José Álvaro Tadeu Ferreira. Cálculo Numérico. Notas de aulas

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1 UNIVERSIDADE FEDERA DE OURO PRETO Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Deprtmeto de Computção José Álvro Tdeu Ferreir Cálculo Numérico Nots de uls Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes Ouro Preto Mis Geris (Últim revisão em outubro de )

2 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes Coteúdo - Itrodução... - Clssificção de um sistem lier... Métodos Diretos Método d Elimição de Guss Avlição do Resíduo/Erro Pivotção prcil Método d Decomposição U..... A Ftorção U de um mtriz Uso Decomposição U resolução de um sistem de equções lieres O Método d Decomposição U com Pivotção Prcil Cálculo de Determites Refimeto d solução de um sistem de equções lieres simultâes Determição d ivers de um mtriz Métodos itertivos Teori Gerl dos Métodos Itertivos Métodos Itertivos e resolução de sistems de equções lieres simultâes Método de Jcobi..... Formulção lgébric..... Formulção mtricil Método de Guss-Seidel Formulção lgébric Formulção mtricil Covergêci dos métodos itertivos Critérios de covergêci Compleidde dos métodos itertivos Cosiderções fiis... Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes

3 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes - Itrodução A resolução de sistems de equções lieres simultâes é um problem umérico que ocorre com muit frequêci, otdmete em plicções cietífics s quis se fz ecessári simulção de situções do mudo rel. É etp fudmetl resolução de problems que evolvem equções difereciis prciis, determição de cmihos ótimos em redes (grfos), regressão, sistems ão lieres, iterpolção de potos, detre outros. Em vários problems d Egehri há ecessidde d resolução de sistems de equções lieres como, por eemplo, determição do potecil em redes elétrics, o cálculo d tesão em estruturs metálics costrução civil, o cálculo d rzão de escometo em um sistem hidráulico com derivções e previsão d cocetrção de regetes sujeitos reções químics simultâes. Neste teto cosider-se resolução de um sistem de equções lieres com icógits, deotdo lgebricmete d form mostrd em (.). Ode,...,, são s icógits,,,..., b b b b,..., b os termos idepedetes. Mis frequetemete, utiliz-se otção mtricil (.). (.) os coeficietes ds icógits e b, b, A.X = B (.) ode A, X, B b b b. Tem-se que A é mtriz dos coeficietes ds icógits, X mtriz ds icógits e B mtriz dos termos idepedetes. Ests três mtrizes serão cosiderds com elemetos reis, ão obstte muito do que se vi trtr este cpítulo ser plicável o cmpo compleo sem grde dificuldde. Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes

4 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Mtriz umetd É obtid crescetdo-se à mtriz dos coeficietes mtriz B dos termos idepedetes, coforme mostrdo seguir. [A B] b b b Defiição. A solução de um sistem de equções lieres, A.X = B, é um cojuto de vlores X = [,,..., } t que stisfzem, simultemete, tods s equções. - Clssificção de um sistem lier A clssificção de um sistem lier é feit em fução do úmero de soluções que ele dmite, d seguite meir: () Comptível determido, se dmite um úic solução. (b) Comptível idetermido, se dmite um úmero ifiito de soluções. (c) Icomptível, se ão dmite solução. A codição pr que um sistem de equções lieres teh solução úic é que o determite d mtriz dos coeficietes sej ão ulo. Cso cotrário será idetermido ou icomptível. Qudo todos os termos idepedetes forem ulos, isto é, se b i =, i =,,...,, o sistem é dito homogêeo. Todo sistem homogêeo é comptível, pois dmitirá pelo meos solução trivil ( j =, j =,,..., ). De um form mis mpl, pode-se cosiderr que resolver um sistem de equções cosiste em digosticr em qul ds três situções ele se equdr. Ou sej, é mis do que determir o cojuto X, um vez que ele pode ão eistir ou ão ser úico. Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes

5 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Métodos Diretos Os Métodos Diretos são queles que, meos de erros de rredodmeto, produzem solução et de um sistem de equções lieres, cso el eist, por meio de um úmero fiito de operções ritmétics. São métodos bstte utilizdos resolução de sistems de equções desos de porte pequeo médio. Eted-se por sistem deso quele o qul mtriz dos coeficietes tem um úmero pequeo de elemetos ulos. São cosiderdos sistems de pequeo porte queles que possuem té trit equções e de médio porte té ciqüet equções. A prtir dí, em gerl, são cosiderdos sistems de grde porte. Pertecem à clsse dos Métodos diretos todos os que são estuddos os cursos de o e o grus como, por eemplo, Regr de Crmer. Etretto, tis métodos ão são usdos em problems práticos que eigem resolução de sistems de equções lieres com um úmero reltivmete grde de equções porque presetm problems de desempeho e eficiêci. Pr ilustrr este fto cosidere-se Regr de Crmer. Sej um sistem A.X = B de equções lieres e icógits, D o determite d mtriz A, e D i ; i =,,..., ; os determites ds mtrizes obtids substituido-se i-ésim colu de A por B. Sedo D, etão solução de A.X = B é dd por: i Di ; i, D,..., Pode ser demostrdo que o úmero de produtos de termos o cálculo de um determite é (!), o que lev (!) operções de dição. Pr totlizr cd produto são ecessáris ( ) multiplicções. Tem-se, portto, (!)( ) multiplicções. N Regr de Crmer, pr clculr s icógits, é ecessário clculr ( + ) determites. Portto, pr resolver um sistem de equções lieres são relizds ( + )(!) dições, ( + )(!)( ) multiplicções e divisões. Pr = são efetuds ( *! * 9) multiplicções. Assim, um computdor que efetue milhões de multiplicções por segudo levri 5 os pr relizá-ls, o que tor utilizção d regr de Crmer é iviável. Portto, o estudo de métodos mis eficietes tor-se ecessário, um vez que, em gerl, os problems práticos eigem resolução de sistems lieres de porte elevdo. Ates, porém, será trtd bse teóric que fudmet estes métodos. Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes 5

