Métodos Numéricos. Autores: Mário Barreto de Moura Neto Rafael Martins Gomes Nascimento Samara Anny Maia Fava Victor Sampaio Gondim

Transcrição

1 Métodos Numéricos Autores: Mário Brreto de Mour Neto Rel Mrtis Gomes Nscimeto Smr Ay Mi Fv Victor Smpio Godim Orietdor: Velser Drll Beício Corre

2 Apresetção Itrodução Métodos pr Ecotrr Rízes Prte d Smr Itegrção Numéric Resolução de Sistems Lieres Resolução de Equções Diereciis

3 Itrodução Métodos uméricos: Ideis pr uso com errmets computciois Mior utilizção prtir do crescimeto d áre d computção Com o umeto do poder de processmeto, resultdos mis precisos puderm ser lcçdos

4 Métodos pr Ecotrr Rízes Itrodução Isolmeto de rízes Métodos Eemplo

5 Itrodução Ojetivos Freqüete ocorrêci de equções do tipo = Equções de gru ou rízes ets Equções de gru mior que rízes proimds Métodos uméricos desevolvidos rízes proimds com qulquer precisão preestelecid

6 Itrodução Idéi cetrl Processo itertivo Aproimção iicil Ríz proimd º Psso: Isolmeto ds rízes º Psso: Reimeto ds rízes

7 Isolmeto de rízes Aálise teóric TEOREMA: cotíu um itervlo [,] < eiste pelo meos ríz o itervlo [,] OBS: Se eistir e preservr o sil o itervlo, etão o itervlo cotém um úico zero

8 Isolmeto de rízes Aálise gráic Esoço do gráico: - Domíio; - Potos de descotiuiddes; - Crescimeto e decrescimeto; - Máimos e míimos; - Cocvidde; - Potos de ileão; - Assítots

9 Métodos Bisseção r

10 Métodos Bisseção - cotíu em [, ] e - ª estimtiv: - Se: r [, ] r, ] [ - ª estimtiv: ou

11 Métodos Bisseção

12 Métodos Newto-Rphso r

13 Métodos Newto-Rphso T T

14 Métodos Birge-Viet - Vrite do método de Newto- Rphso; - Utilizdo com o método de Horer, tor-se computciolmete mis eiciete R -, ode R R R p p'

15 Eemplos 9 Dd ução, ecotrr ríz que ecotr-se o itervlo [, ] usdo os métodos d Bisseção e de Newto-Rphso com iterções Bisseção Newto-Rphso Iício [, ] =,5, ,5,5476,75,7689 4,5, ,475, ,85, ,5975, ,98475, ,768956,6946,768956

16 Iterpolção Deiição Iterpolção Poliomil Forms de se Oter P Estudo do Erro Iterpolção Iterpolção Ivers Escolh do Gru do Poliômio Fução Splie Lier Iterpolte

17 Deiição Iterpolr um ução cosiste em proimr ess ução por um outr ução g e, etão, ução g sustitui A ecessidde de se eetur ess sustituição surge em váris situções, eemplo:

18 Deiição Qudo pes lgus potos, são cohecidos e desej-se ecotrr o vlor d ução pr um determido Qudo ução em estudo é tl que operções como dierecição e itegrção são diíceis ou té impossíveis de serem relizds

19 Iterpolção Poliomil Ddos + potos,,,,,,, pode-se proimr por um poliômio p de gru meor ou igul tl que: = p, =,,,, Teorem: Eiste um úico poliômio p de gru tl que p =, =,,,, desde que j, j

20 Forms de se oter p Resolução do sistem lier Eemplo - Ecotrr o poliômio de gru que iterpol os potos d tel: Tem-se que p = + + ; p = => + = 4 p = => = p = => = - Resolvedo o sistem lier, otém-se = ; = -7/; = / Assim, p = 7/ + / é o poliômio que iterpol em = -, = e =

21 Form de Lgrge Sej p o poliômio de gru que iterpol em,,, Pode-se represetr p orm p = y L + y L + + y L, em que os poliômios L são de gru o máimo Assim, orm de Lgrge do poliômio iterpoldor é: em que L y p j j j j j j L

22 Sej tel: Pel orm de Lgrge, tem-se que: p = y L + y L + y L, ode Assim, orm de Lgrge, Agrupdo os termos semelhtes, otém-se p = 7/ + / L L L 6 4 p Eemplo

23 Form de Newto A orm de Newto pr o poliômio p que iterpol os + potos,,, é dd por: d = operdor diereçs dividids: ordem zero ordem ordem ordem ordem ],,,, [ ],,, [ ],,,, [ ],, [ ],, [ ],,, [ ], [ ], [ ],, [ ] [ ] [ ], [ ] [ d d d d p

