ões Lineares todos de resolução Métodos de resolu Sistemas de Equações Lineares Sistemas de Equa as em uma treliça lculo das forças em uma treli

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1 CCI- CCI- teátic Coptciol Rízes de Sistes ieres Crlos lerto loso Sches Eliição de Gss Gss-Jord Decoposição U Gss-Jcoi Gss-Seidel Itrodção étodos diretos Regr de Crer Eliição de Gss Gss-Jord Decoposição U étodos itertivos Gss-Jcoi Gss-Seidel Cosiderções fiis CCI- Itrodção étodos diretos Regr de Crer Eliição de Gss Gss-Jord Decoposição U étodos itertivos Gss-Jcoi Gss-Seidel Cosiderções fiis CCI-

2 étodos de resol todos de resolção ão Pr resolção de siste lier de eqções há dois grpos de étodos: étodos diretos: solção é otid trvés d plicção de úero fiito de operções ritétics Regr de Crer Eliição de Gss e de Gss-Jord Decoposição U étodos itertivos: solção é otid trvés de seqêci de proições scessivs té se lcçr respost qe stisfç precisão eigid Gss-Jcoi Gss-Seidel Sistes de Eq Sistes de Eqções ieres ões ieres For gerl: ode: ij ij são os coeficietes i são s icógits i são os teros idepedetes é orde do siste For tricil: ode: ode: Eeplo Eeplo For tricil: For gerl: Cálclo ds for lclo ds forçs e treli s e treliç U eeplo: F F F F h F h cos cos f f f F f f f F f f f F Codições de eqilírio: N jção : N jção : f F F f f F Ide pr deis jções Gerrá siste de orde

3 Itrodção étodos diretos Regr de Crer Eliição de Gss Gss-Jord Decoposição U étodos itertivos Gss-Jcoi Gss-Seidel Cosiderções fiis CCI- Regr de Crer plicção d regr de Crer e siste de orde eige o cálclo de qtos deterites? pr os erdores e pr o deoidor Tepo de processeto Núero de ltiplicções o cso de eqções: ltiplicções 8 det 8 det 8 det 8 det 8 erdo: Tepo de processeto : : 8 8 8!!!! ltiplicções 9 ltiplicções

4 Tepo de processeto Qtidde de ltiplicções: 9 Utilizdo spercoptdor tl: ltiplicções por segdo Tepo gsto: 9 s di Se o siste fosse de orde eigiri cerc de 8 os de processeto esse eso coptdor! U lgorito e is eficiete é o étodo d Eliição de Gss qe gst tepo Itrodção étodos diretos Regr de Crer Eliição de Gss Gss-Jord Decoposição U étodos itertivos Gss-Jcoi Gss-Seidel Cosiderções fiis CCI- étodo d Eliição de Gss Sistes ieres Triglres jetivo Trsforção do siste lier ser resolvido e siste lier triglr perções válids: Troc d orde ds lihs Troc d orde ds cols co eceção dos teros idepedetes ltiplicção de eqção por úero rel ão lo Sstitição de eqção por coição lier etre el es e otr eqção Triglr sperior: Triglr iferior:

5 Resol Resolção de siste triglr ão de siste triglr Eeplo: Pssos d resolção: Pssos Pssos Cosidere triz etd [: Psso : lr os coeficietes de s lihs Sstitir lih pel coição lier: ode ih ih ih Se trocr co k ode k Se k ão eistir etão o siste ão te solção Cotir logete pr lihs j < j Psso i < i < : lr os coeficietes de i s lihs i Eeplo Eeplo Eeplo Eeplo

6 Eeplo 8 [ Nos cálclos segir cosiderreos F-: 8 [ [ [ [ 8 [ [ 8 [ 8 Eeplo [ 8 [ 8 8 [ [ 8 [ -8- [- - [ No etto solção et é: Pivoteetos prcil e copleto Pivôs peqeos ger ltiplicdores grdes qe et os erros de rredodeto U siples lterção o étodo de Gss é escolher coo pivô o eleeto de ior ódlo: e cd col pivoteeto prcil detre todos os eleetos possíveis o processo de eliição pivoteeto copleto: eige ior esforço coptciol Volteos resolver o eeplo terior co precisão de css deciis s co pivoteeto prcil: 8 8 Eeplo co pivoteeto prcil [ [ [ [ [ [ 8 [ 8 8 [ [ 8 [ [ - 999