6 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Trsformções elemetres Trt-se de um cojuto de operções que podem ser efetuds sobre s lihs ou colus de um mtriz. No que se refere à resolução de sistems de equções lieres, ests trsformções são, ormlmete, plicds pes sobre s lihs d mtriz dos coeficietes ou d mtriz umetd em fução do método utilizdo.. Multiplicção de um lih por um costte ão ul. i c i, c, c, i =,,...,. Troc de posição etre dus lihs. i j ; i, j =,,..., ; i j. Adição de um múltiplo de um lih outr lih, i i + c j, c, c ; i, j =,,..., ; i j Mtrizes equivletes Dus mtrizes são dits equivletes qudo é possível prtir de um dels e chegr à outr por meio de um úmero fiito de trsformções elemetres. Sistems lieres equivletes São queles que possuem mesm solução. Mtriz trigulr (i) Superior: é um mtriz qudrd qul todos os elemetos bio d digol pricipl são ulos. (ii) Iferior: é um mtriz qudrd qul todos os elemetos cim d digol pricipl são ulos. Sistem Trigulr É quele cuj mtriz dos coeficietes é trigulr. Teorem (d equivlêci de sistems de equções lieres) Sej [A B] mtriz umetd de um sistem de equções A.X = B, tl que o determite de A é ão ulo, e [T C] um mtriz el equivlete. Sedo ssim, os sistems de equções A.X = B e T.X = c possuem mesm solução. Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes 6

7 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto. Método d Elimição de Guss A resolução de um sistem de equções lieres pelo Método d Elimição de Guss evolve dus fses distits. A primeir, chmd de fse d elimição, cosiste em efetur trsformções elemetres sobre s lihs d mtriz umetd do sistem A.X = B tl que, depois de pssos, se obtém um sistem trigulr superior, U.X = C, equivlete o sistem ddo. b b b [A B] b b Trsf.Eleme. - - b [U C] A segud, chmd de fse d substituição, cosiste em resolver o sistem trigulr superior por meio de substituições retrotivs. Pr presetção do método, sej resolver o sistem de equções lieres seguir = = 6 (.) = = Tem-se: A e Portto, mtriz umetd é B 6-6 [A B] Sedo i ; i =,,..., ; i-ésim lih de [A B], são obtidos os seguites resultdos fse d elimição. Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes 7

8 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Psso : Neste psso = é o elemeto pivô e o objetivo é elimição dos elemetos que estão bio dele. Pr isto é utilizdo o procedimeto seguir. (i) Clculm-se os multiplicdores m - i i, i =,,. Sedo ssim vem: 9 m - - -, m e m (ii) Efetum-se s trsformções elemetres. m. m. m. O resultdo produzido é mtriz [A () B () ], seguir, que é equivlete [A B]. () [A B () ] Psso : Neste psso é o elemeto pivô e o objetivo é elimição dos elemetos que estão bio dele. Pr isto é utilizdo o procedimeto seguir. i (i) Clculm-se os multiplicdores mi -, i =,. Etão 8 ( ) m e m (ii) Efetum-se s trsformções elemetres. m. m. É obtid mtriz [A () B () ], seguir, que é equivlete [A B]. Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes 8

9 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto () [A B () ] Psso : Neste psso é o elemeto pivô e o objetivo é elimição do úico elemeto que está bio dele. Pr isto é utilizdo o procedimeto seguir. i (i) Clcul-se o multiplicdor mi -, i =. Portto - (ii) Efetu-se trsformção elemetr. ( ) - m m. O resultdo é mtriz [A () B () ], seguir, que é equivlete [A B]. () [A B () ] Ao fil de pssos (.) foi trsformdo o sistem trigulr superior A ().X = B () : =.. + = - (.).. = -. = Termid fse d elimição, pss-se, gor, pr fse d substituição, qul se resolve o sistem (.) por meio de substituições retrotivs..(-) -.() - (-) -.(-) - (-) - - (-) A solução do sistem de equções é X = [ - -] t. Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes 9

10 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto No método d Elimição de Guss, os multiplicdores do psso d fse d elimição são clculdos, de form gerl, por meio d epressão: m i - - i - ;,,..., -; i,,..., Pr efetur elimição são relizds s trsformções elemetres: i - i m i. - ;,,..., -; i,,..., Sedo o úmero de equções, o qudro. preset compleidde (úmero de operções ritmétics) de pior cso cosiderdo s fses d elimição e substituição. Fse Divisões Multiplicções Adições Totl ( ) ( )( ).... ( ) ( )( ).... Elimição ( ) ( ) ( ) Substituição ( ) ( ) Totl ( ) Qudro.: Compleidde do Método de Guss. Observ-se, que o método de Guss tem compleidde poliomil O( ). Um computdor que fz um operção ritmétic em -8 segudos gstri,57 segudos pr resolver um sistem de 5 equções (um tempo ifiitmete iferior àquele gsto pel Regr de Crmer). Eemplo. Sej resolver o sistem de equções., seguir, utilizdo o Método d Elimição de Guss e três css decimis.,5. +,8. +,. = 9,6,. + 5,. +,. =,6 (.),8. +,. +,6. = 9, Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes

11 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Os cálculos relizdos estão sumrizdos o qudro (.). ih Multiplicdor Coeficietes T. id. Trsformções,5,8, 9,6 m = -,667, 5,,,6 m = -,78,8,,6 9,,999 -, -,77 + m m = -,5,8,7 5,78 + m,8 6,86 Qudro.: Sumrizção dos cálculos. m. Observe-se que, qudo é relizd trsformção elemetr pr elimição posição lih dois colu um, o cálculo relizdo é, + (-,667),5 que produz o resultdo (-,5) que, cosiderdo três css decimis, vi (-,). O problem está o erro de rredodmeto o cálculo do multiplicdor, que cusou refleo elimição. Como, o fil terá utilidde pes prte trigulr superior d mtriz dos coeficietes, etão, s posições s quis deve ocorrer elimição, os cálculos podem deir de ser feitos. Este procedimeto é iteresste porque dimiui o esforço computciol. É obtido, etão, o sistem trigulr superior ddo por (.).,5. +,8. +,. = 9,6,999.,. = -,77 (.),8. = 6,86 Resolvedo. obtém-se o vetor X = [,,,8] t... - Avlição do Resíduo/Erro O erro ε produzido por um solução proimd de um sistem A.X = B pode ser vlido pel epressão: má r i Ode r i, i =,,..., ; é i-ésim compoete do vetor resíduo R, o qul é ddo por: Pr o eemplo., o vetor resíduo é: R = B A.X 9,6,5,8,, R,6 -, 5,,. -, = [,8,5,] t e o erro cometido é: 9,,8,,6,8 má r má i i i,8,,5,,,5 Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes i

