Dinâmica Não-Linear, Instabilidade e Controle de Sistemas Estruturais com Interação Modal

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1 Dego Orlando Dnâmca Não-Lnear, Instabldade e Controle de Sstemas Estruturas com Interação Modal Tese de Doutorado Tese apresentada como requsto parcal para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós- Graduação em Engenhara Cvl da PUC-Ro. Área de Concentração: Estruturas. Orentadores: Paulo Batsta Gonçalves Guseppe Rega Stefano Lenc Ro de Janero, mao de 2010

2 Dego Orlando Dnâmca Não-Lnear, Instabldade e Controle de Sstemas Estruturas com Interação Modal Tese apresentada como requsto parcal para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenhara Cvl da PUC-Ro. Aprovada pela Comssão Examnadora abaxo assnada. Prof. Paulo Batsta Gonçalves Presdente/Orentador Departamento de Engenhara Cvl - PUC-Ro Prof. Carlos Eduardo Ngro Mazzll USP - SP Prof. Marcelo Amorm Sav COPPE/UFRJ Prof. Raul Rosas e Slva PUC-Ro Prof. Deane de Mesquta Roehl PUC-Ro Prof. José Eugêno Leal Coordenador(a) Setoral do Centro Técnco Centífco - PUC-Ro Ro de Janero, 07 de mao de 2010

3 Todos os dretos reservados. É probda a reprodução total ou parcal do trabalho sem autorzação da unversdade, do autor e do orentador. Dego Orlando Graduou-se em Engenhara Cvl pela Unversdade de Passo Fundo (UPF), em janero de Ingressou no mestrado em Engenhara Cvl da PUC-Ro em março de 2004, atuando na área de Instabldade e Dnâmca das Estruturas. Em 2006, contnuando na mesma lnha de pesqusa, ncou o curso de doutorado na PUC-Ro. Orlando, Dego Fcha Catalográfca Dnâmca não-lnear, nstabldade e controle de sstemas estruturas com nteração modal / Dego Orlando ; orentadores: Paulo Batsta Gonçalves, Guseppe Rega, Stefano Lenc f. : l. (color.); 30 cm Tese (Doutorado) Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero, Departamento de Engenhara Cvl, Ro de Janero, Inclu bblografa 1. Engenhara cvl Teses. 2. Acoplamento modal. 3. Sensbldade a mperfeções. 4. Integrdade dnâmca. 5. Modos não-lneares. I. Gonçalves, Paulo Batsta. II. Rega, Guseppe. III. Lenc, Stefano. IV. Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero. Departamento de Engenhara Cvl. V. Título. CDD: 624

4 Dedco este trabalho como mnha mas saudosa homenagem aos meus pas, Wlson Orlando e Melâna Mara Orlando, por todo amor e carnho. Ao meu rmão Thago Orlando, pelo amor e amzade.

5 Agradecmentos Agradeço a vda, e àqueles que passam fazendo-a valer à pena. Ao professor Paulo Batsta Gonçalves pelas conversas, pelo constante auxílo, pela pacênca e por sua amzade. Aos professores Guseppe Rega e Stefano Lenc, pessoas sensaconas, com qual tve o prazer de convver e aprender muto. Aos professores que partcparam da comssão examnadora. As pessoas que me estenderam as mãos quando mas precse no período que passe na Itála, Irmãs Adelade e Adrana obrgado. Juntamente un-se a Famíla Thompson, que não somente me estenderam as mãos, mas também abrram sua casa. Jack, Rosa, Olva e Hannah, hoje, vocês fazem parte de mnha famíla. Aos grandes amgos Henrque Marek, Eduardo Mattos, Erbla Mattos Junor, Cleton Batsta Slvéro, André Gumarães e Osmar Cerver, que mesmo longe sempre me ncentvaram e apoaram. Aos amgos Patríco e Julana Pres, Walter Menezes, Thago Pecn, André Müller, Frederco e Renata Alves, Eduardo Pasquett, Magnus Mera, Joabson Alves, Julo e Gsele Holtz, Patríca Cunha, Fernando Ramres e Alexandre Del Savo obrgado pelo ncentvo e apoo. Aos amgos e companheros da sala 609, em especal José Slvestre, João Pantoja, Chrstano Texera, João Krause, Paul Antezana e Jean Agulera. Aos professores, engenheros e amgos Zacaras Chamberlan e Glne Artur Drehmer pelo constante apoo e ncentvo. Aos demas professores do departamento de Engenhara Cvl da PUC-Ro. A Cnpq e a Capes pelo apoo fnancero, sem os quas este trabalho não podera ser realzado. Por fm, a todos aqueles que contrbuíram na realzação desta Tese.

6 Resumo Orlando, Dego; Gonçalves, Paulo Batsta; Rega, Guseppe; Lenc, Stefano. Dnâmca Não-Lnear, Instabldade e Controle de Sstemas Estruturas com Interação Modal. Ro de Janero, p. Tese de Doutorado - Departamento de Engenhara Cvl, Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero. O objetvo desta tese de doutorado é estudar a nfluênca do acoplamento de modos de flambagem no comportamento estátco e partcularmente no comportamento dnâmco não-lnear de elementos estruturas suscetíves a flambagem. Para sto, usam-se dos modelos dscretos conhecdos por seu complexo comportamento não-lnear: o modelo de August e um modelo de torre estaada com dos graus de lberdade. Incalmente estuda-se a establdade dos dos modelos perfetos, nclundo a obtenção de todos os camnhos de equlíbro pré- e pós-crítcos e o efeto das mperfeções na capacdade de carga da estrutura e na establdade dos dversos camnhos de equlíbro. O objetvo desta análse é entender como as dversas soluções pós-crítcas nstáves e as mperfeções nfluencam a geometra da superfíce de energa potencal, o contorno do vale potencal pré-crítco e a ntegrdade da estrutura frente a nevtáves perturbações externas. A segur estuda-se o comportamento dos modelos em vbração lvre. Após a dentfcação das freqüêncas naturas, dos modos lneares de vbração e das ressonâncas nternas, estuda-se, com o objetvo de entender a dnâmca dos modelos, usando as ferramentas da mecânca Hamltonana, a geometra da regão segura que crcunda a posção de equlíbro pré-crítca, cuja establdade se deseja preservar, e as varedades nvarantes dos pontos de sela que defnem esta regão. Anda, no contexto da análse das vbrações lvres, determnam-se todos os modos não-lneares de vbração, sua establdade e sua relação freqüênca-ampltude. Estes modos não-lneares estáves e nstáves, que surgem em vrtude do acoplamento modal e das smetras dos modelos, controlam e explcam a sua dnâmca sob vbração forçada. Com base nesses resultados, estuda-se o comportamento dos modelos sob uma exctação de base, através de um estudo sstemátco de bfurcações globas e locas, e a ntegrdade das soluções estáves através da evolução e estratfcação das bacas de atração e das meddas de ntegrdade dnâmca. Fnalmente estuda-se como aumentar a segurança da

7 estrutura através do controle das bfurcações globas homoclíncas e heteroclíncas. A presente tese revela um conjunto de comportamentos que são típcos dos dos modelos e que podem ser entenddos como fenômenos característcos de estruturas que exbem acoplamento modal. Assm, a prncpal contrbução deste trabalho resde na dentfcação de algumas característcas e aspectos partculares dessa classe de estruturas, assunto nédto na lteratura. Palavras-chave Acoplamento modal, sensbldade a mperfeções, ntegrdade dnâmca e modos não-lneares.

8 Abstract Orlando, Dego; Gonçalves, Paulo Batsta; Rega, Guseppe; Lenc, Stefano. Nonlnear Dynamcs, Instablty and Control of Structural Systems wth Modal Interacton. Ro de Janero, p. Tese de Doutorado - Departamento de Engenhara Cvl, Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero. The am of ths thess s to study the nfluence of coupled bucklng modes on the statc and partcularly on the nonlnear dynamc behavor of structural components lable to bucklng. For ths, two dscrete two degrees of freedom models known for ther complex nonlnear behavor are selected: the well-known August s model and a smplfed model of cable-stayed tower. Intally, the stablty analyss of the perfect models s conducted, ncludng the dentfcaton of all pre- and post-crtcal equlbrum paths, and the effect of mperfectons on the load capacty of the structure and stablty of the varous equlbrum paths. The purpose of ths analyss s to understand how the varous unstable post-crtcal solutons and mperfectons nfluence the geometry of the potental energy surface, the contour of the pre-bucklng potental well and the ntegrty of the structure under the nevtable external dsturbances. Then the behavor of the models n free vbraton s nvestgated, ncludng the dentfcaton of the natural frequences, lnear vbraton modes and possble nternal resonance. To understand the dynamcs of the models, the geometry of the safe regon surroundng the pre-bucklng equlbrum poston and the nvarant manfolds of saddle ponts that defne ths regon are obtaned usng the tools of Hamltonan mechancs. Also, as part of the free vbratons analyss, all stable and unstable nonlnear vbraton modes and ther frequency-ampltude relatons are obtaned. These nonlnear stable and unstable modes, whch arse due to modal couplng and the symmetres of the models, control and explan the dynamcs of the model under forced vbraton. Based on these results, we study the behavor of the models subjected to a base exctaton through a systematc study of the global and local bfurcatons, and the ntegrty of stable solutons through the evoluton and stratfcaton of the basns of attracton and dynamc ntegrty measures. Fnally, we study how to ncrease the safety of the structure through the control of global homoclnc and heteroclnc bfurcatons. Ths thess dentfes a number of

9 behavors that are typcal of the two models and can be understood as characterstc phenomena of structures exhbtng modal couplng. Thus the man contrbuton of ths work s to dentfy certan characterstcs and partcular aspects of ths class of structures, a frst contrbuton to ths research area. Keywords Modal couplng, mperfecton senstvty, dynamc ntegrty and nonlnear modes.

10 Sumáro 1 Introdução Objetvo Organzação do Trabalho 41 2 Formulação do Problema Modelo de August Energa Cnétca Energa Potencal Total Amortecmento Função de Lagrange Equações de Movmento Modelo de Torre Estaada Energa Cnétca Energa Potencal Total Amortecmento Função de Lagrange Equações de Movmento 53 3 Análse Estátca Modelo de August Modelo Perfeto Camnhos Pós-Crítcos Superfíces de Energa Influênca da Rgdez Relatva das Molas Camnhos Pós-Crítcos Superfíces de Energa Modelo com Imperfeção Geométrca Camnhos Não-Lneares de Equlíbro Superfíces de Energa Modelo de Torre Estaada Modelo Perfeto 66

11 Camnhos Pós-Crítcos Superfíces de Energa Influênca da Rgdez Relatva das Molas Camnhos Pós-Crítcos Superfíces de Energa Modelo com Imperfeção Geométrca Camnhos Não-Lneares de Equlíbro Superfíces de Energa 85 4 Análse Dnâmca Vbração Lvre Modelo de August Freqüêncas Naturas Prncípo da Conservação de Energa Varedades Invarantes dos Pontos de Sela Modos Não-Lneares de Vbração Modelo Perfeto Influênca da Rgdez Relatva das Molas Modelo com Imperfeção Geométrca Modelo de Torre Estaada Freqüêncas Naturas Prncípo da Conservação de Energa Varedades Invarantes dos Pontos de Sela Modos Não-Lneares de Vbração Modelo Perfeto Influênca da Rgdez Relatva das Molas Modelo com Imperfeção Geométrca Análse Dnâmca Vbração Forçada Introdução Fronteras de Escape Dagramas de Bfurcação Bacas de Atração e Integrdade Dnâmca Modelo de August Modelo Perfeto 180

12 Influênca da Rgdez Relatva das Molas Modelo com Imperfeção Geométrca Modelo de Torre Estaada Modelo Perfeto Influênca da Rgdez Relatva das Molas Modelo com Imperfeção Geométrca Controle da Erosão das Bacas de Atração Introdução Meddas de Integrdade Redução da Integrdade Controle da Integrdade Equações de Movmento Desacopladas Modelo de August Modelo de Torre Estaada Formulação do Controle Bfurcações Globas Controle a partr da Adção de Super-Harmôncos Controle Ótmo Aplcação do Controle Ótmo Modelo de August Modelo Perfeto Modelo com Imperfeção Geométrca Modelo de Torre Estaada Conclusões e Sugestões Conclusões Sugestões Referêncas Bblográfcas 292

13 Lsta de Fguras Fgura 2.1: Modelo de August. 43 Fgura 2.2: Modelo de August mperfeto. 44 Fgura 2.3: Modelo smplfcado de torre estaada. 49 Fgura 3.1: Camnhos pós-crítcos. Modelo de August perfeto. 56 Fgura 3.2: Projeções dos camnhos pós-crítcos. Modelo de August perfeto. 56 Fgura 3.3: Superfíces de energa potencal total. Modelo de August perfeto. 58 Fgura 3.4: Camnhos pós-crítcos. Modelo de August consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 59 Fgura 3.5: Projeções dos camnhos pós-crítcos. Modelo de August consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 60 Fgura 3.6: Superfíces de energa potencal total para λ = 0.9. Modelo de August consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 61 Fgura 3.7: Cortes nas superfíces de energa potencal total para λ = 0.9. Modelo de August consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 61 Fgura 3.8: Camnhos não-lneares de equlíbro para φ = 1 e ψ = 0. Modelo de August com mperfeção geométrca. 63 Fgura 3.9: Projeções dos camnhos não-lneares de equlíbro para φ = 1 e ψ = 0. Modelo de August com mperfeção geométrca. 63 Fgura 3.10: Camnhos não-lneares de equlíbro para φ = 1. Modelo de August com mperfeção geométrca. 64 Fgura 3.11: Projeções dos camnhos não-lneares de equlíbro para φ = 1. Modelo de August com mperfeção geométrca. 64 Fgura 3.12: Varação da carga lmte (ponto de bfurcação) com as grandezas que defnem a mperfeção, φ e ψ. Modelo de August com mperfeção geométrca. 65 Fgura 3.13: Superfíces de energa potencal total para λ = 0.9 e φ = 1.

14 Modelo de August com mperfeção geométrca. 66 Fgura 3.14: Comportamento do modelo de torre estaada em função do ângulo β (Thompson & Gaspar, 1977). 69 Fgura 3.15: Camnhos pós-crítcos para β = 75 - caso monoclnal. Modelo de torre estaada perfeto. 71 Fgura 3.16: Projeções dos camnhos pós-crítcos para β = 75 - caso monoclnal. Modelo de torre estaada perfeto. 71 Fgura 3.17: Camnhos pós-crítcos para β = 50 - caso homeoclnal. Modelo de torre estaada perfeto. 72 Fgura 3.18: Projeções dos camnhos pós-crítcos para β = 50 - caso homeoclnal. Modelo de torre estaada perfeto. 72 Fgura 3.19: Camnhos pós-crítcos para β = caso antclnal. Modelo de torre estaada perfeto. 73 Fgura 3.20: Projeções dos camnhos pós-crítcos para β = caso antclnal. Modelo de torre estaada perfeto. 73 Fgura 3.21: Superfíces de energa potencal total para β = 75 - caso monoclnal. Modelo de torre estaada perfeto. 74 Fgura 3.22: Superfíces de energa potencal total para β = 50 - caso homeoclnal. Modelo de torre estaada perfeto. 75 Fgura 3.23: Superfíces de energa potencal total para β = caso antclnal. Modelo de torre estaada perfeto. 76 Fgura 3.24: Camnhos pós-crítcos para β = caso antclnal. Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 78 Fgura 3.25: Projeções dos camnhos pós-crítcos para β = caso antclnal. Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 79 Fgura 3.26: Superfíces de energa potencal total para λ = 0.7 e β = caso antclnal. Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 80 Fgura 3.27: Camnhos não-lneares de equlíbro para φ = 1 e β = caso antclnal. Modelo de torre estaada com mperfeção geométrca. 83

15 Fgura 3.28: Projeções dos camnhos não-lneares de equlíbro para φ = 1 e β = caso antclnal. Modelo de torre estaada com mperfeção geométrca. 83 Fgura 3.29: Varação da carga lmte (ponto de bfurcação) com as grandezas que defnem a mperfeção, φ e ψ, para β = caso antclnal. Modelo de torre estaada com mperfeção geométrca. 84 Fgura 3.30: Superfíces de energa potencal total para φ = 1, λ = 0.7 e β = caso antclnal. Modelo de torre estaada com mperfeção geométrca. 85 Fgura 4.1: Confgurações do modelo de August. 88 Fgura 4.2: Varação da maor freqüênca natural com o parâmetro de rgdez α, para λ = 0.9. Modelo de August consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 93 Fgura 4.3: Varação das freqüêncas naturas com os parâmetros ψ e φ, para λ = 0.9. Modelo de August com mperfeção geométrca. 93 Fgura 4.4: Seções das bacas de atração conservatvas em 3D (θ 1 xθ 2 xdθ 1 /dt), para λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August. 97 Fgura 4.5: Seções das bacas de atração conservatvas em 3D (dθ 1 /dtxdθ 2 /dt xθ 1 ), para λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August. 97 Fgura 4.6: Seções das bacas de atração conservatvas em 2D, para λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August. 98 Fgura 4.7: Projeções das varedades nvarantes dos pontos de sela, para λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August perfeto. 99 Fgura 4.8: Projeções em planos de fase da reposta no tempo do prmero ponto sela perturbado, para λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August perfeto. 100 Fgura 4.9: Projeções das varedades nvarantes e da reposta no tempo no plano θ 1 xθ 2, para α = 1.15, λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 101 Fgura 4.10: Projeções das varedades nvarantes e da reposta no tempo no plano θ 1 xθ 2, para ψ = 0, φ = 1, λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August com mperfeção geométrca. 101

16 Fgura 4.11: Projeções das varedades nvarantes e da reposta no tempo, para ψ = 45, φ = 1, λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August com mperfeção geométrca. 102 Fgura 4.12: Seções de Poncaré para ω 1 = ω 2 = 1/3, λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August perfeto. 109 Fgura 4.13: Comportamento no domíno do tempo dos pontos P01 e P02, para ω 1 = ω 2 = 1/3, λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August perfeto. 110 Fgura 4.14: Comportamento no domíno do tempo dos pontos P11, P21, P12 e P22, para ω 1 = ω 2 = 1/3, λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August perfeto. 112 Fgura 4.15: Seções de Poncaré dos pontos PS11, PQ11 e PC11, para ω 1 = ω 2 = 1/3, λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August perfeto. 113 Fgura 4.16: Coordenadas auxlares, Modelo de August perfeto. 114 Fgura 4.17: Relações freqüênca-ampltude para ω 1 = ω 2 = 1/3, λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August perfeto. 115 Fgura 4.18: Relações freqüênca-ampltude dos modos acoplados nstáves dos pontos de sela PS11, PS21, PS12 e PS22, para ω 1 = ω 2 = 1/3, λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August perfeto. 116 Fgura 4.19: Seções de Poncaré com 5 % da energa do ponto de sela, para α = 1.3, ω 1 = 1/3, ω 2 = 2/3, λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 118 Fgura 4.20: Comportamento no domíno do tempo dos pontos P01 e P02, para α = 1.3, ω 1 = 1/3, ω 2 = 2/3, λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 118 Fgura 4.21: Comportamento dos pontos P12, P22, P32 e P42, para α = 1.3, ω 1 = 1/3, ω 2 = 2/3, λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 119 Fgura 4.22: Relações freqüênca-ampltude dos modos não-lneares estáves desacoplados, para α = 1.3, ω 1 = 1/3, ω 2 = 2/3, λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 120

17 Fgura 4.23: Seções de Poncaré para ψ = 0, φ = 1, ω 1 = 0.311, ω 2 = 0.353, λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August com mperfeção geométrca. 123 Fgura 4.24: Comportamento no domíno do tempo dos pontos P01 e P02, para ψ = 0, φ = 1, ω 1 = 0.311, ω 2 = 0.353, λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August com mperfeção geométrca. 124 Fgura 4.25: Relação freqüênca-ampltude do modo não-lnear estável desacoplado no plano θ D1 xdθ D1 /dt, para ψ = 0, φ = 1, ω 1 = 0.311, ω 2 = 0.353, λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August com mperfeção geométrca. 124 Fgura 4.26: Relação freqüênca-ampltude do modo acoplado estável do ponto P01, para ψ = 0, φ = 1, ω 1 = 0.311, ω 2 = 0.353, λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August com mperfeção geométrca. 125 Fgura 4.27: Seções de Poncaré com 50 % da energa do ponto de sela, para ψ = 45, φ = 1, ω 1 = 0.302, ω 2 = 0.361, λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August com mperfeção geométrca. 125 Fgura 4.28: Seção de Poncaré com 50 % da energa do ponto de sela no plano θ D1 xθ D2, para ψ = 45, φ = 1, ω 1 = 0.302, ω 2 = 0.361, λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August com mperfeção geométrca. 126 Fgura 4.29: Comportamento no domíno do tempo dos pontos P11, P21, P12 e P22, para ψ = 45, φ = 1, ω 1 = 0.302, ω 2 = 0.361, λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August com mperfeção geométrca. 127 Fgura 4.30: Coordenadas auxlares consderando ψ = 45. Modelo de August com mperfeção geométrca. 128 Fgura 4.31: Relações freqüênca-ampltude dos modos não-lneares nãosmlares estáves acoplados dos pontos P21 e P12, para ψ = 45, φ = 1, ω 1 = 0.302, ω 2 = 0.361, λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August com mperfeção geométrca. 129 Fgura 4.32: Relação freqüênca-ampltude dos modos não-lneares smlares estáves acoplados dos pontos P11 e P12, para ψ = 45, φ = 1, ω 1 = 0.302, ω 2 = 0.361, λ= 0.9 e ω p = 1.0/s. Modelo de August com mperfeção geométrca. 130 Fgura 4.33: Varação das freqüêncas naturas em função de rgdez α,

18 para λ = 0.7 e β = 120. Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 139 Fgura 4.34: Varação das freqüêncas naturas com os parâmetros ψ e φ, para λ = 0.7 e β = 120. Modelo de torre estaada com mperfeção geométrca. 139 Fgura 4.35: Seções das bacas de atração conservatvas em 3D (u 1 xu 2 xdu 1 /dt), para ω p = 1.0/s, λ = 0.7 e β = 120. Modelo de torre estaada. 143 Fgura 4.36: Seções das bacas de atração conservatvas em 2D, para ω p = 1.0/s, λ = 0.7 e β = 120. Modelo de torre estaada. 144 Fgura 4.37: Projeções das varedades nvarantes dos pontos de sela, para λ = 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada perfeto. 145 Fgura 4.38: Projeções da reposta no tempo do prmero ponto sela perturbado, para λ = 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada perfeto. 146 Fgura 4.39: Projeções das varedades nvarantes e da reposta no tempo no plano u 1 xu 2, para α = 0.82, λ = 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 146 Fgura 4.40: Projeções das varedades nvarantes e da reposta no tempo, para α = 1.18, λ = 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 147 Fgura 4.41: Projeções das varedades nvarantes e da reposta no tempo no plano u 1 xu 2, para ψ = 0, φ = 1, λ = 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada com mperfeção geométrca. 148 Fgura 4.42: Projeções das varedades nvarantes e da reposta no tempo no plano u 1 xu 2, para ψ = 90, φ = 1, λ = 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada com mperfeção geométrca. 148 Fgura 4.43: Seções de Poncaré com 50 % da energa do ponto de sela, para ω 1 = ω 2 = 0.655, λ= 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada perfeto. 150 Fgura 4.44: Comportamento no domíno do tempo dos pontos P01, P11, P21, P31, P41, P12, P22, P32 e P42, para ω 1 = ω 2 = 0.655, λ= 0.7, β = 120

19 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada perfeto. 151 Fgura 4.45: Coordenadas auxlares. Modelo de torre estaada perfeto. 152 Fgura 4.46: Relação freqüênca-ampltude do modo não-lnear estável desacoplado no plano u 2 xdu 2 /dt, para ω 1 = ω 2 = 0.655, λ= 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada perfeto. 153 Fgura 4.47: Relações freqüênca-ampltude dos modos acoplados nstáves dos pontos de sela PS11, PS21 e PS12, para ω 1 = ω 2 = 0.655, λ= 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada perfeto. 154 Fgura 4.48: Relações freqüênca-ampltude dos modos não-lneares nãosmlares estáves acoplados assocados aos pontos P31, P41, P32 e P42, para ω 1 = ω 2 = 0.655, λ= 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada perfeto. 154 Fgura 4.49: Relação freqüênca-ampltude dos modos não-lneares smlares estáves acoplados dos pontos P11, P21, P12 e P22, para ω 1 = ω 2 = 0.655, λ= 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada perfeto. 155 Fgura 4.50: Seções de Poncaré com 50 % da energa do ponto de sela, para α = 0.82, ω 1 = 0.414, ω 2 = 0.828, λ= 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 157 Fgura 4.51: Comportamento no domíno do tempo dos pontos P11, P21, P31, P41, P12 e P22, para α = 0.82, ω 1 = 0.414, ω 2 = 0.828, λ= 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 158 Fgura 4.52: Relações freqüênca-ampltude do modo desacoplado nstável do ponto de sela PS01, para α = 0.82, ω 1 = 0.414, ω 2 = 0.828, λ= 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 159 Fgura 4.53: Relações freqüênca-ampltude dos modos não-lneares acoplados estáves, para α = 0.82, ω 1 = 0.414, ω 2 = 0.828, λ= 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez

20 relatva das molas. 159 Fgura 4.54: Seções de Poncaré com 50 % da energa do ponto de sela, para α = 1.18, ω 1 = 0.414, ω 2 = 0.828, λ= 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 160 Fgura 4.55: Comportamento no domíno do tempo dos pontos P01, P11, P21, P12, P22, P32, P42 e P52, para α = 1.18, ω 1 = 0.414, ω 2 = 0.828, λ= 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 161 Fgura 4.56: Relação freqüênca-ampltude do modo não-lnear estável desacoplado no plano u 2 xdu 2 /dt, P01, para α = 1.18, ω 1 = 0.414, ω 2 = 0.828, λ= 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 162 Fgura 4.57: Relações freqüênca-ampltude dos modos não-lneares acoplados estáves, para α = 1.18, ω 1 = 0.414, ω 2 = 0.828, λ= 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 162 Fgura 4.58: Seções de Poncaré com 50 % da energa do ponto de sela, para ψ = 0, φ = 1, ω 1 = 0.609, ω 2 = 0.697, λ= 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada com mperfeção geométrca. 167 Fgura 4.59: Comportamento no domíno do tempo dos pontos P11, P21, P12 e P22, para ψ = 0, φ = 1, ω 1 = 0.609, ω 2 = 0.697, λ= 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada com mperfeção geométrca. 167 Fgura 4.60: Relações freqüênca-ampltude dos modos acoplados assocados aos pontos P11, P21, P12 e P22, para ψ = 0, φ = 1, ω 1 = 0.609, ω 2 = 0.697, λ= 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada com mperfeção geométrca. 168 Fgura 4.61: Seções de Poncaré para ψ = 90, φ = 1, ω 1 = 0.612, ω 2 = 0.693, λ= 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada com mperfeção geométrca. 169 Fgura 4.62: Comportamento no domíno do tempo dos pontos P01 e P12 (P12 ), para ψ = 90, φ = 1, ω 1 = 0.612, ω 2 = 0.693, λ= 0.7, β = 120 e

21 ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada com mperfeção geométrca. 170 Fgura 4.63: Relação freqüênca-ampltude do modo não-lnear estável desacoplado no plano u 2 xdu 2 /dt, para ψ = 90, φ = 1, ω 1 = 0.612, ω 2 = 0.693, λ= 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada com mperfeção geométrca. 170 Fgura 4.64: Relação freqüênca-ampltude do modo não-lnear acoplado estável assocado ao ponto P12 (P12 ), para ψ = 90, φ = 1, ω 1 = 0.612, ω 2 = 0.693, λ= 0.7, β = 120 e ω p = 1.0/s. Modelo de torre estaada com mperfeção geométrca. 171 Fgura 5.1: Forma como os multplcadores de Floquet podem ultrapassar o círculo de rao untáro (regão de establdade). 174 Fgura 5.2: Bfurcação do tpo ptchfork, supercrítca e subcrítca. 175 Fgura 5.3: Bfurcação do tpo nó-sela. 175 Fgura 5.4: Bfurcação por duplcação de período, supercrítca e subcrítca. 175 Fgura 5.5: Bfurcação do tpo Hopf, supercrítca e subcrítca. 176 Fgura 5.6: Exemplo de dagrama de bfurcação. 177 Fgura 5.7: Vsta superor lustratva do Modelo de August. 178 Fgura 5.8: Fronteras de establdade (escape) para λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto. 181 Fgura 5.9: Varação da carga de escape, F esc, com a dreção da exctação, ϕ, (gráfco em coordenadas polares) para λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto. 181 Fgura 5.10: Curvas de ressonânca para F = 0.02, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto. 183 Fgura 5.11: Curvas de ressonânca e as relações freqüênca-ampltude dos modos não-lneares, para F = 0.02, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto. 184 Fgura 5.12: Fronteras de establdade (escape), modelo acoplado e desacoplado, para ϕ = 0, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto (valores mínmos F esc = (acoplado) e F esc = (desacoplado)). 185

22 Fgura 5.13: Curvas de ressonânca, modelo acoplado e desacoplado, para F = 0.02, ϕ = 0, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto. 186 Fgura 5.14: Curvas de ressonânca, modelo acoplado e desacoplado, para F = 0.03, ϕ = 0, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto. 186 Fgura 5.15: Dagramas de bfurcação, modelo acoplado e desacoplado, para Ω = 1/3, ϕ = 0, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto. 188 Fgura 5.16: Respostas no tempo para dos níves de carregamento, consderando dferentes condções ncas (θ 1, dθ 1 /dt, θ 2, dθ 2 /dt ), para Ω = 1/3 e ϕ = 0, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto. 188 Fgura 5.17: Dagramas de bfurcação, modelo acoplado e desacoplado, para ϕ = 0, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto. 189 Fgura 5.18: Seções das bacas de atração no plano θ 1 xdθ 1 /dt, modelo acoplado e desacoplado, para Ω = 0.525, ϕ = 0, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto. 190 Fgura 5.19: Seções das bacas de atração no plano θ 1 xdθ 1 /dt, modelo acoplado e desacoplado, para Ω = 1/3, F = 0.1, ϕ = 0, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto. 191 Fgura 5.20: Seções das bacas de atração no plano θ 1 xθ 2, modelo acoplado, para Ω = 1/3, ϕ = 0, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto. 191 Fgura 5.21: Medda de ntegrdade local da baca de atração, LIM, modelo acoplado e desacoplado, para Ω = 1/3, ϕ = 0, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto. 192 Fgura 5.22: Fronteras de establdade (escape), modelo acoplado e desacoplado, para ϕ = 45, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto (valores mínmos F esc = 0.07 (acoplado e desacoplado)). 193 Fgura 5.23: Mapeamento das bfurcações locas na regão de ressonânca fundamental, modelo acoplado e desacoplado, para ϕ = 45, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto. 194

23 Fgura 5.24: Dagramas de bfurcação, modelo acoplado e desacoplado, para Ω = 0.4, ϕ = 45, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto. 195 Fgura 5.25: Dagramas de bfurcação, modelo acoplado e desacoplado, para Ω = 1/3, ϕ = 45, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto. 195 Fgura 5.26: Seções das bacas de atração nos planos θ 1 xdθ 1 /dt e θ 1 xθ 2, modelo acoplado, para Ω = 1/3, ϕ = 45, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto. 196 Fgura 5.27: Seções das bacas de atração e varedades dos pontos de sela no plano uxdu/dt, modelo desacoplado, para Ω = 1/3, ϕ = 45, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto. 197 Fgura 5.28: Medda de ntegrdade local da baca de atração, LIM, modelo acoplado e desacoplado, para ϕ = 45, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto. 198 Fgura 5.29: Mapeamento das bfurcações locas na regão de ressonânca fundamental, modelo acoplado, para ϕ = 2, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto (valores mínmos (2 vales) F esc = e F esc = ). 199 Fgura 5.30: Dagramas de bfurcação, modelo acoplado, para Ω = 0.3, ϕ = 2, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto (F esc = ). 199 Fgura 5.31: Varação da medda de ntegrdade local da baca de atração, LIM, modelo acoplado, para Ω = 1/3, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August perfeto. 200 Fgura 5.32: Fronteras de establdade (escape) para λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 201 Fgura 5.33: Varação da carga de escape, F esc, com a dreção da exctação, ϕ, (gráfco em coordenadas polares) para λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 202

24 Fgura 5.34: Curvas de ressonânca para F = 0.02, α = 1.3, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 203 Fgura 5.35: Fronteras de establdade (escape), modelo acoplado e desacoplado, para α = 1.3, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 204 Fgura 5.36: Mapeamento das bfurcações locas na regão de ressonânca fundamental, modelo acoplado, para α = 1.3, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 205 Fgura 5.37: Dagramas de bfurcação, modelo acoplado, para Ω = 2/3, ϕ = 45, α = 1.3, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas (F esc = ). 205 Fgura 5.38: Seções das bacas de atração nos planos θ 1 xdθ 1 /dt, θ 2 xdθ 2 /dt e θ 1 xθ 2, modelo acoplado, para Ω = 2/3, ϕ = 45, α = 1.3, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 206 Fgura 5.39: Varação da medda de ntegrdade local da baca de atração, LIM, modelo acoplado, para Ω = 2/3, α = 1.3, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 207 Fgura 5.40: Fronteras de establdade (escape) para λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August com mperfeção geométrca. 208 Fgura 5.41: Varação da carga de escape, F esc, com a dreção da exctação, ϕ, (gráfco em coordenadas polares) para λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August com mperfeção geométrca. 209 Fgura 5.42: Curvas de ressonânca para F = 0.01, φ = 1, ψ = 0, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August com mperfeção geométrca. 209 Fgura 5.43: Curvas de ressonânca para F = 0.01, φ = 1, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August com mperfeção geométrca. 210 Fgura 5.44 Mapeamento das bfurcações locas na regão de ressonânca fundamental, modelo acoplado e desacoplado, para ϕ = 45, φ = 1,

25 ψ = 45, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August com mperfeção geométrca. 211 Fgura 5.45: Comparação do comportamento na regão de ressonânca fundamental entre o modelo perfeto e com mperfeção geométrca (φ = 1 e ψ = 45 ), modelo acoplado, para ϕ = 45, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = (Valores mínmos F esc = (perfeto) e F esc = (mperfeto)). 212 Fgura 5.46: Seções das bacas de atração no plano uxdu/dt, modelo desacoplado, para Ω = , ϕ = 45, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August. 213 Fgura 5.47: Medda de ntegrdade local da baca de atração, LIM, modelo acoplado e desacoplado, para Ω = , ϕ = 45, φ = 1, ψ = 45, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de August com mperfeção geométrca. 214 Fgura 5.48: Comparação da medda de ntegrdade local da baca de atração, LIM, na ressonânca fundamental entre o modelo perfeto e com mperfeção geométrca (φ = 1 e ψ = 45 ), modelo acoplado, para ϕ = 45, λ = 0.9 e ξ 1 = ξ 2 = Fgura 5.49 Vsta superor lustratva do modelo de torre estaada. 215 Fgura 5.50: Fronteras de establdade (escape) para λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada perfeto. 217 Fgura 5.51: Varação da carga de escape, F esc, com a dreção da exctação, ϕ, (gráfco em coordenadas polares) para λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada perfeto. 218 Fgura 5.52: Curvas de ressonânca para F = 0.02, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada perfeto. 219 Fgura 5.53: Curvas de ressonânca para valores crescentes de F, ϕ = 0, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada perfeto. 219 Fgura 5.54: Fronteras de establdade (escape), modelo acoplado e desacoplado, para ϕ = 90, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada perfeto (valores mínmos F esc = (acoplado) e F esc = (desacoplado)). 220 Fgura 5.55: Curvas de ressonânca, modelo acoplado e desacoplado, para F = 0.002, ϕ = 90, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre

26 estaada perfeto. 221 Fgura 5.56: Curvas de ressonânca, modelo acoplado e desacoplado, para F = 0.01, ϕ = 90, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada perfeto. 221 Fgura 5.57: Mapeamento das bfurcações locas na regão de ressonânca fundamental, modelo acoplado e desacoplado, para ϕ = 90, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada perfeto. 222 Fgura 5.58: Dagramas de bfurcação, modelo acoplado e desacoplado, para Ω = , ϕ = 90, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada perfeto. 223 Fgura 5.59: Fronteras de establdade (escape), modelo acoplado e desacoplado, para ϕ = 30, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada perfeto (valores mínmos F esc = (acoplado) e F esc = (desacoplado)). 224 Fgura 5.60: Curvas de ressonânca, modelo acoplado e desacoplado, para F = 0.02, ϕ = 30, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada perfeto. 225 Fgura 5.61: Mapeamento das bfurcações locas na regão de ressonânca fundamental, modelo acoplado e desacoplado, para ϕ = 30, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada perfeto. 226 Fgura 5.62: Dagramas de bfurcação, modelo acoplado e desacoplado, para Ω = , ϕ = 30, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada perfeto. 227 Fgura 5.63: Seções das bacas de atração nos planos u 1 xdu 1 /dt, u 2 xdu 2 /dt e u 1 xu 2, modelo acoplado, para Ω = , ϕ = 30, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada perfeto. 227 Fgura 5.64: Mapeamento das bfurcações locas na regão de ressonânca fundamental, modelo acoplado, para ϕ = 0, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada perfeto (valores mínmos (2 vales) F esc = e F esc = ). 228 Fgura 5.65 Fronteras de establdade (escape) para α < 1, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 =ξ 2 = Modelo de torre estaada consderando a nfluênca

27 da rgdez relatva das molas. 230 Fgura 5.66: Curvas de ressonânca para F = 0.01, α = 0.82, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 =ξ 2 = Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 230 Fgura 5.67: Mapeamento das bfurcações locas na regão de ressonânca fundamental, modelo acoplado e desacoplado, para α = 0.82, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 231 Fgura 5.68: Dagrama de bfurcação para Ω = 0.828, ϕ = 45, α = 0.82, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas (F esc = ). 232 Fgura 5.69: Seções das bacas de atração nos planos u 1 xdu 1 /dt, u 2 xdu 2 /dt e u 1 xu 2, modelo acoplado, para Ω = 0.828, ϕ = 45, α = 0.82, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 233 Fgura 5.70: Medda de ntegrdade local da baca de atração, LIM, modelo acoplado, para Ω = 0.828, ϕ = 45, α = 0.82, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 233 Fgura 5.71: Fronteras de establdade (escape) para α > 1, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 =ξ 2 = Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 234 Fgura 5.72: Varação da carga de escape, F esc, com a dreção da exctação, ϕ, (gráfco em coordenadas polares) para λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 235 Fgura 5.73: Curvas de ressonânca para F = 0.01, α = 1.18, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 236 Fgura 5.74: Fronteras de establdade (escape), modelo acoplado e desacoplado, para ϕ = 90, α = 1.18, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das

28 molas (valores mínmos F esc = (acoplado) e F esc = (desacoplado)). 236 Fgura 5.75: Mapeamento das bfurcações locas na regão de ressonânca fundamental, modelo acoplado e desacoplado, para α = 1.18, ϕ = 90, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 237 Fgura 5.76: Dagramas de bfurcação, modelo acoplado e desacoplado, para Ω = , ϕ = 90, α = 1.18, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 238 Fgura 5.77: Fronteras de establdade (escape) para λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada com mperfeção geométrca. 239 Fgura 5.78: Varação da carga de escape, F esc, com a dreção da exctação, ϕ, (gráfco em coordenadas polares) para λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada com mperfeção geométrca. 240 Fgura 5.79: Curvas de ressonânca para F = 0.005, φ = 1, ψ = 90, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada com mperfeção geométrca. 240 Fgura 5.80: Mapeamento das bfurcações locas na regão de ressonânca fundamental, modelo acoplado, para φ = 1, ψ = 90, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada com mperfeção geométrca. 241 Fgura 5.81: Dagramas de bfurcação para Ω = , ϕ = 0, φ = 1, ψ = 90, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada com mperfeção geométrca (F esc =0.0311). 242 Fgura 5.82: Seções das bacas de atração nos planos u 1 xdu 1 /dt, u 2 xdu 2 /dt e u 1 xu 2, para Ω = , ϕ = 0, φ = 1, ψ = 90, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada com mperfeção geométrca. 242 Fgura 5.83: Medda de ntegrdade local da baca de atração, LIM, modelo acoplado, para Ω = , ϕ = 45, φ = 1, ψ = 90, λ = 0.7, β = 120 e ξ 1 = ξ 2 = Modelo de torre estaada com mperfeção geométrca. 243

29 Fgura 6.1: Ilustração de aplcação do método de controle proposto por Lenc & Rega. 249 Fgura 6.2: Varedades e perfl da energa potencal para Ω = 1/3 e λ = 0.9. Modelo perfeto desacoplado. 268 Fgura 6.3: Ilustração de uma órbta heteroclínca. 268 Fgura 6.4: Órbta heteroclínca para Ω = 1/3 e λ = 0.9. Modelo perfeto desacoplado. 269 Fgura 6.5: Mapeamento das bfurcações locas na regão de ressonânca fundamental para λ = 0.9 e ξ = Modelo perfeto desacoplado. 270 Fgura 6.6: Dagramas de bfurcação para Ω = , λ = 0.9 e ξ = 0.01, modelo orgnal e modelo controlado (9F 3 / F = e υ 3otmo = π). Modelo perfeto desacoplado. 272 Fgura 6.7: Varedades nvarantes assocadas às fronteras de establdade para F = , Ω = , λ = 0.9 e ξ = 0.01, modelo orgnal e modelo controlado (9F 3 / F = e υ 3otmo = π). Modelo perfeto desacoplado. 272 Fgura 6.8: Meddas de ntegrdade GIM e IF para Ω = , λ = 0.9 e ξ = 0.01, modelo orgnal e modelo controlado (9F 3 / F = e υ 3otmo = π). Modelo perfeto desacoplado. 273 Fgura 6.9: Bacas de atração para Ω = , λ = 0.9 e ξ = 0.01, modelo orgnal e modelo controlado (9F 3 / F = e υ 3otmo = π). Modelo perfeto desacoplado. 274 Fgura 6.10: Varedades e perfl da energa potencal para u 10 = 1, Ω = 1/3 e λ = 0.9. Modelo desacoplado com mperfeção geométrca. 275 Fgura 6.11: Ilustração de uma órbta homoclínca. 276 Fgura 6.12: Órbta homoclínca para u 10 = 1, Ω = 1/3 e λ = 0.9. Modelo com mperfeção geométrca. 276 Fgura 6.13: Mapeamento das bfurcações locas na regão de ressonânca fundamental para u 10 = 1, λ = 0.9 e ξ = Modelo com mperfeção geométrca desacoplado. 278 Fgura 6.14: Dagramas de bfurcação para u 10 = 1, Ω = 0.254, λ = 0.9 e ξ = 0.01, modelo orgnal e modelo controlado (4F 2 / F = e

30 υ 2otmo = π). Modelo com mperfeção geométrca desacoplado. 279 Fgura 6.15: Fronteras de establdade para F = , u 10 = 1, Ω = 0.254, λ = 0.9 e ξ = 0.01, o modelo orgnal e modelo controlado (4F 2 / F = e υ 2otmo = π). Modelo com mperfeção geométrca desacoplado. 280 Fgura 6.16: Meddas de ntegrdade GIM e IF para u 10 = 1, Ω = 0.254, λ = 0.9 e ξ = 0.01, modelo orgnal e modelo controlado (4F 2 / F = e υ 2otmo = π). Modelo com mperfeção geométrca desacoplado. 280 Fgura 6.17: Bacas de atração para u 10 = 1, Ω = 0.254, λ = 0.9 e ξ = 0.01, modelo orgnal e modelo controlado (4F 2 / F = e υ 2otmo = π). Modelo com mperfeção geométrca desacoplado. 281 Fgura 6.18: Comparação das meddas de ntegrdade GIM e IF do modelo perfeto (orgnal e controlado) com o modelo mperfeto (orgnal e controlado). 282 Fgura 6.19: Varedades e perfl da energa potencal para Ω = e λ = 0.7. Modelo perfeto desacoplado. 284 Fgura 6.20: Órbta homoclínca para Ω = e λ = 0.7. Modelo perfeto desacoplado. 284 Fgura 6.21: Mapeamento das bfurcações locas na regão de ressonânca fundamental para λ = 0.7 e ξ = Modelo perfeto desacoplado. 285 Fgura 6.22: Dagramas de bfurcação para Ω = , λ = 0.7 e ξ = 0.01, modelo orgnal e modelo controlado (4F 2 / F = e υ 2otmo = π). Modelo perfeto desacoplado. 286 Fgura 6.23: Meddas de ntegrdade GIM e IF para Ω = , λ = 0.7 e ξ = 0.01, modelo orgnal e modelo controlado (4F 2 / F = e υ 2otmo = π). Modelo perfeto desacoplado. 287 Fgura 6.24: Bacas de atração para Ω = , λ = 0.7 e ξ = 0.01, modelo orgnal e para o modelo controlado (4F 2 / F = e υ 2otmo = π). Modelo perfeto desacoplado. 288

31 Lsta de Tabelas Tabela 4.1: Freqüêncas naturas e modos lneares de vbração. Modelo de August. 92 Tabela 4.2: Freqüêncas naturas e modos lneares de vbração. Modelo de torre estaada. 138 Tabela 5.1: Freqüêncas naturas para λ = 0.9. Modelo de August perfeto. 180 Tabela 5.2: Freqüêncas naturas para λ = 0.9. Modelo de August consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 200 Tabela 5.3: Freqüêncas naturas para λ = 0.9. Modelo de August com mperfeção geométrca. 207 Tabela 5.4: Freqüêncas naturas para λ = 0.7 e β = 120. Modelo de torre estaada perfeto. 217 Tabela 5.5: Freqüêncas naturas para α < 1, λ = 0.7 e β = 120. Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 229 Tabela 5.6: Freqüêncas naturas para α > 1, λ = 0.7 e β = 120. Modelo de torre estaada consderando a nfluênca da rgdez relatva das molas. 234 Tabela 5.7: Freqüêncas naturas para λ = 0.7 e β = 120. Modelo de torre estaada com mperfeção geométrca. 238 Tabela 6.1: Resultados numércos dos problemas de otmzação com o aumento do número de super-harmôncos no caso de controle one-sde. 266 Tabela 6.2: Resultados numércos dos problemas de otmzação com o aumento do número de super-harmôncos no caso de controle global. 266

32 Lsta de Símbolos C, C, constante gual ou menor que à energa assocada aos pontos de sela dos modelos; parâmetros de amortecmento, expressos pelas taxas de amortecmento, ξ ; D b (t), exctação harmônca de base; DH, E, vetor que representa a parte não perturbada do sstema; parcela de amortecmento; F, ampltude da exctação harmônca de base, F = F l ; h Fcr, cont Fcr, valor teórco da nterseção homo/heteroclínca para uma exctação harmônca; valor teórco da nterseção homo/heteroclínca para uma exctação harmônca com controle (adção de super-harmôncos); F b, magntude do deslocamento de base; F, ampltude da exctação dos super-harmôncos de ordem ; F esc, ampltude crítca, carga de escape; g, g, aceleração da gravdade; vetor que representa a parte perturbada do sstema; hom G, controle de uma órbta homoclínca; het G, controle de uma órbta heteroclínca; GIM, H, medda global de ntegrdade; Hamltonano dos modelos; h, nível de energa adotado, H = h. h j, parâmetros de controle; IF, k, l, L, fator de ntegrdade; constantes de rgdez das molas; comprmento da coluna; função de Lagrange; L p, parcela do potencal gravtaconal das cargas externas; b

33 LIM, m, medda de ntegrdade local; massa concentrada na extremdade lvre da coluna; M (m), função de Melnkov; P, peso da massa concentrada na extremdade lvre da coluna, P = mg ; Pcr, t, T, u, u, u 0, cargas crítcas dos modelos; tempo; parcela da energa cnétca; coordenada auxlar, para desacoplar os modelos; grandezas u modelo de torre estaada; = senθ, que representam os graus de lberdade do parcelas da mperfeção geométrca do modelo de torre estaada, respectvamente, nas dreções dos graus de lberdade u ; u b (t), parcela da exctação harmônca de base na dreção x ; u D, deslocamentos dnâmcos, deformações devdas ao movmento; u est, rotações estátcas; u h, órbta do sstema (homoclínca - u hom ou heteroclínca - u het ); u T, rotações totas; u S, deformações estátcas; U, parcela da energa nterna de deformação; v, coordenada auxlar, para desacoplar os modelos; v b (t), parcela da exctação harmônca de base na dreção y ; V, α, parcela da energa potencal total; relação entre as constantes de rgdez, k ; α ( j), termos que smplfcam a formulação do controle; β, ângulo que defne a posção das molas do modelo de torre estaada; deslocamento vertcal total de m meddo em relação à confguração Δ, ndeformada da coluna perfeta; Δ, deslocamento vertcal da carga na coluna mperfeta; f Δ 0, deslocamento vertcal de m devdo à mperfeção geométrca; Δ L, varação de comprmento das molas do modelo de torre estaada; ε, parâmetro admensonal que mede a ampltude da perturbação;

34 γ, deformações das molas nas dreções θ ; λ, relação λ = P Pcr ;, cr λ carga crítca, quando λ = P Pcr = 1; λ, lm carga estátca lmte; ω, freqüênca não-lnear dos modelos, pelo movmento; ω e, freqüênca da exctação harmônca de base; ω, freqüêncas naturas dos modelos; ω p, freqüênca natural de um pêndulo smples; Ω, Ω = ω e ω p ; Ω = ω ω ; Ω, p φ, φ, ϕ, ϕ, nclnação da coluna (modelo com mperfeção geométrca); parcelas da mperfeção geométrca do modelo de August, respectvamente, nas dreções dos graus de lberdade θ ; ângulo no plano de base; x y que defn a dreção da exctação harmônca ângulos formados entre a coluna em uma posção arbtrára e, respectvamente, os exos x, y e z ; ψ, θ, ângulo no plano mperfeta neste plano; x y que defne a dreção da projeção da barra rotações mpostas nas molas, graus de lberdade do Modelo de August; θ D, deslocamentos dnâmcos, deformações devdas ao movmento; θ est, rotações estátcas; θ T, rotações totas; θ S, deformações das molas sob carregamento estátco; τ, τ = ω e t ; ν j, ângulo de fase entre os super-harmôncos; ξ, taxas de amortecmento;, seção que defne o mapa de Poncaré.