1.3 O método da Decomposição LU A Decomposição LU. Teorema ( Teorema da Decomposição LU)

Transcrição

1 . O método d Decomposção U.. A Decomposção U Teorem.. ( Teorem d Decomposção U) Sej A m mtrz qdrd de ordem n, e A k o menor prncp, consttído ds prmers nhs e cons. Assmmos qe det(a k ) pr k,,..., n. Então este m únc mtrz trngr nferor ( ), com..., e m únc mtrz trngr speror U ( ) t qe U A. Aém dsso, det(a)... Prov: Pr provr esse teorem sremos ndção sore n. Se n, temos qe:. ncmente, e det(a). Assmmos qe o teorem é verddero pr n k-. Pr n k prtmos A em s-mtrzes: k A m Então: ; U U k P kk ku k kp U m U k mp kk Agor, pe hpótese de ndção, k- e U k- são ncmente determndos e k- U k- A k-. Aém dsso, nem k- nem U k- são sngres ( o A k- tmém ser sngr, contrrndo hpótese). Assm U A é eqvente k- p ; m U k- e mp kk kk ; o sej: p k ; m U k e kk kk mp. Então p, m e kk são determndos nvocmente nest ordem, e e U são determndos ncmente. Fnmente, Det(A) det(). det(u). det(u k- ). kk... k-, k-. kk. Competndo prov de..

2 ... Decomposção d mtrz A em U (:est, U:Upper) n n n n n n n n n n n n...n n n n n n n n - - n n n n n - n n n n n n n Se contnrmos ccndo ª nh, ª con, ª nh, ª con, etc..., teremos s fórms gers: (.) ( k k j k k kj kj ) / jj j > j

3 .. Apcção à soção de sstems neres. Sej o sstem ( com dmensão n n ), A, determndo, onde A stzfz às condções d decomnposção U. Então o sstem A pode ser escrto como: U Isto represent dos sstems trngres: e U os qs são fcmente resovdos. De fto: s componentes d soção ntermedár podem ser otds dretmente do prmero sstem, desde qe prmer eqção envove somente, segnd somente e e ssm por dnte.; e s componentes de podem ser otds semehntemente do segndo sstem n segnte ordem: n, n-,...,. Eempo...: Sej A ) Verfcr se A stsfz s condções d decomposção U. ) Decompor A em U. c) Ccr o determte de A. d) Resover o sstem A, onde Soção: 9 7 ) Pr qe A stsfç s condções d decomposção U devemos ter: det (A ) e det(a ). Temos: det (A ) e det(a ) -. ogo A stsfz s condções.. )

4 Então: / / ; U c) det(a) det(a) -. d) Devemos resover dos sstems, d. ) / / 7 9 Portnto: 9; 7 ; 9 d. ) U 9

5 Portnto: - 9 Assm, soção de : 7 9 é..- Eercícos...) Consdere o sstem: 5 Pede-se : ) Resover sndo decomposção U ) Ccr det. A peo mesmo....) Consdere mtrz A, n n, com tods s s-mtrzes prncps não sngres. E s fórms d decomposção U, onde é mtrz trngr nferor e U é mtrz trngr speror com n dgon....) Resover o sstem A, onde A e sndo decomposção U....) Sej mtrz A, n n, decomponíve em U. Sejm A,,,..., n, os menores prncps de ordem. ostrr qe:,,,..., n Onde det A,. e A det o n

6 7.- O étodo de Gss Compcto Smpfcção d resoção do método de decomposção U trvés d resoção de m únco sstem trngr ser vsto. Constrção do método: A é resovdo trvés d te, U* n n n n n n A* n n n n n Fzendo-se n n n Vem s mesms epressões encontrds pr prmer decomposção U fet, o sej, > j k jj kj k k kj k j / ) ( j Consderndo-se: n n,,..., j n,..., Apcção de Gss Compcto o sstem:

7 Neste cso: Consderndo-se os cácos já efetdos: A ª nh de U* é mesm d ª nh de A* ª con d : ª nh d U: (.) - - ª con d : / ª nh d U: - 9/ (.. ) - 9/ Note qe, pr resoção do sstem A tem-se A U e, onde, então A U U Assm, pr resoção do sstem consderdo st efetr: 9 9 8

8 9 Cj soção é *. Oservção: No cso em qe é determndo peo Gss Compcto, não é necessáro resover-se o sstem, st resover dretmente U onde n n...- Eercícos...) Usndo o método de Gss-Compcto resover o sstem: 8...) Resover o sstem mtrc composto sndo o método de Gss-Compcto: 7 z z z...) Fzer os eercícos...)...) d seção nteror.