12 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Eemplo -. Resolver o sistem de equções seguir utilizdo o Método d Elimição de Guss e três css decimis = = = = Os cálculos estão sumrizdos o qudro (.). ih Multiplicdor Coeficietes T. Idep. Trsformções - m = m = - 5 m = m m m m = - 6 m = -, m =, -,999 -,998 7,996 m. m. - 8, -, É obtido, etão, o sistem trigulr superior Qudro.: Sumrizção dos cálculos = =. +. = - 6-8,. = -, Resolvedo, obtém-se o vetor = [ - ] t. É simples verificr que o vetor resíduo é ulo e, portto, foi obtid solução et do sistem de equções ddo. Observe-se que foi ecessário efetur troc de posição etre s lihs e em virtude de pivô ulo. Qudo ão é possível efetur troc de posição etre lihs, situção que ocorre qudo, lém de o pivô ser ulo, todos os elemetos d colu, que estão bio dele, tmbém o são, etão mtriz dos coeficietes é sigulr e o sistem de equções ão dmite solução úic. Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes

13 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto.. - Pivotção prcil Coforme visto, o Método d Elimição de Guss requer o cálculo dos multiplicdores. Este fto pode ocsior problems se o pivô estiver próimo de zero ou for ulo. Isto porque trblhr com pivô ulo é impossível e o pivô próimo de zero pode coduzir resultdos imprecisos, visto que dá origem multiplicdores bem miores do que uidde o que, por su vez provoc um mplição dos erros de rredodmeto. A mplição de erros de rredodmeto ocorre qudo se multiplic um úmero muito grde por outro que já cotém erro de rredodmeto. Admit-se que um úmero teh erro de rredodmeto. Assim, pode ser escrito form: ñ = + Se ñ é multiplicdo por m, tem-se que m.ñ = m. + m. Portto, o erro o resultdo é m.. Se m for grde, este erro pode ser muito mior que o origil. Diz-se, etão, que o erro foi mplificdo. Com o objetivo de miimizr o efeito dos erros de rredodmeto, é dotd, o Método de Guss, um estrtégi de pivotção, que é um processo de escolh do pivô. Neste teto é cosiderd estrtégi de pivotção prcil, que cosiste em: (i) o psso, d fse d elimição, tomr como pivô o elemeto de mior módulo detre os coeficietes -, =,,..., - ; i =, +,..., ; i, (ii) se ecessário, efetur troc de posição etre s lihs i e. Utilizdo est estrtégi todos os multiplicdores serão, em módulo, meores que uidde. Eemplo. Sej resolver o sistem de equções ddo seguir utilizdo o Método d Elimição de Guss com pivotção prcil e três css decimis = = = = 8 Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes

14 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Os cálculos estão sumrizdos o qudro (.). Observe-se que é feit, de imedito, troc de posição etre s lihs um e três. ih Multiplicdor Coeficietes T. Idep. Trsformções m = -, m = -, -5 5 m = -, ,6 -,6 -, -5, + m m = -,875 -,,6,, + m m =,75, -,8 -,6, + m m. m.,5,5 6,75 -,5 -,5 -,5 -,5 -,5 -,5 m =,5,5,5 6,75 6 m. 5 Qudro.: Sumrizção dos cálculos. Obtém-se o sistem trigulr superior = 7 -,6.,6.,. = - 5, -,5.,5. = -,5 = = 6 Resolvedo, tem-se X = [ - -5, 6] t, que produz R = [-, -, -, -,] t. Assim, o erro cometido é: má r má i i i,, -,, -,, -,,. - Método d Decomposição U Em muits situções, é ecessário resolver vários sistems de equções lieres que possuem em comum mtriz dos coeficietes e têm termos idepedetes diferetes, ou sej, qudo se tem: A.X = B i, i =,,..., m Nestes csos, é idicdo resolvê-los por meio um técic de ftorção d mtriz A. Est técic cosiste em decompor mtriz dos coeficietes em um produto de dois ou mis Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes

15 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto ftores e, em seguid, resolver um sequêci de sistems de equções lieres que coduzirá à solução do sistem origil. A vtgem d utilizção de um técic de ftorção é que se pode resolver qulquer sistem de equções lieres que teh A como mtriz dos coeficietes. Se B for lterdo, resolução do ovo sistem é quse que imedit. Detre s técics de ftorção mis utilizds, destc-se d decomposição U, qul mtriz A dos coeficietes é decompost o produto de dois ftores e U, ode é um mtriz trigulr iferior e U um mtriz trigulr superior, isto é: A =.U Mtriz idetidde É um mtriz qudrd qul os elemetos situdos digol pricipl são iguis um e, os demis, são ulos. É deotd por I. Sedo A um mtriz, tem-se que A.I = I.A = A. Defiição. Sej A um mtriz de ordem tl que det(a). Diz-se que A - é mtriz ivers de A se A.A - = A -.A = I. Teorem. Se A e B são mtrizes de ordem, iversíveis, etão (A.B) - = B -.A -. Demostrção Sej: B -.A - = R B -.A -.A = R. A B - = R.A B -.B = R.A.B I = R.A.B I.(A.B) - = R.(A.B).(A.B) - (A.B) - = R ogo (A.B) - = B -.A - c.q.d... A Ftorção U de um mtriz Teorem. Sejm A um mtriz qudrd, de ordem, e A mtriz costituíd pels primeirs lihs e colus de A. Se det(a ) ; =,,..., ( ); etão, eiste um úic mtriz trigulr iferior = (l ij ), com l = l =... = l =, e um úic mtriz trigulr superior U = (u ij ), tl que.u = A. Além disto det(a) = det(u) = u.u... u. Os ftores e U podem ser obtidos por meio de fórmuls ou utilizdo o Método d Elimição de Guss. Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes 5

16 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto É trtd seguir d obteção ds mtrizes e U utilizdo-se o Método d Elimição de Guss, um vez que o uso de fórmuls ão permite utilizção d estrtégi de pivotção prcil. Sej mtriz: A (.5) No primeiro psso d fse d elimição são clculdos os multiplicdores m - e e são efetuds s trsformções elemetres. m - m. (.6) Sedo obtid mtriz m. (.7) A (.8) Pode ser demostrdo que tod trsformção elemetr pode ser epress como produto de dus mtrizes. Sedo ssim, efetur s trsformções elemetres.6 e.7 equivle pré-multiplicr.5 pel mtriz.9. M m m (.9) Com efeito M.A m m m m.. m m.. m m.. ogo M.A Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes 6 A

