Cálculo Numérico Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte II

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1 Cálculo Numérico Resolução Numéric de Sistems Lieres Prte II Prof: Reildo Hs

2 Métodos Itertivos Motivção I Ocorrêci em lrg escl de sistems lieres em cálculos de Egehri e modelgem cietífic Eemplos: Simulções de processos químicos Simulções de dispositivos e circuitos Modelgem de processos geocietíficos e geomietis Aálise estruturl Biologi estruturl Modelgem de processos físicos

3 Métodos Itertivos Motivção II Tedêci à eistêci de mtrizes de coeficietes à grdes e esprss Grdes Comum pr > Esprss Miori dos coeficietes ulos Resolução de sistems esprsos por métodos diretos Processos de trigulrizção e ftorção Oerosos, por ão preservrem esprsidde origil, que pode ser útil por fcilitr resolução do sistem.

4 Métodos Itertivos Motivção III Métodos mis propridos pr resolução de sistems de turez esprs Métodos itertivos Guss-Jcoi Guss-Seidel 4

5 Sistems Esprsos o MATLAB >>help issprse Teste de esprsidde >>help sprse Coversão de mtriz chei em mtriz esprs >>help full Coversão de mtriz esprs em mtriz chei Gerção de Mtrizes Esprss: Métodos Itertivos >>help sprd Gerção de mtriz esprs letóri >>help sprdsym Gerção de mtriz esprs simétric letóri 5

6 Métodos Itertivos Métodos pr Sistems Esprsos o MATLAB >> help pcg Grdiete Cojugdo >> help cgs Grdiete Cojugdo Qudrático (CGS) >> help icg Grdiete BiCojugdo (BiCG) >>help icgst Grdiete BiCojugdo Estilizdo (BiCGSTAB) >>help gmres Resíduo Míimo Geerlizdo (GMRES) >>help qmr Resíduo Quse Míimo (QMR) 6

7 7 A prtir de um estimtiv iicil i 0, cosistem em ecotrr um seqüêci de estimtivs i que covirj pr um solução do SEL pós um úmero suficietemete grde de iterções. Métodos Itertivos (0) (0) (0) (0) () () () () () () () () () () () ()

8 Métodos Itertivos Vtgem Meos suscetíveis o cúmulo de erros de rredodmeto do que o método de Elimição de Guss. Lemretes importtes: Como todo processo itertivo, estes métodos sempre presetrão um resultdo proimdo, que será tão próimo do resultdo rel coforme o úmero de iterções relizds. Além disto, tmém é preciso ter cuiddo com covergêci destes métodos. 8

9 Sistems de Equções Lieres Métodos Itertivos Trsformção do sistem lier A= em = C +g A: mtriz dos coeficietes, m : vetor ds vriáveis, ; : vetor dos termos costtes, ; C: mtriz, ; e g: vetor,. Métodos estudr Guss-Jcoi Guss-Seidel 9

10 Método de Guss-Jcoi Método de Guss-Jcoi Cohecid estimtiv iicil, (0), otém-se cosecutivmete os vetores: () C (0) g, (primeir proimçã o) () C () g, (segud proimçã o) () C ( ) g, ( - ésim proimçã o) De um modo gerl, proimção (+) é clculd pel fórmul: (+) = C () +g, =0,,... 0

11 Método de Guss-Jcoi Método de Guss-Jcoi D primeir equção do sistem: = otém-se: = (/ ) ( ) e, logmete, = (/ ) ( ) = (/ ) ( )

12 Método de Guss-Jcoi Dest form, pr = C + g, otém-se: g C e Método de Guss-Jcoi

13 Método de Guss-Jcoi Método de Guss-Jcoi Distâci etre dus iterções d () m () i - ( -) i Critério de Prd d () () d r () m i