7 Eerc Eercício cio Cosidere o siste lier io: Utilizdo ritétic de três dígitos deciis resolv-o trvés d eliição de Gss: se pivoteeto prcil co pivoteeto prcil Cofir os resltdos ecotrdos CCI CCI- Itrodção étodos diretos Regr de Crer Eliição de Gss Gss-Jord Decoposição U étodos itertivos Gss-Jcoi Gss-Seidel Cosiderções fiis étodo de Gss todo de Gss-Jord Jord Cosiste e efetr operções sore s eqções do siste co filidde de trsforá-lo e siste digol eqivlete isto é são los todos os coeficietes ik qdo i k Eeplo Eeplo

8 Eeplo [ 8 [ 8 [ [ 9 9 [ 9 9 [ 9 [ 9 9 [ Eeplo [ 9 9 [ [ [ [ 9 [ 9 9 [ solção é: tr plicção U vrição do étodo de Gss-Jord pode ser tilizd pr se ecotrr ivers de triz qdrd de orde Bst trsforr triz correspodete triz idetidde plicdo esss ess operções e triz idetidde de orde Gss-Jord [ I [I - Refieto por resídos Se for ecotrdo coo solção do siste etão o erro dess solção é ltiplicdo o erro por : - r resído resído pode ser tilizdo pr se ecotrr solção elhord : δ ode δ é vetor de correção δ δ - r δ é solção do siste δ r Esses cálclos perite processo de refieto d solção do siste

9 Eeplo Vos refir o siste io: trvés do étodo de Gss podeos ecotrr solção io: T [ Cálclo do resído: r 9 9 Não está o Eeplo Cálclo do vetor de correção δ : Solção: 9 δ δ δ δ 9 δ Solção elhord: δ 9999 Eeplo elhor proição Novo resído: r Cálclo do ovo vetor de correção: tr solção elhord: 9 δ Novo resído: elhor qe o terior r Ddo siste sej e z ds proições d solção et Coo ser ql dels é elhor? estrtégi is lógic prece ser coprr os respectivos resídos: o eor seri d elhor solção Ifelizete isso e sepre é verdde Eeplo: 8 z r 8 r z Coclsão: e sepre proição de eor resído é elhor o is et Se sc por resídos eores ão grte elhores solções coo ser se o processo de refieto por resídos fcio?

10 Codicioeto de proles U prole é dito l codiciodo se peqes lterções os ddos de etrd ocsio grdes erros o resltdo fil Eeplo: Solção: e - Spoh qe os vlores desse siste sej otidos eperietlete e por isso os teros idepedetes poss vrir de ±: Vlor pertrdo Solção: 8 e -89 Erro etrd: 9-9 8% Erro o resltdo: -8 8% tro eeplo Cosidere os segites sistes: Solção: e c c Solção: 8 e étrics de codicioeto Há étrics pr o codicioeto de sistes lieres seds e ors de vetores e trizes vide Cládio & ris No etto esses cálclos são difíceis Té é possível idetificr o codicioeto de siste lier pes co o so dos refietos: Se os resídos r r r são peqeos s s correções δ δ δ são grdes etão o siste é l codiciodo Pr sistes e codiciodos st o áio dois refietos o sej δ é ito peqeo o logo desse processo os resídos e s correções deve ser clcldos co precisão dpl Eeplo Cosidere o siste io e F-98: Resolção de δ r : 8 9 Prieiro refieto e F-98: r 8 δ Correções peqes Solção elhord δ : 8 9 Resídos peqeos

11 CCI CCI- Itrodção étodos diretos Regr de Crer Eliição de Gss Gss-Jord Decoposição U étodos itertivos Gss-Jcoi Gss-Seidel Cosiderções fiis U otr for de ver U otr for de ver Cosidereos o siste de eqções : pós prieir fse d eliição de Gss: ode ode pós segd fse d eliição de Gss: ode ode U otr for de ver U otr for de ver Resido: É fácil coprovr qe: Portto: U U Decoposi Decoposição U ão U coprovção terior pode ser geerlizd e teore U U Dd triz qdrd de orde sej k triz costitíd ds prieirs k lihs e cols de Spoh qe det k k - Etão: Eiste úic triz triglr iferior ij co ii i s deis são os ltiplicdores d Eliição de Gss Eiste úic triz triglr sperior U ij tis qe U det

