.. Sbedo que um hor e tit miutos é, h temos: ( ) (, ) A cocetrção é, proimdmete,,7 miligrms por litro... Sbe-se que o lgésico tem o efeito desejdo qudo su cocetrção é superior 0, miligrms por litro. osideremos que o lgésico foi igerido às ove hors. Teremos de ver durte quto tempo cocetrção é superior 0, miligrms por litro t t ou sej resolver iequção: 0(e e ) > 0, Assim, o medicmeto começ fzer efeito 0,060 = miutos depois de ser tomdo e dei de fzer efeito,9h depois de ser tomdo ou sej h e miutos. omo foi tomdo às 9h00, vi começr fzer efeito às 9h e m e dei de fzer efeito às h e 6m. Professor: Ros els 8

9 + +. Provemos que log = log, IR, IR \ { } Podemos demostrr este resultdo de diferetes forms: Demostrção : Por plicção d defiição de logritmo: y y = = = = = log y y log y log omo querímos demostrr. Demostrção : Podemos lterr bse do logritmo trsformdo epressão iicil em: log log log log = = = = log log log omo querímos demostrr. Professor: Ros els 9

10 ESOLA SEUNDÁRIA OM º ILO D. DINIS º ANO DE ESOLARIDADE DE MATEMÁTIA A ritérios de orrecção do teste º Grupo I... d respost cert... 7 d respost errd, ão respodid ou uld B D B B Grupo II ! = ! = ! 7!.. P = = 0! P = = = D= IR: > = ], [ ], + [.. álculo de D = { IR: > 0 + > 0} = ], + [ h Justificção de que s fuções são diferetes por terem domíios diferetes 0.. um simetri em relção Oy um simetri em relção O um trslção ssocid o vector de coordeds.. ( 0, ) y = = log ( y) Domíio de g 9 Professor: Ros els 0

11 ] [ g :, IR g ( ) = log ( ) um hor e tit miutos é, h, (, ) = 0( e e ) =,7mg / l.. 0 t t 0(e e ) > 0, gráficos 0,060= miutos,9h = h e miutos. começ fzer efeito às 9h e m e dei de fzer efeito às h e 6m.. 0 log = y log = y = y y = = y = y = log y = log y = log y Totl 00 Professor: Ros els