14 Método de Guss-Jcoi Método de Guss-Jcoi Eemplo Sej o sistem: Determição de C e g C 0 -/5 -/5 - /0 0 / /0 -/5 0 g

15 Método de Guss-Jcoi Método de Guss-Jcoi Eemplo Assim, cosiderdo como estimtiv iicil: 0 0,7 -,6 0,6 e = 0,05, otém-se: () C (0) 0,84 g,4 0,94 e () (0) = 0,4 () (0) =,94 () (0) = 0,4 5

16 Método de Guss-Jcoi Método de Guss-Jcoi Eemplo Assim: 0,50 () () 0,9 C g,44 d () 0,75 r 0,00,44 () e, logmete: C () g 0,44,5640 0,968 d () r 0,,5640 0,046 6

17 Método de Guss-Jcoi Método de Guss-Jcoi Eemplo Igulmete: 0,8 (4) () 0,544 C g,47 d (4) r 0,049 0,044,47 e, filmete: 0,99 (5) (4) 0,0647 C g,559 d (5) r 0,044 0,097,559 7

18 Método de Guss-Seidel Método de Guss-Seidel Similrmete o método de Guss-Jcoi, cohecid estimtiv iicil, (0), otém-se cosecutivmete os vetores (), (),..., () Todvi, o se clculr j (+), us-se todos os vlores (+), (+),..., j- (+) que já form clculdos e os vlores j+ (), j+ (),..., () resttes. 8

19 9 Método de Guss-Seidel Descrição I Sej o seguite sistem de equções: Método de Guss-Seidel

20 Método de Guss-Seidel Método de Guss-Seidel Descrição II Isoldo i prtir d lih i, tem-se:

21 Método de Guss-Seidel Descrição III O processo itertivo se dá prtir ds equções:,,,, Método de Guss-Seidel

22 Método de Guss-Seidel Critério de Prd I Difereç reltiv etre dus iterções cosecutivs, dd por: 0 0 se, 0 se, 0 0 se, Má. M i i i i i i i i i R Método de Guss-Seidel

23 Método de Guss-Seidel Método de Guss-Seidel Critério de Prd II Fim do processo itertivo Vlor de M R + suficietemete pequeo pr precisão desejd

24 Pseudo código d roti Guss Seidel escolher um proimção iicil = (,, ) fzer té covergir: pr i := (,, ): σ = 0 pr j := (,, i-, i+,, ): σ = σ + ij * j próimo j i = (i - σ) / ii próimo i próimo fzer 4

25 Método de Guss-Seidel Método de Guss-Seidel Eemplo 4 Resolver: 5 y z 5 4y z 6 y 6z 0, com M R 5.0. Solução: y z y z 6 z y z y 5

26 Método de Guss-Seidel Método de Guss-Seidel Eemplo 4 Qudro de resultdos do processo itertivo M y M y z M z M R 0,8,5 0,65-0,75,79,79,05 0, 0,9 0,9-0,967 0,50 0,9,009 0,006 0,985 0,066-0,997 0,00 0,066,00 0,007 0,998 0,00-0,00 0,00 =,00 y = 0,998 z = - 6

27 Método de Guss-Seidel Método de Guss-Seidel Eemplo 4 Verificção (sustituição o sistem) =,00 y = 0,998 z = - 5.(,00) +.(0,998) +.(-) = 5,008 5 OK.(,00) + 4.(0,998) +.(-) = 5,998 6 OK.(,00) +.(0,998) + 6.(-) = 0 OK 7

28 Método de Guss-Seidel Critérios de Covergêci Processo itertivo Covergêci pr solução et ão grtid pr qulquer sistem. Necessidde de determição de certs codições que devem ser stisfeits por um SEL pr grti d covergêci do método. Critérios de determição ds codições de covergêci Critério de Sssefeld Critério ds Lihs 8

29 Método de Guss-Seidel Critério de Sssefeld I Sejm s qutiddes i dds por: j j e pr i =,,..., i ii i j ij j ji ij - ordem do sistem lier que se desej resolver ij - coeficietes ds equções do sistem 9