12 Decoposi Decoposição U ão U Portto ddos o siste lier e decoposição o ftorção U d triz teos: U Chdo U o siste origil pss ser o sej srge dois sistes triglres Por otro ldo é fácil verificr qe - é o vetor cldo s operções d Eliição de Gss Por eeplo o cso de siste co eqções: Coo - - etão - Portto Vtge d decoposição U: vez clclds s trizes e U resolveos is rpidete qlqer siste co triz Isso é útil por eeplo o refieto por resídos Eeplo Eeplo U ltiplicdores Eeplo Eeplo U U U tr plic tr plicção ão decoposição U té é útil o cálclo d triz ivers Resolver o siste X B ode X e B são trizes de orde é o eso qe resolver sistes ode e são vetores de tho ivers - d triz pode ser ecotrd trvés d resolção do siste X I ode I é triz idetidde Nesse cso st relizr úic vez decoposição U d triz e depois tilizá-l resolção de sistes

13 Decoposi Decoposição U co pivoteeto ão U co pivoteeto É possível icorporr s estrtégis de pivoteeto prcil o copleto à decoposição U U triz qdrd P de orde é triz de pertção se for otid d correspodete triz idetidde trvés de pertções e ss lihs o cols s evetis pertções de lihs o cols triz k otid e psso iterediário d Eliição de Gss pode ser relizds trvés d ltiplicção por triz de pertção Eeplo: 9 9 P k 9 k Eeplo co pivoteeto prcil Eeplo co pivoteeto prcil 9 P P ' P P ' Eeplo co pivoteeto prcil Eeplo co pivoteeto prcil 8 8 U U P ode P P P : P ' P P U P Eeplo co pivoteeto prcil Eeplo co pivoteeto prcil 9 8 U 9 8 U P P U

14 Itrodção étodos diretos Regr de Crer Eliição de Gss Gss-Jord Decoposição U étodos itertivos Gss-Jcoi Gss-Seidel Cosiderções fiis CCI- étodos itertivos Coo foi iicilete coetdo os étodos itertivos pr resolção de sistes lieres cosiste e ecotrr seqêci de proições scessivs Dd estitiv iicil clcl-se seqêci té qe deterido critério de prd sej stisfeito siste é trsfordo e k C k- g k> ode C é triz e g vetor Possíveis critérios de prd: áio erro solto o reltivo úero de iterções Pricipis étodos: Gss-Jcoi e Gss-Seidel Itrodção étodos diretos Regr de Crer Eliição de Gss Gss-Jord Decoposição U étodos itertivos Gss-Jcoi Gss-Seidel Cosiderções fiis CCI- étodo de Gss-Jcoi Cosidere o siste lier e s for iicil: Isoldo i-ési icógit i-ési eqção:

15 étodo de Gss-Jcoi Eeplo Dess for pr k C k- g: C g 8 ε C C 9 g 8 9 g 8 Eeplos de critérios de prd: Erro solto: d k i k k- < ε Erro reltivo: d r k d k i k < ε d r i 88 > ε Eeplo C g C g 98 d r 98 > ε 9 C 999 g d r 9888 < ε Critério rio ds lihs E étodo itertivo covergêci pr solção et ão é grtid: é preciso qe o siste stisfç lgs reqisitos Há codição sficiete pr covergêci do étodo de Gss-Jcoi cohecido coo o critério ds lihs : j j i ij < pr i ii

16 Eeplos Cosidere o eeplo terior: 8 Cosidere o eeplo io: < < < Grti de covergêci Deostrção Sej: * [ T : solção et de k [ k k k T : k-ési proição de * e k k *: o erro k-ési proição Qereos grtir qe li k e k i i No étodo de Gss-Jcoi pode-se costtr qe: < Não há grti de covergêci No etto o étodo de Gss-Jcoi coverge este siste pr solção et Verifiqe! Isso ostr qe o critério ds lihs é sficiete s ão ecessário e k - ek ek ek e k - ek ek ek e k - ek ek - ek - Sej: Ek á i { e k i } α i i ii- ii i ii i Qdo o critério ds lihs é stisfeito α i < Deostrção cotição Qdo k k * é eqivlete E k Deostrreos qe E k αe k ode α á i {α i } Pr i : e k i - i ek ii- ek i- ii ek i i ek ii e k i i ek ii- ek i- ii ek i i e k ii e k i i ii- ii i Ek ii e k i α i Ek Portto E k αe k Coseqeteete E k E k α Coo α< etão E k qdo k : há covergêci! is eeplo Cosidere o siste segir: 8 > > < 8 Não há grti de covergêci No etto pertção etre s ds prieirs lihs grte covergêci: < 8 < < 8 Grti de covergêci Qdo o critério ds lihs ão for stisfeito cové tetr pertção de lihs eo cols

