Geometricamente, um esboço da interpolante g(x) sobre a função f(x) é visto na figura 3.1.

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1 4 APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES 4- INTERPOAÇÃO POINOMIA Itroução: A iterpolção Iterpolr um ução () cosiste em proimr ess ução por um outr ução g() escolhi etre um clsse e uções eii priori e que stisç lgums propriees A ução g() é etão us em substituição à ução () A ecessie e se eetur est substituição surge em váris situções como por eemplo: ) quo são cohecios somete os vlores uméricos ução pr um cojuto e potos e é ecessário clculr o vlor ução em um poto ão tbelo; b) quo ução em estuo tem um epressão tl que operções como ierecição e itegrção são iíceis (ou mesmo impossíveis) e serem relizs 4- Iterpretção geométric Cosieremos ( ) potos istitos: chmmos ós iterpolção e os vlores e () esses potos: ( ) ( ) ( ) A orm e iterpolção e () que veremos seguir cosiste em se obter um etermi ução g() tl que: g g g g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Geometricmete um esboço iterpolte g() sobre ução () é visto igur Em prticulr se g() P () oe P é um poliômio e gru etão iterpolção é eomi e iterpolção poliomil Observmos que: i) eistem outrs orms e iterpolção poliomil como por eemplo órmul e Tylor iterpolção por poliômios e Hermite e o tipo splie pr s quis s coições são outrs; ii) Assim como g() oi escolhi etre s uções poliomiis poerímos ter escolhio g() como ução rciol ução trigoométric etc Um 68

2 iii) cso que eplor combiçãoes e uções trigoométrics em cmpo rel ou compleo é o proimte eiio prtir série e Fourier; eiste tmbém o cso poliomil ão iterpolte tl como o proimte e uções por míimos quros Em qulquer um os csos citos estes ecotrm-se iserios em um tópico mis gerl chmo proimção e uções A iterpolção poliomil que será vistá será e grge e e Newto ós) Figur 4 esboço e um ução () e e su iterpolte g() pr 4 ( 5 Deiição 4- Iterpolção Poliomil Dos os potos ( ( )) ( ( )) ( ( )) portto ( ) potos queremos proimr () por um poliômio p () e gru meor ou igul tl que: ( ) p ( ) Surgem qui s perguts: eiste sempre um poliômio p () que stisç ests coições? Cso eist ele é úico? Represetremos p () por: p () lier: Portto obter p () sigiic obter os coeicietes D coição p() () motmos o seguite sistem 69

3 7 com equções e vriáveis: A mtriz A os coeicietes é A que é um mtriz e Vermoe e portto ese que sejm potos istitos temos et (A) e etão o sistem lier mite solução úic Demostrmos ssim o seguite teorem: Teorem 4 Eistêci e uicie o Poliômio Iterpolor Eiste um úico poliômio p () e gru tl que: p ( ) ( ) ese que j j 4- Form e grge o Poliômio e Iterpolção Sejm ( ) potos istitos e y i ( i ) i Sej p () o poliômio e gru que iterpol em Poemos represetr p () orm p () y () y () y () oe os poliômios () são e gru Pr c i queremos que coição p(i) yi sej stiseit ou sej: p ( i ) y ( i ) y ( i ) y ( i ) y i A orm mis simples e se stiszer est coição é impor: ( i ) i se i se e pr isso eiimos () por () K K K K

4 É ácil veriicr que relmete ( ) e ( i ) se i Como o umeror e () é um prouto e tores orm: ( i ) i i etão é um poliômio e gru e ssim p () é um poliômio e gru meor ou igul Além isso pr i i temos: p ( i ) y ( i ) yi i ( i ) yi Etão orm e grge pr o poliômio iterpolor é: oe ( ) j j j ( j ) j j Eemplo 4: (Iterpolção ier) p() y Fremos qui um eemplo teórico pr iterpolção em ois potos istitos: ( ( o )) e ( ( )) Assim é igul e por isto iterpolção por ois potos é chm iterpolção lier Uso orm e grge teremos: p () y y oe ( ) ( ) () ( ) () ( ) ( ) ( ) Assim p() y y ( ) ( ) ou sej 7

