1- Resolução de Sistemas Lineares.

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1 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS - Resolção de Sistems Lieres..- Mtrizes e Vetores..- Resolção de Sistems Lieres de Eqções Algérics por Métodos Etos (Diretos)..3- Resolção de Sistems Lieres de Eqções Algérics por Métodos Itertivos..4- Covergêci dos Métodos Itertivos.

2 .- Sistems Lieres de Eqções Algérics Solção de m sistem lier de m eqções lgérics com icógits vi métodos etos (diretos). m m m m m m m o A

3 ..- Qdo eiste solção? m m m Se > m(mis icógits qe eqções) o sistem tem mis de m solção. Se m(mtriz qdrd) sege. Lem: Se é solção do sistem A, etão qlqer otr solção deste sistem tem form y, ode é solção do sistem homogêeo Ay. o O se, se A e A sege qe: A y y Ay A( ) A A

4 ..- Qdo eiste solção? O Lem terior implic o segite teorem. Teorem: O sistem lier A tem m úic solção (se eistir) se e somete se o correspodete sistem homogêeo A tem somete solção. Pode ser mostrdo qe A tem somete solção se det A. Nest discipli estmos iteressdos em resolver sistem de eqções lieres represetdos por m mtriz qdrd com determite diferete de zero (ão siglr).

5 ..- Tipos de Métodos pr resolver A Métodos Diretos: Prodzem solção et do sistem pós m úmero fiito de operções ritmétics (lgoritmo fiito) e livre de erro. N prátic, devido Aritmétic com Precisão Fiit do comptdor estes métodos ão prodzem solção et. Qdo ordem d mtriz é mito grde o erro devido precisão fiit do comptdor pode torr solção destes métodos sem tilidde prátic. Algs métodos: Regr de Crmer, Elimição de Gss, Elimição pelo Elemeto Pricipl. Métodos Itertivos: Prodzem solção et do sistem pós m úmero ifiito de operções ritmétics (lgoritmo ifiito). Como isto é impossível de ser feito, o lgoritmo ifiito é trsformdo em fiito e coseqüetemete solção é sempre proimd. Algs métodos: Método d Iterção, Método de Seidel, Método do Relmeto.

6 ..- Regr de Crmer (Iversão de mtriz) Se A. Se det A (mtriz ão siglr), etão o sistem tem m úic solção. A mtriz A possi ivers. Logo A AA e A. Usdo este resltdo podemos oter s formls de Crmer. Etretto, este resltdo tem poc tilidde prátic pr mtrizes de ordem sperior 4. Resolver m sistem lier de icógits pel Regr de Crmer reqer clclr determites de ordem. Clclr determites pr grde pode ser mito trlhoso (demordo). A Isto motivo o desevolvimeto de otros métodos pr resolver sistems lieres.

7 ..3- Método de Gss Método mis sdo qe cosiste em elimição scessiv ds icógits. Se com m mtriz triglr sperior. U U Se solção do sistem pode ser otid fzedo scessivs sstitição o setido kk k k k k Bck-sstittio kk k Teorem: Um mtriz triglr sperior tem ivers se e somete se todos os elemetos d digol são diferete de zero.

8 ..3- Método de Gss Se com m mtriz ão triglr. A A Se mltipliqe lih por e elimie d lih mltiplicdo ov lih por e strido d lih >. / A mtriz otid é eqivlete à iicil e mos sistem possem mesm solção. i i i i,,, () i i i i, com () Note qe ()() se em (), o se, se smos mtriz mplid em lgr d mtriz origil >,. i i

9 ..3- Método de Gss Se mltipliqe lih por e elimie d lih mltiplicdo ov lih por e strido de lih >. / Se podemos repetir este lgoritmo scessivmete té i- e otemos: 3,, 3, i i i i 3 > i i ii

10 ..3- Método de Gss Se mltipliqe lih por e /,, Logo, elimição de Gss reslt m mtriz triglr sperior com elemetos d digol. Este sistem pode ser resolvido relizdo o processo de Bck-Sstittio. e > k k k k k k