17 Itrodção étodos diretos Regr de Crer Eliição de Gss Gss-Jord Decoposição U étodos itertivos Gss-Jcoi Gss-Seidel Cosiderções fiis CCI- étodo de Gss-Seidel logete o étodo de Gss-Jcoi clcl-se k C k- g: C g No etto tiliz-se o cálclo de k : k vlores clcldos es iterção: vlores d iterção terior: k j k j k j Eeplo Processo itertivo: k k k k k k k k k ε Eeplo k k k k k Prieir iterção k: k 8 8 k k k 8 d r i > ε

18 Eeplo Eeplo k k k k k k k k k k k k k k k k k k Segd iterção k: Terceir iterção k: d r i 9 > ε d r i 9 < ε 8 Iterpretção geoétric No cso de siste lier de orde é possível vislizr covergêci do étodo: * * s potos k k stisfze prieir eqção eqto os potos k k stisfze segd No eso siste covergêci pode ão ocorrer Critério rio de Sssefeld Sej os segites vlores: β i ii β j j i j ij β j Se β < etão o étodo de Gss-Seidel ger seqêci covergete qlqer qe sej Qto eor for β is rápid será covergêci ij j i β {β j } j pr < i

19 Eeplo 8 8 β β β β β < 88 8 Deostrção Sej: * [ T : solção et de k [ k k k T : k-ési proição de * e k k *: o erro k-ési proição Qereos grtir qe li k e k i i No étodo de Gss-Seidel pode-se costtr qe: e k - ek ek ek e k - ek ek ek e k - ek ek - ek - Sej: Ek á i { e k i } β β i β i β i- ii- ii i ii <i Deostrção cotição Qdo k k * é eqivlete E k Deostrreos por idção e i i qe E k βe k ode β á i {β i } Bse i: e k ek ek ek e k [ á i { ek i } e k β Ek βe k Hipótese: e k i- β i- Ek βe k Psso: e k i i ek ii- ek i- ii ek i i e k ii e k i i β ii- β i- ii i Ek ii e k i β i Ek βe k Portto E k E k β Coo β< etão E k qdo k : há covergêci! Eeplos Cosidere o siste io teriorete visto: β Não há grti β de covergêci β No etto o étodo de Gss-Seidel coverge este siste pr solção et Verifiqe! Isso ostr qe o critério de Sssefeld coo o critério ds lihs é sficiete s ão ecessário Cosidere otro siste: β β 8 β < Neste cso o critério de Sssefeld grte covergêci s o critério ds lihs ão

20 Itrodção étodos diretos Regr de Crer Eliição de Gss Gss-Jord Decoposição U étodos itertivos Gss-Jcoi Gss-Seidel Cosiderções fiis CCI- Relção etre os critérios rios Se siste stisfz o critério ds lihs etão té stisfrá o critério de Sssefeld Deostrção: Sej α á i {α i } < ode α i i ii- ii i ii Vos provr por idção e i qe β i α i < i Bse i: β α < Hipótese: β i α i < i< Psso i : β i β i β i- ii- ii i ii β i i ii- ii i ii α i < Portto α < β < volt e sepre é verddeir Cosiderções fiis Tto o critério ds lihs coo o critério de Sssefeld são codições sficietes pr covergêci s ão ecessáris E sistes esprsos co grde úero de coeficietes los o étodo d Eliição de Gss ão é proprido pois ão preserv est vtjos qlidde Nesses csos cové tilizr étodos itertivos s étodos itertivos são eos sscetíveis o cúlo de erros de rredodeto étodos diretos verss itertivos Covergêci Diretos: ão fz setido cosiderr ess qestão pois clcl solção et Itertivos: ocorre so deterids codições Esprsidde d triz de coeficietes Diretos: lter estrtr d triz Itertivos: tiliz sepre triz iicil Erros de rredodeto Diretos: ocorre cd etp e cl-se Itertivos: soete os erros d últi etp fet solção