5 7 p() y y que é etmete equção ret que pss por ( ( )) e ( ( )) Eemplo 4: Sej tbel: - () 4 - Pel orm e grge temos que: p () y y y oe: () () () 6 Assim orm e grge p () 6 4 Agrupo os termos semelhtes obtemos que p () Form e Newto o Poliômio e Iterpolção A orm e Newto pr o poliômio p () que iterpol () em ( ) potos istitos é seguite: p () No que segue esturemos: i) o operor iereçs iviis um vez que os coeicietes cim são iereçs iviis e orem etre os potos ( j ( j )) j ii) eução epressão e p () por: p ()

6 7 4- Operor iereçs iviis Sej () um ução tbel em potos istitos: Deiimos o operor iereçs iviis por: Dizemos que [ ] é iereç ivii e orem ução () sobre os potos: D um ução () e cohecios os vlores que () ssume os potos istitos poemos costruir tbel: Orem Orem Orem Orem Orem [ ] F[ ] [] [ ] F[ ] [ ] [ ] [ ] F[ ] [ 4 ] [] [ 4] [ ] F[ 4 ] 4 [ 4 ] [ ] [ - - ] F[ - ] [ ] (Orem Zero) (Orem ) (Orem ) (Orem ) (Orem )

7 74 Eemplo 4: Sej () tbel bio X - () - - Su tbel e iereçs iviis é: Orem Orem Orem Orem Orem Oe [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 6 Procee-se est orm té obter-se toos os termos tbel e iereçs iviis

8 75 Propriee 4 As orms e iereçs iviis stiszem propriee seguir: [ ] é simétric os rgumetos ou sej [ ] [ j j j ] oe j j j é qulquer permutção e Por eemplo Pr teremos: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 4- A Form e Newto o poliômio iterpolor Sej () cotíu e com tts erivs cotíus quts ecessáris um itervlo [ b] Sejm < < < < b ( ) potos Costruiremos o poliômio p () que iterpol () em Iiciremos costrução obteo p () que iterpol () em E ssim sucessivmete costruiremos p () que iterpol () em Sej p () o poliômio e gru que iterpol () em Etão p () ( ) [] Temos que pr too [ b] p E E p o Note que E () ()-p () é o erro cometio o se proimr () por p () Sej gor costruir p () o poliômio e gru que iterpol () em e Temos que

9 E p Assim p () q p e E () Veriicção: p () iterpol () em e em? p ( ) ( ) p ( ) ( ) ( ) Sej gor costruir p () o poliômio e gru que iterpol () em Temos que: [ ] [ ] Etão p () q p e E () ( )( )( )[ ]

10 Observmos que ssim como pr p () e p () p () p () q () oe q () é um poliômio e gru Aplico sucessivmete o mesmo rciocíio pr ; 4 ; teremos orm e Newto pr o poliômio e gru que iterpol () em : p () ( ) ( )[ ] ( )( )[ ] ( )( )( )[ ] e o erro é o por: Eemplo 4: E () ( )( ) ( )[ ] De to p() iterpol ()em pois seo () p () E () etão pr too ó temos: ( ) p ( ) E ( ) p ( ) 44 Uso orm e Newto o poliômio p () que iterpol () os potos os bio é: - () 4 - p () ( ) ( )[ ] ( )( )[ ] Orem Orem Orem / - - p () 4 ( )(-) ( )( - )(/) Observmos que grupo os termos semelhtes obtemos p () 7 que é mesm epressão obti o eemplo 77

11 Observmos i que é coveiete eir o poliômio orm e Newto sem grupr os termos semelhtes pois quo clculrmos o vlor umérico e p () pr α evitremos o cálculo e potêcis O úmero e operções poe i ser reuzio se usrmos orm os prêteses ecios escrit seguir: Do: p () ( ) ( )[ ] ( )( )[ ] ( )( )( )[ ] ( )( i )( )[ ] temos que: p () ( ) ( ){[ ] ( ){[ ] ( ){[ ] ( )[ ]}}} Um lgoritmo pr se clculr p (α) uso est orm e prêteses ecios será visto list e eercícios o il este cpítulo 78

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