José Álvaro Tadeu Ferreira. Cálculo Numérico Notas de aulas

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1 UNIVERSIDADE FEDERA DE OURO PRETO Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Deprtmeto de Computção José Álvro Tdeu Ferreir Cálculo Numérico Nots de uls Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes Ouro Preto 9

2 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes - Itrodução A resolução de sistems de equções lieres simultâes é um dos problems uméricos mis comus em plicções cietífics pr simulr situções do mudo rel. É etp fudmetl resolução de vários problems que evolvm, por eemplo, equções difereciis prciis, determição de cmihos ótimos em redes (grfos), regressão, sistems ão lieres, iterpolção de potos, detre outros. Vários problems d Egehri evolvem resolução de sistems de equções lieres. A título de eemplo, cosidere-se determição de do potecil em redes elétrics, o cálculo d tesão em estruturs metálics costrução civil, o cálculo d rzão de escometo em um sistem hidráulico com derivções, previsão d cocetrção de regetes sujeitos reções químics simultâes. Neste teto será cosiderd resolução de um sistem de equções lieres de equções com icógits, d form mostrd em (.). b b b (.) Ode,...,, são s icógits,,,..., os coeficietes ds icógits e b, b, b,..., b os termos idepedetes do sistem de equções. Este sistem pode ser escrito sob form mtricil, freqüetemete mis vtjos, medite o emprego d seguite otção Em que A. = b (.) b b A,, b. b Assim, A é mtriz dos coeficietes ds icógits, o vetor colu ds icógits e b o vetor colu dos termos idepedetes. A mtriz A e os vetores colu e b serão cosiderdos reis, ão obstte muito do que se vi dizer este cpítulo ser geerlizável o cmpo compleo sem grde dificuldde. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico

3 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Um mtriz bstte importte, e que será utilizd posteriormete, é mtriz umetd de um sistem de equções lieres. Coforme mostrdo seguir, pr obtê-l bst crescetr à mtriz dos coeficietes o vetor b dos termos idepedetes. [ A b] b b b Defiição. Deomi-se vetor solução (ou simplesmete solução) de um sistem de equções lieres d form A = b, e deot-se por, o vetor que cotém s vriáveis j, j =,,, que stisfzem, de form simultâe, tods s equções do sistem. - Clssificção de um sistem de equções com relção o úmero de soluções Com relção o úmero de soluções, um sistem de equções lieres simultâes pode ser clssificdo em: () Comptível e determido: qudo dmitir um úic solução. (b) Comptível e idetermido: qudo dmitir um úmero ifiito de soluções. (c) Icomptível: qudo ão dmitir solução. Vle lembrr que, codição pr que um sistem de equções lieres teh solução úic é que o determite d mtriz dos coeficietes sej ão ulo. Cso cotrário será idetermido ou icomptível. Qudo todos os termos idepedetes forem ulos, isto é, se b i =, i =,,...,, o sistem é dito homogêeo. Todo sistem homogêeo é comptível, pois dmitirá pelo meos solução trivil ( j =, j =,,,..., ). De um form mis mpl, pode-se cosiderr que resolver um sistem de equções cosiste em digosticr em qul ds três situções ele se equdr. Ou sej, é mis do que determir um vetor, um vez que ele pode ão eistir ou ão ser úico. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico

4 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Métodos uméricos pr resolução de sistems de equções lieres Os métodos uméricos destidos resolver sistems lieres são divididos em dois grupos: os métodos diretos e os métodos itertivos. Métodos Diretos Os Métodos Diretos são queles que, eceto por erros de rredodmeto, forecem solução et de um sistem de equções lieres, cso el eist, por meio de um úmero fiito de operções ritmétics. São métodos bstte utilizdos resolução de sistems de equções desos de porte pequeo médio. Eted-se por sistem deso quele qul mtriz dos coeficietes tem um úmero pequeo de elemetos ulos. São cosiderdos sistems de pequeo porte - queles que possuem té trit equções e de médio porte té ciqüet equções. A prtir dí, em gerl, são cosiderdos sistems de grde porte. Pertecem à clsse dos Métodos diretos todos os que são estuddos os cursos de o e o grus como, por eemplo, Regr de Crmer. Etretto, tis métodos ão são usdos em problems práticos que eigem resolução de sistems de equções lieres com um úmero reltivmete grde de equções porque presetm problems de desempeho e eficiêci. Pr ilustrr este fto cosidere-se Regr de Crmer. Sej um sistem de equções lieres A. = b com o úmero de equções igul o úmero de icógits (um sistem ), sedo D o determite d mtriz A, e D, D, D,..., D os determites ds mtrizes obtids substituido em A, respectivmete, colu dos coeficietes de,,,..., pel colu dos termos idepedetes. Sbe-se que o sistem será comptível e terá solução úic se, e somete se, D e, etão, úic solução de A. = b é dd por: = D, = D D, = D D D,..., = D D Portto, plicção d Regr de Crmer eige o cálculo de + determites ( det A e det A i, i ). Pode ser mostrdo que o úmero máimo de operções ritmétics evolvids resolução de um sistem de equções lieres com equções e icógits pr este método é ( + )(!)( ), Pr = o úmero totl de operções efetuds será *! * 9 multiplicções mis um úmero semelhte de dições. Assim, um computdor que efetue cerc de milhões de multiplicções por segudo levri 5 os pr efetur s operções ecessáris. Sedo ssim, regr de Crmer é iviável em fução do tempo de computção pr sistems muito grdes e, portto, o estudo de métodos mis eficietes tor-se ecessário, Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico

5 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto um vez que, em gerl, os csos práticos eigem resolução de sistems lieres de porte elevdo. Ates, porém, fz-se ecessário trtr d bse teóric que fudmet estes métodos. Trsformções elemetres As trsformções elemetres costituem um cojuto de operções que podem ser efetuds sobre s lihs ou colus de um mtriz. No que se refere à resolução de sistems de equções lieres, ests trsformções são, ormlmete, plicds pes sobre s lihs d mtriz dos coeficietes ou d mtriz umetd depededo do método utilizdo.. Multiplicção de um lih por um costte ão-ul. i c i, c, c, i =,,...,. Troc de posição etre dus lihs. i j ; i, j =,,..., ; i j. Adição de um múltiplo de um lih outr lih, i i + c j, c, c ; i, j =,,..., ; i j Mtrizes equivletes Dus mtrizes são dits equivletes qudo é possível, prtir de um dels, chegr à outr por meio de um úmero fiito de trsformções elemetres. Sistems equivletes Dois sistems A = b e Ã. = c se dizem equivletes se possuem mesm solução. Mtriz trigulr (i) Superior: é um mtriz qudrd qul todos os elemetos bio d digol pricipl são ulos. (ii) Iferior: é um mtriz qudrd qul todos os elemetos cim d digol pricipl são ulos. Sistems Trigulres É um sistem de equções lieres o qul mtriz dos coeficietes é trigulr. Teorem Sej [A b] mtriz umetd de um sistem de equções A = b, com determite de A ão ulo, e [T c] um mtriz el equivlete. Sedo ssim, os sistems A. = b e T. = c possuem mesm solução. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico 5