24 Tel do Operdor Diereçs Dividids

25 Eemplo Resolução do mesmo prolem utilizdo orm de Newto: p = d +d - +d p = 4+-++/+- p = 7/ + /

26 Estudo do Erro Iterpolção Ao se proimr um ução por um poliômio iterpoldor de gru, comete-se um erro, que pode ser epresso por: E = p pr todo o itervlo [, ] O estudo do erro é importte pr ser quão próimo está de p Se ução é dd orm de tel, o vlor soluto do erro E só pode ser estimdo E má d +

27 Eemplo Sej dd orm: Oter 47 usdo um poliômio de gru Dr um estimtiv pr o erro Solução: Deve-se escolher potos de iterpolção Como 47 está etre os potos 4 e 5, dois dos três potos deverão ser 4 e 5 O outro poto pode ser tto 4 como 6 Escolhe-se, etão, os potos = 4, = 5, = 6

28 Eemplo Form-se tel de diereçs dividids: p = d + d - + d - - = p 47 = 78 47

29 Eemplo A estimtiv do erro pode ser dd por: E má d + Assim, E ,49 E

30 Iterpolção Ivers O prolem de iterpolção ivers cosiste em: ddo y,, oter, tl que y Como resolver o prolem? Oter p que iterpol em,,, e em seguid ecotrr tl que p y,

31 Eemplo Dd tel io, ecotrr tl que : Solução: Como está etre 8 e, pode-se zer iterpolção lier sore os potos =6 e =7 Assim, p Etão, p

32 Escolh do Gru do Poliômio Trçr tel de diereçs dividids; Emir os ds vizihç do poto de iteresse; Se ess vizihç, os d costtes ou se os d + vrirem em toro de zero, coselhse utilizr um poliômio iterpoldor de gru Por eemplo, cosidere = teld io: No itervlo [,5], um poliômio de gru é um o proimção pr =

33 Fução Splie Lier Iterpolte Aproimr ução por um ução lier por prtes A ução Splie lier S que iterpol os potos,,, pode ser escrit em cd suitervlo [ i-, i ], i =,,, como: ], [, i i i i i i i i i i i S

34 Eemplo Ecotrr ução splie lier que iterpol ução teld: De cordo com deiição, [,], S [,5] 4, S [5,7] 85, S

35 Gráico y,5 s s s 5 7

36 Itegrção Numéric Itrodução Método dos trpézios Método de Simpso Comprções

37 Itrodução Fuciolidde: Diícil determição d ução primitiv: e d? Epressão lític descohecid: O vlor de é cohecido pes em lgus potos

38 Itrodução Idéi ásic: Sustituição d ução por um poliômio com proimção rzoável: d i A i i, i [, ]

39 Método dos trpézios i m

40 Áre do trpézio: Poliômio proimdo: o qul m é o úmero de divisões e h, o tmho d divisão Método dos trpézios h A m i i i h d m

41 Método de Simpso 4 i m

42 Método de Simpso Poliômio iterpoldor,, : Aproimção d itegrl: h h h h h h p 4 h d p d

43 Método de Simpso Aplic-se o método repetids vezes: ]} [ ] 4[ ] {[ 4 4 / m m m m h h d m

44 Comprções Clculr e d, m, h, e d Usdo o método dos trpézios: 9,,,,8, e e e e e e, 797 e d, Usdo o método de Simpso: 9,,,,8, e 4e e 4e 4e e e, 78878

45 Comprções, Aliticmete, e d e e e d Solução Alític Método dos Trpézios Método de Simpso Resultdo,78888,797,78878 Erro - 8,9-6,554-6

46 Resolução de Sistems Lieres Itrodução Métodos Diretos Elimição de Guss Guss-Jord Métodos Itertivos Guss-Jcoi Teste de Prd Guss-Seidel

47 Itrodução Resolução de um prolem do tipo: A = A é mtriz dos coeicietes é o vetor ds vriáveis é vetor costte m m m

48 Métodos Diretos Destc-se regr de Crmer: Um sistem evolve o cálculo de + determites Se =, o úmero totl de operções é!9 multiplicções mis um úmero semelhte de dições Um computdor que eetue cem milhões de multiplicções por segudo levri os Necessidde de métodos mis eicietes

49 Métodos Diretos Método d Elimição de Guss Trsormr o sistem lier origil em um sistem lier equivlete Mtriz dos coeicietes trigulr superior Dois sistems lieres são equivletes qudo possuem mesm solução

50 Sej o sistem lier A = A mtriz, trigulr superior com elemetos d digol dieretes de zero m Métodos Diretos Método d Elimição de Guss

