MATLAB - Trabalho Prático 4

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1 U N I V E R S I D A D E D A B E I R A I N T E R I O R Deprtmeto de Egehri Electromecâic CONTROLO DE SISTEMAS (Lortório) MATLAB - Trlho Prático Todos os eercícios devem ser escritos um script.m. Deverão ser devidmete idetificdos e o fim de serem resolvidos o espço de trlho deve ser limpo. ) Desevolv um fução pr o cálculo ds rízes de um equção de º gru: c. Cosidere síds de ddos diferetes pr os csos ds rízes serem reis ou comples cougds (este último cso, o determite c é meor do que ). ) Testr o comdo que implemet o lgoritmo de elimição gussi, com os seguites sistems e vlir os resultdos otidos: ) ) ) Cosidere o seguite sistem de equções: 9

2 ) Clcule o determite d mtriz dos coeficietes. ) Clcule ivers d mtriz dos coeficietes. c) Resolv o sistem de equções. ) Costru um script que permit o utilizdor itroduzir um sistem de equções lieres, com possiilidde de ser resolvido segudo os seguites métodos uméricos: Métodos Directos: Elimição de Guss. Fctorizção LU. Métodos Itertivos: Método de Jcoi-Richrdso. Método de Guss-Seidel. Método d Sore-Relção Sucessiv (SOR). Not: Ver folhs em eo com descrição sumári d implemetção de diversos métodos de resolução de sistems de equções lieres. ) Após desevolvimeto do script de resolução de sistems de equções lieres segudo diversos métodos uméricos, resolv os seguites sistems e compre s soluções otids em reltivmete o vlor fil e em cosiderção os diversos métodos uméricos itertivos, o úmero de iterções ecessáris pr oter covergêci d solução: ) ).... c) d) e) 9 f) Not: Pr os métodos itertivos cosidere Codição Iicil ul: i () e um Critério de Prgem: ε < -.

3 ) Cosidere dois feómeos físicos modeldos mtemticmete e discretizdos segudo dois esquems (Difereçs Cetris e Up-Wid). Em otção mtricil, os sistems de equções lgérics resulttes dos diversos métodos de discretizção pr cd um dos feómeos físicos ( A e B ) são ddos por: i) Feómeo Físico A - Esquem Difereçs Cetris (CDS): Esquem Up-Wid (UDS) : ii) Feómeo Físico B - Esquem Difereçs Cetris (CDS): Esquem Up-Wid (UDS) : Resolv trvés do método de Elimição de Guss, os sistems de equções lieres represettivos de cd um dos feómeo físicos, e esoce um gráfico comprtivo etre s soluções ecotrds por cd um dos esquems de discretizção utilizdos.

4 ANEXO De um modo gerl um sistem lier com equções e icógits é represetdo form vectoril como: que form compct pode ser rescrito como: A Os Métodos Numéricos são ferrmets utilizds pr determição de um solução proimd pr o prolem em questão. De seguid serão presetdos os métodos de resolução de sistems lieres qudrdos com solução úic, ou se queles pr os quis det(a). Os métodos de solução de um sistem lier são clssificdos em dois grdes grupos: - Métodos Directos: são queles que forecerim solução ect, ão fossem os erros de rredodmeto, com um úmero fiito de operções. - Métodos Itertivos: são queles que permitem oter solução proimd de um sistem com um dd precisão trvés de um processo ifiito covergete. Not: Descrição complet de cd um dos métodos em: Chpr, Steve C., Cle, Rymod P. Numericl Methods for Egieers, sd Editio, McGrw-Hill,9. Eposição d sequêci de operções progrmr pr cd método: É de slietr que o MATLAB possui fuções de mipulção de mtrizes, como sem iv; tril; triu; dig; que coplds operções ritmétics iserids em ciclos de cotrolo de fluo de progrm: if; elseif; else; while; for, permitem resolver sistems de equções lieres. A resolução do sistem de equções A trvés dos diversos métodos virá:

5 Métodos Directos Um estrtégi pr solucior um sistem lier é trsformá-lo um sistem equivlete cu solução é cohecid. Est é estrtégi ierete de todos os métodos directos. N verdde, procur-se trsformr o sistem origil em outro equivlete form trigulr. Método de Elimição de Guss : Cosiste em trsformr o sistem ddo um sistem trigulr equivlete trvés de um sequêci de operções elemetres sore s lihs do sistem origil. Esss operções são otids pel plicção repetid de: "sustituir um equção pel difereç etre ess mesm equção e um outr multiplicd por um costte diferete de zero''. É clro que tl operção ão lter solução do sistem, isto é, otêm-se com el outro sistem equivlete o origil. Podemos orgizr sequêci de tis operções de meir que o sistem fil tore-se trigulr superior. Cosiderdo o sistem lier descrito. Iicilmete ger-se mtriz umetd: () () () () () () () () () () () () ode pr i,,,,, () e i () i. Por hipótese temos que ii (), pois det(a ). Primeiro Psso: Redução do sistem iicil A um sistem equivlete cu mtriz é digol superior. Pr este fim plicm-se operções elemetres sore mtriz A: troc de equções, multiplicção de um equção por um costte diferete de zero e som com outr equção. Elimir icógit d ª, ª,, ª equções (isto é, ulr os elemetos d primeir colu io d digol); pr isso: Pssmos etão d mtriz iicil à mtriz: () () () () () () () () () ()

6 ode: i () () () () i () () () i () i () (), i,,, ;,,, Segudo Psso: Resolução do sistem equivlete por sustituição ivers em que é repetido o Primeiro Psso pr mtriz: () () () () () () () () Ou se, icógit é elimid d ª, ª,, ª equções (isto é, ulm-se os elemetos d segud colu io d digol); pr isso: Otedo-se mtriz: () () () () () () () () () () () () ode: i () () () ( ) i ( ) ( ) ( ) i ( ) ( ) i ( ), i,,, ;,,, E ssim sucessivmete té chegr o: (-)º: Omitido os detlhes dos sucessivos pssos, mtriz resultte tem form:

7 () () () () (), (), (), ( ), () () () ( ), ( ) () () () ( ) ( ) ode: i ( ) ( ) ( ) ( ) i ( ), ( ) ( ) i, ( ), ( ) i, ( ),, i ;, Que em termos de otção compct correspode : A - * Método LU (Fctorizção LU) : Qudo um mtriz A qulquer pode ser decompost o chmdo produto LU, ode L e U são mtrizes trigulres iferior e superior respectivmete. Se mtriz A do sistem A for decompoível o produto LU etão o sistem reduz-se à solução de dois sistems trigulres: L : U : Mtriz trigulr iferior (digol uitári) Mtriz trigulr superior y L - * U - * y

8 Métodos Itertivos Tis métodos devem ser plicdos qudo mtriz dos coeficietes é esprs (mtrizes esprss são quels que possuem muitos elemetos iguis zero). Podem ser usdos tmém pr reduzir os erros de rredodmeto solução otid por métodos directos e so certs codições podem ser plicdos pr resolver couto de equções ão lieres. Um método é itertivo qudo forece um sequêci de proimções d solução, cd um dos quis é otido dos teriores pel repetição do mesmo tipo de processo. Critério Gerl de Covergêci: Se é um orm qulquer de mtrizes codição B < é suficiete pr grtir covergêci do processo itertivo. Critério de Prgem do Processo: Num método itertivo, o critério de prgem do processo é ddo pel vlição do erro reltivo: ( k ) ( k ) ( k ) < ε, ode ε é precisão d solução pretedid. Método de Jcoi-Richrdso: L : D : R : Mtriz trigulr iferior (iferior à digol pricipl) Mtriz digol Mtriz trigulr superior (superior à digol pricipl) Isto é, l, i >, i d, i, i r, i <, i Etão: A L D R Supodo det(d), o sistem origil pode ser trsformdo em : ( L D R ) D - ( L R ) - D - ( L R ) D - Sedo o Método de Jcoi-Richrdso como processo itertivo defiido por: (k) - D - ( L R ) (k) D -

9 Simplificdo, otém-se: (k) D - ( - ( L R ) (k) ) Método de Guss-Seidel: M L D : Mtriz trigulr iferior R : Mtriz trigulr superior (superior à digol pricipl) Em que o procedimeto itertivo é ddo por: (k) ( L D ) - ( - R (k) ) Método SOR: O processo pr celerr o Método de Guss-Seidel deomi-se Método d Sorerelção Sucessiv (SOR) e cosiste itrodução de um fctor de relção α pr celerr o processo : Sore-relção ( < α <. ) ou pr promover covergêci d solução trvés de um vço mis leto : Su-relção ( α < ). (k) ( α L D ) - [ ( - α ) D - α R ] (k) α ( D α L ) -