17 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto No segudo psso d fse d elimição é clculdo o multiplicdor e é efetud trsformção elemetr. m - Obtém-se mtriz m. (.) A (.) Demostr-se que relizr trsformção elemetr. é equivlete pré-multiplicr mtriz.8 pel mtriz M m (.) Portto, A = M.A Tem-se, etão, que: A = M.A A = M.A Portto A = M. M.A (.) Pré-multiplicdo os dois membros de. pel ivers d mtriz (M. M ) (M. M ) -.A = (M. M ) -.(M. M ).A = I.A = A A = (M. M ) -.A A = (M ).(M ).A (.) Pode ser demostrdo que (M ) - m m (.5) Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes 7

18 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto (M ) - m (.6) Tedo em vist. e.5, tem-se que (M ) -.(M ) - m m m (.7) Substituido. e.7 em. tem-se que A m. (.8) m m Assim, tem-se que A = U, ode: (i) U é mtriz trigulr superior obtid o fil d fse d elimição do método de Guss; (ii) é um mtriz trigulr iferior, qul os elemetos d digol pricipl são uitários e, bio del, se ecotrm os multiplicdores d etp d fse d elimição com o sil trocdo. U.. Uso Decomposição U resolução de um sistem de equções lieres Sej um sistem de equções A.X = B. Pr resolvê-lo, utilizdo-se decomposição U, bst eecutr seguite seqüêci de pssos: (i) Obter ftorção.u d mtriz A. Sedo A =.U, etão.u.x = B; (ii) Fzer U.X = Y, logo.y = B; (iii) Resolver o sistem trigulr iferior.y = B; (iv) Resolver o sistem trigulr superior U.X = Y obtedo, etão, solução do sistem de equções A.X = B. Eemplo.5 Resolver o sistem de equções seguir utilizdo o método d decomposição U.. +. = = = 9 Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes 8

19 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Os cálculos relizdos estão sumrizdos o qudro (.5). ih Multiplicdor Coeficietes Trsformções - m = m = m m = m - Qudro.5: Sumrizção dos cálculos. m. Tem-se, etão que: - e U - - Resolução do sistem.y = b y = -.y + y = - 5 Y = [ 7 6] t.y +.y + y = 9 Resolução do sistem U. = Y. +. =. +. = 7 -. = - 6 O vetor X = [ ] t é solução do sistem de equções ddo... O Método d Decomposição U com Pivotção Prcil Pr plicr estrtégi d pivotção prcil o Método d Decomposição U fz-se ecessário utilizr um vetor de permutção, P, que é gerdo tribuido-se um úmero de ordem cd equção que compõe o sistem. Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes 9

20 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Eemplo.6 Resolver o sistem de equções seguir utilizdo o Método d Decomposição U com pivotção prcil e cosiderdo, qudo for o cso, dus css decimis.. - = 6. + = = = - O vetor de permutção é P = [ ] t. Os cálculos estão sumrizdos o qudro (.6). ih Multiplicdor Coeficietes P Trsformções m = -, - m = - m = -,8 - -, - -, m =,5, - m =,5, , -,5 -,5,8 -,5-5 7,5 5,8 -,5-5 7,5 5 m = -,, -,5 -,5 6, -,5, -, Qudro.6: Sumrizção dos cálculos. + m + m + m + m m Observe-se que é feit, de imedito, troc de posição etre s lihs um e qutro. A mesm troc é feit o vetor de permutção. No psso dois verific-se que o pivô está terceir lih. ogo, é ecessário fzer troc de posição etre s lihs dois e três. Pr que s mesms trocs de posições etre lihs efetuds mtriz U e o vetor P ocorrm, tmbém, mtriz, seus elemetos já clculdos são icorpordos o qudro. Verific-se, o psso três, que o pivô está qurt lih, fz-se, etão, troc de posição etre s lihs três e qutro. Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes

21 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Têm-se, seguir, s mtrizes e U.,8, Resolução do sistem.y = B -,5 -,5, 5 e U ,5 -, O vetor P de síd é P = [ ] t, que é plicdo em B, obtedo-se B = [ ] t. y = - y = - 7,8.y,5.y + y = 6 y = 6,5,.y,5.y +,.y + y = 8 y = - Resolução do sistem U.X = Y = = ,5. = 6,5,. = - Como o vetor residul é ulo, etão X = [ - 5] t é solução et do sistem de equções ddo. Eemplo.7 A álise dos limetos, I, II e III revelou que os mesmos possuem s seguites uiddes de vitmis A, B e C por grm: Vitmi A B C I,5 8, 7, II, 8, 9, III 5,,8 7,6 A tbel iform que, por eemplo, um diet com g do limeto I forece 65 uiddes de vitmi A, de vitmi B e 8 de vitmi C. Se um pesso precis igerir 68, 79 e uiddes de vitmi A, B e C, respectivmete, quis s qutiddes dos limetos I, II e III que suprirão ests ecessiddes? Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes

22 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Solução Trt-se de resolver o seguite sistem de equções:,5 +, + 5, = 68 () 8, + 8, +,8 = 79 () 7, + 9, + 7,6 = () Utilizdo-se o método d decomposição U com pivotção prcil e efetudo os cálculos com css decimis, são obtidos os resultdos seguir. ih Multiplicdor Coeficietes P Trsformções m = -,59 8, 8,,8 m = -,7,5, 5, 7, 9, 7,6 m = -,9,59,7,59 8, 6,6 8,99 + m + m,7,9,77 + m Resolvedo Y = B Qudro.7: Sumrizção dos cálculos. Aplicdo P = [ ] t em B, obtém-se B = [79 68 ] t y = 79,59 y + y = 68 y = 78,57,7 y +,9y + y = y = 69,677 Resolvedo UX = Y 8, + 8, +,8 = 79,59 + 8, = 78,57,77 = 69,677 Obtém-se, como solução, o vetor X = [7,9 7,959,9] t, em grms. O vetor residul produzido é R = [-,8596,6,68] t, portto foi obtid um solução proimd... - Cálculo de Determites O Método d Decomposição U pode ser utilizdo, tmbém, pr clculr o determite de um mtriz. Sedo A = U, tem-se que: det(a) = det(.u) = det() det(u) Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes

23 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Como se sbe, o determite de um mtriz trigulr é igul o produto dos elemetos d su digol pricipl, ssim: det() = e det(a) = det(u) No cso de ser utilizdo o procedimeto de pivotção prcil, tem-se que: det(a) = (- ) det(u) Sedo o úmero de trocs de posição etre lihs relizds durte fse de elimição. Eemplo.8 N decomposição U, com pivotção prcil, d mtriz form obtidos os ftores e U,75,5 A -,5 - - e U - -,5,75 Com dus trocs de posição etre lihs fse de elimição. Sedo ssim: det(a) = det(u) = (- ) () (- ) (,75) = -7 Os ites..5 e..6, seguir, trtm de dus plicções do Método d Decomposição U que cosiderm situção qul é ecessário resolver vários sistems de equções lieres que possuem em comum mtriz dos coeficietes e têm termos idepedetes diferetes...5 Refimeto d solução de um sistem de equções lieres simultâes Quer utilize-se técic de pivotção ou ão, os erros de rredodmeto têm lgum efeito os resultdos. Pr reduzir os efeitos destes erros, pode ser utilizd um técic de refimeto d solução obtid. Admit-se que: (i) Um sistem de equções, A.X = B, foi resolvido, utilizdo-se o método d decomposição U e foi obtid um solução proimd, dd por um vetor X. (ii) A solução et, que se desej determir, é um vetor. (iii) Δ é um vetor de correção ser feit em X de modo obter X. Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes

24 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Assim, tem-se que: X = X + Δ e A.X = B A.(X + Δ ) = B A.Δ = B A.X De cordo com.8, B A.X = R é o vetor resíduo produzido pel solução proimd X. Portto A Δ = R Tem-se, etão, um sistem de equções lieres simultâes com mtriz dos coeficietes idêtic à de A.X = B. Como A = U etão.u.δ = R Fzedo U.Δ = Y tem-se.y = R. Pr determir Δ bst resolver, pel ordem,.y = R (.9) U.Δ = Y (.) Fz-se, etão, correção em X. Um vez obtido o vetor X, clcul-se o vetor resíduo R. Este processo pode, turlmete, ser repetido té que se obteh um erro que, por lgum critério, poss ser cosiderdo suficietemete pequeo. Eemplo.9 O sistem de equções + = = = foi resolvido utilizdo-se o método d decomposição U com pivotção prcil. Form obtids s mtrizes: -,67 -,, - U 5 6, 6,7 e o vetor de pivotção P () = [ ] t. Como um solução foi obtido o vetor X = [,97 -,97,96] t, que produziu o vetor residul R = [-,7,,8] t. Fzer um refimeto d solução obtid. Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes

25 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Solução Resolução de Y = R Aplicdo P = [ ] t em R obtém-se R = [, -,7,8] t. Sedo ssim Y = [, -,7,] t. Resolução de UΔ = Y É obtido Δ = [, -,,] t Portto X = X + Δ X = [ - 5] t Est solução produz o vetor resíduo R = [ ] t, logo X é solução et do sistem de equções ddo Determição d ivers de um mtriz Sej A um mtriz tl que det(a), e X = A - su mtriz ivers. Sedo ssim, tem-se que A.X = I. O objetivo é mostrr como obter X utilizdo-se o Método d Decomposição U. Pr efeito de desevolvimeto, sej A um mtriz de ordem três. Assim, tem-se que: A X I Fzedo o produto A.X, são obtidos os três sistems de equções seguir. + + = + + = + + = + + = + + = + + = + + = + + = + + = Observe-se que são três sistems de equções que têm em comum mtriz dos coeficietes diferido, pes, os termos idepedetes. São sistems de equções d form A.X i = B i, i =,,, ode X i é i-ésim colu de X e B i é i-ésim colu de I. Como A =.U, etão.u.x i = B i. Resolvem-se, etão, os sistems de equções.y i = B i e U.X i = Y i, i =,,. A resolução de cd um destes sistems de equções produz um colu d mtriz X. Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes 5

26 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Eemplo. Sej determir ivers d mtriz. A Sbedo-se que,5,5,7 e P = [ ] t. Cosiderr três css decimis. Solução Determição d primeir colu de X: U,5,5 -,57 Y = B, ode B = [ ] t. Aplicdo P = [ ] t em B, obtém-se B = [ ] t e Y = [ ] t UX = Y X = [,77,67 -,89] t. Determição d segud colu de X: Y = B, ode B = [ ] t. Aplicdo P = [ ] t em B, obtém-se B = [ ] t e Y = [,5,] t UX = Y X = [,89 -,66,56] t Determição d terceir colu de X: Y = B, ode B = [ ] t. Aplicdo P = [ ] t em B, obtém-se B = [ ] t e Y = [,7] t UX = Y X = [-,56,67,78] t ogo, meos de erros de rredodmeto, mtriz ivers de A é: A,77,67 -,89,89 -,67,56 -,56,67,78 Note-se que, pr determir ivers de um mtriz de terceir ordem, foi ecessário resolver três sistems de equções lieres simultâes de ordem três. Sedo ssim, coclui-se que, pr determir ivers de um mtriz de ordem, é ecessári resolução de sistems de equções lieres simultâes de ordem. Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes 6

27 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto - Métodos itertivos. - Teori Gerl dos Métodos Itertivos Um dos coceitos fudmetis em Cálculo Numérico é d iterção ou proimção sucessiv. Eiste um grde úmero de métodos uméricos, pr resolver os mis vridos tipos de problems, que são processos itertivos. Como o próprio ome diz, esses métodos se crcterizm pel plicção de um procedimeto de form repetid. O objetivo é obter em cd repetição, ou iterção, um resultdo que estej mis próimo d solução do problem do que quele obtido iterção terior. Um importte clsse de métodos itertivos é dos estcioários de gru um, os quis o resultdo obtido em cd iterção é um fução, somete, do resultdo d iterção terior. Nestes métodos, ddo um problem P e um estimtiv iicil S pr su solução, é gerd um sequêci de proimções, {S }, =,,...; tl que: S = (P, S - ), =,,,... (.) Sedo que (.) é fução de iterção do método itertivo. Defiição. Um método itertivo é dito estcioário se fução de iterção é sempre mesm em tods s iterções. Cso el se modifique é dito ão estcioário. Defiição. Um método itertivo é dito de gru g se, pr obter um proimção pr solução do problem, são ecessáris g proimções teriores, ou sej, fução de iterção é d form: S = (P, S, S,..., S g ); = g, g +, g +,... (.) Por eemplo: g = S = (P) e S = (P, S - ), =,,... g = S = (P), S = (P, S ) e S = (P, S -, S - ), =,,... Os spectos trtdos seguir estão, sempre, presetes os processos itertivos estcioários de gru um idepedetemete do problem ser resolvido. Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes 7

