2 Formulação do Problema

Transcrição

1 Formação do Proema.. Modeo de Agst O prmero modeo a ser anasado é casscamente conhecdo como Modeo de Agst, Agst 964. Na teratra encontram-se dversos estdos sore a estadade do modeo de Agst so carga estátca vertca, dentre estes se destacam Cro Waer 97, Pgnataro et a. 99, Bazant Cedon 99, De Prado 999 e Raftoyanns Konads 000. A Fgra. apreta o modeo de Agst e as varáves qe o caracterzam. z z m Δ ϕ θ ϕ v t y ϕ θ y t x ϕ D t x a Modeo ndeformado Modeo deformado Fgra.: Modeo de Agst. O modeo é consttído de ma arra rígda rotada na extremdade nferor e vre na extremdade speror, com os desocamentos ateras restrtos por das moas neares rotaconas qe se encontram ncamente em dos panos perpendcares e gram com a própra arra. A estrtra está smetda a ma exctação harmônca de ase, D t, cja dreção é defnda por m ângo ϕ, a partr do exo x. O desocamento mposto na exctação de ase D t é

2 44 decomposto em das componentes, t na dreção x e v t na dreção y. A extremdade speror poss ma massa concentrada qe repreta m carregamento axa vertca. Na Fgra. é o comprmento da arra, m é a massa concentrada na extremdade vre da arra, e são os coefcentes de rgdez das moas, respectvamente nos panos x z e y z, e θ e θ repretam as rotações mpostas nas moas, e, formando o compemento dos cosos dretores, do este os dos gras de erdade do sstema, Δ é o desocamento vertca do topo da arra e ϕ, ϕ e ϕ são os ângos formados entre a cona em ma posção artrára e, respectvamente, os exos x, y e z. z z φ γ φ γ γ φ φ φ ϕ 0 ϕ 0 y ϕ ϕ y ψ x a Confgração nca ndeformada Fgra.: Modeo de Agst mperfeto. x Confgração fna deformada Consdera-se, anda, na formação do proema a nfênca da rgdez reatva das moas e a possíve exstênca de mperfeções geométrcas. Com a ntrodção da mperfeção geométrca a confgração nca ndeformada do sstema é defnda peos ângos φ e ψ, onde φ repreta a ncnação da arra e ψ é o ângo no pano x y qe defne a dreção da projeção da cona mperfeta neste pano, como mostra a Fgra.a. A confgração fna deformada é apretada na Fgra.. Os ângos φ e φ são as parceas da mperfeção geométrca, respectvamente nas dreções dos gras de erdade θ e

3 45 θ. Os ângos γ e γ repretam respectvamente as deformações das moas nas dreções θ e θ. A partr das Fgras. e., pode-se escrever qe: ϕ φ γ θ, θ φ γ.a,, c, φ γ e, oservando a Fgra.a, tem-se as reações geométrcas: cosϕ 0 φ cosψ ϕ 0 arccos φ cosψ.a cosϕ 0 φψ ϕ 0 arccos φ snψ. φ 0 ϕ.c φ 0 ϕ.d... Energa Cnétca A energa cnétca devda à massa concentrada é dada por: T m x y z. onde x, y e z são as componentes de veocdade referentes aos desocamentos x, y e z da massa m. Da Fgra., tem qe os desocamentos de m são: x cosϕ, y cosϕ v, z cosϕ.4a,, c Para repretar o sstema com apenas dos gras de erdade é necessáro expressar z em fnção de ϕ e ϕ. Nesse contexto, sae-se qe a reação trgonométrca entre os cosos dretores, ϕ, ϕ e ϕ, é:

4 46 cos ϕ cos ϕ cos ϕ.5 e, conseqüentemente, tem-se: z.6 cos ϕ cos ϕ Anasando a Fgra., oserva-se qe: ϕ θ, ϕ θ.7a, Assm, tem-se qe os desocamentos da massa m são dados por: x θ.8a y θ.8 v z.8c θ θ Por fm, dervando.8 em reação ao tempo e ssttndo estas componentes de veocdades na expressão., otém-se a energa cnétca em termos dos gras de erdade θ e θ : T m θ cosθ θ cosθ θ θ cosθ θ cos θ cos θ θ cosθ v.9... Energa Potenca Tota A energa potenca tota é dada pea soma da parcea da energa nterna de deformação e a parcea do potenca gravtacona das cargas externas.

5 47 Consderando a cona mperfeta e tzando as expressões., tem-se qe a parcea da energa nterna de deformação, U, e a parcea do potenca gravtacona das cargas externas, p, são: U θ φ θ φ.0a p PΔ.0 f onde P é o peso da massa concentrada, P mg, e g é a aceeração da gravdade. A varáve Δ f repreta o desocamento vertca da carga na cona mperfeta e pode ser cacado como a dferença entre o desocamento vertca tota de m meddo em reação à confgração ndeformada da cona perfeta posção de referênca, Δ, e o desocamento vertca de m, Δ 0, devdo à mperfeção geométrca, sto é, Δ f Δ Δ0. Estas parceas são dadas por: Δ z.a θ θ Δ0 φ φ. Assm, a energa potenca tota do sstema mperfeto pode ser escrta em termos dos gras de erdade θ e θ como: V U P p θ φ θ φ φ φ θ θ.... Amortecmento O amortecmento está prete em todos os sstemas dnâmcos. Entretanto é dfíc a descrção rea da força de amortecmento, emora seja possíve a admssão de modeos deas de amortecmento, qe mtas vezes restam em

6 48 prognóstcos satsfatóros da resposta. Dentre esses modeos, a força de amortecmento vscoso, proporcona à veocdade do sstema, condz a m tratamento matemátco smpes. A preça do agente amortecedor mda as característcas do movmento, passando-se a ter m movmento amortecdo o até sem caráter oscatóro. Para se consderar o amortecmento, adcona-se ao fncona de energa a parcea de traaho das forças não-conservatvas: E C θ C θ. onde C são os parâmetros de amortecmento qe podem ser expressos em termos das taxas de amortecmento, ξ, e das freqüêncas natras do modeo, Merovtch, 975. Consderando m sstema em vração vre, os vaores de ξ determnam o caráter oscatóro do sstema. Se os parâmetros ξ <. 0 têm-se m movmento oscatóro samortecdo, qando ξ >. 0 o movmento é speramortecdo. Para ξ.0 tem-se o caso crítco. ω..4. Fnção de agrange Com ase nas expressões da energa cnétca.9, da energa potenca tota. e do amortecmento., tem-se qe a fnção de agrange do modeo de Agst, T E V, é dada por: m θ cosθ P θ cosθ θ θ cosθ θ θ φ θ φ cos θ cos θ θ cosθ v φ φ θ θ C θ C θ.4

7 Eqações de Movmento As eqações de movmento são otdas dervando-se a eqação dferenca de Eer-agrange qe, em termos de m conjnto de coordenadas generazadas q θ e θ, são dadas por: d dt T T V E q q q q Modeo de Torre Estaada O segndo modeo anasado nesta tese é m sstema smpfcado de torre estaada. O se comportamento estátco fo estdado em detahes por Thompson e coaoradores ver, por exempo, Thompson Gaspar, 977; Thompson Hnt, 984; Thompson Stewart, 987. O modeo e as varáves qe o caracterzam são apretados na Fgra.. z m x t ϕ D t v t y Fgra.: Modeo smpfcado de torre estaada. O modeo é consttído por ma arra rígda rotada na extremdade nferor e vre na extremdade speror, do qe na extremdade speror é

8 50 apcada ma carga axa vertca repretada peo peso da massa concentrada, m. Os desocamentos ateras estão restrtos por três moas neares, ncnadas ncamente a 45. A prmera moa, de rgdez, ocaza-se no pano y z, enqanto as demas, e, estão ocazadas smetrcamente em reação ao exo y, do sas posções defndas peo ângo. Como no modeo de Agst, Fgra., o prete modeo está so a ação de ma exctação harmônca de ase D t. Os ângos θ e θ repretam os compementos dos cosos dretores e Δ é o desocamento vertca do topo da arra. ϕ, ϕ e ϕ são os ângos entre a cona ncnada e, respectvamente, os exos x, y e z. No prete modeo são tzadas as mesmas reações geométrcas dervadas para o modeo de Agst, pos, como se oserva nas Fgras.a e., tem-se para os dos modeos o mesmo sstema de referênca. Assm, as expressões. e. são sadas para a ntrodção da mperfeção geométrca na formação.... Energa Cnétca A energa cnétca do segndo modeo é dada pea expressão.. Oservando a Fgra., pode-se verfcar qe os desocamentos da massa m são: x θ.6a v v y θ.6 z θ θ.6c onde consdera-se, para smpfcação, as varáves axares θ e θ, qe são adotadas como os gras de erdade do segndo modeo. Dervando.6 com reação ao tempo e ssttndo as componentes de veocdades em., otém-se a energa cnétca em termos dos gras de erdade e :

9 5 T m v.7... Energa Potenca Tota Com o axo das expressões., tem-se qe a energa nterna de deformação, U, e o potenca gravtacona das cargas externas, por: p, são dadas U Δ Δ Δ.8a p PΔ.8 f onde Δ, Δ e Δ repretam a varação de comprmento das moas e Δ f é a dferença entre o desocamento vertca tota de m meddo em reação à confgração ndeformada da cona perfeta posção de referênca, Δ, e o desocamento vertca de m, Δ 0, devdo à mperfeção geométrca, sto é, Δ f Δ Δ 0. A varação de comprmento das moas, Δ, Δ e Δ, e o desocamento vertca da massa m, Δ f, são dados, com ase na Fgra., por: Δ.9a 0 Δ Δ 0 cos cos 0 Δ f Δ Δ 0 cos 0 cos Δ e 0 Δ c.9d

10 5 onde 0 0 ϕ φ.0a 0 0 ϕ φ.0 Assm, a energa potenca tota do sstema, p U V, é dada por: cos cos cos cos P V.... Amortecmento O traaho das forças de amortecmento é dado por: C C E...4. Fnção de agrange A partr das parceas de energa cnétca.7, de energa potenca tota. e do traaho das forças de amortecmento., otém-se a fnção de agrange, a saer:

11 cos cos cos cos P C C v m V E T...5. Eqações de Movmento As eqações de movmento são otdas como no modeo de Agst, o seja, dervando-se a eqação dferenca de Eer-agrange expressão.5 em termos de m conjnto de coordenadas generazadas q e.