Apostila de Introdução Aos Métodos Numéricos

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1 Apostil de Itrodução Aos étodos Numéricos PARTE II o Semestre - Prof. Slete Souz de Oliveir Buffoi

2 Ídice SISTEAS LINEARES... INTRODUÇÃO... ÉTODOS DIRETOS: ELIINAÇÃO DE GAUSS... Sistem lier com...5 Eemplo:...7 SISTEAS LINEARES...ERRO! INDICADOR NÃO DEFINIDO. iimizdo erros uméricos: Estrtégi de Pivotemeto... Avlido os erros solução de um sistem lier... QUARTA LISTA DE EXERCÍCIOS...5 ÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-SEIDEL...6 Itrodução...6 Descrição do étodo...7 Eemplo:...8 CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA DO ÉTODO DE GAUSS-SEIDEL... Critério de Sssefeld... Critério ds Lihs... QUINTA LISTA DE EXERCÍCIOS... SEXTA LISTA DE EXERCÍCIOS...5

3 Sistems Lieres Itrodução Um sistem lier cosiste em um cojuto de equções lieres evolvedo m vriáveis ( i ). Um equção lier é quel que só preset termos que são proporciois às vriáveis (termos do tipo i i ), isto é, ão preset ehum fução plicd vriável i, como, l(), cos(), como ilustrdo bio evolvedo m vriáveis (,,,..., m ): L m m b Um sistem lier qudrdo é quele em que o úmero de vriáveis é igul o úmero de equções (m). Portto, um sistem lier qudrdo pode ser escrito form: L L L b b b Resolver um sistem lier sigific ecotrr os vlores uméricos ds vriáveis,,,..., que stisfzem tods s equções do sistem. Dus perguts fudmetis devem ser feits em relção um sistem lier: Eiste solução pr o sistem lier? Em cso firmtivo, será que el é úic? Cd sistem lier estuddo deve ser lisdo fim de se obter s resposts pr esss perguts. Três csos são possíveis: O sistem ão possui ehum solução (sistem impossível); O sistem possui um solução (sistem possível e úico); O sistem possui ifiits soluções. É preciso mter em mete esss três possibiliddes de comportmeto de um sistem lier fim de evitr surpress e poder iterpretr solução de um problem.

4 Sistems de equções lieres precem com bstte freqüêci resolução de problems práticos evolvedo s mis vrids situções. Estim-se que proimdmete 75% dos problems cietíficos evolvem resolução de um sistem de equções lieres. Um eemplo pode ser visto o livro teto de. A. G. Ruggiero. Os métodos usdos resolução de sistems lieres podem ser de dois tipos: diretos ou itertivos. étodos diretos são queles que, meos de erros de rredodmeto, forecem solução et do sistem lier, cso el eist. étodos itertivos são equivletes àqueles vistos o módulo pssdo: prtir de um estimtiv iicil, repetimos determido cálculo diverss vezes, utilizdo sempre estimtiv d etp terior como estimtiv pr etp seguite. étodos Diretos: Elimição de Guss O método direto que bordremos o curso é o método d elimição de Guss. Neste método procurmos reescrever um sistem lier qudrdo como um sistem lier trigulr, isto é, um sistem d form: L b L b b Esse sistem é de fácil resolução. Prtido-se d solução d últim equção, que é dd por: b obtém-se o resultdos ds outrs equções recursivmete, isto é: i bi ij j i ii j A fim de se trsformr um sistem lier qudrdo em um sistem lier trigulr, mipul-se s equções multiplicdo-s por determidos ftores uméricos e subtrido-s um

5 ds outrs de form zerr os termos propridos. D álgebr lier, sbemos que esss operções ão lterm solução do sistem. Vmos verificr como ess mipulção pode ser feit pr um sistem de equções e vriáveis e depois podemos geerlizr o procedimeto pr dimesões. Sistem lier com Um sistem lier qudrdo com é ddo pels equções: b b b A fim de resolver esse sistem pelo método de elimição de Guss, vmos trsform-lo em um sistem lier trigulr, como meciodo teriormete. Iicilmete, vmos multiplicr primeir equção pelo ftor: m e subtrí-l d segud equção. Ess primeir equção é chmd de lih pivô e o elemeto é o elemeto pivô. Pel epressão de m coclui-se que o elemeto pivô ão pode ser ulo. Cso isso ocorr, ess lih deve ser trocd por outr lih que ão presete o pivô igul zero. Com ess operção, o sistem se trsform em: b b b ode, m m b b m b 5

