SISTEMA DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES

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1 SISTEA DE EQUAÇÕES AGÉBRICAS INEARES Itrodção São iúmeros os proems de egehri ode se reci soção de m sistem de eqções ieres. Como eempos, podemos citr: O cáco de esforços em proems de estátic; O cáco de tesões e corretes em m circito eétrico composto por eemetos ieres; O ço de mss em sistems físicos ieres; A soção de eqções difereciis ieres por métodos méricos como eemetos fiitos e difereçs fiits, etc. Formção Form ger: ode e são costtes e é o úmero de eqções.

2 Represetção trici A.... Cssificção dos Sistems Icomptíve. E.: Determido - soção úic Comptíve Idetermido - diverss soções. Homogêeo ) étodos de Soção Cssificm-se, mericmete, em Diretos e Itertivos. Os métodos mis coms são: étodo de Gss Diretos étodo d Eimição de Jord Ftorção U e Choeski étodo de Jcoi Itertivos étodo de Gss Seide

3 étodo d Trigção de Gss Pricipio do método: Ddo m sistem ier A, oter, trvés de trsformções eemetres m sistem eqivete, T c, ode T é m mtriz trigr sperior. Em segid ccm-se os eemetos do vetor trvés de m processo de sstitição revers. Trsformções Eemetres Troc d ordem ds eqções; tipicção de m eqção por m re ão o; Sstitição de m eqção por m comição ier de mesm com m otr;

4 Sstitição Revers Ddo m sistem form trigr sperior: ) ) O O A útim eqção permite determir diretmete: ) A peútim eqção fic: ) ), ), ) Geerizdo, tem-se: j k k ) jk ) j j

5 Trigção Eempo: A. º Etp: Escreve-se mtriz metd do sistem B [A ] ): B ) Tomdo-se o eemeto d digo pricip, ), como pivô, ecotr-se os mtipicdores pr s segd e terceir ihs. ) ) ) ) ) ) m m

6 Sstitem-se s segd e terceir ihs pe segite comição ier etre cd m des e primeir ih: ) ) ) ) ) m m ) ) ) ) ) [ ] [ 6 ] [ ] [ ] [ ] B ) º Etp: Tom-se gor o eemeto d digo pricip, ), como pivô e ecotr-se o mtipicdor pr terceir ih com reção à segd. m 6 ) ) ) A ov terceir ih é dd por: ) ) ) ) m ) ) ) ) [ ] [ 7] [ 6 ] [ 6 6]

7 7 B ) Procededo sstitição revers otêm-se soção do sistem trigr sperior represetdo pe mtriz metd B ) : 7 7 B ) Est é tmém soção do sistem origi, ddo iicimete. Um form prátic e compct de reizr trigção é trvés d costrção de tes. ih tipicdor triz A Vetor Trsformção )

8 Técics pr Aprimorr Soção Esss técics são úteis ão pes pr o método d trigção, ms tmém pr métodos simires.. Uso de mis dígitos sigifictivos dp precisão);. Pivotmeto: Idetificr se eistem pivôs de peqeo vor e trocr ihs e/o cos de form ter os eemetos d digo diferetes de zero e de mior vor soto. Isto miimiz o erro de rredodmeto.. Escometo: iimiz o erro de rredodmeto. Um mtriz trigr cjos eemetos d digo pricip são diferetes d idde, pode ter cd m de ss ihs dividids peo se respectivo eemeto digo pricip. Os.: Em gs proems é ecessário m estdo de codiciometo d mtriz e m processo de otimizção d soção se fz ecessário.

9 étodo de Jord Ddo m sistem, o étodo de Jord cosiste em oter, trvés de trsformções eemetres, m sistem eqivete cj mtriz A sej digo. E.: A. i tipic. triz A Vet. Trsformção ) )

10 Cáco de Determites Um meir simpes de ccr o determite de m mtriz A cosiste em ecotrr m mtriz B, trigr o digo, qe sej otid prtir de A, trvés de trsformções eemetres. Demostr-se qe, se A e B são eqivetes, etão: B ) det A ) det E.: A 6 A ) ) det ) det B A B ) ) det ) det B A

11 étodo d Ftorção U Sej mtriz A dd io, qe deve ser ftord em ds mtrizes trigres, m sperior e otr, iferior. A U O Sedo O O U

