Estabilidade não linear de estruturas: estruturas thinwalled, estruturas recticuladas, análise 3D e aspectos numéricos

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1 Establdade não lnear de estruturas: estruturas thnwalled, estruturas rectculadas, análse 3D e aspectos numércos Pedro D. Smão ( pedro@dec.uc.pt ) Combra, 5 de Junho de 009 Jornadas INESC-Combra

2 Índce Análse de estruturas thn-walled a GBT Estratégas numércas: ) a aplcação do Método de Raylegh-Rtz e a dscretzação natural do funconal ) o problema bfurcaconal, path-swtchng, estados crítcos secundáros e fenómenos de nstabldade localzada Análse de estruturas rectculadas: nfluênca das column splces na establdade do elemento e da estrutura: ) lgação entre corpos: o método dos multplcadores de Lagrange e o Método e Raylegh-Rtz Desenvolvmentos futuros

3 Estruturas enformadas a fro de paredes fnas (thn-walled cold-formed structures) Os elementos estruturas são obtdos por dobragem de uma chapa metálca O sub-sector da construção cold formed é,na Europa, o que apresenta a maor taa de crescmento em volume de negócos no sector da construção metálca As dobragens na chapa é que geram a rgdez do elemento estrutural, num prncípo semelhante ao Orgam. 3

4 Estruturas enformadas a fro de paredes fnas Análse estrutural: devdo à grande esbelteza (baa espessura dos elementos), são elementos muto sujetos a város fenómenos de nstabldade: local, dstorconal e global requerem métodos de análse avançados (GBT, FSM ou FEM) capazes de modelar estes fenómenos 4

5 GBT - Generalzed Beam Theory: é uma teora de modelação do comportamento de estruturas prsmátcas de paredes fnas (thn-walled) é uma alternatva meshless muto efcaz aos métodos clásscos: faas fntas (FSM) e elementos fntos (FEM) basea-se no conceto de modo de deformação da secção transversal: 5 mm.6 mm 70 mm Fleão eo forte Fleão eo fraco torção Modo de corte ( shear lag ) 45 mm 5 mm Alongamento aal Modos dstorconas: 5

6 GBT - Generalzed Beam Theory: Os deslocamentos num qualquer ponto do elemento são descrtos pela combnação lnear, para todos os modos de deformação, do produto do deslocamento que ocorre para uma confguração untára do modo de deformação (função de y e z) por uma função de ampltude desse modo no ponto (função de ) Os modos de deformação estabelecdos ncalmente são tornados ortogonas através de uma sequenca de problemas de valores-vectores própros generalzados Adopta-se as relações da Teora da Elastcdade para grandes deslocamentos formulação Lagrangeana. 6

7 7 o potencal do carregamento eteror: a energa potencal total (TPE): L n n r r,r L n n r r z,r r y,r MD NT MD NT A d u q Ad w q v q 3 3 MD 3 3 n z r y r A M A M A F w F v A P a energa de deformação nterna (epressão longa): dad U L 0 A B s B s B s B s B B M s M s M M U V Esta formulação ) é consstente com as relevantes relações de elastcdade para grandes deslocamentos, ) contém termos de 3ª ordem, possbltando análse de pósencurvadura, e ) trata todos os fenómenos relevantes da Teora da Establdade usando um procedmento unfcado GBT a formulação energétca:

8 Estratégas numércas A aplcação do método de Raylegh-Rtz: Descrção: método para determnar as funções f ( j ) que mamzam/mnmzam um funconal, sujeto a um conjunto de condções de frontera. Aplcação: os estados de equlíbro de uma estrutura são os estados que estaconarzam o funconal da TPE. Iníco: o funconal da TPE, na forma V L 0 F A, A, A va transformar-se numa função gradente de potencal: V V através da apromação de cada função de ampltude modal A pela combnação lnear de um conjunto de funções coordenadas pré-estabelecdas φ que respetam as condções de frontera relevantes: A a,p,p d a a a n n 8

9 Estratégas numércas A aplcação do método de Raylegh-Rtz: o método de dscretzação natural Forma das condções de frontera: sem grande utldade matemátca, pos formam um sstema homogéneo No entanto, adconando ao sstema das condções de frontera condções de normaldade e de ortogonaldade, da forma c 0 f j j d 0 f j L pode obter-se um método que gera sequencalmente um conjunto nfnto de funções coordenadas polnomas, ortogonas entre s, permtndo ) apromar uma função de forma tão rgorosa quanto desejado, e ) escolher as condções de frontera a adoptar no problema A 0 9

10 0 Os 3 prmeros polnómos consderando as seguntes condções de frontera: A aplcação do método de Raylegh-Rtz: L 0 L 0

11 Estratégas numércas O formalsmo bfurcaconal (Thompson & Hunt 973) Objectvo: para o sstema de equlbro do problema dscretzado n V C V a,, a, P 0,,, nc pretende-se: ) Calcular os conjuntos de valores a e P que satsfazem o sstema de equlíbro, partndo de uma solução conhecda pesqusa das trajectóras de equlíbro ) Em cada ponto do espaço a-p que é solução do sstema de equlíbro, analsar a establdade desse estado de equlíbro a

12 Estratégas numércas O formalsmo bfurcaconal (Thompson & Hunt 973) Os estados de pós-encurvadura são determnados resolvendo o sstema de equlíbro transformado na vznhança do estado crítco: V P j a q,p W q, P FP j,, n c j 0, control As coordenadas deslzantes q são obtdas da transformação W: a a FP P q,,n c, A C j q=c j q=c >c P B j q=-c O crtcal state B A j q>0 C j q<0 PBP FP a j a

13 Eemplo lustratvo: secção HFB submetda a momento unforme, para L=600mm 3

14 Análse de estruturas rectculadas: Influênca das column splces na establdade de um elemento comprmdo (Ana M. Grão Coelho, Pedro D. Smão, Franz Bjlaard) K b C K a, u N Ed K b II I K c K a z, w Trabalho encomendado pela ndústra holandesa e feto em colaboração com a TU Delft caracterzou-se o comportamento de uma coluna com uma lgação nterméda vga-vga (splce) e estabeleceu-se um crtéro para o valor mínmo da rgdez dessa lgação por forma a N Ed poder consderar-se a coluna como contínua 4

15 Influênca das column splces na establdade de um elemento comprmdo ) lgação entre corpos: o método dos multplcadores de Lagrange e o Método de Raylegh-Rtz Neste caso desenvolveu-se também uma formulação energétca, crando a energa potencal total (TPE) do sstema:, u V U,I U,II U,,A U,,A U,,B U,,B U,, C N Ed Para obrgar que os deslocamentos segundo e zz no ponto C, K b K b para os elementos I e II, foram mpostas duas condções II adconas, que foram ntroduzdas no problema global através do C K c Método dos Multplcadores de Lagrange K a I K a N Ed z, w Desta forma o MRR pode ldar com a análse de sstemas formados por város corpos, tornando-se num método meshless alternatvo ao MEF, ebndo váras vantagens

16 Desenvolvmentos futuros Alguns tópcos de desenvolvmentos futuros: análse de fenómenos de bfurcação secundára e localzação generalzação da GBT para secções de forma qualquer Graves-Smth & Srdharan estudo da nteracção entre os fenómenos de nstabldade do elemento e de nstabldade da estrutura em estruturas thn-walled análse do comportamento de elementos prsmátcos submetdos a esforços de fleão composta desvada e torção análse de establdade de estruturas tr-dmensonas, envolvendo todos os fenómenos relevantes, como sendo o comportamento dos elementos, das lgações, etc. Fm