28 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Estimtiv iicil Em cd iterção é ecessário utilizr o resultdo d iterção terior, etão, fim de se iicir um processo itertivo, é preciso ter um estimtiv iicil pr solução do problem. Fução de iterção Um fução de iterção, d form., por meio d qul se costrói um seqüêci de estimtivs pr solução do problem. Covergêci Esper-se que o método itertivo gere um seqüêci que covirj pr solução do problem. Isto sigific que o resultdo obtido em um iterção deve estr mis próimo d solução do que o terior. Observe-se que em sempre se tem grti de covergêci ocorrerá. Critério de Prd Um processo umérico ão se pode repetir de form idefiid. É preciso filizá-lo em lgum mometo. Pr isto, deve ser utilizdo um critério por meio do qul é tomd decisão quto à filizção do processo. É o critério de prd, que evolve um precisão e um úmero máimo de iterções.. - Métodos Itertivos e resolução de sistems de equções lieres simultâes Pr determir solução de um sistem de equções lieres, A.X = B, por meio de um método itertivo é preciso trsformá-lo em um sistem de equções equivlete que possibilite defiição de um esquem itertivo. Sedo ssim, A.X = B é trsformdo em: Ode: M é mtriz de iterção C é um vetor X = M.X + C = φ(x) (.) A fução φ(x) é fução de iterção que, o cso, é dd form mtricil. A seguir, tomdo-se um proimção iicil, X, pr X, costrói-se um seqüêci itertiv de vetores: Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes 8

29 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto X = M.X + C = φ(x ) X = M.X + C = φ(x ) X = M.X - + C = φ(x - ), =,,... (.) A epressão. é form gerl dos métodos itertivos estcioários de gru um, que serão trtdos est seção. Critério de prd O processo itertivo é filizdo qudo se obtém X ( ) ( ) tl que má i, i,,..., ; =,,...; sej meor ou igul um precisão pré-fid e, etão, X é tomdo como um proimção pr solução do sistem de equções; ou qudo for tigido um úmero máimo de iterções estbelecido. i Defiição. Se sucessão {X }, obtid de., covergir pr um limite, qulquer que sej X, etão o método itertivo diz-se covergete. Defiição. Se os sistems de equções A.X = B e (I M).X = C possuírem mesm solução, etão o método itertivo cosubstcido por. é dito cosistete. Proposição. Sej det(a). O método itertivo proposto em. é cosistete se, e somete se, (I M).A -.B = C Prov Sedo X = M.X + C X M.X = C (I M).X = C...() A.X = B X = A -.B... () Substituido () em () vem que (I M).A -.B = C c.q.d. Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes 9

30 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto. - Método de Jcobi.. Formulção lgébric Sej um sistem de equções lieres d form... b.... b b (.5) Sedo ii ; i =,,..., ; eplicit-se um icógit em cd equção e defie-se o esquem itertivo seguir. (b (b (b ) - ) - ) (.6) Assim, dd um proimção iicil X, o Método de Jcobi cosiste em obter um sequêci X, X,..., X,... por meio d relção recursiv: X = M.X + C = (X - ) (.7) Ode e M / / / / b / b / C b / / / / / / Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes

31 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Eemplo. Resolv o sistem de equções seguir utilizdo o Método de Jcobi com precisão,5, um máimo de 5 iterções e X = [ ] t. Solução A fução de iterção é: = = =,5.( ,.(- -,.( Fzedo os cálculos utilizdo.8, são obtidos os resultdos presetdos o qudro.. - ) - - ) ) (.8) - m i - i ,,57,,,95,96,7,5,99,8,967,,99,99,997,7 Qudro.: Resultdos obtidos Cosiderdo precisão estbelecid, o vetor X = [,99,99,997] t é um solução do sistem de equções... Formulção mtricil O esquem itertivo de Jcobi pode ser formuldo mtricilmete. Pr obter est formulção, cosidere-se, iicilmete, que.6 pode ser escrito d form dd por () () ( ) b b b ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) (.9) Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes

32 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes Sejm, etão, s mtrizes b b b B X X A (.) U D (.) Pode ser verificr que: (i) + D + U = A (.) (ii) D.X... (.) (iii) - ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) U).X B - (... b... b... b (.) Cosiderdo. e., tem-se que.9 pode ser reescrito form: D.X = B ( + U).X (.5) Multiplicdo mbos os membros de.5 pel ivers de D vem: D.D.X = D.B D.( + U).X - Tem-se, etão, formulção mtricil do esquem itertivo de Jcobi: X = D.( + U).X + D.B (.6)

33 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Ou, id X = M.X + C (.7) Ode M = D.( + U) (.8) C = D.B (.9) Eemplo. Resolver o sistem de equções seguir utilizdo o método de Jcobi, su formulção mtricil, com precisão,5; um máimo de iterções e = [ ] t.. + = 9 +. = + 5. = -6 Solução Tem-se que: - 9 D U - B e D -,5, -, Etão M - D - -,5 ( U) -,., - - -,,,5, -,5, C D -,5.B Sedo ssim, o esquem itertivo é:, 9,75.,667, 6,,5 -,5,75 X -,,. X -,667,,, Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes

34 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto As iterções produzem os resultdos seguir. X,75,667 X, 5,67,8 X,8,85,8 X,,95,58 X,95 5 5,,996, X 6,998,99,5 As difereçs etre s iterções cosecutivs são dds pelos vetores: X X,867,8,88 X X,767,9,6 X X,,5, X 5 X,8,6,67 X 6 X 5,,5,5, Portto, pr precisão estbelecid, o vetor X 6 = [,998;,99;,5] t é um solução. Proposição. O Método de Jcobi, ddo por 5. é cosistete. Prov Cosiderdo proposição 5., deve ser demostrdo que (I M).A.B = C. Com efeito. (I M).A.B = [I + D.( + U)].A.B = [D.D + D.( + U)].A.B = D.( D + + U).A.B = D.A.A.B = D.B = C c.q.d. Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes

35 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto. - Método de Guss-Seidel.. Formulção lgébric Assim como o Método de Jcobi, o sistem de equções lieres A.X = B é trsformdo em X = M.X + C = (X) eplicitdo um icógit em cd equção. A difereç é que, o cálculo de um compoete do vetor X, utilizm-se resultdos obtidos iterção tul em cojuto com resultdos d iterção terior. Ou sej, o se clculr um compoete j ; =,,...; j =,,..., ; d iterção, são utilizds - - j, j,..., -. Tem-se, etão, o esquem itertivo seguir.,,..., j e (b... ) (b... ) - - (b... ) (b... ) (.) Eemplo. Resolver o sistem de equções seguir utilizdo o Método de Guss-Seidel com precisão,5, um máimo de 5 iterções e X = [ ] t. Solução A fução de iterção é: = = =,5.( ,.(- -,.( ) ) - ) (.) fzedo os cálculos utilizdo., são obtidos os resultdos presetdos o qudro (.). Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes 5

36 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto - m i - i i ,,7,,,,,99,,997,996,, Qudro.: Resultdos obtidos Cosiderdo precisão estbelecid, o vetor X = [,997,996,] t é um solução do sistem de equções. É de se esperr que o Método de Guss-Seidel gere um seqüêci que coverge mis rápido pr solução do sistem de equções do que quel gerd pelo Método de Jcobi, um vez que se fz tulizção imedit dos resultdos. Embor isto ocorr com freqüêci, o fto ão pode ser geerlizdo. Há csos em que há covergêci qudo se utiliz um método e qudo se utiliz o outro ão. Os eemplos seguir presetm sistems de equções que podem ser resolvidos, somete, por meio de um dos dois métodos itertivos borddos. Eemplo. Este eemplo trt de um sistem de equções lieres que pode ser resolvido, somete, por meio do Método de Jcobi. Sej o sistem de equções seguir e X = [ ] t = + + = = Solução () Aplicdo o Método de Jcobi, tem-se que fução de iterção é: (.) Fzedo os cálculos utilizdo., são obtidos os resultdos presetdos o qudro.. Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes 6

37 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Observe-se que foi obtid solução et. - m i - i i Qudro.: Resultdos obtidos (b) Aplicdo, gor, o Método de Guss-Seidel (.) Fzedo os cálculos utilizdo., são obtidos os resultdos presetdos o qudro.. - m i - i i Qudro.: Resultdos obtidos Neste cso, verific-se que o Método de Guss-Seidel ger um seqüêci que ão coverge pr solução do sistem de equções. Eemplo.5 Este eemplo trt de um sistem de equções lieres que pode ser resolvido, somete, por meio do Método de Guss-Seidel. Sej X = [ ] t.,5 +,6. +,. =, + + =,. -,. + = -,6 Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes 7

38 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Solução () Aplicdo o Método de Jcobi, tem-se que fução de iterção é:.(, -, ,6 -, ,.,. Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes ) (.) Fzedo os cálculos utilizdo., são obtidos os resultdos presetdos o qudro (.5). - m i - i i ,, -,6,6,76, -,76,6,66, -,8,,89,8 -,86,78 5,658 -,8 -,875,56 6,98,6 -,88, 7,67 -, -,96,6 8,6,6 -,98,9 9,66 -,56 -,9,,6,7 -,97,85 Qudro.5: Resultdos obtidos Observe-se que ão há covergêci. (b) Aplicdo, gor, o Método de Guss-Seidel..(, -, ,6 -, ,.,. - ) (.5) Fzedo os cálculos utilizdo.5, são obtidos os resultdos presetdos o qudro (.6) - m i - i i , -, -,9,9, -,5 -,78,,8 -,6 -,5,9,869 -,7 -,87,6 5,79 -, -,7,6 6,9 -,8 -,,9 7,87 -, -,, 8,, -,5,55 9,, -,,,977,7 -,98,5 Qudro.6: Resultdos obtidos

39 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Neste cso, verific-se que o Método de Guss-Seidel ger um sequêci que, embor muito letmete, coverge pr solução do sistem de equções... Formulção mtricil Pr obter est formulção, cosidere-se, iicilmete, que. pode ser escrito d form dd por () () ( ) b b b ( -) () () ( -) ( -) () ( -) ( -) () (.6) Cosiderdo s mtrizes. e. tem-se: b b b ( -) () () ( -) ( -) () ( -) ( -) () B -.X - U.X - (.7) Tedo em vist. e.7 pode-se escrever.6 form: D.X = B.X - U.X (.8) De ode vem que D.X +.X = B - U.X (D + ).X = B - U.X (.9) Multiplicdo mbos os membros de.9 pel ivers d mtriz (D + ) vem: Sedo ssim (D + ).(D + ).X = (D + ).[B U.X ] X = (D + ).B (D + ).U.X Portto, formulção mtricil do esquem itertivo de Guss-Seidel é: X = (D + ).U.X + (D + ).B (.) Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes 9

40 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Ou, id X = M.X + C (.) Ode M = (D + ).U (.) C = (D + ).B (.) N prátic, formulção. ão é utilizd, um vez que eige determição d ivers d mtriz (D + ). Ao ivés, é utilizd um formulção obtid cosiderdo. e multiplicdo os seus dois membros pel ivers d mtriz D. Tem-se, etão, que: D.D.X = D.B D..X - D.U.X X = D..X - D.U.X + D.B (.) O resultdo presetdo por. é mis simples de utilizr do que., um vez que requer ivers d mtriz D, que é um mtriz digol. Pr obter ivers de um mtriz digol, bst iverter os seus elemetos digois. Observe-se, id, que formulção mtricil dd por. lev à formulção lgébric presetd em.. Eemplo. Resolver o sistem de equções seguir utilizdo o método de Guss-Seidel formulção mtricil dd por. com precisão,5; um máimo de 5 iterções e X = [ ] t.. + = 9 +. = + 5. = -6 Solução Tem-se que: D - 5 U B - 6 Pode-se demostrr que: (D ) -,5 -,8,,,67 -, Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes

41 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Etão M - (D ) -.U,5-8, -,5,6, C (D ) -.B,75,85,765 Sedo ssim, o esquem itertivo é:,5 -,5,75 X - 8,6. X -,85,,,765 As iterções produzem os resultdos seguir. X,75,85 X,765,8,979 X,96 5,,986 X,997,997,,998 As difereçs etre s iterções cosecutivs são dds pelos vetores: X X,8,89,96 X X,7,7,6 X X,7,, Portto, pr precisão estbelecid, o vetor X = [,997;,;,998] t é um solução. Proposição. O Método de Guss-Seidel, ddo por. é cosistete. Prov Cosiderdo proposição., deve ser demostrdo que (I M).A.B = C. Com efeito. (I M).A.B = [I + (D + ).U].A.B = [(D + ).(D + ) + (D + ).U].A.B = (D + ).( D + + U).A.B = (D + ).A.A.B = (D + ).B = C c.q.d. Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes

42 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto.5 - Covergêci dos métodos itertivos Embor ordem ds equções em um sistem lier ão eerç qulquer ifluêci com relção à eistêci de solução, qudo se trt d utilizção de um método itertivo el é relevte um vez que defie fução de iterção. Pr mostrr este fto cosider-se o eemplo.5 o sistem de equções utilizdo os eemplos. e., porém trocdo ordem ds equções um e dois. Eemplo.5 Resolver o sistem de equções seguir utilizdo o Método de Guss-Seidel cosiderdo dus css decimis e X = [ ] t. Solução A fução de iterção é: = = = ,.( ) (.5) Fzedo os cálculos utilizdo.5, são obtidos os resultdos presetdos o qudro.7. - m i - i i , 8, -.7,7 87,6.77,7-6., 8.5, -.75,7.778,6 Qudro.7: Resultdos obtidos Observ-se, clrmete, que ão está ocorredo covergêci. O motivo é que, com troc de posição etre s equções um e dois, fução de iterção se modificou..5. Critérios de covergêci Pr que os métodos itertivos gerem um sequêci que coverge pr solução de um sistem de equções, AX = B, qulquer que sej proimção iicil X, bst que um ds codições suficietes seguir sej stisfeit. (i), i =,,..., ; j i Critérios ds lihs ii ij j Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes

43 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Além do mis, quto mis próim de zero estiver relção covergêci. j ii ij mis rápid será (ii), j =,,..., ; i j Critérios ds colus jj ij i Além do mis, quto mis próim de zero estiver relção covergêci. i jj ij mis rápid será Observe-se que estes dois critérios evolvem codições que são pes suficietes, se pelo meos um dels for stisfeit, etão está ssegurd covergêci, etretto se ehum ds dus for stisfeit d se pode firmr..6 - Compleidde dos métodos itertivos Alisr compleidde, ou sej, o úmero de operções ritmétics relizds em cd iterção é bstte simples. Pr cd um ds icógits do sistem de equções, os métodos de Jcobi e Guss-Seidel relizm, por iterção, ( ) multiplicções de icógits por coeficietes, ( ) soms e um divisão totlizdo ( ) operções. Tem-se que o úmero totl de operções, por iterção, é ( ). Avlir o úmero totl de operções relizds ão é tão simples, pois este depede do critério de prd dotdo. Pr evitr que se etre em loop, relizdo operções qudo ão ocorre covergêci, ou qudo ão se lcç precisão estbelecid, dot-se um critério de prd que cosider, lém d precisão desejd, um úmero máimo de iterções. No pior cso, este será o úmero de vezes que s iterções serão eecutds. 5 - Cosiderções fiis Os Métodos Diretos possuem vtgem de serem mis geris e robustos do que os Métodos Itertivos, podedo ser utilizdos resolução de qulquer tipo de sistem de equções. São processos fiitos e, portto, teoricmete, obtêm solução de qulquer sistem de equções ão sigulr. Já os métodos itertivos covergem, ou sej, produzem um solução pes sob determids codições. Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes

44 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Os métodos diretos presetm problems com erros de rredodmeto. Um form de miimizr este fto é utilizção de estrtégis de pivotmeto. Nos métodos itertivos somete os erros de rredodmeto cometidos últim iterção fetm solução. Os métodos diretos são plicdos resolução de sistems de equções desos de porte pequeo médio. Por sistems de pequeo porte etede-se um ordem de té equções, pr médio porte, sistems de ordem té 5. A prtir dí tem-se, em gerl, sistems de grde porte. Os métodos itertivos rrmete são utilizdos pr resolver sistems lieres de pequeo médio porte, já que o tempo requerido pr obter um míimo de precisão ultrpss o requerido pelos métodos diretos como, por eemplo, o Método d Elimição de Guss que requer ( )/6 operções ritmétics. Os Métodos de Jcobi e Guss- Seidel requerem (. - ) operções ritmétics por iterção. Pr vlores grdes de, os úmeros de operções ritmétics são proimdmete: Método de Guss:. / Jcobi e Guss-Seidel:. Assim, se o úmero de iterções é meor ou igul (/), etão o método itertivo requer meos operções ritmétics. Como eemplo, sej um sistem de equções. A elimição de Guss requer operções equto que, por iterção, são requerids 9.9. Pr, ou meos, iterções qutidde de operções ritmétics é meor do que o Método de Guss. Um vtgem dos métodos itertivos sobre os diretos é o fto de preservrem os zeros d mtriz origil. Este fto é bstte sigifictivo qudo se trt de resolver um sistem de equções o qul mtriz dos coeficietes é esprs, ou sej, possui um úmero grde de elemetos ulos. Os métodos itertivos preservm esprsidde, um vez que ão crim ovos elemetos ão ulos. Os Métodos Diretos bseim-se em trsformções elemetres sobre s lihs d mtriz dos coeficietes, destruido esprsidde d mesm. Isto umet tto o espço ecessário pr o rmzemeto d mtriz dos coeficietes quto o esforço computciol pr resolução uméric do sistem. Pr cocluir, é presetd o qudro (5.) um comprção etre os Métodos Diretos e Itertivos levdo em cosiderção um cojuto de cico idicdores. Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes

45 Depto de Computção Istituto de Ciêcis Ets e Biológics Uiversidde Federl de Ouro Preto Item Métodos Diretos Métodos Itertivos Aplicção Idicdos pr resolução de sistems de equções desos de pequeo médio porte. Esprsidde Covergêci Número de operções Erro de rredodmeto Destroem esprsidde d mtriz dos coeficietes durte fse d elimição. Se mtriz dos coeficietes ão é sigulr, etão solução é sempre obtid. Idicdos pr resolução de sistems de equções de grde porte, otdmete os esprsos. Preservm esprsidde d mtriz d mtriz dos coeficietes. Há grti de se obter solução somete sob certs codições. É possível determir priori o Não é possível determir priori úmero de operções ecessáris. compleidde. Amplim os erros durte os cálculos. Os erros de rredodmeto ão A mplição pode ser mi- fetm s soluções obtids em imizd utilizdo-se técics cd iterção. Apes solução de pivotção. fil pode coter erro. Qudro 5.: Comprção etre os Métodos Diretos e Itertivos Nots de uls de Cálculo Numérico Resolução de Sistems de Equções ieres Simultâes 5