6 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto. Método de Guss O Método de Guss é um dos mis cohecidos e utilizdos pr resolução de sistems de equções lieres desos de pequeo médio porte... Descrição do método A resolução de um sistem de equções lieres pelo método de Guss evolve dus fses distits. A primeir, chmd de fse de elimição, cosiste em efetur trsformções elemetres sobre s lihs d mtriz umetd de um sistem de equções A. = b té que, depois de pssos, se obteh um sistem trigulr superior, U. = c, equivlete o sistem ddo. A segud, chmd de fse de substituição, cosiste em resolver o sistem trigulr superior por meio de substituições retrotivs. b b b [A b] b o b Trsf.Eleme. - - b [U c] Pr descrição do método, sej resolver o sistem de equções lieres seguir = = 6 (.) = = Tem-se: A e b 6-6 Portto, mtriz umetd deste sistem de equções é Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico 6

7 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto [A b] Deotdo primeir lih de [A b] por, segud por, e ssim sucessivmete, são obtidos os seguites resultdos fse de elimição. Psso : Neste psso = é o elemeto pivô e o objetivo é elimição dos elemetos que estão bio dele. Pr isto é utilizdo o procedimeto seguir. (i) Clculr os multiplicdores m - i i, i =,,. Sedo ssim vem: 9 m - - -, m e m (ii) Efetur s trsformções elemetres. m. m. m. Dest form, obtém-se mtriz [A () b () ], seguir, que é equivlete {A b]. () [A b () ] Psso : Neste psso é o elemeto pivô e o objetivo é elimição dos elemetos que estão bio dele. Pr isto é utilizdo o procedimeto seguir. i (i) Clculr os multiplicdores mi -, i =,. Sedo ssim vem: 8 ( ) m e m Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico 7

8 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto (ii) Efetur s trsformções elemetres. m. m. É obtid, etão, mtriz [A () b () ], seguir, que é equivlete [A b]. () [A b () ] Psso : Neste psso é o elemeto pivô e o objetivo é elimição do úico elemeto que está bio dele. Pr isto é utilizdo o procedimeto seguir. i (i) Clculr o multiplicdor mi -, i =. Sedo ssim vem: (ii) Efetur trsformção elemetr. - ( ) - m m. É obtid, etão, mtriz [A () b () ], seguir, que é equivlete [A b]. () [A b () ] Portto, o fil de pssos, o sistem A. = b, epresso por (.), foi trsformdo o seguite sistem trigulr superior A (). = b () : =.. + = - (.).. = -. = Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico 8

9 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Termid fse de elimição, pss-se, gor, pr fse de substituição, qul se resolve o sistem (.) por meio ds seguites substituições retrotivs: 6 (-6) -.(-) -.() - (-) -.(-) - (-) - Portto, solução do sistem de equções é = [ - -] t. No método de Guss, os multiplicdores do psso d fse de elimição são clculdos, de form gerl, por meio d epressão: - i m i -,,..., -; i,,..., - (.) Pr efetur elimição são relizds s trsformções elemetres: - - m.,,..., -; i,,..., (.) i i i Pr vlir o úmero máimo de operções ritmétics evolvids resolução de um sistem de equções lieres, qudo se utiliz o método de Guss, é presetd o qudro. compleidde de pior cso ds fses de elimição e substituição. Fse Divisões Multiplicções Adições Totl ( ) ( )( ).... ( ) ( )( ).... Elimição ( ) ( ) ( ) Substituição ( ) ( ) Totl ( ) Qudro.: Compleidde do Método de Guss. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico 9

10 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Como se observ, o método de Guss tem compleidde poliomil O( ). Um computdor que fz um operção ritmétic em -8 segudos gstri,57 segudos pr resolver um sistem 55 (um tempo ifiitmete iferior àquele gsto pel Regr de Crmer). O sistem. foi preprdo com foco o método, ou sej, o processo de trsformção de um sistem de equções lieres qulquer em um que sej trigulr superior. N seqüêci, serão trtdos lgus eemplos com o objetivo de bordr lgums questões de ordem uméric. Eemplo. Sej resolver o sistem de equções.5, seguir, retedo os cálculos três css decimis.,5. +,8. +,. = 9,6,. + 5,. +,. =,6 (.5),8. +,. +,6. = 9, Os cálculos relizdos estão sumrizdos o qudro.. ih Multiplicdor Coeficietes T. id. Trsformções,5,8, 9,6 m = -,667, 5,,,6 m = -,78,8,,6 9,,999 -, -,77 + m m = -,5,8,7 5,78 + m,8 6,86 Qudro.: Sumrizção dos cálculos. m. Observe-se que, qudo é relizd trsformção elemetr pr elimição posição lih dois colu um, o cálculo relizdo é, + (-,667),5 que produz o resultdo (-,5) que, cosiderdo três css decimis, vi (-,). O problem está o erro de rredodmeto o cálculo do multiplicdor, que cusou refleo elimição. Como, o fil terá utilidde pes prte trigulr superior d mtriz dos coeficietes, etão, s posições s quis deve ocorrer elimição, os cálculos podem deir de ser feitos. Este procedimeto é iteresste porque dimiui o esforço computciol. É obtido, etão, o sistem trigulr superior ddo por.6. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico

11 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto,5. +,8. +,. = 9,6,999.,. = -,77 (.6),8. = 6,86 Resolvedo.6 obtém-se o vetor = [,,,8] t... - Avlição do Resíduo/Erro O erro ε produzido por um solução do sistem A. = b pode ser vlido pel epressão: má r (.7) i Ode r i, i =,,..., ; é i-ésim compoete do vetor resíduo R, o qul é ddo por: R = b A. (.8) i Pr o eemplo., o vetor resíduo é: 9,6,5,8,, R,6 -, 5,,. -, (.9) 9,,8,,6,8 Assim, o vetor resíduo é R = [,8,5,] t e o erro cometido é: má r má i i i,8,,5,,,5 (.) Eemplo -. Sej, gor, resolução do sistem de equções ddo por. cosiderdo, qudo for o cso, três css decimis = = - 7 (.) = = Os cálculos estão sumrizdos o qudro.. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico

12 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto ih Multiplicdor Coeficietes T. Idep. Trsformções - m = m = - 5 m = m m m m = - 6 m = -, m =, -,999 -,998 7,996 m. m. - 8, -, Qudro.: Sumrizção dos cálculos. É obtido, etão, o sistem trigulr superior ddo por = = (.). +. = - 6-8,. = -, Resolvedo. obtém-se o vetor = [ - ] t. É simples verificr que o vetor resíduo é ulo e, portto, foi obtid solução et do sistem de equções.. Observe-se que foi ecessário efetur troc de posição etre s lihs e em virtude de pivô ulo. Qudo ão é possível efetur troc de posição etre lihs, situção que ocorre qudo, lém de o pivô ser ulo, todos os elemetos d colu, que estão bio dele, tmbém o são, etão mtriz dos coeficietes é sigulr e o sistem de equções ão dmite solução úic. Est situção é trtd o eemplo. seguir. Eemplo. Sej resolução dos sistems de equções A. = b e A. = b ode: A, b 6 e b (.) Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico

13 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Os cálculos estão sumrizdos o qudro.. ih Multiplicdor Coeficietes b b Trsformções m = m = m = m m = m m = m m. m. m. m = Qudro.: Sumrizção dos cálculos. De A. = b é produzido o sistem trigulr superior ddo por =.. + = - (.) = -7. = Portto, trt-se de um sistem de equções lieres icomptível. De A. = b é produzido o sistem trigulr superior ddo por =.. + = - (.5) =. = Trt-se, ssim, de um sistem de equções lieres idetermido... - O Método de Guss com pivotção prcil Coforme eposto teriormete, o Método de Guss requer o cálculo dos multiplicdores. Etretto este fto pode ocsior problems se o pivô estiver próimo de zero ou for ulo. Isto porque trblhr com pivô ulo é impossível e o pivô próimo de zero pode coduzir resultdos imprecisos, visto que dá origem multiplicdores bem miores do que uidde o que, por su vez provoc um mplição dos erros de rredodmeto. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico

14 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto A mplição de erros de rredodmeto ocorre qudo se multiplic um úmero muito grde por outro que já cotém erro de rredodmeto. Por eemplo, dmit-se que um úmero teh erro de rredodmeto. Este úmero pode, etão, ser escrito form: ñ = + Se ñ é multiplicdo por m, tem-se que m.ñ = m. + m. Portto o erro o resultdo é m.. Se m for grde este erro pode ser muito mior que o origil. Diz-se, etão, que o erro foi mplificdo. Pr cotorr este problem, ou sej, pr miimizr o efeito dos erros de rredodmeto é dotd, o Método de Guss, um estrtégi de pivotção, que é um processo de escolh do pivô. Neste teto é cosiderd estrtégi de pivotção prcil, que cosiste em: (i) o psso, d fse de elimição, tomr como pivô o elemeto de mior módulo detre os coeficietes -, =,,..., - ; i =, +,..., ; i, (ii) se ecessário, efetur troc de posição etre s lihs i e. Utilizdo est estrtégi todos os multiplicdores serão, em módulo, meores que uidde. Aálises de propgção de erros de rredodmeto pr o lgoritmo de Guss idicm que é coveiete que isto ocorr, sedo ssim, é ecessário que o pivô sej o elemeto de mior vlor bsoluto d colu, cosiderdo d posição digol (iclusive) pr bio. Eemplo. Sej resolver o sistem de equções ddo por.6 utilizdo o Método de Guss com pivotção prcil e cosiderdo, qudo for o cso, três css decimis = = - (.6) = = 8 Os cálculos estão sumrizdos o qudro.5. Observe-se que é feit, de imedito, troc de posição etre s lihs um e três. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico

15 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto ih Multiplicdor Coeficietes T. Idep. Trsformções m = -, m = -, -5 5 m = -, ,6 -,6 -, -5, + m m = -,875 -,,6,, + m m =,75, -,8 -,6, + m m. m.,5,5 6,75 -,5 -,5 -,5 -,5 -,5 -,5 m =,5,5,5 6,75 6 m. 5 Qudro.5: Sumrizção dos cálculos. É obtido, etão, o sistem trigulr superior ddo por = 7 -,6.,6.,. = - 5, (.7) -,5.,5. = -,5 = 6 Resolvedo.7 obtém-se o vetor = [ - -5, 6] t. O vetor residul produzido é ddo por r = [-, -, -, -,] t. Assim, o erro cometido é: má r má i i i,, -,, -,, -,, Portto ão foi obtid solução et do sistem ddo por.6. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico 5

16 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto. - O Método d Decomposição U.. Itrodução Em muits situções, é desejável resolver vários sistems de equções lieres que possuem em comum mtriz dos coeficietes e têm termos idepedetes diferetes, ou sej, qudo se tem: A. = b i, i =,,..., m Nestes csos, é idicdo resolvê-los por meio um técic de ftorção d mtriz A. Est técic cosiste em decompor mtriz dos coeficietes em um produto de dois ou mis ftores e, em seguid, resolver um seqüêci de sistems de equções lieres que coduzirá à solução do sistem origil. A vtgem d utilizção de um técic de ftorção é que se pode resolver qulquer sistem de equções lieres que teh A como mtriz dos coeficietes. Se b for lterdo, resolução do ovo sistem é quse que imedit. Detre s técics de ftorção mis utilizds, destc-se d decomposição U. Por est técic, mtriz A dos coeficietes é decompost como o produto de dus mtrizes e U, ode é um mtriz trigulr iferior e U, um mtriz trigulr superior, isto é: A =.U Ates de trtr do método d decomposição U, serão presetdos lgus coceitos ecessários à su fudmetção. Mtriz idetidde É um mtriz qudrd qul os elemetos situdos digol pricipl são iguis um e, os demis, são ulos. É deotd por I. Sedo A um mtriz, tem-se que A.I = I.A = A. Defiição. Sej A um mtriz qudrd de ordem, ão-sigulr, isto é, det(a). Diz-se que A - é ivers de A se A.A - = A -.A = I. Teorem. Se A e B são mtrizes de ordem, iversíveis, etão (A.B) - = B -.A -. Demostrção Sej: B -.A - = R B -.A -.A = R.A B - = R.A B -.B = R.A.B I = R.A.B Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico 6

17 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto I.(A.B) - = R.(A.B).(A.B) - (A.B) - = R ogo (A.B) - = B -.A -., A Ftorção U de um mtriz c.q.d. Teorem. Dd um mtriz qudrd A, de ordem, sej A mtriz costituíd ds primeirs lihs e colus de A. Supoh que det(a ) pr =,,..., ( ). Etão, eiste um úic mtriz trigulr iferior = (l ij ), com l = l =... = l =, e um úic mtriz trigulr superior U = (u ij ), tl que.u = A. Além disto det(a) = u.u... u. Os ftores e U podem ser obtidos por meio de fórmuls que permitem clculr os elemetos l ij, i =,,..., e j =,,..., e u ij ; i, j =,,..., ou utilizdo idéi básic do Método de Guss. Neste teto, será trtd obteção ds mtrizes e U utilizdo idéi básic do método de Guss, um vez que o uso de fórmuls dificult plicção d estrtégi de pivotção prcil. Cosidere-se um mtriz geéric de ordem três. A {.8) No primeiro psso do processo de elimição são obtidos os multiplicdores m - e e são efetuds s trsformções elemetres. m - m. (.9) Sedo obtid mtriz m. (.) A (.) Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico 7

18 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Tod trsformção elemetr pode ser epress como um produto de dus mtrizes. Sedo ssim, efetur s trsformções elemetres.9 e. equivle pré-multiplicr.8 pel mtriz.. M m m (.) Com efeito, ote-se que M.A m m m m.. m m.. m m.. ogo M.A A (.) No segudo psso do processo de elimição é clculdo o multiplicdor e é efetud trsformção elemetr. m - Obtém-se mtriz m. (.) A (.5) Pode ser demostrdo que relizr trsformção elemetr. é equivlete prémultiplicr mtriz. pel mtriz M m (.6) Portto, A = M.A (.7) Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico 8

19 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Resumido, tem-se que: A = M.A A = M.A Portto A = M. M.A (.8) Pré-multiplicdo os dois membros de.8 pel ivers d mtriz (M. M ) (M. M ) -.A = (M. M ) -.(M. M ).A = I.A = A Portto A = (M. M ) -.A = (M ).(M ).A (.9) Pode ser demostrdo que (M ) - m m (.) (M ) - m (.) Tedo em vist. e., tem-se que (M ) -.(M ) - m m m (.) Substituido.5 e. em.9 tem-se que A m. (.) m m Assim, pode-se cocluir que A = U, ode: (i) U é mtriz trigulr superior obtid o fil d fse de elimição do método de Guss; (ii) é um mtriz trigulr iferior, qul os elemetos d digol pricipl são uitários e, bio, se ecotrm os multiplicdores d etp d fse de elimição com o sil trocdo. U Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico 9

20 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto.. A resolução de um sistem de equções lieres utilizdo Decomposição U Sej um sistem de equções A. = b. Pr resolvê-lo, utilizdo decomposição U, bst eecutr seguite seqüêci de pssos: (i) Obtém-se ftorção.u d mtriz A. Sedo A =.U, etão.u. = b; (ii) Fz-se U = y, logo.y = B; (iii) Resolve-se o sistem trigulr iferior y = b; (iv) Resolve-se o sistem trigulr superior U = y obtedo, etão, solução do sistem de equções A. = b. Eemplo.5 Sej resolver o sistem de equções seguir.. +. = = = 9 Os cálculos relizdos estão sumrizdos o qudro.6. ih Multiplicdor Coeficietes Trsformções - m = m = m m = m - Qudro.6: Sumrizção dos cálculos. m. Tem-se, etão que: - e U - - Resolução do sistem.y = b y = -.y + y = - 5 Y = [ 7 6] t.y +.y + y = 9 Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico

21 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Resolução do sistem U. = Y. +. =. +. = 7 -. = 6 O vetor = [ ] t é solução do sistem de equções ddo... O Método d Decomposição U com Pivotção Prcil Pr plicr estrtégi de pivotção prcil o Método d Decomposição U fz-se ecessário utilizr um vetor de permutção P, que é gerdo tribuido-se um úmero de ordem cd equção que compõe o sistem. Pr efeito d presetção do processo, sej o eemplo seguir. Eemplo.6 Sej resolver o sistem de equções ddo seguir utilizdo o Método d Decomposição U com pivotção prcil e cosiderdo, qudo for o cso, dus css decimis.. - = 6. + = = = - O vetor de permutção é P = [ ] t. Os cálculos estão sumrizdos o qudro.7. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico

22 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto ih Multiplicdor Coeficietes P Trsformções m = -, - m = - m = -,8 - -, - -, m =,5, - m =,5, , -,5 -,5,8 -,5-5 7,5 5,8 -,5-5 7,5 5 m = -,, -,5 -,5 6, -,5, -, Qudro.7: Sumrizção dos cálculos. + m + m + m + m m Observe-se que é feit, de imedito, troc de posição etre s lihs um e qutro. A mesm troc deve ser feit o vetor de permutção. Obtém-se, etão, P () = [ ] t e é relizd elimição dos elemetos d primeir colu. No psso dois, que cosiste elimição dos elemetos d segud colu, verific-se que o pivô está terceir lih. ogo, é ecessário fzer troc de posição etre s lihs dois e três. Est mesm trsformção deve ser relizd o vetor de permutção, obtémse, etão, P () = [ ]. Verific-se, o psso três, que o pivô está qurt lih. ogo, é ecessário fzer troc de posição etre s lihs três e qutro. Efetudo mesm trsformção o vetor de permutção, obtém-se P () = [ ]. Têm-se, seguir, s mtrizes e U.,8, -,5 -,5, 5 e U ,5 -, Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico

23 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Resolução do sistem.y = b Aplicdo P () = [ ] o vetor b = [6 8 7 ] t, -e obtido b = [ ] t. y = - y = - 7,8.y,5.y + y = 6 y = 6,5,.y,5.y +,.y + y = 8 y = - Resolução do sistem U. = Y = = ,5. = 6,5,. = - A solução do sistem de equções é, portto, = [ - 5] t. Eemplo.7 A álise dos limetos, I, II e III revelou que os mesmos possuem s seguites uiddes de vitmis A, B e C por grm: Vitmi A B C I,5 8, 7, II, 8, 9, III 5,,8 7,6 A tbel iform que, por eemplo, um diet com g do limeto I forece 65 uiddes de vitmi A, de vitmi B e 8 de vitmi C. Se um pesso precis igerir 68, 79, e,7 uiddes de vitmi A, B e C, respectivmete, quis s qutiddes dos limetos I, II e III que suprirão ests ecessiddes? Solução Bst resolver o seguite sistem de equções:,5 +, + 5, = 68 () 8, + 8, +,8 = 79, () 7, + 9, + 7,6 =,7 () Utilizdo-se o método d decomposição U com pivotção prcil e efetudo os cálculos com css decimis, são obtidos os resultdos seguir. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico

24 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto ih Multiplicdor Coeficietes P Trsformções m = -,59 8, 8,,8 m = -,7,5, 5, 7, 9, 7,6 m = -,9,59,7,59 8, 6,6 8,99 + m + m,7,9,77 + m Resolvedo Y = B Aplicdo P = [ ] t em B, obtém-se B = [79, 68,7] t y = 79,,59 y + y = 68 y = 78,65,7 y +,9y + y =,7 y = 7,9 Resolvedo UX = Y 8, + 8, +,8 = 79,,59 + 8, = 78,65,77 = 7,9 Obtém-se, como solução, o vetor X = [7,957 7,78,5] t, em grms. O vetor residul produzido é R = [-,877 -,8,65] t, portto foi obtid um solução proimd. Obs: A solução et é X = [8 7,5,] t...5 Cálculo de Determites Um subproduto d resolução de sistems lieres por meio de métodos diretos é o cálculo de determites. É mostrdo seguir como clculr o determite de um mtriz utilizdo o Método d Decomposição U. Como foi visto, mtriz A pode ser decompost como produto de dois ftores e U, ode é um mtriz trigulr iferior com elemetos digois uitários e U um mtriz trigulr superior, isto é: A = U. Assim, pode-se escrever: det(a) = det(.u) = det() det(u) Como se sbe, o determite de um mtriz trigulr é igul o produto dos elemetos d digol pricipl, etão det() = e det(a) = det(u) = produto dos pivôs Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico

25 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto No cso de ser utilizdo o procedimeto de pivotção prcil, tem-se que det(a) = (- ) det(u) = (- ) produto dos pivôs Sedo o úmero de trocs de posição etre lihs durte fse de elimição. Eemplo.8 N decomposição U, com pivotção prcil, d mtriz form obtidos os ftores e U,75,5 A -,5 - - e U - -,5,75 Com dus trocs de posição etre lihs fse de elimição. Sedo ssim: det(a) = det(u) = (- ) () (- ) (,75) = -7 Os ites..6 e..7, seguir, trtm de dus plicções do Método d Decomposição U que cosiderm situção qul se desej resolver vários sistems de equções lieres que possuem em comum mtriz dos coeficietes e têm termos idepedetes diferetes...6 Refimeto d solução de um sistem de equções lieres simultâes Quer utilize-se técic de pivotção ou ão, os erros de rredodmeto têm lgum efeito os resultdos. Por este motivo, tão logo teh sido obtid um solução, fz-se ecessári utilizção de um técic de refimeto que, ormlmete, reduzirá os erros de rredodmeto. Sedo ssim, dmit-se que: (i) Um sistem de equções, A. = b foi resolvido, utilizdo-se o método d decomposição U e foi obtid um solução proimd, dd por um vetor. (ii) A solução et, que se desej determir, é um vetor. (iii) Δ é um vetor de correção ser feit em de modo obter. Portto, tem-se que = + Δ e A. = b A.( + Δ ) = b A.Δ = b A. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico 5

26 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto De cordo com.8, R = b A. é o vetor resíduo produzido pel solução proimd. Sedo ssim A Δ = R Tem-se, etão, um sistem de equções lieres simultâes com mtriz dos coeficietes idêtic à de A. = b. Como A = U etão.u.δ = R Fzedo U.Δ = Y tem-se.y = R. Pr determir Δ bst resolver, pel ordem,.y = R (.) que é um sistem de equções lieres simultâes trigulr iferior) e U.Δ = Y (.5) que é um sistem de equções lieres simultâes trigulr superior. Resolvedo.5 e, seguir,. fic determido o vetor Δ. Feit correção em é obtido o vetor e clculdo o vetor resíduo R. Este processo pode, turlmete, ser repetido té que se obteh um erro que, por lgum critério, poss ser cosiderdo suficietemete pequeo. Eemplo.9 O sistem de equções + = = = foi resolvido utilizdo-se o método d decomposição U com pivotção prcil. Form obtids s mtrizes: -,67 -,, - U 5 6, 6,7 e o vetor de pivotção P () = [ ] t. Como um solução foi obtido o vetor = [,97 -,978,967] t, que produziu o vetor residul R = [-,6,,7] t. Fç um refimeto d solução obtid. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico 6

27 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Solução Resolução de Y = R Aplicdo P = [ ] t em R obtém-se R = [, -,6,7] t. Sedo ssim Y = [, -,6,96] t. Resolução de UΔ = Y É obtido Δ = [,68 -,6,5] t Como = + Δ = [,9999 -,,9999] t Est solução produz o vetor resíduo R = [-,,,] t. Cosiderdo-se R, verific-se que é um solução que preset um precisão mior que. De fto, tem-se pr que: má r má i i i -,6,,,,7,7 e, pr, má r má -,,,,, i i i A solução produz um resíduo meor Determição d ivers de um mtriz Sej A um mtriz qudrd ão sigulr, isto é, det(a), e = A - su mtriz ivers. Sedo ssim, tem-se que A. = I. O objetivo deste teto é mostrr como obter utilizdo o Método d Decomposição U. Pr efeito de desevolvimeto, sej A um mtriz de ordem. Portto, tem-se que: A I Fzedo o produto, são obtidos os três sistems de equções seguir. + + = + + = + + = + + = + + = + + = + + = + + = + + = Observe-se que são três sistems de equções que têm em comum mtriz dos coeficietes diferido, pes, mtriz dos coeficietes. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico 7

28 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto São sistems de equções d form A. i = B i, i =,,, ode i é i-ésim colu de e B i é i-ésim colu de I. Como A =.U, etão.u. i = B i. Resolvem-se, etão, os sistems de equções.y i = B i e U. i = Y i, i =,,. A resolução de cd um destes sistems de equções produz um colu d mtriz. Eemplo. Utilizdo o Método d Decomposição U determie ivers d mtriz. A - - Sbedo-se que -, U - 5 -,6 Reteh os cálculos três css decimis. Solução Determição d primeir colu de X: Y = B, ode B = [ ] t Y = [ - -,] t UX = Y X = [,77,67 -,89] t. Determição d segud colu de X: Y = B, ode B = [ ] t Y = [,] t UX = Y X = [,88 -,66,56] t Determição d terceir colu de X: Y = B, ode B = [ ] t Y = [ ] t UX = Y X = [-,56,67,78] t ogo, mtriz ivers de A é: A,77,67 -,89,88 -,66,56 -,56,67,78 Observe-se que, pr determir ivers de um mtriz de terceir ordem, foi ecessário resolver três sistems de equções lieres simultâes de ordem três. Sedo ssim, co- Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico 8

29 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto clui-se que, pr determir ivers de um mtriz de ordem, é ecessári resolução de sistems de equções lieres simultâes de ordem. 5 - Métodos itertivos 5. - Teori Gerl dos Métodos Itertivos Um ds idéis fudmetis em Cálculo Numérico é d iterção ou proimção sucessiv. Eiste um grde úmero de métodos uméricos, pr resolver os mis vridos tipos de problems, que são processos itertivos. Como o próprio ome já diz, esses métodos se crcterizm pel plicção de um procedimeto de form repetid, ou sej, repetir um determido cálculo váris vezes, obtedo-se cd repetição, ou iterção, um resultdo mis preciso que quele obtido iterção terior. Um importte clsse é dos métodos itertivos estcioários de gru um, os quis o resultdo obtido em cd iterção é um fução, somete, do resultdo d iterção terior. Se um problem, P, tem um solução S, etão é gerd um seqüêci de proimções, ou de estimtivs, {S }, =,,,...; tl que: S = (P, S - ), =,,,... (5.) Sedo que epressão 5. é fução de iterção do método itertivo. Defiição 5. Um método itertivo é dito estcioário se fução de iterção é, sempre, mesm em tods s iterções. Cso el se modifique é dito ão estcioário. Defiição 5. Um método itertivo é dito de gru g se, pr obter um estimtiv, são ecessáris g estimtivs teriores d solução do problem, ou sej, fução de iterção é d form: S = (P, S, S,..., S g ); = g, g +, g +,... (5.) Por eemplo: p = S = (P) e S = (P, S - ), =,,... p = S = (P), S = (P, S ) e S = (P, S -, S - ), =,,... Os spectos trtdos seguir estão, sempre, presetes os processos itertivos estcioários de gru um idepedetemete do problem ser resolvido. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico 9

30 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Estimtiv iicil Como, em cd iterção, é ecessário utilizr o resultdo d iterção terior, etão, fim de se iicir um processo itertivo, é preciso ter um estimtiv iicil pr solução do problem. Ess estimtiv pode ser coseguid de diferetes forms, coforme o problem que se desej resolver. Fução de iterção Um fução de iterção, d form 5., por meio d qul se costrói um seqüêci de estimtivs pr solução do problem. Covergêci É preciso que o método itertivo gere um seqüêci que covirj pr solução do problem. Isto sigific que o resultdo obtido em um iterção deve estr mis próimo d solução do que o terior. Ess covergêci em sempre é grtid em um processo umérico. Critério de Prd Obvimete ão se pode repetir um processo umérico de form idefiid. É preciso prá-lo em um determido istte. Pr isto, deve ser utilizdo um certo critério, que vi depeder do problem ser resolvido, por meio do qul é tomd decisão quto à filizção do processo. Este critério de prd evolve precisão desejd solução do problem, e um úmero máimo de iterções Métodos Itertivos pr resolução de sistems de equções lieres simultâes Pr determir solução de um sistem de equções lieres por meio de um método itertivo é preciso trsformá-lo em um outro sistem lier que possibilite defiição de um processo itertivo. Além disto, o sistem lier obtido pós trsformção deve ser equivlete o sistem origil, ou sej, mbos devem ter mesm solução. Sedo ssim, ddo um sistem lier equivlete d form A. b, ele é trsformdo em um sistem lier M. c () (5.) Ode: M é um mtriz com dimesões c é um vetor com dimesões Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico

31 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto A fução () é fução de iterção que, o cso, é dd form mtricil. A seguir, tomdo-se um proimção iicil, itertiv de vetores: (), pr, costrói-se um seqüêci () () () M. M. (o) () c ( c ( ( -) (o) () ) ) ( - M. c ( ), =,,... (5.) A epressão 5. é form gerl dos métodos itertivos, do tipo estcioário de gru um, que serão trtdos est seção, sedo que M é mtriz de iterção. Defiição 5. Se pr qulquer estimtiv iicil limite idepedete de, sucessão { }, obtid de 5., covergir pr um, etão o método itertivo diz-se covergete. Defiição 5. Se os sistems de equções A. = b e (I M). = c possuírem mesm solução, etão o método itertivo cosubstcido por 5. é dito cosistete. Proposição 5. Sej det(a). O método itertivo proposto em 5. é cosistete se, e somete se, (I M).A -.b = c Prov Sedo = M. + c M. = c (I M). = c...() A. = b = A -.b... () Substituido () em () vem que (I M).A -.b = c c.q.d. Sedo ssim, é iteresste que os métodos itertivos sejm, simultemete, covergetes e cosistetes. Critério de prd O processo itertivo é filizdo qudo se obtém () tl que m, ( ) ( ) i i i =,,..., ; sej meor ou igul um precisão estbelecid e, etão, () é tomdo como um proimção pr solução do sistem de equções; ou qudo for tigido um úmero máimo de iterções estbelecido. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico

32 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto 5. - Método de Jcobi 5.. Formulção lgébric Sej um sistem de equções lieres d form... b... b b (5.5) Sedo ii, i,,...,, eplicit-se um icógit em cd equção (ou sej, fz-se seprção pel digol d mtriz de coeficietes) e estbelece-se o esquem itertivo seguir. () () () (b (b (b ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ) ( -) ) ( -) ) (5.6) Sedo ssim, dd um proimção iicil um seqüêci (), (),..., (), o Método de Jcobi cosiste em obter (), por meio d relção recursiv: () = M. ( ) + c (5.7) Ode M / / / / / / / / / e b / b / c b / Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico

33 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Eemplo 5. Resolv o sistem de equções seguir utilizdo o Método de Jcobi com precisão,5, um máimo de 5 iterções e = [ ] t. Solução A fução de iterção é: = = =,5.( ,.(- -,.( Fzedo os cálculos utilizdo 5.8, são obtidos os resultdos presetdos o qudro ) - - ) ) (5.8) - m i - i ,,57,,,95,95,8,5,995,6,969,,99,99,,6 Qudro 5.: Resultdos obtidos Cosiderdo precisão estbelecid, o vetor = [,99,99,] t é um solução do sistem de equções. 5.. Formulção mtricil O esquem itertivo de Jcobi pode ser formuldo mtricilmete. Pr obter est formulção, cosidere-se, iicilmete, que 5.6 pode ser escrito d form dd por () () ( ) b b b ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) (5.9) Sejm, etão, s mtrizes Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico

34 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto - b - - b A b (5.) - b D U (5.) Sedo que A é mtriz dos coeficietes, é um mtriz que cotém prte estritmete trigulr iferior de A, U é um mtriz que cotém prte estritmete trigulr superior de A e D é um mtriz que cotém digol de A. Um mtriz é estritmete trigulr, iferior ou superior, qudo os elemetos d digol pricipl tmbém são ulos. Pode ser verificdo, fcilmete, que: (i) + D + U = A (5.) (ii)... D. (5.) (iii) b b b ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) b - ( U). - (5.) Cosiderdo 5. e 5., tem-se que 5.9 pode ser reescrito form: D. = b ( + U). (5.5) Multiplicdo mbos os termos de 5.5 pel ivers d mtriz digol vem: D.D. = D.b D.( + U). - Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico

35 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Portto, formulção mtricil do esquem itertivo de Jcobi é: = D.( + U). + D.b (5.6) Ou, etão Ode = M. + c (5.7) M = D.( + U) (5.8) c = D.b (5.9) Eemplo 5. Resolv o sistem de equções seguir utilizdo o método de Jcobi su formulção mtricil com precisão,5; um máimo de iterções e = [ ] t.. + = 9 +. = + 5. = -6 Solução Tem-se que: D - 5 U b - 6 É trivil verificr que D -,5, -, Etão M - D - -,5 ( U) -,., - - -,,,5, -,5, Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico 5

36 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto c D -,5.b Sedo ssim, o esquem itertivo é:, 9,75.,667, 6,,5 -,5,75 -,,. -,667,,, As iterções produzem os resultdos seguir.,75,667, 5,67,8,8,85,8,,95,58,95 5 5,,996, 6,998,99,5 As difereçs etre s iterções cosecutivs são dds pelos vetores:,867,8,88,767,9,6,,5, 5,8,6,67 6 5,,5,5, Portto, pr precisão estbelecid, o vetor 6 = [,998;,99;,5] t é um solução. Proposição 5. O Método de Jcobi, ddo por 5. é cosistete. Prov Cosiderdo proposição 5., deve ser demostrdo que (I M).A.b = c. Com efeito. (I M).A.b = [I + D.( + U)].A.b = [D.D + D.( + U)].A.b = D.( D + + U).A.b Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico 6

37 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto = D.A.A.b = D.b = c c.q.d Método de Guss-Seidel 5.. Formulção lgébric Assim como o Método de Jcobi o sistem de equções lieres A. = b é escrito form equivlete: = M. + c por meio d seprção digol d mtriz dos coeficietes e o processo itertivo de tulizção é seqüecil, compoete por compoete. A difereç é que, o mometo de relizr-se tulizção de um ds compoetes do vetor um determid iterção, são utilizds s compoetes já tulizds iterção tul, com s resttes ão tulizds d iterção terior. Por eemplo, o se clculr compoete () j, j =,,..., ; d iterção (), utilizm-se s compoetes já tulizds () () (),,..., j com s compoetes id ão tulizds d iterção terior ( -) j, ( -) j,..., ( -). Portto, tem-se o esquem itertivo seguir. () () () ( ) (b (b (b (b ( -) () () () () ( -) ( -) () ( -) ( -) () ( -) () ( -) ( -) ) ( -) ) ) ) (5.) Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico 7

38 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Eemplo 5. Resolv o sistem de equções seguir utilizdo o Método de Guss-Seidel com precisão,5, um máimo de 5 iterções e = [ ] t. Solução A fução de iterção é dd por: = = =,5.( ,.(- -,.( fzedo os cálculos utilizdo 5.9, são obtidos os resultdos presetdos o qudro ) ) - ) - m i - i ,,7,,,,,99,,997,996,, Qudro 5.: Resultdos obtidos Cosiderdo precisão estbelecid, o vetor = [,997,996,] t é um solução do sistem de equções. É de se esperr que o Método de Guss-Seidel gere um seqüêci que coverge mis rápido pr solução do sistem de equções do que quel gerd pelo Método de Jcobi, um vez que fz tulizção imedit dos ddos. Embor isto ocorr com freqüêci, o fto ão pode ser geerlizdo. Há csos em que há covergêci qudo se utiliz um método e qudo se utiliz o outro ão. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico 8

39 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto 5.. Formulção mtricil Pr obter est formulção, cosidere-se, iicilmete, que 5. pode ser escrito d form dd por () () ( ) b b b ( -) () () ( -) ( -) () ( -) ( -) () (5.) Cosiderdo s mtrizes 5. e 5. tem-se: b b b ( -) () () ( -) ( -) () Tedo em vist 5. e 5. pode-se escrever 5. form: ( -) ( -) () b -. - U. - (5.) D. = b. - U. (5.) De ode vem que D. +. = b - U. (D + ). = b - U. (5.) Multiplicdo mbos os termos de 5. pel ivers d mtriz (D + ) vem: Sedo ssim (D + ).(D + ). = (D + ).[b U. ] = (D + ).b (D + ).U. Portto, formulção mtricil do esquem itertivo de Guss-Seidel é: = (D + ).U. + (D + ).b (5.5) Ou, etão Ode = M. + c (5.6) M = (D + ).U (5.7) c = (D + ).b (5.8) Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico 9

40 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto N prátic, formulção 5.5 ão é utilizd, um vez que eige determição d ivers d mtriz (D + ). Ao ivés, é utilizd um formulção obtid cosiderdo 5. e multiplicdo os seus dois membros pel ivers d mtriz D. Tem-se, etão, que: D.D. = D.b D.. - D.U. (5.9) = D.. - D.U. + D.b (5.9) O resultdo presetdo por 5.9 é mis simples de utilizr do que 5.5, um vez que requer ivers d mtriz D, que é um mtriz digol. É simples verificr que, pr obter ivers de um mtriz digol, bst iverter os seus elemetos digois. Observe-se, id, que formulção mtricil dd por 5.9 lev à formulção lgébric presetd em 5.. Eemplo 5. Resolv o sistem de equções seguir utilizdo o método de Guss-Seidel formulção mtricil dd por 5.5 com precisão,5; um máimo de 5 iterções e = [ ] t.. + = 9 +. = + 5. = -6 Solução Tem-se que: D - 5 U b - 6 Pode ser mostrdo que: (D ) -,5 -,8,,,67 -, Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico

41 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Etão M - (D ) -.U,5-8, -,5,6, c (D ) -.b,75,85,765 Sedo ssim, o esquem itertivo é:,5 -,5,75-8,6. -,85,,,765 As iterções produzem os resultdos seguir.,75,85,765,8,979,96 5,,986,997,997,,998 As difereçs etre s iterções cosecutivs são dds pelos vetores:,8,89,96,7,7,6,7,, Portto, pr precisão estbelecid, o vetor = [,997;,;,998] t é um solução. Proposição 5. O Método de Guss-Seidel, ddo por 5.5 é cosistete. Prov Cosiderdo proposição 5., deve ser demostrdo que (I M).A.b = c. Com efeito. (I M).A.b = [I + (D + ).U].A.b = [(D + ).(D + ) + (D + ).U].A.b = (D + ).( D + + U).A.b = (D + ).A.A.b = (D + ).b = c c.q.d. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico

42 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Covergêci dos métodos itertivos Embor ordem ds equções em um sistem lier ão eerç qulquer ifluêci com relção à eistêci de solução, qudo se trt d utilizção de um método itertivo el é relevte um vez que defie fução de iterção. Pr mostrr este fto cosider-se o eemplo 5.5 o sistem de equções utilizdo os eemplos 5. e 5., porém trocdo ordem ds equções um e dois. Eemplo 5.5 Resolv o sistem de equções seguir utilizdo o Método de Guss-Seidel. Fç os cálculos com dus css decimis e tome = [ ] t. Solução A fução de iterção é: = = = ,.( ) (5.) Fzedo os cálculos utilizdo 5.9, são obtidos os resultdos presetdos o qudro m i - i , 8, -.7,7 87,6.77,7-6., 8.5, -.75,7.778,6 Qudro 5.: Resultdos obtidos Observ-se, clrmete, que ão está ocorredo covergêci. Ocorre que, com troc de posição etre s equções um e dois, fução de iterção se modificou, bst comprr 5.9 e 5.. A fução de iterção 5. ger um seqüêci que ão é covergete. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico

43 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Critério de covergêci Pr os métodos itertivos de Jcobi e Guss-Seidel são válidos os critérios de covergêci seguir Critério ds lihs É codição suficiete pr que os métodos itertivos gerem um seqüêci que coverge pr solução de um sistem de equções, qulquer que sej proimção iicil, que, i =,,..., ii ij j Além do mis, quto mis próim de zero estiver relção covergêci. j ii ij mis rápid será Critério ds colus É codição suficiete pr que os métodos itertivos gerem um seqüêci que coverge pr solução de um sistem de equções, qulquer que sej proimção iicil, que, j =,,..., jj ij i Além do mis, quto mis próim de zero estiver relção covergêci. i jj ij mis rápid será Observe-se que estes dois critérios evolvem codições que são pes suficietes, se pelo meos um dels for stisfeit, etão está ssegurd covergêci, etretto se ehum ds dus for stisfeit d se pode firmr. Os eemplos seguir presetm sistems de equções que podem ser resolvidos, somete, por meio de um dos dois métodos itertivos borddos. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico

44 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Eemplo 5. Este eemplo trt de um sistem de equções lieres que pode ser resolvido, somete, por meio do Método de Jcobi. Sej o sistem de equções seguir e = [ ] t = + + = = Solução () Aplicdo o Método de Jcobi, tem-se que fução de iterção é: (5.) Fzedo os cálculos utilizdo 5., são obtidos os resultdos presetdos o qudro 5.. Observe-se que foi obtid solução et. - m i - i Qudro 5.: Resultdos obtidos (b) Aplicdo, gor, o Método de Guss-Seidel (5.) Fzedo os cálculos utilizdo 5., são obtidos os resultdos presetdos o qudro m i - i Qudro 5.5: Resultdos obtidos Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico

45 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Neste cso, verific-se que o Método de Guss-Seidel ger um seqüêci que ão coverge pr solução do sistem de equções. Eemplo 5.5 Este eemplo trt de um sistem de equções lieres que pode ser resolvido, somete, por meio do Método de Guss-Seidel. Sej = [ ] t.,5 +,6. +,. =, + + =,. -,. + = -,6 Solução () Aplicdo o Método de Jcobi, tem-se que fução de iterção é:.(, -, ,6 -, ,.,. - - ) (5.) Fzedo os cálculos utilizdo 5., são obtidos os resultdos presetdos o qudro m i - i ,, -,6,6,76, -,76,6,66, -,8,,89,8 -,86,78 5,658 -,8 -,875,56 6,98,6 -,88, 7,67 -, -,96,6 8,6,6 -,98,9 9,66 -,56 -,9,,6,7 -,97,85 Qudro 5.6: Resultdos obtidos Observe-se que ão há covergêci. (b) Aplicdo, gor, o Método de Guss-Seidel..(, -, ,6 -, ,.,. - ) (5.) Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico 5

46 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Fzedo os cálculos utilizdo 5., são obtidos os resultdos presetdos o qudro m i - i , -, -,9,9, -,5 -,78,,8 -,6 -,5,9,869 -,7 -,87,6 5,79 -, -,7,6 6,9 -,8 -,,9 7,87 -, -,, 8,, -,5,55 9,, -,,,977,7 -,98,5 Qudro 5.7: Resultdos obtidos Neste cso, verific-se que o Método de Guss-Seidel ger um seqüêci que, embor muito letmete, coverge pr solução do sistem de equções Compleidde dos métodos itertivos A álise d compleidde (qutidde de operções) requerids em um método itertivo, em cd iterção, é bstte simples. O que ão é trivil é determir o úmero eto de operções relizds por um progrm de resolução de sistems de equções lieres por meio de um método itertivo, pois este depede do critério de prd dotdo. Pr evitr que se etre em loop, relizdo operções qudo ão ocorre covergêci, ou qudo ão se lcç precisão estbelecid, sempre deve ser dotdo como critério de prd, lém d precisão desejd, um úmero máimo de iterções permitido. No pior cso, este será o úmero de vezes que s iterções serão eecutds. Os métodos de Jcobi e Guss-Seidel relizm, por iterção, ( ) operções ritmétics: ( ) multiplicções de vriáveis por coeficietes, ( ) soms e um divisão pr cd vriável do sistem, totlizdo, pr cd vriável, ( ) operções pr cd um ds vriáveis. Pr vlores de grdes, o termo de meor gru é domido pelo termo de mior gru, e o custo dos métodos se tor. Devido ecessidde de verificr possível covergêci pr solução do sistem, sob pe de ão se chegr um resultdo válido em su resolução, os testes de covergêci torm-se prticmete obrigtórios resolução itertiv de sistems de equções lieres e, portto, devem ser cosiderds o custo destes métodos. O critério ds lihs tem um custo de ( ) operções ritmétics, um vez que são relizds ( - ) soms, lém disto, são relizds comprções pr verificr se m- Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Numérico 6