11 ..3- Método de Gss Se lgm destes coeficietes é zero o processo pode ser feito trocdo este coeficiete por lgm. Isto se chm pivotr e é essecil pr redzir erros de rod-off. Note qe mtriz triglr sperior otid com elimição de Gss tem todos os elemetos d digol diferete de zero. Logo, pode ser relizdo o processo de Bck- Sstittio. Etretto, codição ecessári e sficiete pr oter est mtriz triglr foi: k kk k k

12 ..3- Método de Gss Podemos estimr o úmero de operções ritmétics N ecessáris pr oter solção de m sistem de ordem pelo Método de Gss (sem cosiderr pivotemeto). k Forwrd-Sstittio k k k k, k (mltiplicção e divisão) kk k k k k i i ik k i, k, div. mlt. ( )( ) ( ) ( ) ( ( k))( k) 3 Psso Psso Psso k Bck-Sstittio (mltiplicção e divisão) ( ) k k k k k > k k k Cosiderdo o mesmo úmero de som e strção em cd processo sege: ( )( ) ( ) 3 N < > 7 3

13 ..3- Método de Gss O se, o úmero de operções ritmétics N ecessáris pr oter solção de m sistem de ordem pelo Método de Gss (sem cosiderr pivotemeto) é proporciol o co do úmero de icógits. ( )( ) ( ) 3 N < > 7 3 Coseqetemete, pr resolver m sistem com icógits m comptdor cpz de relizr 6 operções por segdo serão ecessário o míimo T( 4 ) 3 / 6 6 s. Este esforço comptciol pode ser otimizdo pr csos prticlres de mtrizes simétrics e esprss. Mtriz Esprs: são qels com mitos elemetos zeros (método de difereç fiit e método de elemeto fiito). Mtriz Des: são qels com pocos elemetos zeros.

14 ..3- Método do Elemeto Pricipl (Estrtégi do Pivô) Cosidere mtriz mplid e escolh o elemeto ão zero com mior vlor solto pq (elemeto pricipl) qe ão iq perteç o termo idepedete. Clcle o ftor i i p Adicioe cd lih, diferete d lih p, lih p mltiplicd pelo ftor i. Isto prodz m ov mtriz com col q formd por zeros e mtedo lih p ilterd. U q q i i i iq i i i p p p pq p p p q pq

15 ..3- Método do Elemeto Pricipl (Estrtégi do Pivô) Descrtdo col q e lih p otemos m ov mtriz de ordem (-)(-). Repetimos o procedimeto pr U otemos U, e ssim scessivmete té U, ode chegmos m mtriz lih com dois elemetos. U i i i i i i descrtr est lih p pq U U

16 ..3- Método do Elemeto Pricipl (Estrtégi do Pivô) Pr determir s icógits i comie m sistem tods s lihs descrtds em ordem ivers U U. A primeir vist ão prece ser m mtriz triglr, ms st reorder o úmero ds icógits pr oter m sistem com mtriz triglr. Est mtriz será triglr sperior o iferior depededo de como é feito o reordemeto. psso - (último) p p cheg m lih com elemetos psso - (peúltimo) elimi col p p p descrtdo lih p scessivmete té chegr o peúltimo psso psso 3, elimi otr col p p p p descrtdo lih p psso, elimi col p p p p p descrtdo lih p psso, elimi col q p p p pq q p p descrtdo lih p

17 ..3- Método do Elemeto Pricipl (Estrtégi do Pivô) Reordedo o sistem terior otemos: p reordedo e p lih cim se trsform em p { psso - sem reordeção { psso - reordedo psso - sem p p p reordeção reordedo, - e p - lih cim se trsform em scessivmete té chegr o psso p p p pq q p p { psso - reordedo {psso sem reordeção reordedo, -, 3,, q e p lih cim se trsform em 33 { psso reordedo Note qe ivertedo ordem ds lihs otemos m mtriz triglr sperior.