6 Em seguid, podemos multiplicr primeir equção ( lih pivô) por: m e subtrí-l d terceir equção. Com ess operção, o sistem se trsform em: b b b ode, m m b b m b Note que, com esss operções, coseguimos trsformr segud lih do sistem form trigulr. Pr filizrmos trigulção do sistem, bst zerr o termo de terceir equção. Pr isso, vmos utilizr o mesmo procedimeto usdo teriormete. Dest vez, segud lih será lih pivô e o elemeto será o elemeto pivô, que deve ser diferete de zero. is um vez, cso esse elemeto sej ulo, ess lih deve ser trocd por outr lih que ão presete um pivô igul zero. Cso isso ão sej possível, ou sej, tods s outrs lihs presetm o pivô ulo, o sistem ão terá solução determid. Portto, vmos multiplicr segud lih pelo ftor: m e subtrí-l d terceir equção. Com ess operção, o sistem se trsform em: 6

7 b b b ode, m b b m b Com isso, obtivemos o sistem lier trigulr que desejávmos. Esse sistem pode ser resolvido de meir recursiv, sedo o resultdo ddo por: e b, b b b b b b b b Esse procedimeto pode ser estedido fcilmete pr sistems com >. A úic difereç será o úmero mior de operções serem relizds. Eemplo: Vmos resolver o sistem de equções e icógits, ddo por:

8 8 Pr fcilitr resolução do problem, vmos represet-lo form de um mtriz umetd, que correspode um mtriz cujos elemetos são os ftores ii, e el é umetd icluido-se os ftores b i. Portto, o sistem cim ficrá form: A primeir lih será lih pivô e o úmero é o elemeto pivô. Vmos utilizr ess lih e esse elemeto pr zerr o primeiro elemeto de cd lih seguite. Portto, multiplicdo primeir lih por 6/ e subtrido- d segud lih, teremos: ( ) ( ) Podemos relizr mesm operção pr s outrs dus lihs. Porém, vmos multiplicr primeir lih pelo ftor / tes de subtrí-l d terceir lih, e o cso d qurt lih, ão precismos relizr ehum operção, pois seu primeiro elemeto já é igul zero. Portto, teremos mtriz umetd: ( ) ( ) Vmos cotiur trigulção do sistem zerdo os elemetos d segud colu d terceir e qurt lih. Porém, devemos otr que segud lih, que seri lih pivô dest etp, preset o elemeto pivô igul zero. Portto, ão podemos utiliz-l como lih pivô est etp. Devemos troc-l por outr lih. Vmos prosseguir, trocdo segud lih pel terceir. Com isso, terceir lih pss ser lih pivô. is que isso, ão precismos relizr ehum operção com segud lih, pois el já preset o elemeto d segud colu igul

9 zero. Portto, bst multiplicr ov lih pivô por /- e subtri-l d qurt lih, ou sej, teremos: 7 ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) A próim etp correspoderi operção que ulri o elemeto d terceir colu d qurt lih. Porém, esse elemeto já é ulo. Portto, já podemos obter solução desse sistem, que será dd por: -/6 - [5 (-)(-)]/ [8 (-) (-) ]/ - e [-7-5(-) - (-)(-)]/ 9

10 iimizdo erros uméricos: Estrtégi de Pivotemeto Um problem que pode ocorrer durte resolução de um sistem lier pelo método d elimição de Guss se refere erros de rredodmeto ou trucmeto durte s operções evolvids. A fim de ilustrr esse problem e defiirmos um procedimeto que pode miimiz-lo, vmos cosiderr o seguite eemplo. Sej o sistem lier: Ates mesmo de resolve-lo pelo método de elimição de Guss, podemos otr que ele preset um solução et dd por, e (substitu esses vlores s equções do sistem cim pr verificr que relmete eles correspodem à solução et). Porém, vmos resolve-lo utilizdo esse método e, pr ilustrr o problem provocdo por rredodmetos, vmos utilizr pes lgrismos sigifictivos durte todos os cálculos e comprr o resultdo obtido com ess solução et. Ou sej, vmos supor que estmos usdo um clculdor que represet úmeros com pes lgrismos. Iicimos resolução do sistem escrevedo-o form de um mtriz umetd, ou sej: A primeir lih será lih pivô e devemos multiplic-l pelo ftor 7/ e subtri-l d segud lih. Em seguid, multiplicmos ess lih por / e subtrímos d terceir lih. Portto, teremos: (Fzedo trucmeto) Em seguid, segud lih será lih pivô e devemos multiplic-l pelo ftor 86/- e subtri-l d terceir lih, ou sej, teremos:

11 86 ( ) ( ) (. ). ( ) (. ) 6.8. Com isso termimos trigulção do sistem, que será ddo por: A prtir di, podemos clculr solução desse sistem. A solução do sistem será dd por: -68/(-6). [ - (-).]/. [ ]/.5 Note que ess solução é muito diferete d solução et que deverímos ter ecotrdo. E ess discrepâci foi resultdo dos rredodmetos e trucmetos que fizemos durte o cálculo dos vlores ds vriáveis i. A fim de miimizr os efeitos de rredodmeto solução de um sistem lier, utiliz-se chmd estrtégi de pivotemeto. Ness estrtégi, o iício de cd etp em que um colu d mtriz umetd deve ser zerd, escolhemos como lih pivô quel que preset o elemeto pivô de mior módulo. Portto, o eemplo cim, iicirímos solução do sistem trocdo segud lih pel primeir, pois segud lih preset um elemeto pivô (primeiro elemeto d lih) mior que primeir lih (7 > ). Ou sej, teremos: Em seguid, multiplicmos primeir lih (lih pivô) por /7 e subtrímos d segud lih. Tmbém devemos multiplic-l por /7 e subtri-l d terceir lih. Com isso, teremos:

12 ( ) ( ) is um vez, tes de iicir próim etp, devemos procurr pel lih que preset o elemeto pivô (o primeiro elemeto ão ulo) de mior módulo. Neste cso, será terceir lih. Portto, vmos trocá-l pel segud lih, o que result mtriz umetd: sej: Vmos gor multiplicr lih pivô por (.7)/(-87.6) e subtri-l d terceir lih, ou (.7) ( ) ( 87.6 ) 5. (.7) ( ) ( 6.5 ) 5. 5(.7) ( ) ( 7) A solução do sistem trigulr que resultou desss operções é dd por: 5./5.. [ ]/(-87.6).999 [ (-)..999]/7. Portto, obtivemos um solução muito próim d solução et do sistem utilizdo estrtégi do pivotemeto. Avlido os erros solução de um sistem lier Como vimos seção terior, devido os erros uméricos de rredodmeto ou trucmeto e devido o grde úmero de operções relizds resolução de sistems lieres, o resultdo que obtemos está sujeito erros, ou sej, pode ão represetr solução et do problem. Portto, precismos sempre vlir solução obtid, ou sej, precismos os pergutr qul é o erro do resultdo que obtivemos.

13 Pr fcilitr visulizção de como podemos vlir esses erros, vmos escrever um sistem de equções lieres d form mtricil, ou sej, o sistem lier: b b b L L L pode ser escrito como, A b ode, A L O L L, e b b b b Ao resolver esse sistem devido os erros uméricos cometidos, obtemos como solução, o ivés dos vlores, vlores que chmremos de. Portto, o erro será ddo por: Erro.