12 Efetdo o prodto U e igdo os eemetos d mtriz prodto os eemetos correspodetes em A, rmm-se eqções, evovedo os eemetos de e de U. possi Oserv-se, etretto, qe cd m ds mtrizes trigres eemetos descohecidos, defiido m tot de icógits, úmero esse mior qe o úmero de eqções. Isso sigific qe ifiits mtrizes e U são soções do proem de ftorção. Pr cotorr o proem de qe o úmero de icógits é mior qe o úmero de eqções, costm-se triir vores os eemetos d digo de m ds mtrizes trigres. Apresetmos segir soção propost por Bchiwitcz. A fim de simpificr os cácos, triem-se: ii, i,, Com isso, fic defiid ª ih d mtriz U, de cordo com s eqções io:

13 Um vez defiido o vor de, pode-se etão ccr tod ª co d mtriz, trvés ds eqções defiids peo prodto ds ihs de pe primeir co de U: tipicdo ª ih de pe ª co de U, de cordo com: Aogmete, mtipicdo s ihs resttes de pe ª co de U, determim-se os eemetos resttes d ª co de, i. e., os eemetos sitdos io de, de cordo com: i i ), i,, Notr qe os eemetos d ª co de ão depedem dos eemetos d ª ih de U, eceto do eemeto d digo,.

14 Apicção à soção de sistems de eqções ieres: Sej o sistem: A Ftordo mtriz A U, tem-se: U) Defiido tem-se: U y y qe é m sistem trigr, podedo ser resovido por sstitição diret, pr ecotrr y. Em segid, resove-se otro sistem trigr: U y trvés de sstitição revers, pr fimete ecotrr o vetor.

15 E.: Resover o sistem io, trvés do método d ftorção U: As mtrizes e U serão rmzeds o mesmo espço de memóri reservdo pr mtriz A. Assim, pós o º psso, tem-se: 8 A ) Em segid, ccm-se: 7 I ) 7 6 II ] [ ] [ )

16 Com isso, fic defiid: A ) Notr qe, esse estágio dos cácos e, desde o pricípio), eiste m eemeto o digo. Isso ão se costiti m ostáco pr cotiidde do processo de ftorção. A determição d ª ih de U e d ª co de é feit trvés ds eqções: [ ] 7 Dess form, mtriz A modificd, pós o º psso d ftorção, fic: A )

17 Fimete, o eemeto é determido trvés de: 6 A mtriz A ftord, cotedo os eemetos de U, em como os eemetos de io d digo, fic: A ) Resovedo y, trvés de sstitição diret, otém-se: y 7 Resovedo gor U y, trvés de sstitição revers, determi-se:

18 étodos Itertivos Itrodção Cosidere o sistem de eqções ieres A, cj soção é o vetor *. Est soção deve ser otid como o imite pr o q coverge seqêci { ) t),,,}. T seqêci é gerd prtir de m proimção iici ) e oedece m regr preesteecid. Esse procedimeto crcteriz os métodos itertivos. Form Ger Os métodos itertivos pr soção de sistems ieres presetm segite form ger: C d ode C é m mtriz X ) e d m vetor X ). Assim, prtido de m proimção de, digmos t), pode-se oter m mehor proimção t), trvés de: C t ) t ) d

19 étodo de Jcoi Utiizdo eqção de iterção e s mtrizes C e d defiids em teriormete, defie-se o método de Jcoi trvés dos segites pssos: ) Estim-se m proimção iici ) pr ; ) Germ-se proimções scessivs t), prtir d eqção de iterção, té qe: ode ε é toerâci predefiid. Um critério dicio de prd pode ser id itrodzido, sedo o esteecimeto de m úmero máimo dmissíve de iterções. Note qe: O K C d d C A i m ) t i ) t i ε <

20 étodo de Gss-Seide Esse método tiiz sempre s útims tizções de cd vriáve, eqção de iterção. i t ) di cik k c k k i t ) t) i ik k Em ger, esse procedimeto ceer covergêci do sistem. O método é deqdo pr sistems com m úmero eevdo de eqções e tededo codição d mtriz A ser digomete domite. Isto se pic, por eempo, sistems de eqções ieres gerdos qdo d picção do método ds difereçs fiits o o cáco de spies. Um ds vrições do método é o chmdo método d sorereção, com eqção itertiv mostrd io: k) λ k) G-S - λ ) k) ode λ < λ < ) é m ftor peso com fiidde de ceerr covergêci.

21 Covergêci dos métodos itertivos Sej o sistem: C d Strido dess eqção eqção de iterção, fic: C t ) ) t ) Defiido-se o erro d k-ésim iterção com: e t ) t ) tem-se e Ce t ) t) Teorem: Prtido d eqção terior, demostr-se qe: A codição i Cij <, j,, é sficiete pr qe t ) C t d covirj. Como coseqêci, o critério defiido por ii > ij, i,, j j i grte covergêci. A desigdde presetd o teorem, defie o critério ds ihs e mtriz qe stisfz esse critério é cohecid como digo domite.