18 ..3- Método do Elemeto Pricipl (Estrtégi do Pivô) Este método pode ser plicdo sempre qe. det A Note qe o método de Gss é m cso prticlr deste método, qe pode ser otido sempre qe escolhermos o elemeto esqerdo sperior d mtriz correspodete em cd psso. Eemplo 4.4 (Cote) Spoh m precisão de 4 css decimis Como tref resolver este sistem sdo: -Método de Gss sem pivotemeto, -Método do Elemeto Pricipl.

19 ..4- Método de Gss pr clclr ivers Spoh qe qeremos clclr mtriz ivers de m mtriz ão siglr ( det A ). A A E A Este é m sistem de icógits i ( i,,, ). se i ik k δ i ( i,,, ) e δ i k se i ( i ) ( i, ) ( i, ) ( i, ) ( i, ) Os sistems reslttes tem mesm mtriz e vetor distitos e podem ser resolvidos simltemete pelo método de Gss.

20 ..4- Método de Gss pr clclr ivers A Eemplo: Ecotre ivers de : A A E det A E A ( i, ) () ( i, ) ( i, ) ( ) ( i, ) Mtriz Triglr Os sistems tem mesm mtriz e vetor distitos e podem ser resolvidos simltemete pelo método de Gss. A mtriz triglr sperior é mesm e o procedimeto pr oter el é o mesmo. Logo, só precis ser feito m úic vez. O processo de Bck-Sstittio deve ser feito por seprdo porqe os termos idepedetes são diferetes

21 ..5- Erro d Solção e Codiciometo d mtriz Se m sistem descrito por m mtriz ão siglr A ( det A ). Como o sistem é resolvido com ritmétic de precisão fiit solção pelo método de Gss terá erro do tipo rod-off. Tmém, osso sistem pode ter icertezs devido icertezs o termo idepedete e os elemetos d mtriz. Qeremos estimr como ests icertezs o ritmétic de precisão fiit pode iflecir solção do sistem A. Primeiro cosidermos mtriz et e icertezs o termo idepedete: Δ logo A ( Δ ) Δ estimremos qão grde pode ser est icertez. AΔ Δ o Δ A Δ Δ A Δ A mltiplicdo ms Δ Δ Δ A A Δ se sege A A

22 ..5- Erro d Solção e Codiciometo d mtriz Pr tod mtriz ão siglr defiimos m úmero chmdo Codiciometo d Mtriz como: cod( A) A A logo Δ Δ Δ cod( A) Note qe é m medid do erro reltivo do ddo. Δ é m medid do erro reltivo em devido á icertez em. Note qe qto mis próimo de for o cod(a) s icertezs em terão meor iflez o erro d solção (mtriz em codiciod). Se cod(a)>> (mito grde) coseqetemete o erro d solção será grde (ml codiciometo). Agor cosidermos mtriz com icertezs e o termo idepedete eto: A ΔA estimremos qão grde pode ser est icertez. ( A Δ A)( Δ ) ( Δ ) ( AΔA)

23 ..5- Erro d Solção e Codiciometo d mtriz Δ [( AΔA) A ] Deotdo B AΔA e sdo idetidde io sege B A A ( AB) B Δ A ( Δ A)( AΔ A) A ( Δ A)( Δ) Δ ΔA Δ A Δ A Δ o cod( A) Δ A Novmete qto mis próimo de for o cod(a) s icertezs mtriz terão meor iflez o erro d solção (mtriz em codiciod). Se cod(a)>> (mito grde) coseqetemete o erro d solção será grde (ml codiciometo).

24 Frse do Di As log s lger d geometry proceed log seprte pths, their dvce ws slow d their pplictios were limited. Bt whe these scieces oied compy, they drew from ech other fresh vitlity d hece forwrd mrched o t rpid pce towrds perfectio. Joseph Lois Lgrge