14 Um operção simples que podemos relizr pr verificr difereç etre o vlor rel () e o vlor que obtivemos ( ) é clculrmos: A b Podemos em seguid clculr difereç etre b e b, que chmremos de resíduos: Resíduo b b Quto meor for o resíduo, meor será o erro que cometemos. Note que o resíduo ão é o erro, ms pes um estimtiv do mesmo, pois: Resíduo b b A - A A( ) Aerro

15 Qurt List de Eercícios ) O que é um sistem de equções lieres qudrdo? ) A fim de se poder iterpretr resolução de um sistem de equções lieres é preciso sber quis são os possíveis tipos de soluções que podemos ecotrr. Cite os três tipos de soluções possíveis de um sistem lier e comete o que você fri em cd cso. ) No método de elimição de Guss, um sistem lier qudrdo é trsformdo em um sistem trigulr. Qul vtgem de se fzer isso? ) Ddo o sistem lier, Ecotre su solução trvés do método de elimição de Guss. 5

16 étodos Itertivos: Guss-Seidel Itrodução É bstte comum ecotrrmos sistems lieres que evolvem um grde porcetgem de coeficietes ulos. Esses sistems são chmdos de sistems esprsos. Pr esses tipos de sistems, o método de Elimição de Guss ão é o mis proprido, pois ele ão preserv ess esprsidde, que pode os ser útil por fcilitr resolução do sistem. Um método mis proprido pr esse tipo de sistem é o método itertivo de Guss-Seidel. Este método cosiste em ecotrr, dd um estimtiv iicil i, um seqüêci de estimtivs i que pós um úmero suficietemete grde de iterções covirj pr solução do sistem de equções. Um outr vtgem deste método é o fto de ão estr tão suscetível o cúmulo de erros de rredodmeto como o método de Elimição de Guss. Porém, como todo processo itertivo, este método sempre presetrá um resultdo proimdo, que será tão próimo do resultdo rel coforme o úmero de iterções relizds. Além disso, tmbém precismos os preocupr com covergêci desse método. 6

17 Descrição do étodo Sej o seguite sistem de equções: b b b b Isoldo i prtir d lih i, temos : ( b.... ), ( b.... ), ( b.... ), ( b ), 7

18 O processo itertivo é obtido prtir desss equções, fzedo: b.....,.. b.....,.. b.....,.. b.....,. Como todo processo itertivo, precismos defiir um critério de prd. Podemos usr difereç reltiv etre dus iterções cosecutivs pr estbelecer o critério de prd. Defie-se por difereç reltiv epressão: d R á. i se i i se i i se i i i i Qudo o vlor de d R for pequeo o bstte pr precisão desejd, podemos pr o processo itertivo. Eemplo: Resolv: 8

19 5 y z 5 y z 6 y 6 z com d R y z 6 ( 5 y z) ( 6 z) ( y) z ( y) d y d y z d z d R,8,5,65 -,75,79,79,5,,9,9 -,967,5,9,9,6,985,66 -,997,,66,,7,998, -,,, y,998 z - Verificção: 5.(,) (,998) (-) 5,8 5 o.(,).(,998) (-) 5,998 6 o.(,).(,998) 6.(-) o 9

20 Critérios de Covergêci do étodo de Guss-Seidel Como todo processo itertivo, su covergêci pr solução et ão é grtid pr qulquer sistem. Eistem certs codições que devem ser stisfeits por um sistem de equções lieres pr se grtir covergêci do método. Um codição suficiete, porém ão ecessári, pr covergêci do método de Guss-Seidel pr um ddo sistem lier, correspode o Critério de Sssefeld. Critério de Sssefeld Vmos defiir s qutiddes β i dds por: β e j j i β i ij β j ij, pr i,,...,. ii j j i ode é ordem do sistem lier que queremos resolver e ij são os coeficietes ds equções que compõem esse sistem. O Critério de Sssefeld grte que o método de Guss-Seidel covergirá pr um ddo sistem lier se qutidde, defiid por: m i β i for meor que (<). Eemplo: ostre que solução do sistem lier ddo pels equções: covergirá pelo método de Guss-Seidel.

21 Pr relizr ess verificção, vmos utilizr o critério de Sssefeld. Iicilmete, é preciso se clculr os vlores ds qutiddes β i. No cso do sistem cim, els serão dds por: β β β β (..).7 ( ). (..7...).58 ( ). 76 Em seguid, é preciso verificr qul desss qutiddes tem o mior vlor. Neste cso, será qutidde β que é igul.7 (mior vlor etre todos os β i ). Portto, como: m i β i.7 é meor que, sbemos que solução desse sistem irá covergir usdo o método de Guss- Seidel. Critério ds Lihs Eiste um outro critério que pode grtir covergêci do método de Guss-Seidel pr um ddo sistem, chmdo de critério ds lihs. Segudo esse critério, um determido sistem irá covergir pelo método de Guss-Seidel, se: ij < j j i ii, pr i,,,...,. Eemplo: O sistem do eemplo cim stisfz o critério ds lihs e ess verificção pode ser feit de meir quse imedit, observdo-se que:

22 > > > > É importte otr lgus detlhes sobre esses critérios. Ambos os critérios meciodos cim são codições suficietes, porém ão são ecessáris pr grtir covergêci d solução de um sistem lier pelo método de Guss-Seidel. Isso sigific que um sistem pode ão stisfzer esses critérios e id covergir. Por eemplo, um sistem pode ão stisfzer o critério ds lihs e stisfzer o critério de Sssefeld, o que grtirá su covergêci. Eemplo: Sej o sistem: 6 8 Note que esse sistem ão stisfz o critério ds lihs, pois: < 6 porém, ele stisfz o critério de Sssefeld: β β. ( 6.). m β. < i i que grtirá su covergêci. Outr observção importte se refere à ordem com que s equções precem o sistem. Apesr d ordem ds equções ão lterr solução do sistem, el pode lterr covergêci do mesmo pelo método d Guss-Seidel. Eemplo: Sej o sistem:

23 5 5 9 N form como ele está represetdo cim, ele ão stisfz o critério ds lihs (verifique isso), portto su covergêci ão é grtid. Porém, se trocrmos ordem ds dus equções, o sistem stisfz esse critério, e su covergêci pelo método de Guss-Seidel é grtid (verifique isso tmbém).

24 Quit List de Eercícios ) No método de Guss-Seidel, como em todo método itertivo, covergêci resolução do problem pr solução procurd ão é sempre grtid. Que codição um sistem lier deve stisfzer pr que esse método covirj pr su solução? ) Ddo o sistem lier, 9 Verifique se o método de Guss-Seidel covergiri pr o sistem cim: () Segudo o critério ds lihs; (b) Segudo o critério de Sssefeld; (c) O que você pode cocluir d solução dos dois ites teriores? ) Ddo o sistem lier, () O sistem irá covergir pelo método itertivo de Guss-Seidel, isto é, ele stisfz o critério de Sssefeld? (b) Se s dus primeirs lihs forem trocds, ele stisfz o critério de Sssefeld? O que se pode firmr sobre covergêci do sistem? (c) Ecotre su solução trvés do método de Guss-Seidel usdo como estimtiv iicil os vlores (,,, ) e utilize como critério de prd <,5.

25 5 Set List de Eercícios ) O que é e pr que serve estrtégi de pivotemeto? ) Cite três crcterístics do étodo de Guss-Seidel que é comum todo processo itertivo. ) Ddo o sistem lier, 9 7 ecotre su solução trvés do método de elimição de Guss utilizdo estrtégi do pivotemeto. ) Ddo o sistem lier, (d) Verifique que o sistem irá covergir pelo método itertivo de Guss-Seidel, isto é, que ele stisfz o critério de Sssefeld; (e) Ecotre su solução trvés do método itertivo de Guss-Seidel usdo como estimtiv iicil os vlores (,, ) e utilize como critério de prd codição <,5.

26 Referêcis Bibliográfics RUGGIERO/LOPES - Cálculo Numérico. ro Boos CHAPRA/CARRALE - Numericl ethods for Egieers. Ed. cgrwhill CONTE - Elemetos de Aálise Numéric. Ed. Globo BARROSO - Cálculo Numérico - Ed. Hrper & How do Brsil ARCELO G. UNHOZ- Nots de Aul - FACENS 6