30 Método de Guss-Seidel Critério de Sssefeld II Este critério grte que o método de Guss-Seidel covergirá pr um ddo SEL se qutidde M, defiid por: M for meor que (M<). m i i 0

31 Método de Guss-Seidel Critério de Sssefeld III Eemplo 5: Sej A mtriz dos coeficietes e o vetor dos termos costtes, ddos por: 4 for meor que (M<)

32 Método de Guss-Seidel Critério de Sssefeld IV Eemplo 5: Sej A mtriz dos coeficietes e o vetor dos termos costtes, ddos por: Mostrr que solução do SEL seguir covergirá pelo método de Guss-Seidel

33 Critério de Sssefeld V Eemplo 5: Método de Guss-Seidel 0,0 4,0 0,8, 0,4,0 0, 0, 0, 7,8 0, 0,6 0,6 0,4 0, 0,,

34 Método de Guss-Seidel Critério de Sssefeld VI A Eemplo 5: Solução 4 4 0, 0, 0,6 0,7 0,6 0, 0,7 0, 0,44 0,7 0, ,44 0, 0,4 0,7, 0,44 0,8 0,58 0, 76 0, M m i i 0,7 M < Covergêci d solução do sistem prtir do método de Guss-Seidel 4

35 Método de Guss-Seidel Critério ds Lihs Segudo este critério, um determido sistem irá covergir pelo método de Guss-Seidel, se: ij ii, pr i,,,...,. j ji 5

36 Método de Guss-Seidel Critério ds Lihs Eemplo 6: O SEL do Eemplo 4 stisfz o Critério ds Lihs, sedo verificção quse imedit, se for oservdo que: 4 0, 0,,4 4 0,6 0,6 0,,5 4 0, 0, 0, 0, ,4, 0,8,4 ij ii pr i,,, 4. j ji 6

37 Cosiderções Fiis Tto o Critério de Sssefeld quto o Critério ds Lihs são codições suficietes, porém ão ecessáris, pr covergêci do método de Guss-Seidel pr um ddo SEL Um ddo SEL pode ão stisfzer estes critérios e id covergir Um sistem pode ão stisfzer o Critério ds Lihs, porém su covergêci será grtid se stisfizer o Critério de Sssefeld 7

38 Método de Guss-Seidel Critério ds Lihs Critério de Sssefeld Eemplo 7: Sej o seguite SEL: 0 6 O Critério ds Lihs ão é stisfeito, visto que: Todvi, o Critério de Sssefeld é stisfeito, um vez que: 8 0, e , 0, 8

39 Método de Guss-Seidel Critério ds Lihs Critério de Sssefeld Eemplo 7: Assim sedo, covergêci do SEL é grtid. 9

40 Cosiderções Fiis Emor ão ltere solução do SEL, ordem de precimeto ds equções pode lterr su covergêci pelo método d Guss-Seidel. Eemplo 8: Sej o SEL: Oserv-se que ordem tul de precimeto ds equções, o SEL ão stisfz o Critério ds Lihs (verificr!!!); logo, su covergêci ão é grtid. A iversão d ordem ds dus equções do SEL frá com que o Critério ds Lihs sej stisfeito e su covergêci pelo método de Guss-Seidel grtid (verificr tmém!!! )

41 Biliogrfi Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. d R. Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computciois. MAKRON Boos, 996, ª ed. Aso, C. H. & Colli, E. Cálculo Numérico: Fudmetos e Aplicções. Deprtmeto de Mtemátic Aplicd IME/USP, 007. Sches, I. J. & Furl, D. C. Métodos Numéricos. DI/UFPR, 006. Pulio, C. D. & Sores, C. Erros e Propgção de Erros, Nots de ul, SE/ DM/ IST [Olie] e /PE_erros.pdf [Último cesso 07 de Juho de 007]. 4