Apostila de Introdução Aos Métodos Numéricos

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1 Apostil de Itrodução Aos Métodos Numéricos PARTE II o Semestre - Prof. Slete Souz de Oliveir Buffoi

2 Ídice SISTEMAS LINEARES... INTRODUÇÃO... MÉTODOS DIRETOS: ELIMINAÇÃO DE GAUSS... Sistem lier com... Eemplo:... SISTEMAS LINEARES...ERRO! INDICADOR NÃO DEFINIDO. Miimizdo erros uméricos: Estrtégi de Pivotemeto... Avlido os erros solução de um sistem lier... QUARTA LISTA DE EXERCÍCIOS... MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-SEIDEL...6 Itrodução...6 Descrição do Método... Eemplo:... CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL... Critério de Sssefeld... Critério ds Lihs... QUINTA LISTA DE EXERCÍCIOS... SEXTA LISTA DE EXERCÍCIOS...

3 Sistems Lieres Itrodução Um sistem lier cosiste em um cojuto de equções lieres evolvedo m vriáveis ( i ). Um equção lier é quel que só preset termos que são proporciois às vriáveis (termos do tipo i i ), isto é, ão preset ehum fução plicd vriável i, como, l(), cos(), como ilustrdo bio evolvedo m vriáveis (,,,..., m ): L + m m b Um sistem lier qudrdo é quele em que o úmero de vriáveis é igul o úmero de equções (m). Portto, um sistem lier qudrdo pode ser escrito form: M L+ + L+ + L+ b b b Resolver um sistem lier sigific ecotrr os vlores uméricos ds vriáveis,,,..., que stisfzem tods s equções do sistem. Dus perguts fudmetis devem ser feits em relção um sistem lier: Eiste solução pr o sistem lier? Em cso firmtivo, será que el é úic? Cd sistem lier estuddo deve ser lisdo fim de se obter s resposts pr esss perguts. Três csos são possíveis: O sistem ão possui ehum solução (sistem impossível); O sistem possui um solução (sistem possível e úico); O sistem possui ifiits soluções. É preciso mter em mete esss três possibiliddes de comportmeto de um sistem lier fim de evitr surpress e poder iterpretr solução de um problem.

4 Sistems de equções lieres precem com bstte freqüêci resolução de problems práticos evolvedo s mis vrids situções. Estim-se que proimdmete % dos problems cietíficos evolvem resolução de um sistem de equções lieres. Um eemplo pode ser visto o livro teto de M. A. G. Ruggiero. Os métodos usdos resolução de sistems lieres podem ser de dois tipos: diretos ou itertivos. Métodos diretos são queles que, meos de erros de rredodmeto, forecem solução et do sistem lier, cso el eist. Métodos itertivos são equivletes àqueles vistos o módulo pssdo: prtir de um estimtiv iicil, repetimos determido cálculo diverss vezes, utilizdo sempre estimtiv d etp terior como estimtiv pr etp seguite. Métodos Diretos: Elimição de Guss O método direto que bordremos o curso é o método d elimição de Guss. Neste método procurmos reescrever um sistem lier qudrdo como um sistem lier trigulr, isto é, um sistem d form: M + + L+ b + L+ b b Esse sistem é de fácil resolução. Prtido-se d solução d últim equção, que é dd por: b obtém-se o resultdos ds outrs equções recursivmete, isto é: i bi ij j i+ ii j A fim de se trsformr um sistem lier qudrdo em um sistem lier trigulr, mipul-se s equções multiplicdo-s por determidos ftores uméricos e subtrido-s um

5 ds outrs de form zerr os termos propridos. D álgebr lier, sbemos que esss operções ão lterm solução do sistem. Vmos verificr como ess mipulção pode ser feit pr um sistem de equções e vriáveis e depois podemos geerlizr o procedimeto pr dimesões. Sistem lier com Um sistem lier qudrdo com é ddo pels equções: b b b A fim de resolver esse sistem pelo método de elimição de Guss, vmos trsform-lo em um sistem lier trigulr, como meciodo teriormete. Iicilmete, vmos multiplicr primeir equção pelo ftor: m e subtrí-l d segud equção. Ess primeir equção é chmd de lih pivô e o elemeto é o elemeto pivô. Pel epressão de m coclui-se que o elemeto pivô ão pode ser ulo. Cso isso ocorr, ess lih deve ser trocd por outr lih que ão presete o pivô igul zero. Com ess operção, o sistem se trsform em: b b b ode, m m b b m b

6 Em seguid, podemos multiplicr primeir equção ( lih pivô) por: m e subtrí-l d terceir equção. Com ess operção, o sistem se trsform em: b b b ode, m m b b m b Note que, com esss operções, coseguimos trsformr segud lih do sistem form trigulr. Pr filizrmos trigulção do sistem, bst zerr o termo de terceir equção. Pr isso, vmos utilizr o mesmo procedimeto usdo teriormete. Dest vez, segud lih será lih pivô e o elemeto será o elemeto pivô, que deve ser diferete de zero. Mis um vez, cso esse elemeto sej ulo, ess lih deve ser trocd por outr lih que ão presete um pivô igul zero. Cso isso ão sej possível, ou sej, tods s outrs lihs presetm o pivô ulo, o sistem ão terá solução determid. Portto, vmos multiplicr segud lih pelo ftor: m e subtrí-l d terceir equção. Com ess operção, o sistem se trsform em: 6

7 + + + b + b b ode, m b b m b Com isso, obtivemos o sistem lier trigulr que desejávmos. Esse sistem pode ser resolvido de meir recursiv, sedo o resultdo ddo por: e b, b b b b b b b b Esse procedimeto pode ser estedido fcilmete pr sistems com >. A úic difereç será o úmero mior de operções serem relizds. Eemplo: Vmos resolver o sistem de equções e icógits, ddo por:

8 Pr fcilitr resolução do problem, vmos represet-lo form de um mtriz umetd, que correspode um mtriz cujos elemetos são os ftores ii, e el é umetd icluido-se os ftores b i. Portto, o sistem cim ficrá form: 6 6 A primeir lih será lih pivô e o úmero é o elemeto pivô. Vmos utilizr ess lih e esse elemeto pr zerr o primeiro elemeto de cd lih seguite. Portto, multiplicdo primeir lih por 6/ e subtrido- d segud lih, teremos: ( ) ( ) 6 6 Podemos relizr mesm operção pr s outrs dus lihs. Porém, vmos multiplicr primeir lih pelo ftor / tes de subtrí-l d terceir lih, e o cso d qurt lih, ão precismos relizr ehum operção, pois seu primeiro elemeto já é igul zero. Portto, teremos mtriz umetd: ( ) ( ) 6 Vmos cotiur trigulção do sistem zerdo os elemetos d segud colu d terceir e qurt lih. Porém, devemos otr que segud lih, que seri lih pivô dest etp, preset o elemeto pivô igul zero. Portto, ão podemos utiliz-l como lih pivô est etp. Devemos troc-l por outr lih. Vmos prosseguir, trocdo segud lih pel terceir. Com isso, terceir lih pss ser lih pivô. Mis que isso, ão precismos relizr ehum operção com segud lih, pois el já preset o elemeto d segud colu igul

9 zero. Portto, bst multiplicr ov lih pivô por /- e subtri-l d qurt lih, ou sej, teremos: ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 ( ) A próim etp correspoderi operção que ulri o elemeto d terceir colu d qurt lih. Porém, esse elemeto já é ulo. Portto, já podemos obter solução desse sistem, que será dd por: -/6 - [ (-)(-)]/ [ (-) (-) ]/ - e [- - (-) - (-)(-)]/ 9

10 Miimizdo erros uméricos: Estrtégi de Pivotemeto Um problem que pode ocorrer durte resolução de um sistem lier pelo método d elimição de Guss se refere erros de rredodmeto ou trucmeto durte s operções evolvids. A fim de ilustrr esse problem e defiirmos um procedimeto que pode miimiz-lo, vmos cosiderr o seguite eemplo. Sej o sistem lier: Ates mesmo de resolve-lo pelo método de elimição de Guss, podemos otr que ele preset um solução et dd por, e (substitu esses vlores s equções do sistem cim pr verificr que relmete eles correspodem à solução et). Porém, vmos resolve-lo utilizdo esse método e, pr ilustrr o problem provocdo por rredodmetos, vmos utilizr pes lgrismos sigifictivos durte todos os cálculos e comprr o resultdo obtido com ess solução et. Ou sej, vmos supor que estmos usdo um clculdor que represet úmeros com pes lgrismos. Iicimos resolução do sistem escrevedo-o form de um mtriz umetd, ou sej: A primeir lih será lih pivô e devemos multiplic-l pelo ftor / e subtri-l d segud lih. Em seguid, multiplicmos ess lih por / e subtrímos d terceir lih. Portto, teremos: (Fzedo trucmeto) Em seguid, segud lih será lih pivô e devemos multiplic-l pelo ftor 6/- e subtri-l d terceir lih, ou sej, teremos:

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