51 Portto, o sistem lier é: m Métodos Diretos Método d Elimição de Guss

52 Métodos Diretos Método d Elimição de Guss D últim equção, tem-se: m Etão pode-se oter - :,, Sucessivmete, té :

53 Métodos Diretos Método d Elimição de Guss Pr ecotrr ov mtriz A, são eits comições etre s lihs m m m m Multiplicr primeir lih por - i / e somr à i-ésim lih i> Multiplicr segud lih por i / e somr à i-ésim lih i>

54 Métodos Diretos Método d Elimição de Guss Prosseguido sucessivmete té i = m, otém-se ov mtriz A trigulr superior: m

55 Métodos Diretos Método de Guss-Jord Sej um sistem A= Fzer comições etre s lihs d mtriz A pr oter I : ' ' ' '

56 Métodos Diretos Método de Guss-Jord Dess orm, qudo izermos A =, teremos de orm diret solução do sistem ' ' ' '

57 Método Itertivos Escreve-se o sistem A= como = C + g Prte-se de um vetor proimção iicil e z-se cosecutivmete: = C + g = C + g Ou sej, proimção + é clculd por: + = C + g

58 Método Itertivos Método de Guss-Jcoi Trsormr o sistem lier A = em = C+g Tem-se o sistem lier: m

59 Método Itertivos Método de Guss-Jcoi Supodo ii, i =,,, isol-se o vetor :,

60 Método Itertivos Método de Guss-Jcoi Tem-se, etão: / / / / / / / / / C g / / /

61 Método Itertivos Método de Guss-Jcoi Assim:,

62 Método Itertivos Teste de Prd O processo é repetido té que o vetor estej suicietemete próimo de - d Erro reltivo: má i i i d r d i má Pr um precisão E, o critério de prd é: i d r E

63 Método Itertivos Método de Guss-Seidel A prtir de, proimr,,,, por:,

64 Método Itertivos Método de Guss-Seidel Note que pr clculr j + utilizm-se: Todos os vlores +,, j- +, já clculdos Os vlores j+ +,, + resttes

65 Método Itertivos Método de Guss-Seidel Eemplo Resolver o sistem: Com e E =,

66 Método Itertivos Método de Guss-Seidel Eemplo O processo itertivo é:,5,5,5,75,5,,,875,75,5,5,75,75,5

67 Método Itertivos Método de Guss-Seidel Eemplo Critério de prd:,85,75 E má d i i r,875,75

68 Método Itertivos Método de Guss-Seidel Eemplo,9875,95,5,9875,95,5,5,5,95,875,5,5,75,5,5,875,,75,,5,,5 E má d i i r,95,

69 Método Itertivos Método de Guss-Seidel Eemplo Assim, solução do sistem lier pr precisão E =, é:,5,95,9875

70 Resolução de Equções Diereciis Método de Euler Método de Euler Aprimordo Método de Ruge-Kutt Eemplo

71 Método de Euler Método itertivo tmém cohecido como método d ret tgete Resolução de prolems orm: Com codição iicil: y t y O método é epresso pel equção: y y t, y t t d dt y t t, y,,, Ou sej, com o psso sedo costte e igul h: y y h

72 Método de Euler Pels iterções otém-se: Etão, utilizdo esses vlores, um gráico pode ser trçdo Algoritmo: : Dei t,y : Alimete os vlores iiciis t e y : Alimete o tmho do psso h e o úmero de pssos 4: Escrev t e y 5: Pr j de té clcule: 6: = t,y y = y + h* t = t + h 7: Escrev t e y 8: Fim y t,, t y,, t y

73 Método de Euler Aprimordo Método em dus etps Primeiro clcul-se y +h d órmul de Euler e, depois utiliz-se esse resultdo pr clculr y + y y Pr implemetá-lo, st sustituir o 6º psso do lgoritmo terior por: 6: = t,y = t+h, y+h* y = y + h/*+ t = t + h t, y t, y h

74 Método de Ruge-Kutt Evolve um médi poderd de vlores de t,y em potos dieretes o itervlo Em que: 6 4 h y y,,,, 4 h y h t h y h t h y h t y t

75 Método de Ruge-Kutt Pr implemetá-lo, st sustituir o 6º psso do lgoritmo terior por: 6: = t, y = t+,5*h, y+,5*h* = t+,5*h, y+,5*h* 4 = t+h, y+h* y = y + h/6*+*+*+4 t = t+h

76 Eemplo Ecotrr tesão o cpcitor pós chve rir o circuito io Note que v = V 8V uf Etão, equção dierecil do circuito é: v' t V R th C v t R C th th v' t 4 5v t

77 Eemplo Etão equção dierecil e codição iicil orm colocdos o progrm O gráico respost oi: