2 Principio do Trabalho Virtual (PTV)

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1 Prncpo do Trabalho rtual (PT)..Contnuo com mcroestrutura Na teora que leva em consderação a mcroestrutura do materal, cada partícula anda é representada por um ponto P, conforme Fgura. Porém suas propredades cnemátcas são defndas sob um ponto de vsta mcroscópco. Neste ponto de observação, o ponto P passa a ser defndo como um contínuo de pequena extensão C(P) ao redor do ponto P. Um contínuo mcromórfco de prmera ordem é obtdo através do deslocamento u no ponto P em C(P) e é expresso através da expansão de Taylor até o prmero grau, de coordenadas x em P, conforme equação. u ' u x' O sgnfcado desta consderação é claro, consegue-se descrever o movmento relatvo de város pontos da partícula ao assumr que a deformação é homogênea dentro do volume da partícula C(P). O tensor de segunda ordem é composto de parte smétrca e antsmétrca, conforme equação e proposto segundo [35]. A prmera corresponde ao tensor de mcrodeformação, equação 3, e a segunda parcela ao tensor de mcrorrotação, equação 4.

2 3 P x C(P) x x Exos Cartesanos Globas Contínuo Macroscópco x Exos Locas Mcrocontínuo Fgura Representação esquemátca do contínuo clássco e mcrocontínuo. ( ) [ ] ( ) ( ' u' ' u' ) 3 [ ] ( ' u' ' u' ) 4 No contínuo clássco, que pode ser caracterzado como um contínuo generalzado onde o comprmento característco da partícula é nulo, apenas possue tensor deformação e rotação macroscópca, correspondendo respectvamente à parcela smétrca e ant-smétrca, conforme equações 5, 6 e 7. 5 ( ) [ ] ( ) ( u u ) 6 [ ] ( u u ) 7

3 33 Os tensores de macro e mcro deformações não são grandezas obetvas, sgnfcando que suas grandezas varam em relação ao movmento de corpo rígdo. Como há necessdade de que estas grandezas seam obetvas para a formulação das les consttutvas, é então defndo um tensor relatvo: 8 Este tensor relatvo corresponde à dferença entre o tensor de macro deformação e rotação e o tensor de mcro deformação e rotação, conforme alguns exemplos na Fgura []. Também é defndo um tensor relatvo de tercera ordem, pelos mesmos motvos explanados acma. Este defne a varação do tensor de segunda ordem, tanto da sua parcela smétrca quanto da ant-smétrca, ou sea, o gradente referente à rotação e deformação mcroscópca, conforme equação 9 e Fgura 3. xk 9 k O contínuo generalzado de Mndln [35] assume que a partícula C(P) sofre mcrodeformações homogêneas. As condções cnemátcas deste contínuo são representadas em assocação com a energa gerada e os seguntes tensores, para o trabalho vrtual das forças nternas: o tensor convenconal, denomnado de Cauchy ( ), o tensor mcroscópco ( S ) e o tensor duplo ( k ). Será agora defndo um tensor, denomnando de tensor total ( ), para representar o contnuo generalzado, sea do ponto de vsta macroscópco ou macroscópco e mcroscópco, conforme equação 0. Para o trabalho vrtual das forças externas de massa e superfíce, exstem forças: a força de massa ( f ) e a força de superfíce T ), ambos referentes ao tensor total, a força dupla da massa ( ) e a força dupla ( de superfíce ( M ), ambas referentes ao tensor duplo. S 0

4 34 x dx u x d d x x x u x d x x x u x d u x x Fgura Representação físca do tensor relatvo de segunda ordem [].

5 35 x x x x ( x x ) ( ) ( x x ) ( ) Fgura 3 Representação dos gradentes relatvo de rotação e/ou deformação mcromórfca e das tensões duplas conugadas ao gradente []...Prncpo D Alembert O prncípo afrma que a soma das dferenças entre as forças agndo em um sstema S e as dervadas no tempo dos momentos do sstema ao longo de um deslocamento vrtual consstente com os vínculos do sstema, é zero, conforme equação. ( F m ) u 0 Onde: F são as forças aplcadas;

6 36 u é o deslocamento vrtual do sstema, consstente com os vínculos; m são as massas das partículas do sstema; são as acelerações das partículas do sstema; m representa a dervada temporal do momentum lnear da -ésma partícula. Consdere a le de Newton para um sstema de partículas. A força total sobre cada partícula é: F T m Onde: T F são as forças totas agndo no sstema de partículas; m são as forças nercas resultantes das forças totas. Movendo as forças nercas para o lado esquerdo da equação e consderando o trabalho vrtual, W, realzado pelas forças totas e nercas untas através de um deslocamento vrtual do sstema, temos: temos: W ( F T m ) u 0 3 que zera pelo fato de as forças totas sobre cada partícula serem nulas. Separando as forças totas em forças aplcadas, F, e forças de vínculo, C, W ( F C m ) u 0 4 Se deslocamentos vrtuas arbtráros são assumdos em dreções ortogonas às forças de vínculo, então as forças de vínculo não realzam trabalho. Tas deslocamentos são dtos serem consstentes com os vínculos. Isto leva à formulação do prncípo de d'alembert, que afrma que a dferença entre as forças aplcadas e as forças nercas para um sstema dnâmco não realza trabalho vrtual: W ( F m ) u 0 5

7 37.3.PT do Contínuo Generalzado Aqu ntroduzrar-se-á o conceto básco de trabalho e deslocamento vrtual ao se consderar uma pequena partícula rígda onde forças atuam. A partícula se encontra em equlíbro, então a resultante das forças atuantes são nulas. Caso se desea movmentar esta partícula para uma nova posção, uma força adconal é requerda, então o sstema de forças orgnas será modfcado. Agora consderarse-á um deslocamento vrtual defndo como um deslocamento arbtráro que não afeta o sstema de forças atuante na partícula. Em outras palavras, o deslocamento vrtual é um deslocamento fctco e durante a aplcação de cada força na partícula permanece constante em magntude e dreção. Para um deslocamento nfntesmal as forças devdo ao deslocamento são pequenas e podem ser neglgencadas quando comparadas com as forças atuantes, então as vezes o deslocamento vrtual pode ser consderado como um deslocamento nfnetsmal. Apesar de que por defnção não necessaramente o deslocamento vrtual sea nfntesmal [8]. Forças e tensões não são aplcadas dretamente, mas sm o trabalho vrtual que estas geram para determnado tpo de deslocamento vrtual. Mas precsamente, para um sstema S num dado tempo, um deslocamento vrtual é defndo por um vetor, que corresponde a um campo de velocdade vrtual. O deslocamento vrtual u é representado por um espaço vetoral U cuos elementos são u. O sstema de forças que se quer consderar é defndo pela aplcação contnua de U R ou W L (u ) 6 W é um número real e corresponde ao trabalho vrtual produzdo por um sstema de forças num campo vetoral U precsa ser um espaço vetoral topológco para garantr a contnudade de L (u ). Assm como a velocdade real, a vrtual é defnda em função de um sstema. O campo de velocdades do mesmo movmento vrtual em dos dferentes sstemas dfere somente do campo de velocdade referente ao movmento de corpo

8 38 rígdo, o qual defne um espaço vetoral C. Assum-se que C será sempre subespaço de U. As dversas forças que atuam no sstema mecânco serão subdvddas de manera clássca, de duas formas: forças externas, que representam o efeto dnâmco em S devdo à nteração com outros sstemas que não fazem parte de S, e forças nternas, que representam o efeto que um subsstema (S ) de S realza em outro subsstema (S ) e vce-versa. Quando um volume está sob a ação de um sstema de cargas, forças nternas são geradas neste. O comportamento do volume, tal como deformações, ou falha, está relaconado com a dstrbução de forças nternas, que por sua vez está relaconado às forças externas. As forças externas são dvddas em dos grupos: forças de massa e forças de superfíce. Caso um plano magnáro passe através do volume como apresentado na Fgura 4, e na parte I tem as forças F e F (forças externas) e na parte II atuam as forças F3 e F4 (forças externas), o corpo está em equlíbro pos as forças que atuam na parte I se anulam com as que atuam na parte II. Porém esta força está dstrbuída ao longo do plano que passa pelo volume, que corresponde à força méda defnda como []: F meda F 7 A Da tem-se o conceto de que a tensão (força nterna) no ponto A corresponde a varação de força por undade de área quando a área tende a zero, conforme equação 8. F df lm 8 A 0 A da

9 39 F F 3 I F A F II F 4 Fgura 4 Forças de Superfíce Externas e Forças Internas [] É mportante notar que a defnção de trabalho vrtual das forças nternas tem que respetar ao axoma apresentado. Axoma do trabalho das forças nternas: O trabalho vrtual das forças nternas que atuam no sstema S para o determnado deslocamento vrtual é uma grandeza obetva, entende-se que o trabalho será o mesmo em qualquer que sea o sstema onde se observa o movmento vrtual. Isto quer dzer que para qualquer campo de velocdade referente ao movmento de corpo rígdo o trabalho das forças nternas será nulo. Como á dto o trabalho vrtual é nulo, á que as forças se anulam, então por sto a partícula esta em equlíbro, conforme equação 9. W W E W 0 9 I O trabalho vrtual nterno é correspondente a energa de deformação absorvda pela partícula devdo ao trabalho vrtual externo realzado pelas forças externas. As forças nternas atuantes num meo analsado sob o ponto de vsta macroscópco e mcroscópco são as seguntes: tensões de Cauchy ( ), ou tensões macroscópcas, tensões mcroscópcas ( S ), ou tensões relatvas e segunda tensão mcroscópca ( k ), ou tensão dupla, que é um tensor de tercera ordem. O tensor macroscópco convenconal é smétrco, ou sea,. Então

10 40 o trabalho vrtual nterno, de um meo que ocupa um volume e uma frontera pode ser expresso da segunte manera: W ( S x d 0 I k ) Substtundo na equação 0 a equação 5 até equação 9 tem: W {( S ) u S d I k k } Aplcando a ntegração por partes: W I {( S ) u ( S ) } d {( S ) u n n k k k k } d Onde n é uma normal untára apontado na perpendcular da frontera. O trabalho vrtual das forças nternas pode ser dvddo em trabalho vrtual devdo as forças nternas de massa e devdo as forças nternas de superfce, conforme equação 3 até equação 5. WI W I W I 3 W I {( S ) u ( S ) } d 4 k k W I {( S ) un kn } k d 5 O passo segunte é ntroduzr o trabalho vrtual das forças externas, que pode ser dvddo em trabalho vrtual devdo as forças externas de massa e devdo as forças externas de superfce, conforme á defndas anterormente. Suas equações se encontram apresentadas abaxo. WE W E W E 6 W E ( f u ) d 7 W E ( Tu M ) d 8

11 4 O últmo passo é aplcar o prncpo do trabalho vrtual equação 9. Assume-se que u e escolhdos de modo que estes seam nulos fora do volume. Da, na soma dos trabalhos vrtuas, somente a ntegral de massa permanece, a qual é nula para qualquer valor de u e. Como consequênca óbva, podemos gualar dretamente os coefcentes do trabalho vrtual devdo as forças externas e nternas de massa. Separando a parcela do tensor total e do tensor duplo teremos as duas equações de equlíbro conforme equação 9 e equação 30. f ( S ) 0 9 S k k 0 30 Novamente o mesmo é váldo para o trabalho vrtual devdo às forças externas e nternas de superfce, á que u e são valores arbtráros. Separando a parcela do tensor total e do tensor duplo teremos as duas condções de contorno naturas conforme equações 3e 3. T ( S ) n 3 M n 3 k k Na teora de Mndln [35], tanto u quanto são ndependentes e por sto suas condções de contorno essencas podem ser aplcadas de manera ndependente, á que o problema é totalmente desacoplado. O mesmo é váldo para as condções de contorno naturas, podem ser aplcadas de manera ndependente. Dfícl é conhecer as condções de contorno dtas como não clásscas e M, fato que não mpede a utlzação da teora de Mndln [35], á que se pode smplesmente apenas prescrever as condções de contorno dtas como clásscas, não reconhecendo que sto sea o deal, ou que represente o problema de fato. Como será vsto mas adante, algumas das teoras que tomam em consderação a partícula não tem suas condções de contorno desacopladas, ou sea, u e dependem um do outro, como é o caso, por exemplo, da teora do º gradente [36], [37] e [38] e da teora das tensões-momento [39]. Fato este que

12 4 por mutas vezes mpede que tas teoras seam utlzadas na engenhara, á que estas condções de contorno nem sempre são conhecdas. Esta é uma vantagem da Teora de Cosserat, pos apesar das condções de contorno não serem desacopladas, estas são de mas fácl nterpretação e compreensão físca.

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